精品解析：河北省石家庄市第三十八中学2025-2026学年八年级上学期开学数学试题

初二年级数学学科假期作业检测 时间：60分钟 总分：100分 1. 约分： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了约分，正确化简分式是解题关键． （1）直接利用分式的性质化简得出答案； （2）直接将分子与分母因式分解，进而化简得出答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 2. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式约分后即可得到结果； （2）原式将除法转换为乘法，约分后即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 3. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）将原式中的除法转换为乘法后进行约分即可得到结果； （2）将原式中的除法转换为乘法后进行约分即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 4. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据除法法则变形后，将分子分母因式分解后约分可得结果； （2）原式将分子分母因式分解后约分可得结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 5. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式运用同分母分式加减法法则进行计算即可； （2）原式先进行分式变形，再运用同分母分式加减法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 6. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减法，熟练掌握运算解答本题的关键． （1）将原式化为分母都是的形式，再利用同分母分式加减法的计算法则计算即可； （2）原式两项分别约分化为整式后，再进行整式减法运算即可得到结果． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 7. 如图，圆柱的体积．其中，为圆柱的底面积，为圆柱的高． 当圆柱底面的半径扩大为原来的倍而高不变时，变化后圆柱的体积是原来的多少倍； 当圆柱的底面积扩大为原来的倍，而体积不变时，变化后圆柱的高是原来的几分之一． 【答案】(1)倍;(2) 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的体积、底面积公式分析即可；（2）根据圆柱的体积公式分析即可. 【详解】(1)当圆柱底面的半径扩大为原来的a倍，则底面积扩大为原来的a2倍，而高不变时，变化后圆柱的体积是原来的a2倍； (2)当圆柱的底面积扩大为原来的a倍，而体积不变时，变化后圆柱的高是原来的． 【点睛】本题主要考查圆柱的底面积、体积计算公式. 8. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： （1）接力中，自己负责的一步出现错误的是 A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 （2）请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，-2”中选择一个合适的数求值． 【答案】（1）D （2）， 【解析】 【分析】（1）根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断． （2）化简之后的结果选择一个有意义的数代入求值即可． 【小问1详解】 出现错误是在乙和丁， 故选：D． 【小问2详解】 ， 根据分式有意义的条件可得且， 即只能从和中选择一个， 代入，得出结果为． 【点睛】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则． 9. 先化简：，然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值． 【答案】x+1，3 【解析】 【分析】利用分解因式、完全平方公式以及通分法化简原分式，再分析给定的数据中使原分式有意义的x的值，将其代入化简后的算式中即可得出结论． 【详解】解：原式= =x+1． ∵在﹣1，0，1，2四个数中，使原式有意义的值只有2， ∴当x=2时，原式=2+1=3． 10. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式 …… 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②，③ （2）解：甲同学的解法： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 【解析】 【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可； 乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 11. 甲、乙两地相距，汽车从甲地到乙地以每小时行驶的速度行驶，可按时到达，若每小时多行驶，则汽车可提前几小时到达？ 【答案】汽车可提前小时到达 【解析】 【分析】本题考查列代数式,提前的时间=原计划所用时间-实际所用时间，把相关数值代入即可． 【详解】解：原计划所用时间为， 实际所用时间为， 故实际比计划提前到达． 答：汽车可提前小时到达． 12. 【阅读理解】我们在比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 （1）若，试判断： 0（填“”，“”或“”）； （2）已知，，当时，试比较与B的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用分式的加减法则计算后进行判断即可； （2）根据题意列式后利用分式的加减法则计算，然后进行判断即可． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 13. 定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ．（填序号） （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． （3）先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）①③④ （2） （3）结果是“和谐分式”, 当时，该式的值为整数． 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义解答即可； （2）根据“和谐分式”的定义把分式化简即可； （3）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式为整数求出x的值即可． 【小问1详解】 解：①，故是“和谐分式”； ②不符合和谐分式定义，故不是“和谐分式”； ③，故是“和谐分式”； ④，故是“和谐分式”； 属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ∵该式的值为整数， ∴，， 解得或或1或， 又，1，，， ∴， 即当时，该式的值为整数． 14. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键． （1）方程两边同时乘化成整式方程，然后解这个方程并检验即可； （2）方程两边同时乘化成整式方程，然后解这个方程并检验即可． 【小问1详解】 解：， ∴ 方程两边同时乘， 可得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 【小问2详解】 解：， ∴， 方程两边同时乘， 可得：， 整理得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． 15. 若分式方程有增根，且方程无解． （1）方程的增根是　　　　； （2）求出分式方程中“？”所代表的数． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据分式方程增根的定义即可得出答案； （）将分式方程去分母得到整式方程，再把代入计算即可； 本题考查了分式方程的增根，理解分式方程增根的定义，掌握分式方程的解法是正确解题的关键． 【小问1详解】 由分式方程增根的定义可知，这个分式方程的增根是， 故答案为：； 【小问2详解】 将关于的分式方程的两边都乘以， 得：， 把代入得，． 16. 已知关于x的分式方程，当m为何值时，分式方程无解？ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解分式方程、分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当无解时该分式方程有增根， ∴， ∴； ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得． 综上，当或时，分式方程无解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级数学学科假期作业检测 时间：60分钟 总分：100分 1. 约分： （1） （2） 2. 计算： （1） （2） 3. 计算： （1） （2） 4. 计算： （1） （2） 5. 计算： （1） （2） 6. 计算： （1） （2） 7. 如图，圆柱的体积．其中，为圆柱的底面积，为圆柱的高． 当圆柱底面的半径扩大为原来的倍而高不变时，变化后圆柱的体积是原来的多少倍； 当圆柱的底面积扩大为原来的倍，而体积不变时，变化后圆柱的高是原来的几分之一． 8. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： （1）接力中，自己负责的一步出现错误的是 A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 （2）请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，-2”中选择一个合适的数求值． 9. 先化简：，然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值． 10. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式 …… 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 11. 甲、乙两地相距，汽车从甲地到乙地以每小时行驶的速度行驶，可按时到达，若每小时多行驶，则汽车可提前几小时到达？ 12. 【阅读理解】我们在比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 （1）若，试判断： 0（填“”，“”或“”）； （2）已知，，当时，试比较与B的大小，并说明理由． 13. 定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ．（填序号） （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． （3）先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当x取什么整数时，该式的值为整数． 14. 解方程： （1） （2） 15. 若分式方程有增根，且方程无解． （1）方程的增根是　　　　； （2）求出分式方程中“？”所代表的数． 16. 已知关于x的分式方程，当m为何值时，分式方程无解？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $