第26章二次函数章末检测卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册人教版第26章二次函数章末检测卷，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，融合无人机飞行、风筝模型等现实情境，考查二次函数图像性质、最值、实际应用及新定义问题，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|9题/27分|对称轴应用、增减性判断、图像与系数关系|结合物流无人机轨迹（第6题）考查最值，体现数学眼光| |填空题|6题/18分|最值计算、新定义“k倍界函数”（第15题）|通过表格数据（第13题）考查方程与函数关系，培养数据意识| |解答题|5题/55分|解析式求解、动点面积（第9题）、函数综合应用（第20题）|以风筝模型（第18题）、相异点新定义（第19题）设计综合题，发展推理能力与创新意识|

第26章二次函数章末检测卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则这个函数图象必过点（     ） A． B． C． D． 2．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．二次函数图象的顶点坐标为，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5．对于二次函数（），下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则一元二次方程有两个不相等的实数根 C．若，则二次函数的图象与坐标轴的交点个数是2或3 D．若，则一元二次方程有两个不相等的实数根 6．如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 7．已知抛物线与，过原点O的直线l与抛物线，的另一个交点分别为，，如果，则m的值为（     ） A．或 B．或1 C．或 D．或1 8．如图，，是边上的一动点，并以的速度沿的方向运动，为内的一点，连接，设点运动时间为，，图是关于的函数的部分图象，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C．图象过点 D．图象过点 9．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积随的增大而减小； ③在点，运动的过程中，的最大面积为； ④有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 10．在函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 11．已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为，则的取值范围是_____． 12．已知抛物线，则当时，函数的最大值与最小值的差为______． 13．已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 2 4 5 7 0 则关于的一元二次方程的解为_____． 14．如图，抛物线与轴交于、两点，在的左侧，与轴交于，点为对称轴右侧的抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点正好落在对称轴上，则点的坐标______． 15．定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 三、解答题 16．已知，二次函数的图象经过点，抛物线对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)若是该二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标，求的值． 17．在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 18．如图1是某工作室设计的一款巨型龙头风筝模型草图，其外轮廓近似呈抛物线形状，如图2，风筝的主体横杆（底部）长度为12米（即米）．点为的中点，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，该风筝模型的外轮廓近似满足关系式（为常数）．为了让风筝飞行更稳定，需要在骨架内侧绑定一个矩形排线盒，排线盒的下边缘固定在上（、关于轴对称），并用木杆（宽度不计）、将其固定，点、分别在、的延长线上，且点、均在抛物线上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知米，请求出的长度． 19．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标互为相反数，则称点P为相异点．例如：，，等都是相异点． (1)判断函数的图象上是否存在相异点，若存在，求出其相异点的坐标： (2)若二次函数的图象上有且只有一个相异点． ①求a、c的值： ②在①的条件下，若时，函数的最小值为2，最大值为11，求实数t的取值范围． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线（）与抛物线相交于，两点．，两点在抛物线上，且． (1)若点的坐标为，求的值和点的坐标； (2)在（1）的条件下，记，两点的横坐标分别为，（），当时，函数总在处取得最大值，求的取值范围； (3)若，直线，的交点恰好落在轴正半轴上，求点的坐标和的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第26章二次函数章末检测卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A C C D D C A D B 1．A 【分析】利用二次函数图象关于对称轴对称的性质，求出已知点关于对称轴的对称点，即可得到函数必过的点. 【详解】解：∵二次函数的图象关于对称轴对称，点在函数图象上， ∴点关于直线的对称点也在该函数图象上， 设对称点的横坐标为，则， 解得，纵坐标不变为，即对称点为， 因此这个函数图象必过点. 2．C 【分析】根据二次函数的性质，结合题目给出的两个条件列出关于的不等式组，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线开口向上，当时，， ∴将代入解析式得：， 化简得，解得， ∵当时，随的增大而增大，开口向上的二次函数对称轴右侧随增大而增大， ∴抛物线对称轴不大于， ∵抛物线对称轴为， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是． 3．C 【分析】本题已知二次函数顶点坐标，利用二次函数顶点横坐标公式和顶点在函数图象上的性质，联立求出和的值，再逐一判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 整理得，即，故A选项正确； 顶点在二次函数的图象上 将代入函数得 整理得 将代入得， 解得，故D选项正确； 将代入得，故C选项错误； 验证B选项：，故B选项正确． 4．D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 5．D 【分析】根据根的判别式和二次函数图象性质逐个判断选项，即可找出错误说法 【详解】解：对选项A，∵ ，即当时，， ∴ 二次函数图象与轴有交点，故，A正确； 对选项B，∵， ∴ 判别式 ， ∵ ， ∴，即， ∴ 一元二次方程有两个不相等的实数根，B正确； 对选项C，∵ ， ∴ 二次函数图象与轴有2个不同交点， 若，则图象过原点，与坐标轴交点共2个； 若，图象与轴交于非原点，与坐标轴交点共3个，故交点个数是2或3，C正确； 对选项D，举反例：取，满足， 此时一元二次方程为，即，无实数根，因此D错误 6．C 【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，得到 ，把代入解析式，确定值即可． 【详解】根据题意得 ， 抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为． 7．A 【分析】设过原点的直线方程，联立两个抛物线得到交点坐标，利用两点间距离公式列方程求解m即可． 【详解】解：设过原点的直线为，， 联立直线与抛物线，消去y得：，解得：， ∴的横坐标为，代入得：， ∴， 同理联立直线与抛物线得：的坐标为， ∴根据两点间距离公式可得： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴约去公因式得，整理得， 解得：，， 经检验：，都是方程的解， ∴的值为或． 8．D 【分析】分别求出两段抛物线的解析式，再逐一判断即可求解． 【详解】解：如图，分别为点运动时所处的位置，由图可知点在上，点在上，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由图可知，当点运动在图对应的点为，点为第一段抛物线的顶点， ∴， 设第一段抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴第一段抛物线的解析式为， 当时，， ∴，故选项错误； ∵，， ∴， ∴， 由图可知，当点运动在图对应的点为，点为第二段抛物线的顶点， ∴， 同理可得第二段抛物线的解析式为， 由，解得， ∴， ∴，故选项错误； 把代入，得， ∴图象过点，故选项错误； 把代入，得， ∴图象过点，故选项正确． 9．B 【分析】根据题意分段讨论点的位置，分别计算的长度和的面积表达式，进而判断各个结论的正确性． 【详解】解：由题意可知，点到达点所需时间为， 点到达点所需时间为， 运动时间的取值范围是． 当时，点运动的路程为，即， 点在上； 点运动的路程为， ∵， ∴点在上，且， ∴，故①正确； ②当时，点在上，点在上， 此时，， ∴， 的高为， ∴， 当时，，随的增大而减小； 当时，，随的增大而增大，故②错误； ③当时，点在上，，点在上，， 此时以为底，为高， ∴，， ∴当时，取得最大值； 当时，由②知， 当时，；当时，；当时，， ∴此阶段的最大值为， 综上，的最大面积为，故③正确； ④当时，令，解得（负值舍去），符合题意； 当时，令，解得， ∴或， 解得或，均符合题意， ∴共有个不同的值满足条件，故④错误． 综上所述，正确的结论有①③，共个． 10．1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据二次函数的性质得到m的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：函数是开口向上的二次函数，其对称轴为直线， ∵开口向上的二次函数，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴m的值可以是1． 11． 【分析】先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】解：对于二次函数， 对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 当时，当时，随的增大而减小； 当时，取得最大值，最大值为； 当时，取得最小值，最小值为； 函数的最大值与最小值的和为， ，解得， 与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； 当时，此时当时取得最小值，最小值为； 当时取得最大值， 最大值为， 此时最大值与最小值的和为， 符合题意； 当时，此时当时取得最小值，最小值为； 当时取得最大值， 最大值为， 函数的最大值与最小值的和为， ，解得或， 与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； 综上，的取值范围为：． 12．4 【分析】把解析式化为顶点式得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，则可确定当时，函数有最大值，求出最大值，再根据顶点坐标得到最小值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴在满足的条件下，当时，函数有最大值，最大值为， ∵， ∴函数的最小值为， ∴当时，函数的最大值与最小值的差为． 13．， 【分析】先根据表格中y值相等的点求出二次函数的对称轴，再利用对称性得到对应的另一个的值，即可得到一元二次方程的解 【详解】解：根据表格可得，点，都在二次函数的图象上， 二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得，当时，， 点关于对称轴的对称点为， 关于的一元二次方程的解是. 14．或 【分析】求得点B的坐标为，过点P作轴，交抛物线对称轴于点F，设点P的坐标为，证明，得到，，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵， 对称轴为直线， 令，则， 解得：，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 设抛物线对称轴与x轴交于点E，过点P作轴，交抛物线对称轴于点F，如图所示． 设点P的坐标为，则，． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴，即或， 解得：（舍去），，， ∴点P的坐标为或． 15．或 【分析】先求出关于x的二次函数图象的对称轴为直线，得到当或时，二次函数的函数值相等，分和两种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴关于x的二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当或时，二次函数的函数值相等， 当时，二次函数有最小值为， 在范围内，当或时，有最大值为， ∵二次函数是在范围内的“2倍界”函数， ∴， ∴； 当时，二次函数有最大值为， 在范围内，当或时，有最小值为， ∴， ∴； 综上，或． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用已知点坐标求出常数项，再根据二次函数对称轴公式求出，即可得到二次函数解析式； （2）根据是二次函数与轴交点横坐标，得到满足的方程，通过降次变形化简所求代数式，消去含的项后即可计算出结果． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， 将代入解析式得， ∵抛物线对称轴为直线，二次函数中，对称轴公式为， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：∵是二次函数图象与轴交点的横坐标， ∴， 当时，， ∴， 等式两边同时除以得，即， 由得， ， ∴， 代入得：， ∴， ∴， 代入得：， ∴． 17．(1) (2)，    (3)的值为6或2 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）利用配方法化成顶点式即可得到二次函数图象的顶点坐标，根据描点法画出图象即可； （3）求出平移后的抛物线解析式，根据的范围进行解答即可． 【详解】（1）解：把点和代入，得： ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，，解得， ∴抛物线与轴的交点为和， 画函数图象略； （3）由题意，二次函数的图象向右平移个单位长度， 新函数为． 此时函数图象开口向上，对称轴是直线，函数的最小值为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，图象对应的函数最小值为， 或， 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， 即 ， 解得：或4（舍去）； 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， b ， 解得：或4（舍去）； 综上所述，的值为6或2． 18．(1) (2)米． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意知，，，设，则，，将点代入抛物线求出，即可得解． 【详解】（1）解：（1）由题意知，，则点B坐标为， 将其代入中，得，解得， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意知，，， 设， ∴，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴， 故的长度为米． 19．(1)存在， (2)①，；② 【分析】（1）根据相异点的定义可知，即，求解即可； （2）①根据的图象上有且只有一个相异点可知方程有两个相等实根，根据根与系数的关系列方程求解即可； ②先求出二次函数，可知当时，，根据对称轴得到当时，函数有最小值为2，根据二次函数的对称性可知时，，进而可得答案． 【详解】（1）解：根据相异点的定义可知， ∵函数的图象上存在相异点， ∴， 解得， ∴， 故其相异点的坐标为； （2）解：①∵的图象上有且只有一个相异点， ∴方程， 即有两个相等实数根， 由根与系数的关系可得：， 解得：，； ②∵，， ∴二次函数， 当时，， ∵， ∴对称轴为直线， 当时，函数有最小值为2， 由关于对称轴对称点为，即时，， 若时，函数的最小值为2，最大值为11， 则实数t的取值范围是． 20．(1)，点的坐标为 (2)的取值范围是 (3)点E的坐标为， 【分析】（1）将已知点的坐标代入直线解析式，求出的值，再联立直线与抛物线的解析式，解方程组得到点的坐标； （2）根据设出直线的解析式，联立抛物线方程，利用根与系数的关系得到的值，再结合二次函数的图像性质，根据函数在区间上的最大值位置，列出关于函数对称轴的不等式求解； （3）先联立直线、与抛物线的方程，利用根与系数的关系得到交点横坐标的和与积，再根据建立水平距离的关系，求出与的关系式，然后利用、、和、、三点共线的条件，得到关于的关系式，联立求解得到的值，进而求出的值和点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入， 则， 解得：， ， 联立，可得， 解得：，， 点的坐标为， 点的横坐标为， 将代入得， 点的坐标为； （2）解：， 设的函数解析式为：， 联立， 则， 由根与系数的关系得， 函数图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 要使函数在处取得最大值，需满足右端点到对称轴的距离不小于左端点到对称轴的距离，即：， 则，即， 解得：； （3）解：设的函数解析式为：， 联立， 则， 设，， 由根与系数的关系得，， 的水平距离， 同理，联立， 则， 设，， 由根与系数的关系得，， 的水平距离， ，， ， ，整理得， 即， 设， 如图， 、、三点共线， ∴直线的k值与直线的k值相等， ， 化简得，，则， 同理由、、三点共线得， ， 整理得，， ，，， ， 解得：， ， 解得：， ，， ， ， 点的坐标为，的值为． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、直线与抛物线的交点问题、根与系数的关系的应用、二次函数的最值问题以及利用三点共线求解参数等知识点，熟练掌握一次函数与二次函数的图像与性质、灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $