1.5二次函数的应用 提高练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数应用，通过基础应用、综合拓展、实践创新三层设计，构建从单一知识点到跨情境综合应用的巩固路径，适配新授课提升训练需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|二次函数图像与性质、实际问题最值|以拱桥、销售利润等情境化问题（如第1、3题），培养抽象能力与模型意识| |综合拓展|函数与方程、不等式综合，图像分析|结合一次函数与二次函数比较（第7题）、含参数问题（第12题），发展推理意识| |实践创新|跨情境综合应用、探究性问题|通过智能浇灌系统（第15题）、运动轨迹分析（第16题），强化应用意识与创新思维|

1.5二次函数的应用 提高练习 一、选择题 1．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y＝，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（　　） A．10m B．12m C．24m D．48m 2．竖直上抛的小球的高度与运动时间的函数表达式为，若小球在上抛后第与第时离地面距离相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（　　） A．第 B．第 C．第 D．第 3．将进货单价为50元的某种商品按零售价每个60元出售时，每周能卖出100个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少2个，但物价部门规定，最高售价不能高于成本价的30％，则每周获得的最大利润为（　　）. A．80元 B．1000元 C．1750元 D．1800元 4．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，已知该同学出手点的坐标为，则实心球飞行的水平距离的长度为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在九年级体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（　　） A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m 6．如图是二次函数的部分图象，使成立的的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 7．已知一次函数 和二次函数 部分自变量和对应的函数值如表： x … -1 0 2 4 5 … y1 … 0 1 3 5 6 … y2 … 0 -1 0 5 9 … 当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　） A．-1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜-1或x＞5 D．x＜-1或x＞4 8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A．a＜0，b＞0 B．b2﹣4ac＞0 C．方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1 D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是0＜x＜5 二、填空题 9．如图，九（1）班劳动实践基地位于形围墙的内侧，已知，墙长7米，墙长3米．同学们准备用10米长的围栏，在基地内围出一块矩形菜地（可利用围墙）．请问他们能围出的最大面积是　 　米2． 10．在为期3天的广安市第五届运动会（青少年组）三人制篮球比赛中，某同学进行了一次投篮，篮球准确落入篮框内，建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的运行轨迹可看作抛物线的一部分，则篮球在空中运行的最大高度为　 　． 11．小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡找一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同．小强在地面立一块高度为的木板，以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，拋球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． （1）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离是　 　； （2）为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上，小强将木板立在到斜坡底端O的最小距离是　 　． 12．抛物线（，，为常数，经过，，三点，且. 下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则. 其中正确的是　 　（填序号即可）. 三、解答题 13．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱. （1）请求出这种水果批发价（元/千克）与购进数量（箱）之间的函数关系式； （2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？ 14． 如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离． （1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式； （2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 四、实践探究题 15．根据以下材料，探索完成任务： 智能浇灌系统使用方案 材料 如图1是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度（OP最大高度不超过2.4m），浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，OM为半径的圆形浇灌区域． 当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面0.1m． 如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长8m，宽6m的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处． 问题解决 任务1 确定水流形状 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究浇灌最大区域 当调节水管OP的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留） 任务3 解决具体问题 若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管OP至少需要调节到什么高度？ 16．【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活. 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设. 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）. 【解决问题】思路：把矩形的面积S与边长x（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可. （1）请用含有x的代数式表示的长； （2）花园的面积能否为?若能，求出x的值，若不能，请说明理由； （3）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大? 五、综合题 17．公路上正在行驶的甲车发现前方处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程单位：、速度单位：与时间单位：的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）直接写出关于的函数关系式　 　和关于的函数关系式　 　不要求写出的取值范围 （2）当甲车减速至时，它行驶的路程是多少？ （3）若乙车以的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意，A点横坐标为-18，代入 可得y=－9， 即A（-18，-9）. 当水位上升5米时，即C、D两点纵坐标为－9+5=－4. 代入得：x=±12， 即C（-12，-4），D（12，-4）. 故CD=12×2=24. 故答案为：C. 【分析】根据AB=36得到A点横坐标，代入可求得A点纵坐标，水位上升5m即向上平移5个单位，可得C、D的纵坐标，代入可求横坐标，于是可求CD长. 2．【答案】C 【解析】【解答】小球在上抛后第与第时离地面距离相等， 对称轴为直线x= 当t=5s时，小球的高度最高， t=4.9s时离5最近， 在4.9s时小球最高， 故答案为：C. 【分析】先求得对称轴为直线x=5，再逐一判断哪一个选项距离对称轴最近即可求解. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：设售价上涨x元，则销售量为个，利润为W， ∴ 对称轴为： ∵ ∴当x=65时，W有最大值为： 故答案为：C. 【分析】设售价上涨x元，则销售量为个，利润为W，根据题意即可得到：根据题意得到的值不能超过65，则当x=65时，W有最大值. 4．【答案】C 【解析】【解答】 ∵点的坐标为 ，在函数上 ∴ 解得k= ∴ 当y=0时，即 解得x=8或-2（舍） ∴ OB长为8m 故答案为B 【分析】本题考查二次函数的实际应用及性质。点在函数上，代入函数可得字母k的值，求二次函数与x轴的交点时，令y=0，求对应方程的根即可，注意结合实际问题，进行根的取舍。 5．【答案】C 【解析】【解答】解：令即： 解得： ∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米， 故答案为：C. 【分析】当此时x的值，即为小朱本次投掷实心球的成绩. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：由函数图象可知，当y≥-1时，二次函数不在y=-1下方部分的自变量x满足：-1≤x≤3， 故答案为：C． 【分析】y≥-1就是指函数图象在y=-1上和上方部分，再确定部分图象对应的x的取值范围即可． 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5； ∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5）， 而-1＜x＜4时，y1＞y2， ∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4． 故答案为：D． 【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围． 8．【答案】D 【解析】【解答】解：A、由图知抛物线开口向下，a<0；对称轴为直线x=，所以b=-4a，所以b>0，故A选项正确； B、抛物线与x轴有两个交点，所以 b2﹣4ac＞0 ，故B选项正确； C、根据二次函数对称性可知，抛物线与x轴交点为（5，0）和（-1，0），所以 方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1 ，故C选项正确； D、由图象可得，不等式 ax2＋bx＋c>0的解集为-1<x<5，故D选项错误； 故答案为：D. 【分析】考查二次函数图象和性质，二次函数与一元二次方程关系，利用函数图象求不等式的解. 9．【答案】 【解析】【解答】解：设矩形的宽为，面积为 ①∵墙长7米，墙长3米， ∴， ∵10米长的围栏， ∴当围成的矩形在以为边围成的矩形的内部时，矩形的最大面积为， ②当矩形的长大于7，宽小于3时，则：矩形的长为， ∴， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴， ③当矩形的长小于7，宽大于3时，则：矩形的长为， ∴， ∴当时，的最大值为； 综上：他们能围出的最大面积是米； 故答案为： ． 【分析】 分两种情况：矩形在以AB、BC为边围成的矩形的内部或外部，设矩形的宽为x，面积为y，建立二次函数，利用二次函数的性质求解即可。 10．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 即篮球在空中运行的最大高度为． 故答案为：3.6 【分析】先根据二次函数解析式转化为顶点式，进而根据二次函数的最值结合题意即可求解。 11．【答案】（1）1.4 （2）1.6 【解析】【解答】解：（1）乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为，过点， 设第一次运行路线所在的抛物线解析式为． 代入得，， 解得， ， 令，则 解得，（舍） ，即乒乓球第一次落地点距斜坡底端的距离为， 故答案为：； （2）乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为， 设． 代入得． 解得，（舍） ． 当时，， 解得， ∴为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上，小强将木板立在到斜坡底端O的最小距离是， 故答案为：． 【分析】（1）根据待定系数法结合“拋球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为”可求出第一次运行路线所在的抛物线解析式，再令解一元二次方程即可求解； （2）根据题意并运用待定系数法可求得第二次弹起的抛物线解析式，再求时对应的方程解即可得出答案。 12．【答案】②③④ 【解析】【解答】 解： ①图象经过(1， 1)，c<0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在(1， 0)的左侧，因为 (n，0) 中n≥3， 所以抛物线与x轴的一个交点一定在(3， 0)或(3， 0)的右侧， 所以抛物线的开口一定向下，即a<0， 把(1， 1)代入得： a+b+c=1，即b=1-a-c， 因为a<0，c<0，所以b>0， 故①错误； ②：a<0， b>0， c<0， >0， 方程的两 个根的积大于0，即mn>0， 因为 n≥3，所以 m>0， . 即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，所以抛物线的顶点在点(1， 1) 的右侧，所以 因为4a<0， ， 故②正确； ③因为m>0， 所以当n=3时， 所以抛物线对 称轴在直线x=1.5的右侧， 所以(1，1)到对称轴的距离大于(2， t)到对称轴的距离， 因为a<0，抛物线开口向下， 所以距离抛物线越近的函数值越大， 所以t>1， 故③正确； ④方程可变为 . 因为方程有两个相等的实数解， 因为把(1， 1)代入得a+b+c=1 即1-b=a+c， 所以， 即， 所以 ， a-c=0， 即a=c， 因为(m，0) ，(n，0) 在抛物线上， 所以m，n为方程ax-+bx+c=0的两个根， 所以 n≥3， 故④正确 综上，正确的结论有：②③④. 故答案为：②③④. 【分析】(1)根据图象经过（1，1），c<0，且抛物线与x轴的一个交点一定在(3，0)或（3，0）的右侧，判断出抛物线的开口方向，得出a的符号，再把（1，1）代入二次函数解析式中，适当变形可以判断①的正误； （2）先说明抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧是，可知抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，从而可得抛物线的顶点的纵坐标大于1，结合①中得出的a的符号，可判断②的正误； （3）先说明抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧是，可得（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，根据①中得出的a的符号，可得距离抛物线对称轴近的函数值的规律，就可以得出③的正误； （4）根据方程有两个相等的实数解，得到y=0时的一元二次方程的判断式=0，把（1，1）代入二次函数表达式中，得到关于a，b，c的关系式，说明a，c的关系，根据根与系数的关系得出m，n的关系，结合n≥3，可求出m的范围，从而可判断④的正误. 13．【答案】（1）解：根据题意得： （，为整数）， 答：这种水果批发价（元/千克）与购进数量（箱）之间的函数关系式为 （，为整数）； （2）解：设李大爷每天所获利润是元， 由题意得：， ，为正整数，且， 时，取最大值，最大值为（元）， 答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元. 【解析】【分析】（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元，进先列式即可； （2） 设李大爷每天所获利润是元， 根据总利润=每千克利润×销售量列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可. 14．【答案】（1）解：由题意知，A（0，2），P（10，6），B， 设抛物线解析式为y＝a（x-10）2+6， 把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2， 解得：， ∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为y＝（x-10）2+6； （2）解：此船不能通过，理由： 当y＝2+3＝5时，（x-10）2+6=5， 解得x＝5或x＝15， ∵15-5＝10＜12， ∴此船不能通过桥洞． 【解析】【分析】（1）先求出点A，点P，点B的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式，将A的坐标代入即可求得； （2）当y=5时得x的值，再计算出两个x的值的差的绝对值与12比较大小即可. 15．【答案】解：任务1：如图，以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系， 此时，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达为， 将代入得，， ∴抛物线的函数表达式为． （其他建系方式均可，按步给分） 任务2：当时，即将抛物线向上平移2.4个单位， 得． 令，则，解得：，（舍去）， ∴浇灌最大圆形区域面积为． 任务3：连结AC，如图： 由题意知AC过点O，， ∴， ∴要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，浇灌半径至少为5m． 设，此时抛物线函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴OP至少调节到1.5m． 【解析】【分析】（1）以O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，表示出点O和M以及顶点的坐标，可用两点式设函数表达式，代入顶点坐标求出a值，即可得表达式； （2）灌溉面积最大时，OP=2.4米，相当于将函数图象向上平移2.4个单位，求出新的函数表达式，令y=0，求解，即可得到最大灌溉半径，从而得到最大灌溉面积； （3）确定灌溉完整个矩形区域时的最大灌溉半径r，即矩形对角线的一半长，设水管调节高度为h，即向上平移h个单位，得到新的函数表达式，把半径r的值代入，即可得到调节高度h. 16．【答案】（1）解：，则； （2）解：，则，， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以花园的面积可等于，此时x的值为12； （3）解：①， （在点P与，的距离分别是和，，） 面积S与x的函数解析式为： ②，抛物线的开口向下，对称轴为 当时，S随x的增大而增大 当时，S取到最大值为：， 即当时，花园面积S最大，最大值为195平方米. 【解析】【分析】（1）由AB=xm，AB+BC=28，则BC=(28-x)m. （2）根据矩形的面积=AB·BC=192列出方程并解之即可； （3）利用（2）可得S=AB·BC=x（28-x），由点P与，的距离可得出6≤x＜13，再利用二次函数的性质求解即可. 17．【答案】（1）；v=-t+16 （2）解：， 当时， ，解得， ， 当时，， 当甲车减速至时，它行驶的路程是； （3）解：当时，甲车的速度为， 当时，两车之间的距离逐渐变大， 当时，两车之间的距离逐渐变小， 当时，两车之间距离最小， 将代入中，得， 将代入中，得， 此时两车之间的距离为：， 秒时两车相距最近，最近距离是． 【解析】【解答】解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点， 设二次函数表达式为， 二次函数经过，， ，解得：， 二次函数表达式为． 设一次函数表达式为， 一次函数经过，， ，解得：， 一次函数表达式为． 故答案为：，； 【分析】（1）由图可知：二次函数图象经过原点，设二次函数表达式为s=at2+bt，将（2，30）、（4，56）代入s中求出a、b的值，据此可得二次函数的表达式；设一次函数表达式为v=kt+c，将（0，16）、（8，8）代入v中求出k、c的值，据此可得一次函数的表达式； （2）令一次函数解析式中的v=9，求出t的值，然后将t的值代入二次函数解析式中可得s的值； （3）由题意可得当v=10m/s时，两车之间距离最小，将v=10代入一次函数解析式中求出t的值，然后将t的值代入二次函数解析式中求出s的值，据此不难求出此时两车之间的距离. 1 学科网（北京）股份有限公司 $