第二十六章 二次函数（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学复习讲义通过表格对比、要点梳理构建二次函数知识体系，涵盖定义、三种解析式、图象性质、平移对称变换等内容，清晰呈现重难点分布及内在联系，帮助学生形成系统知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，包含典例、变式及中考链接，如实际应用中羊圈面积问题培养模型意识，待定系数法求解析式提升推理能力，支持不同层次学生巩固基础或拓展思维，助力教师实施精准复习教学。

第二十五章 一元二次方程复习讲义 教学目标 1.认识二次函数，研究其图象和性质； 2.从函数的角度研究一元二次方程； 3.运用二次函数分析和解决实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数的图象与性质； （2）待定系数法求二次函数解析式； （3）二次函数的实际应用。 2. 难点 （1）二次函数的图象与性质； （2）二次函数的实际应用； （3）二次函数的综合。 知识点01 二次函数的定义 1.二次函数的定义 一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 2.二次函数解析式的表示方法 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标。 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有二次函数与轴有交点，即时，二次函数的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化。 知识点02 二次函数的图象和性质 1.二次函数的性质与图像 形式 一般式： 顶点式 的符号 开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。 ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边， 最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值 顶点坐标 增减性 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； ①若二次函数是一般形式时，则二次函数与轴的交点坐标为。若，则二次函数与轴交于正半轴；若，则二次函数与轴交于负半轴。 ②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。 ③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。 ④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。 2.二次函数的平移 ①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。 ②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。 (1)沿轴平移:向上（下）平移m个单位，变成（或） (2)沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，变成（或） 3.一次函数的对称变换： ①若二次函数关于轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。 ②若二次函数关于轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。 ③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。 知识点03 待定系数法求函数解析式 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤： （1） 设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为。 ②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为。 ③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为。 （2） 带点：将已知点带入函数解析式建立方程。 （3） 解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。 （4） 反带：将未知系数反带入函数解析式。 知识点04 二次函数与一元二次方程 1.二次函数与一元二次方程 ①若二次函数与轴有两个交点⇔一元二次方程有两个不相等的实数根⇔。 ②若二次函数与轴只有一个交点⇔一元二次方程有两个相等的实数根⇔。 ③若二次函数与轴没有交点⇔一元二次方程没有实数根⇔。 ④若二次函数与直线相交，则一元二次方程为。交点情况与方程的解的情况同与轴相交时一样。 2.二次函数与不等式（组） 若二次函数与一次函数存在交点，则不等式：的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围； 的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。 知识点05 实际问题与二次函数 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系； ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式； ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题； ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论； ⑥答：写出答案。 题型01 二次函数的定义及形式互化 【典例1】下列函数中是二次函数的是（ ） A．y＝x3+2x﹣1 B．y＝4x﹣7 C．y＝x2+4 D．y＝（x+1）2﹣x2 【答案】C 【解答】解：A、y＝x3+2x﹣1，不是二次函数，故A不符合题意； B、y＝4x﹣7，是一次函数，故B不符合题意； C、y＝x2+4，是二次函数，故C符合题意； D、y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1，是一次函数，故D不符合题意； 故选：C． 【典例2】将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：yx2﹣6x+21 （x2﹣12x+36）﹣18+21 （x﹣6）2+3． 故选：D． 【变式1】若函数是二次函数，则m的值一定是（ ） A．3 B．0 C．3或0 D．1或2 【答案】B 【解答】解：∵此函数是二次函数， ∴， 解得m＝0． 故选：B． 【变式2】已知二次函数． (1)用配方法将化成的形式； (2)当取何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1) (2) 当时，y随x的增大而减小 【分析】此题考查二次函数化为顶点式及二次函数的性质， （1）根据配方法将二次函数化为顶点式； （2）根据二次函数的性质确定增减性． 【详解】（1）解： （2）∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小． 【中考链接】用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x+4）2+7 C．y=（x﹣4）2﹣25 D．y=（x+4）2﹣25 【答案】C 【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案． 【详解】y=x2-8x-9 =x2-8x+16-25 =（x-4）2-25． 故选C． 题型02 二次函数的图象与基本性质 【典例1】关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象与y轴的交点坐标为（0，2） C．图象的顶点坐标是（﹣1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解答】解：A：∵a＝﹣1，∴函数的开口向下，对称轴是直线x＝1，故此选项错误， B：当x＝0，y＝1，∴图象与y轴的交点坐标为：（0，1），故此选项错误， C：∵这个函数的顶点是（1，2），故此选项错误， ∴D：在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．故此选项正确， 故选：D． 【典例2】二次函数y＝﹣x2+2x﹣5图象的顶点坐标为（ ） A．（﹣1，﹣4） B．（1，﹣4） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 【答案】B 【解答】解：解法1：利用公式法 y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），代入数值求得顶点坐标为（1，﹣4）； 解法2：利用配方法 y＝﹣x2+2x﹣5＝﹣（x2﹣2x+1）﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣4，故顶点的坐标是（1，﹣4）． 故选：B． 【典例3】若A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝3（x+1）2的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 【答案】A 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝3（x+1）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大， ∵点C离着对称轴最远，点A在对称轴上， ∴y1＜y2＜y3． 故选：A． 【典例4】二次函数y＝2（x+1）2﹣7的最小值是（　　） A．﹣7 B．1 C．﹣1 D．7 【答案】A 【解答】解：∵a＝2＞0，开口向上， ∴当x＝﹣1时，二次函数y＝2（x+1）2﹣7有最小值为﹣7， 故答案为：A． 【变式1】二次函数y＝2（x+1）2﹣4的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由条件可知a＝2，顶点坐标为（﹣1，﹣4）， ∴二次函数图象是开口向上，以顶点坐标为（﹣1，﹣4）的抛物线， 故选：D． 【变式2】二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 【答案】A 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3）， ∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值， ∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5， 解得c＝3或c＝﹣1， 故选：A． 【中考链接1】若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据二次函数顶点式确定顶点坐标，再利用判别式求出的取值范围，最后根据坐标符号判断顶点所在象限． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴函数顶点坐标为． ∵二次函数图像与轴有两个不同交点，将解析式展开得， ∴判别式， 解得． ∵， ∴，顶点横坐标为正，纵坐标为负， ∴顶点坐标在第四象限． 【中考链接2】已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 【中考链接3】在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C ． 题型03 二次函数的几何变换（平移和对称） 【典例1】将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ∵抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为 再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为． 【典例2】若抛物线与轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴为___________． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，抛物线与轴的交点关于对称轴对称，因此对称轴为两交点横坐标的中点，即可求解． 【详解】解：抛物线与轴的交点坐标为 和， 对称轴为直线 ． 【变式1】在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 【变式2】将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先求出抛物线关于轴对称的抛物线解析式，再根据抛物线平移规律得到原抛物线向下平移2个单位后的解析式，对比对应系数即可求出和的值． 【详解】解：∵抛物线关于轴对称时，只需将原解析式中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为： ， ∵抛物线向下平移2个单位， ∴平移后解析式为， 又∵平移后抛物线与上述关于轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等， ∴，， 解得，， 【变式3】将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 【变式4】已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则这个函数图象必过点（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数图象关于对称轴对称的性质，求出已知点关于对称轴的对称点，即可得到函数必过的点. 【详解】解：∵二次函数的图象关于对称轴对称，点在函数图象上， ∴点关于直线的对称点也在该函数图象上， 设对称点的横坐标为，则， 解得，纵坐标不变为，即对称点为， 因此这个函数图象必过点. 【变式5】抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，先求出抛物线对称轴，再得到与的关系，最后判断各选项即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和，两点纵坐标相等 ∴抛物线对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且到对称轴的距离相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴两点纵坐标相等，即，得， 依次判断选项：A、，值随变化，不是定值，不符合题意； B、，值随变化，不是定值，不符合题意； C、，值恒为，是定值，符合题意； D、，值随变化，不是定值，不符合题意． 【中考链接1】将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【中考链接2】如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 题型04 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用抛物线对称轴求出点的对称点，得到抛物线与轴两个交点，设交点式解析式；将点坐标代入求出的值，再展开整理为一般式． 【详解】解:点关于直线的对称点是， 设抛物线的解析式为. 把点的坐标代入解析式，得 ， 解得. 抛物线的解析式为. 【变式1】已知抛物线过点、和，那么的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】点和纵坐标相同，可得抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线方程，代入点和求出参数，再展开为一般式计算． 【详解】解：抛物线过点、，两点纵坐标相等， 对称轴为：， 设抛物线的顶点式为：． 将点，代入，得方程组： ， 化简：， 两式相减，得：，， 将代入，得： ，， 将顶点式展开：， ，，， ． 【变式2】已知二次函数的图象过点和．若此抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先代入已知点坐标得到和关于的表达式，再根据顶点在第一象限的条件确定的取值范围，最后将表示为的一次式，即可求出的取值范围. 【详解】解：∵二次函数过点和， ∴ ， 整理得， ∵抛物线顶点在第一象限，且过和， ∴抛物线的开口向下，即，顶点横坐标为， ∴， ∴， 即，综上得 ， ∵，代入，得：， ∵， ∴， ∴，即. 【变式3】已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求得； （2）先由知，函数有最小值为，据此分别求出，时的值即可得答案． 【详解】（1）解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． 【中考链接】如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【答案】该抛物线的表达式为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为，，即， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的表达式为． 题型05 二次函数的图象与系数的关系 【典例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．abc＞0 B．（a+c）2＞b2 C．b＞﹣2a D．4a+2b+c＞0 【答案】D 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴x0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，故选项A错误； ∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， x＝1时，y＝a+b+c＞0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0， ∴（a+c）2﹣b2＜0， ∴（a+c）2＜b2，故选项B错误； ∵抛物线的对称轴为x1， ∴b＝﹣2a，故选项C错误． ∵抛物线与x轴的一个交点在（0，0）与（﹣1，0）之间， 而抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（2，0）与（3，0）之间， ∴x＝2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0，故选项D正确； 故选：D． 【变式1】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，现有结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③2a+b＝0，④ac﹣bc+c2＜0，其中结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①函数图象与y轴的交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，①错误； ②根据图象可得，函数图象与x轴有两个交点， ∴对应方程有两个根， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，②正确； ③由条件可知：开口向上，a＞0，对称轴为直线x＝1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴2a+b＝0，③正确； ④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∵c＜0， ∴c（a﹣b+c）＜0， 即ac﹣bc+c2＜0，④正确； 综上可得：②③④正确， 故选：C． 【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0， ∵对称轴在y轴的左侧， ∴0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②由对称轴可知：1， ∴b＝2a， ∴2a﹣b＝0，故②错误； ③∵抛物线过点（1，0）， ∴y＝a+b+c＝0， ∵b＝2a， ∴y＝3a+c＝0，故③正确； ④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c， ∴x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴am2+bm+c≥a﹣b+c， 即m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数），故④正确； ⑤抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＞0， 即b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确； 故选：D． 【中考链接1】在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数与一次函数的图象与性质是关键． 首先观察各选项中的一次函数的图象，得到字母系数的正负性，然后再将字母系数的正负性与二次函数的开口方向相比较，看是否一致，不能判断的需同时结合二次函数的对称轴进行验证，由此即可作出判断. 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项错误； B、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项正确； C、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误； D、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误； 故选：B． 【中考链接2】如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 题型06 二次函数与一元二次方程 【典例1】若抛物线y＝2x2﹣6x+3c与x轴只有一个公共点，则c＝ ． 【答案】． 【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣6x+3c与x轴只有一个公共点， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×2×3c＝0， 解得c． 故答案为：． 【变式1】二次函数y＝ax2﹣3x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：根据题意，Δ＝（﹣3）2﹣4a×2＞0，且a≠0， 解得，且a≠0， 故选：B． 【变式2】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（ ） A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣3 【答案】A 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）， 而抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0）， 即x＝﹣1或x＝3时，y＝0， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3． 故选：A． 【变式3】已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定当时，在和之间，再根据对称性得到当时，还在和之间，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴观察表格可知，当时，在和之间， 根据二次函数的对称性可知，当时，还在和之间， 故选：D． 【中考链接1】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 【中考链接2】已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可． 【详解】解：令，则和， 解得或或或， 不妨设， ∵和关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， ∴与原点关于点对称， ∴， ∴或（舍去）， ∵抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2， 故选：A． 题型07 二次函数与不等式 【典例1】如图是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，已知其对称轴为直线x＝2，则当（ ）时，函数值大于0． A．x＜﹣2或x＞6 B．x＞6 C．x＜﹣2 D．﹣2＜x＜6 【答案】A 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（6，0）， 而抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴当x＜﹣2或x＞6时，y＞0． 故选：A． 【变式1】抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，当y＞0时自变量x的取值范围为（ ） A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 【答案】C 【解答】解：根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为：（﹣3，0）， 从图象看，当y＞0时自变量x的取值范围为：﹣3＜x＜1， 故选：C． 【中考链接1】二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系；根据函数图象写出抛物线在直线下方部分的的取值范围即可． 【详解】解：观察图象得：当时，， 即当时，，此时， 所以当时，自变量的取值范围是． 故答案为：． 【中考链接2】抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是 A．x＜2 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 【答案】C 【详解】试题分析：根据函数图象，写出图象位于x轴上方部分的x的取值范围即可： ∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣3，0）（1，0）， ∴关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜1． 故选：C． 题型08 二次函数的实际应用 【典例1】如图，老王想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD（BC＞AB），并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料），设AB＝x m，BC＝y m． （1）求y与x的关系式，并写出x的取值范围； （2）请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值． 【答案】（1）y＝72﹣2x（0＜x＜24）； （2）AB长18m，BC长36m矩形羊圈的面积S最大，S的最大值为648m2． 【解答】解：（1）y＝70+2﹣2x＝72﹣2x， 由题意得：， 解得：0＜x＜24， ∴y＝72﹣2x（0＜x＜24）； （2）S＝x（72﹣2x）＝﹣2x2+72x， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝18， ∵0＜x＜24， ∴当x＝18时，S有最大值，最大值为18×36＝648（m2）． 答：AB长18m，BC长36m矩形羊圈的面积S最大，S的最大值为648m2． 【变式1】如图，某隧道的截面由抛物线和矩形OACB构成，矩形的长OA为10m，宽OB为3m，隧道顶端D到路面的距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到OB的水平距离为8m，求摄像头到地面的竖直距离． 【答案】（1）y＝﹣0.2（x﹣5）2+8；（2）6.2m． 【解答】解：（1）由题意，∵矩形的长OA为10m，隧道顶端D到路面的距离为8m， ∴抛物线的顶点为（5，8）． ∴可设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣5）2+8． 又∵B（0，3）， ∴3＝a（0﹣5）2+8． ∴a＝﹣0.2． ∴抛物线的函数解析式为y＝﹣0.2（x﹣5）2+8． （2）由题意，∵抛物线为y＝﹣0.2（x﹣5）2+8，且摄像头到OB的水平距离为8m， ∴令x＝8，则y＝﹣0.2（8﹣5）2+8＝6.2． ∴摄像头到地面的竖直距离为6.2m． 【变式2】在投掷实心球的运动中，实心球出手时水平向前的速度为a（单位：m/s），垂直向上的速度为b（单位：m/s）．实心球在空中运动时，其水平距离x（单位：m）与时间t的关系为x＝at，高度y（单位：m）与时间t的关系为y＝﹣5t2+bt+2． （1）在小伟同学的一次投掷中，测得a＝6m/s，b＝3m/s； ①写出x与t的函数关系式为 ；y与t的函数关系式为 ； 根据以上关系，可得y与x的函数关系式为 （不用写出x的取值范围）； ②求出本次实心球的投掷距离． （2）研究表明：在投掷力度一定时，水平速度与垂直向上的速度越接近，则实心球的投掷距离越远．改进投掷方法后，小伟投出了8m的最佳成绩，若本次投掷中a＝b，求实心球在投掷过程中的最大高度． 【答案】（1）①x＝6t；y＝﹣5t2+3t+2；yx2x+2；②本次实心球的投掷距离为6米； （2）实心球在投掷过程中的最大高度为3.6米． 【解答】解：（1）①当a＝6，b＝3时，x＝6t，y＝﹣5t2+3t+2； 把t代入y＝﹣5t2+3t+2得：yx2x+2， 故答案为：x＝6t；y＝﹣5t2+3t+2；yx2x+2； ②令y＝0，则•x2x+2＝0， 解得x1＝6，x2（舍去）， 答：本次实心球的投掷距离为6米； （2）当a＝b时，x＝at，y＝﹣5t2+at+2，则yx2+x+2， 当x＝8时，64+8+2＝0， 解得a＝4或a＝﹣4（舍去）， ∴yx2+x+2， ∴y的最大值为3.6， 答：实心球在投掷过程中的最大高度为3.6米． 【中考链接】“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)． (1) ，_____； (2)写出第天的销售额与之间的函数关系式； (3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 【答案】(1)， (2) (3)在试销售的天中，共有天销售额超过元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解； （3）根据题意，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，将，代入， ∴ 解得： ∴ 故答案为：，． （2）解：依题意， 当时， 当时， ∴ （3）解：依题意，当时， 当时， 解得： 为正整数， ∴第天至第天，销售额超过元 （天） 答：在试销售的天中，共有天销售额超过元 题型09 二次函数的综合应用 【典例1】如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为6． (1)直接写出两点的坐标； (2)求该二次函数的表达式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求解函数解析式，与面积的综合问题． （1）先令求解，再由三角形面积公式求解，即可得到点坐标； （2）将点代入即可求解． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴，即 ∵的面积为6， ∴，即， ∴， ∴ （2）解：将点代入， 则， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 【变式1】如图，抛物线经过点、，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； (3)点F是平面直角坐标系内一点，在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为，对称轴为 (2)满足的值为最小的点P坐标为 (3)存在，点E的坐标为或 【分析】（1）把点、代入，得到关于a，b的二元一次方程组，求解方程组，即可得到解析式；然后利用抛物线对称轴公式求出对称轴； （2）根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时，的值最小，所以先求出直线的解析式，再求其与对称轴的交点即为点P； （3）先根据面积求出点E的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，同时结合点E在第四象限的条件筛选出符合的坐标． 【详解】（1）把点、代入，得， 解得， 抛物线的解析式为． 函数的对称轴为直线． （2）如图1，连接交对称轴于点P，因为点A、B关于对称轴对称，∴的最小值为， 易得C点的坐标为， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式：得：， 解得， 直线BC的表达式为：， 当时，， 故点． （3）存在，理由： 如图2，图3，四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形， 则， 点E在第四象限，则， 将该坐标代入二次函数表达式得：． 解得：或4， 故点E的坐标为或． 【变式2】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的对称轴； (2)若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，Q点的坐标为或或 【分析】（1）根据抛物线与轴的两个交点求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为：，设点D的坐标为，则，解方程即可得到点D的坐标； （3）设，，则，分两种情况讨论：①当为边时，此时四边形和是平行四边形；②当为四边形的对角线时，此时四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：将、代入得， ，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 设点D的坐标为， 、， ， ∴，即， ∴或（无解舍去）， 解得：，， ∴点D的坐标为或； （3）解：由（1）可知，抛物线的对称轴为：， 设，， ， 分两种情况讨论： ①当为边时，此时四边形和是平行四边形， ，，，， ∴，, 解得：，， 此时点Q的坐标为或． ②当为四边形的对角线时，此时四边形是平行四边形， ，， ∴，即， 此时点Q的坐标为； 综上所述，存在满足条件的Q点的坐标为或或． 【中考链接】在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． A组·基础过关 1．已知是二次函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 2．对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 3．当时，的函数值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入，得 4．二次函数的，，，那么其图象必过（ ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 5．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 6．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价（单位：元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得的最大利润是（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据顶点式得到二次函数的开口方向和对称轴，结合二次函数的增减性即可在给定范围内求出最大值． 【详解】解：∵，且， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最大值， 将代入解析式得 即一周可获得的最大利润是1550元． 7．开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式以及将抛物线表达式化为顶点式，能够熟练运用待定系数法和配方法是解题的关键． 根据待定系数法求出解析式即可求解． 【详解】解：将点，代入得， ， 解得， 则， 故顶点坐标为． 8．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，逐步推导即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线平移规律为左加右减自变量，上加下减常数项，原抛物线解析式为， ∴向左平移2个单位后，解析式变为，再向下平移3个单位，解析式整理得， ∴所得抛物线解析式为． 9．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（ ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】C 【分析】先求出的值，再用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴将代入，可得， ∴整理得， 将代入得原式． 10．如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数的表达式，再把表达式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据（1）所求可得函数的增减性和对称轴，求出时的函数值，结合顶点坐标即可得到答案； （3）由对称性可得点在该函数的图象上，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， ∴， ∴该二次函数的表达式为， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得该二次函数的表达式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时，，且， ∴当时，函数的最大值小于7， ∵顶点坐标为，即当时，函数的最小值为， ∴当时，； （3）解：由（2）可知，对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知，点在该函数的图象上， 由函数图象可知，当时，或． B组·能力提升 11．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 12．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，结合题目给出的两个条件列出关于的不等式组，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线 开口向上，当时，， ∴将代入解析式得： ， 化简得 ， 解得， ∵当时，随的增大而增大，开口向上的二次函数对称轴右侧随增大而增大， ∴抛物线对称轴不大于， ∵抛物线对称轴为， ∴ ， 解得：， 综上，的取值范围是． 13．已知抛物线（、、为常数，且）经过点、，其对称轴在轴右侧，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】先将已知点代入抛物线解析式，得到的值和与的关系，再结合对称轴在轴右侧的条件，逐一判定每个结论的正确性即可. 【详解】解：将点代入，得，， 将点代入抛物线解析式，得，整理得，即，故结论③错误； ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴对称轴， ∴与异号， ∴， ∵， ∴，故结论①正确. 将代入，得，解得，故结论②正确； ∵抛物线与轴已经有一个交点在轴的左侧，且对称轴在轴右侧， ∴顶点不可能在轴上， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴，即，故结论④正确； 综上，正确结论为①②④. 14．已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口方向得到点到对称轴的距离与函数值的大小关系，比较三个点到对称轴的距离即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大． 分别计算三个点到对称轴 的距离： 点的距离：， 点的距离：， 点的距离：． ∵， ∴． 15．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，点A在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑的高； (2)求落水点C、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1)雕塑的高为 (2) (3)当时，， ∴点在抛物线上． 又∵， ∴顶部不会碰到水柱． 【分析】（1）直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴点的坐标为， ∴雕塑的高为． （2）解：当时，， 解得（舍去），， ∴点的坐标为， ∴． ∵从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴， ∴． （3）略 C组·拓展延伸 16．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（ ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 【答案】B 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：该函数的对称轴为， ， 当时，，故A正确，不符合题意； 由题意，当时，该函数取得最大值，故为任意实数）， 即为任意实数），故B错误，符合题意； 对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等， 当时，， 当时，，故C正确，不符合题意； 的函数图象即为的轴下侧图象翻转到轴上方， 的根个数即为图象和直线的交点个数，根据图象可得为4个，故D正确，不符合题意． 17．如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，，则的面积最大值_________． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，设，，由，可得结合勾股定理可得，易证同理可得，结合可得由三角形的面积公式结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由，设， ， 如图，过点作，垂足为， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的面积有最大值为。 18．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【详解】解：抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ， ， ， 又， ；故①正确； 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， 函数草图如图： 由图像可知当时，，则，故②错误； 抛物线经过点， ， ， 解得， ， ， 又， ； ； 解得，故③错误； 关于的不等式变形得， 经过， 由图象可知，不等式解集为，故④正确； 点在抛物线上，抛物线的对称轴为，总有， ，且，解得， ∵， ． 故⑤正确； 综上，正确的结论有①④⑤. 19．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（ ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 20．如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为：；抛物线的函数表达式为： (3) 【分析】（1）由确定，利用勾股定理由、求点的横坐标． （2）用待定系数法分别求直线和抛物线的解析式． （3）先由总造价与单价求出栅栏总长为，即；设，利用抛物线解析式写出，利用直线解析式写出；由把用表示，再得到关于的一元二次方程，结合取根，即可得到栅栏到铁路（轴）的距离． 【详解】（1）解： 为原点，为轴，， ， 点到的距离，， ∴， ∴， ． （2）解：设直线的函数表达式为：， 将、代入得：， 解得， 直线的函数表达式为：． 顶点到的距离为，到的距离为， ， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为：． （3）解：∵建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元， ∴栅栏总长为， ， 设点的坐标为，且， 点到铁路的距离小于， ， 点在抛物线上， ， ， 设点的坐标为，且， 点在直线上， ， ， ， ， 整理得：， 又， ， 将代入，整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 栅栏到铁路的距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程复习讲义 教学目标 1.认识二次函数，研究其图象和性质； 2.从函数的角度研究一元二次方程； 3.运用二次函数分析和解决实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数的图象与性质； （2）待定系数法求二次函数解析式； （3）二次函数的实际应用。 2. 难点 （1）二次函数的图象与性质； （2）二次函数的实际应用； （3）二次函数的综合。 知识点01 二次函数的定义 1.二次函数的定义 一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 2.二次函数解析式的表示方法 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标。 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有二次函数与轴有交点，即时，二次函数的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化。 知识点02 二次函数的图象和性质 1.二次函数的性质与图像 形式 一般式： 顶点式 的符号 开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。 ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边， 最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值 顶点坐标 增减性 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； ①若二次函数是一般形式时，则二次函数与轴的交点坐标为。若，则二次函数与轴交于正半轴；若，则二次函数与轴交于负半轴。 ②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。 ③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。 ④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。 2.二次函数的平移 ①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。 ②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。 (1)沿轴平移:向上（下）平移m个单位，变成（或） (2)沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，变成（或） 3.一次函数的对称变换： ①若二次函数关于轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。 ②若二次函数关于轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。 ③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。 知识点03 待定系数法求函数解析式 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤： （1） 设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为。 ②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为。 ③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为。 （2） 带点：将已知点带入函数解析式建立方程。 （3） 解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。 （4） 反带：将未知系数反带入函数解析式。 知识点04 二次函数与一元二次方程 1.二次函数与一元二次方程 ①若二次函数与轴有两个交点⇔一元二次方程有两个不相等的实数根⇔。 ②若二次函数与轴只有一个交点⇔一元二次方程有两个相等的实数根⇔。 ③若二次函数与轴没有交点⇔一元二次方程没有实数根⇔。 ④若二次函数与直线相交，则一元二次方程为。交点情况与方程的解的情况同与轴相交时一样。 2.二次函数与不等式（组） 若二次函数与一次函数存在交点，则不等式：的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围； 的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。 知识点05 实际问题与二次函数 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系； ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式； ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题； ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论； ⑥答：写出答案。 题型01 二次函数的定义及形式互化 【典例1】下列函数中是二次函数的是（ ） A．y＝x3+2x﹣1 B．y＝4x﹣7 C．y＝x2+4 D．y＝（x+1）2﹣x2 【典例2】将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ） A． B． C． D． 【变式1】若函数是二次函数，则m的值一定是（ ） A．3 B．0 C．3或0 D．1或2 【变式2】已知二次函数． (1)用配方法将化成的形式； (2)当取何值时，随的增大而减小？ 【中考链接】用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x+4）2+7 C．y=（x﹣4）2﹣25 D．y=（x+4）2﹣25 【答案】C 【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案． 【详解】y=x2-8x-9 =x2-8x+16-25 =（x-4）2-25． 故选C． 题型02 二次函数的图象与基本性质 【典例1】关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象与y轴的交点坐标为（0，2） C．图象的顶点坐标是（﹣1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【典例2】二次函数y＝﹣x2+2x﹣5图象的顶点坐标为（ ） A．（﹣1，﹣4） B．（1，﹣4） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 【典例3】若A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝3（x+1）2的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 【典例4】二次函数y＝2（x+1）2﹣7的最小值是（　　） A．﹣7 B．1 C．﹣1 D．7 【变式1】二次函数y＝2（x+1）2﹣4的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式2】二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 【中考链接1】若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【中考链接2】已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【中考链接3】在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（ ） A． B． C． D． 题型03 二次函数的几何变换（平移和对称） 【典例1】将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是( ) A． B． C． D． 【典例2】若抛物线与轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴为___________． 【变式1】在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式2】将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【变式4】已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则这个函数图象必过点（ ） A． B． C． D． 【变式5】抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（ ） A． B． C． D． 【中考链接1】将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【中考链接2】如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 题型04 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【变式1】已知抛物线过点、和，那么的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】已知二次函数的图象过点和．若此抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 【中考链接】如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 题型05 二次函数的图象与系数的关系 【典例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．abc＞0 B．（a+c）2＞b2 C．b＞﹣2a D．4a+2b+c＞0 【变式1】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，现有结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③2a+b＝0，④ac﹣bc+c2＜0，其中结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【中考链接1】在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【中考链接2】如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型06 二次函数与一元二次方程 【典例1】若抛物线y＝2x2﹣6x+3c与x轴只有一个公共点，则c＝ ． 【变式1】二次函数y＝ax2﹣3x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（ ） A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣3 【变式3】已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（ ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 【中考链接1】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 【中考链接2】已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ） A．2 B． C．4 D． 题型07 二次函数与不等式 【典例1】如图是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，已知其对称轴为直线x＝2，则当（ ）时，函数值大于0． A．x＜﹣2或x＞6 B．x＞6 C．x＜﹣2 D．﹣2＜x＜6 【变式1】抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，当y＞0时自变量x的取值范围为（ ） A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 【中考链接1】二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是________． 【中考链接2】抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是 A．x＜2 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 题型08 二次函数的实际应用 【典例1】如图，老王想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD（BC＞AB），并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料），设AB＝x m，BC＝y m． （1）求y与x的关系式，并写出x的取值范围； （2）请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值． 【变式1】如图，某隧道的截面由抛物线和矩形OACB构成，矩形的长OA为10m，宽OB为3m，隧道顶端D到路面的距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到OB的水平距离为8m，求摄像头到地面的竖直距离． 【变式2】在投掷实心球的运动中，实心球出手时水平向前的速度为a（单位：m/s），垂直向上的速度为b（单位：m/s）．实心球在空中运动时，其水平距离x（单位：m）与时间t的关系为x＝at，高度y（单位：m）与时间t的关系为y＝﹣5t2+bt+2． （1）在小伟同学的一次投掷中，测得a＝6m/s，b＝3m/s； ①写出x与t的函数关系式为 ；y与t的函数关系式为 ； 根据以上关系，可得y与x的函数关系式为 （不用写出x的取值范围）； ②求出本次实心球的投掷距离． （2）研究表明：在投掷力度一定时，水平速度与垂直向上的速度越接近，则实心球的投掷距离越远．改进投掷方法后，小伟投出了8m的最佳成绩，若本次投掷中a＝b，求实心球在投掷过程中的最大高度． 【中考链接】“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)． (1) ，_____； (2)写出第天的销售额与之间的函数关系式； (3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 题型09 二次函数的综合应用 【典例1】如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为6． (1)直接写出两点的坐标； (2)求该二次函数的表达式． 【变式1】如图，抛物线经过点、，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； (3)点F是平面直角坐标系内一点，在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 【变式2】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的对称轴； (2)若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【中考链接】在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． A组·基础过关 1．已知是二次函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 3．当时，的函数值为（ ） A． B． C． D． 4．二次函数的，，，那么其图象必过（ ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 5．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价（单位：元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得的最大利润是（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 7．开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 8．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A． B． C． D． 9．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（ ） A．118 B．119 C．120 D．121 10．如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． B组·能力提升 11．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A． B． C． D． 12．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 13．已知抛物线（、、为常数，且）经过点、，其对称轴在轴右侧，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 14．已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 15．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，点A在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑的高； (2)求落水点C、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． C组·拓展延伸 16．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（ ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 17．如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且，，则的面积最大值_________． 18．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 19．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（ ）． A． B． C．或 D．或 20．如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $