精品解析：辽宁沈阳市沈河区2025-2026学年下学期期末考试七年级数学

2025-2026下学期·期末考试·七年级（沈河区） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 2026年3月14日，我国北斗卫星导航系统在轨升级圆满完成，实现了全球首创的“太空远程迭代、不停机升级”，我国自主研发的北斗导航芯片也广泛应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，目前该芯片工艺已达到22纳米，其中，将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方的法则、单项式除以单项式的法则、积的乘方的法则进行计算，根据计算结果判断正误． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项正确； D、，故D选项错误． 4. 如图，将生活中的竹篱笆（图1）局部抽象为几何图形（图2），下列条件中，能判定直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．能判定直线，故该选项符合题意， B．不能判定直线，故该选项不符合题意， C．不能判定直线，故该选项不符合题意， D．不能判定直线，故该选项不符合题意． 5. 在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 角平分线、中线、高线 B. 角平分线、高线、中线 C. 中线、角平分线、高线 D. 高线、中线、角平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高线重合（也称三线合一） C. 从只有红球的袋子中摸出黄球是不可能事件 D. 掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7是必然事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质、等腰三角形的性质、事件的分类等知识分别进行判断即可 【详解】解：∵ 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等， ∴ A错误． ∵ 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线重合， ∴ B错误． ∵ 袋中只有红球，不可能摸出黄球， ∴ 该事件是不可能事件，C正确． ∵ 正方体骰子的点数最大为6，不可能出现点数7， ∴ 该事件是不可能事件，D错误． 7. 如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率，求出相应部分所占整体的几分之几是解决问题的关键． 求出黄色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 【详解】解：黄色区域圆心角：， ∴转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是：， 故选：C． 8. 三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（ ） A. 3 B. 3或4 C. 4或5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 9. 如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是【 】 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N， ∵点E是正方形的对称中心，∴EN=EM，EMBN是正方形． 由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL， 在Rt△ENK和Rt△EML中， ∠NEK=∠MEL，EN=EM，∠ENK=∠EML， ∴△ENK≌△ENL（ASA）． ∴阴影部分的面积始终等于正方形面积的，即它们重叠部分的面积S不因旋转的角度θ的改变而改变．故选B． 10. 如图，在中，，按以下步骤作图：① 以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，在分别以点、，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点② 以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，在分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6.5 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】解：由作图可知平分，， ，， ， ， ， ． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，有理数的乘方运算，掌握其运算法则是关键．先将转化为，再根据积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则 __________． 【答案】##度 【解析】 【分析】首先利用对顶角相等求出，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∵ ∴． 13. 小明有足够多的如图所示的正方形卡片，和长方形卡片，如果他要拼一个长为，宽为的大长方形，共需要类卡片______张． 【答案】11 【解析】 【分析】根据题意可得大长方形的面积为，再根据多项式乘以多项式运算法则进行计算即可解答． 【详解】解：由题意可得大长方形的面积为： ， ∵长方形卡片的面积为， ∴共需要类卡片11张． 14. 《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集，如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，若，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形性质得出，，利用对称性质得出，进而得到，利用等腰三角形性质求出，最后利用角的和差关系及对称性求解． 【详解】解：和为两个全等的等腰直角三角形， ，， ， 点与点关于直线对称， ，， ， ， ， ， ． 15. 如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，根据直角三角形两锐角互余的性质得出，进而证明，得出，，，根据得出，进而证明，得出，进而得出，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、单项式除单项式法则计算每一项，再合并同类项； （2）将看作整体，利用平方差公式展开后化简． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 化简求值：，其中， 【答案】， 【解析】 【详解】解： ； ，， 原式 ． 18. 完成下面推理过程：如图，点E在上，点F在上，已知，，求证：． 证明：∵（已知）， 又（________________________）， ∴（________________________）， ∴（________________________）， ∴（________________________）， ∵（已知）， ∴（________________）， ∴________（________________________）， ∴（________________________）． 【答案】 平角的定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行； 两直线平行，内错角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质．根据同角的补角相等得到，即可判定，根据平行线的性质等量代换得出，则，根据平行线的性质即可得解． 【详解】证明：∵（已知）， 又（平角的定义）， ∴（同角的补角相等）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 19. 在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共30个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）请估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）． （2）试估计袋子中有白球 个． （3）若小明和小颖同学想利用袋子里的小球做游戏，游戏规定：摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由，如果不公平，在不改变袋子中球总数量的前提下，你能通过改变不透明袋子中黑球或白球的颜色，使游戏变得公平吗？请给出一种合理的方案． 【答案】（1） （2） （3）不公平，合理方案：将袋子中3个黑球换成白球（答案不唯一）. 【解析】 【分析】（1）根据“频率的稳定性”原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率，注意题目要求“精确到0.1”，不能直接采用单次试验的频率作为结果，需观察频率的稳定值后按精确度要求取值； （2）由第（1）问可知，摸到黑球的概率约为0.6，因此可以估算出黑球的个数，进而估算出白球的个数； （3）游戏公平的判断标准是双方获胜的概率相等，通过计算比较使两种球个数相同即可求解． 【小问1详解】 观察表格中和时的频率分别为：0.603和0.602，非常接近； 可见当 增大时，频率稳定在0.6左右； 精确到 0.1，即保留一位小数，0.602 ≈ 0.6， 故答案为：0.6； 【小问2详解】 由（1）得 ， ∵总球数， ∴黑球数， ∴白球数，， 故答案为：12； 【小问3详解】 题中说摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，当前黑球数为18个，白球数为12个，所以这个游戏规则不公平．要使游戏公平，则应该使黑球数=白球数=15． 由于总数30不变，只需将黑球减少3个（或白球增加3个），即可实现公平． 将袋子中3个黑球涂成白色（答案不唯一），使黑白球各15个． 故答案为：将袋子中3个黑球涂成白色（答案不唯一）. 【点睛】本题考查了频率与概率的关系，通过试验频率推断袋中白球个数和游戏公平性判断及方案设计问题，解题的关键是理解频率与概率的关系和概率在生活实际问题中的应用． 20. 如图，在中，，． （1）请利用尺规作图法，在边上作一点（点不与点重合），使的三个内角分别是、、（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若点是的中点，连接，与相等吗？为什么？ 【答案】（1） （2）解：与相等,理由如下： ∵点是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，与的交点即为点； （2）根据线段的中点，得到，根据直角三角形中，角所对直角边等于斜边一半，得到，即可说明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 综合与实践 实践主题：我是城市建筑师 生活情境 我市在创建全国文明城市期间，在市区大道中间的隔离护栏处加装了花卉盆栽，其平面示意图如图所示，假如每个盆栽的宽度为1.2米，两个盆栽之间的距离为3米（支撑杆宽度忽略不计）． 数学数据 对该隔离栏的长度进行测量，得到如表数据： 根据上述材料解决以下问题： （1）根据表中数据的规律，表中 ， ． （2）设有个盆栽（），护栏总长度为米，则与的关系式为 ． （3）若在一条长度为165米的道路两旁加装花卉盆栽，请问共需要加装多少个花卉盆栽？ 【答案】（1）； （2）与的关系式为 （3）共需要加装80个花卉盆栽 【解析】 【分析】（1）观察表格数据发现，当盆栽个数为4个时，护栏总长度为盆栽个数为3个时的长加一个花盆长度和一个花盆间距3米，当盆栽个数为6个时，护栏总长度为盆栽个数为5个时的长加一个花盆长度和一个花盆间距3米，分别计算即可得、的值． （2）观察表格数据发现，当盆栽个数，每增加一个盆栽，护栏总长度为米就增加一个盆栽的宽度1.2米和两个盆栽之间的距离3米，根据此规律列式化简即可得与的关系式． （3）根据与的关系式，把代入解析式，解出即可求出道路两旁需要加装的花卉盆栽个数． 【小问1详解】 解：观察表格数据发现：当盆栽个数为4个时，护栏总长度是在盆栽个数为3个的基础上，增加一个盆栽的宽度1.2米和两个盆栽之间的距离3米， ∴（米）． 当盆栽个数为6个时，护栏总长度是在盆栽个数为5个的基础上，增加一个盆栽的宽度1.2米和两个盆栽之间的距离3米， ∴（米）． 【小问2详解】 解：观察表格数据发现： 当盆栽个数，每增加一个盆栽，护栏总长度为米就增加一个盆栽的宽度1.2米和两个盆栽之间的距离3米， ∴， ∴， ∴与的关系式为． 【小问3详解】 解：根据（2）得与的关系式为， 当米时，，解得：， ∴在一条长度为165米的道路两旁加装花卉盆栽，共需要加装的盆栽个数为： （个）， ∴在一条长度为165米的道路两旁加装花卉盆栽，共需要加装80个花卉盆栽． 22. “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如图1，一个长为、宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形 （1）根据图1和图2，直接写出、、之间的一个等量关系 ． （2）利用（1）中的结论解决下列问题： ①若，，求的值． ②如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为51，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）①利用（1）的结论进行解答即可；②设，，则，根据，图中阴影部分面积为51，可得，，由（1）可得，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：图2整体上是边长为的正方形，面积为，中间小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积为， ； 【小问2详解】 解：①由（1）可得，， ， ， ； ②设，则， ，图中阴影部分面积为51， ， 由（1）可得，， ， ， ，即， 的值为． 23. 【教材呈现】如图为北师大版七年级下册数学教材第117页的部分内容 小沈同学在学习全等三角形的时候发现：当题目中存在“一边一角”的情况时，可以通过添加辅助线“造边”或“造角”构造全等三角形解决问题． （1）【操作发现】如图1，已知，小沈同学想通过直接添加一组线段相等，证明，则这个条件是（ ） A. B. C. D. （2）【探究说理】如图2，在四边形中，，，，求证：． （3）【拓展应用】如图3，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，，当，，求的值． 【答案】（1）D （2）证明：如图所示，在上截取，连接， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）利用证明三角形全等即可解决； （2）在上截取，连接，先证明，得到，，推出，得到，即可证明； （3）延长至点，使，连接，先证明，得到，，根据角与角的数量关系，推出，得到，从而证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：添加， 在和中 ， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，延长至点，使，连接， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026下学期·期末考试·七年级（沈河区） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年3月14日，我国北斗卫星导航系统在轨升级圆满完成，实现了全球首创的“太空远程迭代、不停机升级”，我国自主研发的北斗导航芯片也广泛应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，目前该芯片工艺已达到22纳米，其中，将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将生活中的竹篱笆（图1）局部抽象为几何图形（图2），下列条件中，能判定直线的是（ ） A. B. C. D. 5. 在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 角平分线、中线、高线 B. 角平分线、高线、中线 C. 中线、角平分线、高线 D. 高线、中线、角平分线 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高线重合（也称三线合一） C. 从只有红球的袋子中摸出黄球是不可能事件 D. 掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7是必然事件 7. 如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（ ） A. 3 B. 3或4 C. 4或5 D. 6 9. 如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是【 】 A. B. C. D. 10. 如图，在中，，按以下步骤作图：① 以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，在分别以点、，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点② 以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，在分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6.5 C. 7 D. 8 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则 __________． 13. 小明有足够多的如图所示的正方形卡片，和长方形卡片，如果他要拼一个长为，宽为的大长方形，共需要类卡片______张． 14. 《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集，如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，若，则 __________． 15. 如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1） （2） 17. 化简求值：，其中， 18. 完成下面推理过程：如图，点E在上，点F在上，已知，，求证：． 证明：∵（已知）， 又（________________________）， ∴（________________________）， ∴（________________________）， ∴（________________________）， ∵（已知）， ∴（________________）， ∴________（________________________）， ∴（________________________）． 19. 在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共30个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）请估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）． （2）试估计袋子中有白球 个． （3）若小明和小颖同学想利用袋子里的小球做游戏，游戏规定：摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由，如果不公平，在不改变袋子中球总数量的前提下，你能通过改变不透明袋子中黑球或白球的颜色，使游戏变得公平吗？请给出一种合理的方案． 20. 如图，在中，，． （1）请利用尺规作图法，在边上作一点（点不与点重合），使的三个内角分别是、、（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若点是的中点，连接，与相等吗？为什么？ 21. 综合与实践 实践主题：我是城市建筑师 生活情境 我市在创建全国文明城市期间，在市区大道中间的隔离护栏处加装了花卉盆栽，其平面示意图如图所示，假如每个盆栽的宽度为1.2米，两个盆栽之间的距离为3米（支撑杆宽度忽略不计）． 数学数据 对该隔离栏的长度进行测量，得到如表数据： 根据上述材料解决以下问题： （1）根据表中数据的规律，表中 ， ． （2）设有个盆栽（），护栏总长度为米，则与的关系式为 ． （3）若在一条长度为165米的道路两旁加装花卉盆栽，请问共需要加装多少个花卉盆栽？ 22. “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如图1，一个长为、宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形 （1）根据图1和图2，直接写出、、之间的一个等量关系 ． （2）利用（1）中的结论解决下列问题： ①若，，求的值． ②如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为51，求的值． 23. 【教材呈现】如图为北师大版七年级下册数学教材第117页的部分内容 小沈同学在学习全等三角形的时候发现：当题目中存在“一边一角”的情况时，可以通过添加辅助线“造边”或“造角”构造全等三角形解决问题． （1）【操作发现】如图1，已知，小沈同学想通过直接添加一组线段相等，证明，则这个条件是（ ） A. B. C. D. （2）【探究说理】如图2，在四边形中，，，，求证：． （3）【拓展应用】如图3，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，，当，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $