精品解析：河北省石家庄市长安区河北联邦外国语学校2025-2026学年八年级上学期作业质量检测数学试题

2025-2026学年第一学期初二数学开学作业检测八年级数学试卷 考试时间：90分钟 试卷满分：120分 一．选择题（本题共12小题，每题3分，共36分） 1. 下列计算，正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 二元一次方程的正整数解有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 3. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若不等式组有解，则m值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 一副三角板按图所示方式叠放，若FEBC，则∠α等于（ ） A. 75° B. 95° C. 105° D. 115° 6. 如果是一个完全平方式，则实数的值是（ ） A 16 B. －16 C. D. 7. 若多项式与的乘积中不含的一次项，则的值( ) A B. 2 C. D. -2 8. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　　　） A. 60° B. 10° C. 45° D. 10°或60° 9. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，若将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 11. 某校在为贫困学生献爱心活动中，已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，且两个年级人均捐款额恰好相等．设八年级捐款人数为x人，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在三角形中，，平分，，，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（本题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 三角形的三边长分别为5，a，10，则a的取值范围是______． 14. 已知a，b，c是的三边，，则的形状是 ___． 15. 对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有_____个． 16. 将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的的值为_______． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 计算题 （1）； （2）； （3）． 18. （1）解方程组：． （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． （3）解分式方程：． （4）先化简，再求值：，其中． 19. 计算下列各式： （x﹣1）（x+1）=　 　； （x﹣1）（x2+x+1）=　 　； （x﹣1）（x3+x2+x+1）=　 　； … （1）根据以上规律，直接写出下式的结果：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=　 　； （2）你能否由此归纳出一般性的结论　 　（其中n为正整数）； （3）根据（2）的结论写出1+2+22+23+24+…+235的结果． 20. 如图，在中，点D，E分别在，上，且，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 21. 下面是小博同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成下面的任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）在以上化简步骤中，第________步有错，错误的原因是__________； （2）请写出该分式化简的正确过程． 22. 某校计划购买篮球和排球两种球若干．已知购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球费用与购买5个排球的费用相同． （1）求篮球和排球的单价； （2）该校计划购买篮球和排球共30个．某商店有两种优惠活动（两种优惠活动不能同时参加），活动一：一律打九折，活动二：购物不超过600元时不优惠，超过600元时，超过600元的部分打八折．请根据以上信息，说明选择哪一种活动购买篮球和排球更实惠． 23. 现有甲，乙，丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲，乙纸片各1块，其面积和为 ． （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块． （3）从这些纸片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形请画出所拼的长方形． 24. 【初步认识】 （1）如图①，在△ABC中，BO、CO分别平分、．求证：． 【继续探索】 （2）如图②，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，设，．BO、DO分别平分、． ①若，，求的度数； ②用含m、n的式子直接表示的度数为______°． （3）如图③，BO、CO分别平分、．射线CO与的平分线所在的直线相交于点H（不与点D重合）．直接写出点H在不同位置时，与之间满足的数量关系（用含m、n的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期初二数学开学作业检测八年级数学试卷 考试时间：90分钟 试卷满分：120分 一．选择题（本题共12小题，每题3分，共36分） 1. 下列计算，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分析得出答案． 详解】解：A、无法计算，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键． 2. 二元一次方程的正整数解有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】C 【解析】 【分析】通过将方程变形，得到用x的代数式表示y，利用倍数逻辑关系，枚举法可得． 【详解】解：∵由3x+2y=20 可得，2y=20−3x， y=10−x ，x，y 是正整数． ∴根据题意，x是2的倍数， 则或或，共有3组． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的正整数解．将方程变形为用未知数x表示y的形式，便于求得二元一次方程的正整数解． 3. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 4. 若不等式组有解，则m的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组有解可得的取值范围，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 这个不等式组有解， ， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 5 一副三角板按图所示方式叠放，若FEBC，则∠α等于（ ） A. 75° B. 95° C. 105° D. 115° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，再根据三角形外角的性质即可得到所求的角度数． 【详解】解：如图所示： FEBC， ， ， ， 在的三角板中，， 是的一个外角， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是求角度问题，涉及到平行线的性质、三角形外角的性质及直角三角板的特殊性，用到的知识点为：三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和． 6. 如果是一个完全平方式，则实数的值是（ ） A. 16 B. －16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可得． 【详解】解：由题意得：， 即， 则， 所以， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键． 7. 若多项式与的乘积中不含的一次项，则的值( ) A. B. 2 C. D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式法则求出乘积，再根据“乘积中不含的一次项”可得的一次项的系数等于0，由此即可得． 【详解】解： ， 多项式与的乘积中不含的一次项， ， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 8. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　　　） A. 60° B. 10° C. 45° D. 10°或60° 【答案】D 【解析】 【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC=90°或∠ACD=90°，根据三角形的内角和定理可得结论． 【详解】分两种情况： ①如图1，当∠ADC=90°时， ∵∠B=30°， ∴∠BCD=90°-30°=60°； ②如图2，当∠ACD=90°时， ∵∠A=50°，∠B=30°， ∴∠ACB=180°-30°-50°=100°， ∴∠BCD=100°-90°=10°， 综上，则∠BCD的度数为60°或10°； 故选D； 【点睛】此题考查三角形的内角和定理和三角形外角的性质，分情况讨论是本题关键． 9. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，若将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长DC交AE于点F，根据平行线的性质得，进而利用外角即可得． 【详解】解：如图所示，延长DC交AE于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，外角的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 10. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用分式的性质化简，进而判断得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．是最简分式，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了最简分式，解题的关键是正确掌握最简分式的定义． 11. 某校在为贫困学生献爱心活动中，已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，且两个年级人均捐款额恰好相等．设八年级捐款人数为x人，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，八年级人数为x，则七年级人数为（x-20），人均捐款额=，分别表示出七年级和八年级得人均捐款额，列出方程即可． 【详解】根据题意，找出等量关系： 设八年级捐款人数为x人 人数 捐款总额 人均捐款额 七年级 x-20 4800 八年级 x 5000 ∵两个年级人均捐款额恰好相等 ∴可得方程 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确的理解题意，找出等量关系是列出方程的关键．借助表格可以将题目的数据和信息清晰的展示出来． 12. 如图，在三角形中，，平分，，，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、余角的性质等来判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，而与不一定垂直， ∴不一定成立，故③错误； ∵， ∴和互余，和互余，而， ∴，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及余角的性质等的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 二．填空题（本题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 三角形的三边长分别为5，a，10，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 14. 已知a，b，c是的三边，，则的形状是 ___． 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】把给出的式子两边加上，分解因式，分析得出，才能说明这个三角形是等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， ∴， 所以此三角形是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了学生对等腰三角形的判定，即两边相等的三角形为等腰三角形，配方法的应用是解题关键． 15. 对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有_____个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据符号[x]的定义即可列出不等式进行求解. 【详解】∵ ∴5＞≥4 解得＞≥7 整数有7,8,9,共3个. 【点睛】此题主要考查不等式的整数解，解题的关键是根据题意列出不等式组. 16. 将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的的值为_______． 【答案】30或120##120或30 【解析】 【分析】根据题意得，，（1）如图1，当时，延长交于点P，分两种情况讨论：①在上方时，②在下方时，，列式求解即可；（2）当时，延长交于点I，①在上方时，，②在下方时，，列式求解即可． 【详解】解：由题意得，，， （1）如图1，当时，延长交于点， ①在上方时， ，，， ， ， ， ， ， 即， ； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， （不符合题意，舍去）； （2）当时，延长交于点I， ①在上方时，， ，， ， ， ， ， ， 即， ； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， （不符合题意，舍去）， 综上，所有满足条件的的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线的性质、旋转的性质，掌握平行线的性质并正确分情况讨论是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 计算题 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查单项式的乘除运算，积的乘方，零次幂，平方差公式等，正确计算是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再按单项式乘除运算法则计算； （2）先计算乘方，零指数幂，再逆用同底数幂的乘法法则计算，即可求解； （3）利用平方差公式进行简便计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. （1）解方程组：． （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． （3）解分式方程：． （4）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），其中整数解为：，0，1；（3）；（4）， 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解分式方程，整式的混合运算及求值： （1）利用加减消元法求解； （2）先求出各不等式的解集，找出解集的公共部分即可； （3）将分式方程化成整式方程，解整式方程，检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根； （4）先计算平方差、完全平方，合并同类项，再将整体代入求值． 【详解】解：（1） 得：， 解得， 将代入，得：， 解得， 所以该方程组的解为：； （2） 解不等式，得：， 解不等式，得：， 所以该不等式组的解集为：，其中整数解为：，0，1； （3）， 等号两边同乘，得：， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； （4） ， 由得：， 所以原式． 19. 计算下列各式： （x﹣1）（x+1）=　 　； （x﹣1）（x2+x+1）=　 　； （x﹣1）（x3+x2+x+1）=　 　； … （1）根据以上规律，直接写出下式的结果：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=　 　； （2）你能否由此归纳出一般性的结论　 　（其中n为正整数）； （3）根据（2）的结论写出1+2+22+23+24+…+235的结果． 【答案】x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；（1）x7﹣1；（2）xn﹣1；（3）236﹣1． 【解析】 【分析】根据多项式相乘法则计算即可； （1）根据上述规律写出结果即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】解：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1； 故答案为：x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1； （1）由上面算式可知，（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1； 故答案为：x7﹣1； （2）xn﹣1； 故答案为：xn﹣1； （3）1+2+22+23+24+…+235 =（2﹣1）（235+234+233+…+2+1） =236﹣1． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 如图，在中，点D，E分别在，上，且，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的判定和性质等知识点，能熟记平行线的性质和判定定理是解此题的关键． （1）根据平行线的性质得出，求出，再根据平行线的判定得出即可； （2）根据平行线的性质得出，求出，根据角平分线的定义求出，再求出即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 21. 下面是小博同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成下面的任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）在以上化简步骤中，第________步有错，错误的原因是__________； （2）请写出该分式化简的正确过程． 【答案】（1）二，去括号时符号错误 （2）-m-1． 【解析】 【分析】（1）分析分式化简的各个步骤，不难发现错误； （2）先通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分即可． 【小问1详解】 解：在以上化简步骤中，第二步有错，错误的原因是去括号时符号错误； 故答案为：二，去括号时符号错误； 小问2详解】 解： =-（m+1） =-m-1． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 22. 某校计划购买篮球和排球两种球若干．已知购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同． （1）求篮球和排球的单价； （2）该校计划购买篮球和排球共30个．某商店有两种优惠活动（两种优惠活动不能同时参加），活动一：一律打九折，活动二：购物不超过600元时不优惠，超过600元时，超过600元的部分打八折．请根据以上信息，说明选择哪一种活动购买篮球和排球更实惠． 【答案】（1）篮球每个50元，排球每个30元；（2）当0＜m＜15时，选择活动一更实惠；当m=15时，两个活动一样实惠；当m＞15时，选择活动二更实惠 【解析】 【分析】根据球的总个数，及总的价格建立二元一次方程组，求解即可. 设购买篮球m个，列出两种活动的付款金额，再根据情况分类讨论，从而得到结果. 【详解】（1）设篮球每个x元，排球每个y元，根据题意得： 2x+3y=190且3x=5y 解得x=50，y=30. 答：篮球每个50元，排球每个30元； （2）设购买篮球m个，则购买排球（30﹣x）个， 价值：50m+30（30﹣m）=900+20m 因为900+20m＞600，所以可以参加活动二； 按活动一需付款：0.9（900+20m）=810+18m； 按活动二付款：600+0.8（900+20m﹣600）=840+16m； 若活动一更实惠：810+18m＜840+16m， m＜15； 若活动一和活动二一样实惠：810+18m=840+16m， m=15； 若活动二更实惠：810+18m＞840+16m， m＞15； 综上所述，当0＜m＜15时，选择活动一更实惠； 当m=15时，两个活动一样实惠； 当m＞15时，选择活动二更实惠． 【点睛】找到等量关系列出方程组和不等式是解题的关键. 23. 现有甲，乙，丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲，乙纸片各1块，其面积和 ． （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块． （3）从这些纸片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形请画出所拼的长方形． 【答案】（1） （2）6 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，灵活运用公式． （1）直接利用正方形面积公式进行计算即可； （2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可； （3）把原式进行因式分解可得所拼的长方形的长为，宽为，即可解答． 【小问1详解】 解：取甲，乙纸片各1块，其面积和为； 故答案为： 【小问2详解】 解：∵甲纸片1块和乙纸片9块的面积之和为：，且是完全平方式， ∴要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形时，还需取丙纸片6块， 故答案为：6． 【小问3详解】 解：∵， ∴所拼的长方形的长为，宽为， 画出所拼的长方形为 24. 【初步认识】 （1）如图①，在△ABC中，BO、CO分别平分、．求证：． 【继续探索】 （2）如图②，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，设，．BO、DO分别平分、． ①若，，求的度数； ②用含m、n的式子直接表示的度数为______°． （3）如图③，BO、CO分别平分、．射线CO与的平分线所在的直线相交于点H（不与点D重合）．直接写出点H在不同位置时，与之间满足的数量关系（用含m、n的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2）①；② （3）当点H在△ABC内时，，当点H在△ABC外时，． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，即可求解． （2）根据（1）的模型代入计算即可求解； （3）根据题意分类讨论，当点H在△ABC内时，当点H在△ABC外时，分别根据三角形的内角和定理计算，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵BO、CO分别平分、， ∴，．∵， ∴． ∵，∴． ∴． 【小问2详解】 根据第（1）问建立模型，延长DE、BC交于点F，可将图②补形成下图： ①由题（1）可知． ∵， ，， ∴． ∴． ②同理可得：； 【小问3详解】 当点H在△ABC内时，， 设交于点， 当点H在△ABC外时，． 如图，设交于点， 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定义与三角形的外角的性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $