第二单元 圆（易错思维训练）数学北师大版六年级上册（新教材）

**基本信息** 聚焦圆的概念联系与易错应用，通过多样化题型强化几何直观与空间观念 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念联系|1题（第1题）|平面图形面积公式推导关联|从长方形面积推导切入，建立圆与平行四边形、三角形的转化关系| |面积计算|3题（2、7、13题）|半径变化/图形关联求面积|围绕圆面积公式，结合三角形面积等知识，强化公式逆用与变形| |组合图形|8题（4-6、8-12、14-16题）|圆与长方形/三角形/圆柱组合|通过阴影部分、对称轴、履带长度等问题，培养空间组合与转化思维| |实际应用|7题（3、19-27题）|生活情境中的圆周长/面积应用|结合过桥、扫地机器人、操场跑道等场景，体现模型意识与应用能力|

第二单元 圆（易错思维训练） 一、选择题 1．还记得平面图形的面积公式是怎样推导出来的吗？根据它们之间的联系整理（如图），①②③所对应的图形分别是（    ）。 A．平行四边形、长方形、三角形 B．三角形、平行四边形、长方形 C．长方形、平行四边形、三角形 D．长方形、三角形、平行四边形 【答案】C 【分析】平面图形的面积公式推导以长方形为基础，①是推导的起点，对应长方形；平行四边形通过割补法转化为长方形来推导面积公式，因此②对应平行四边形；三角形和梯形的面积公式，都是通过拼凑成平行四边形推导的，题图中另一个分支已经是梯形，因此③是三角形。 【解答】由分析可知，①②③所对应的图形分别是长方形、平行四边形、三角形。 2．圆的半径由4cm减少到3cm，圆的面积减少了（    ）cm2。 A．21.98 B．3.14 C．31.4 D．6.28 【答案】A 【分析】减少的面积是半径为4cm的圆面积减去半径为3cm的圆面积，根据圆环面积公式S＝π（R2－r2），π取3.14，代入数值即可解答。 【解答】3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（cm2） 圆的面积减少了21.98cm2。 3．如图，有一座桥（线段AB）通过圆形池塘的中心点O，儿子从点O沿着半径向点B跑，同时，爸爸从点A沿着箭头方向追。儿子的速度是2米/秒，爸爸的速度是6米/秒，谁先到达点B？（    ） A．爸爸 B．儿子 C．一起到达 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，π取3.14，把数据代入公式求出圆周长的一半，也就是爸爸需要跑的距离，儿子跑的距离就是圆的半径，根据时间＝路程÷速度，分别求出各自需要的时间，然后进行比较，用时间少的先到达。 【解答】设圆形水池的半径为r米。 爸爸：3.14×r÷6≈0.52r（秒） 儿子：r÷2＝0.5r（秒） 0.5r＜0.52r 即儿子用的时间更短，所以儿子先到达点B。 4．如图，长方形的周长是30dm，则这个半圆的面积是（    ）。 A．31.4 B．39.25 C．62.8 D．78.5 【答案】B 【分析】长方形周长＝（长＋宽）×2，用长方形周长除以2求出长与宽的和；长方形的长相当于半圆的直径，宽相当于半圆的半径，所以长相当于2个宽，长与宽的和即为3个宽的长度，用长与宽的和除以3求出宽，即为半圆的半径。根据圆的面积公式求出圆的面积，再除以2即可。 【解答】30÷2＝15（dm） 15÷（1＋2） ＝15÷3 ＝5（dm） 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（dm2） 这个半圆的面积是39.25dm2。 5．图中A，B是圆的直径AB的两个端点，那么阴影部分的周长与空白部分的周长相比较，结果是（    ）。 A．阴影部分的周长大 B．空白部分的周长大 C．两者的周长一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】A，B是圆的直径AB的两个端点，说明连接AB把圆平均分成两份，阴影部分的周长＝半圆弧的长＋折线段AB的长，空白部分的周长＝半圆弧的长＋折线段AB的长。据此判断。 【解答】阴影部分的周长和空白部分的周长都等于半圆弧的长＋折线段AB的长，所以阴影部分的周长与空白部分的周长相比较，结果是两者的周长一样大。 故答案为：C 6．如图所示，一个三角形的三个顶点分别为三个半径为4厘米的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 A．4π B．6π C．8π D．14π 【答案】C 【分析】根据题意，三角形的内角和是180度，三个阴影部分都是扇形，且半径都是4厘米，所以这三个扇形可以拼成一个半圆。半圆的面积用πr2计算，据此解答。 【解答】半圆面积： ×π×42 ＝（×42）×π ＝（×16）×π ＝8π（平方厘米） 故答案为：C 【点睛】解题关键是利用三角形内角和将三个扇形转化为半圆，从而简化计算。 7．如图，三角形的面积是3cm2，则圆的面积是（    ）cm2。 A．18.84 B．12.56 C．9.42 D．6.14 【答案】A 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，三角形的面积是3cm2，3×2＝6（cm2），则三角形的底×高得6cm2。而三角形的底和高都是圆的半径，即半径的平方等于6cm2。根据圆的面积公式：，所以可以用3.14×6计算圆的面积。 【解答】3×2＝6（cm2） 3.14×6＝18.84（cm2） 所以圆的面积是18.84cm2。 故答案为：A 【点睛】解题关键是根据三角形面积公式得出半径的平方，再代入圆的面积公式计算。 8．用一块长12米、宽8米的长方形铁皮，剪成半径是1.5米的小圆（不能剪拼），至多能做多少（    ）个。 A．11 B．10 C．8 D．13 【答案】C 【分析】先求出圆的直径，用长除以圆的直径，宽除以直径，去尾求得长和宽各自可剪出多少个小圆，再用长上的圆的个数，乘宽上圆的个数，即可求得总的圆的个数。 【解答】小圆的直径为1.5×2＝3（米） 长可以剪12÷3＝4（个） 宽可以剪8÷3＝2（个）……2（米） 至多可以剪4×2＝8（个）半径1.5米的小圆。 故答案为：C 【点睛】由于所剪小圆不能剪拼，所以不能用长方形的面积除以圆的面积。先求得圆的直径，用长和宽分别除以圆的直径，去尾后的结果再相乘即可。 二、填空题 9．小军在整理玩具时，找到了一个直角三角形塑料板和一个中间有圆孔的长方形塑料板（如图）。若他想把直角三角形塑料板从长方形塑料板的圆孔中穿过去，则圆孔的直径至少为（ ）厘米。 【答案】2.4/ 【分析】只要直角三角形最短的高比空心圆孔的直径小，那么直角三角形塑料片就能从空心圆孔中穿过去。最短的高是斜边上的高，可以通过两条直角边的长算出三角形的面积，再求出斜边上的高，即可得到答案。 【解答】直角三角形的面积为4×3÷2＝6（平方厘米） 由三角形的面积求斜边上的高，高＝三角形的面积×2÷底 6×2÷5＝12÷5＝2.4（厘米） 圆孔直径至少等于三角形最短的高2.4厘米。 10．如下图，这个图形有（ ）条对称轴，如果其中一个圆的直径是20厘米，那么其中一个圆的半径是（ ）厘米，长方形的长是（ ）厘米。 【答案】两/2 10 30 【分析】第1空，根据轴对称图形的特征，沿某一条对称轴对折后，两边能完全重合。 第2空，这两个圆的大小一样，根据在同一个圆内，半径长度是直径的一半。 第3空，长方形的长是3条半径的长度之和。 【解答】 20÷2＝10（厘米） 10×3＝30（厘米） 所以，这个图形有两条对称轴，其中一个圆的半径是10厘米，长方形的长是30厘米。 11．如图所示，一辆玩具坦克车由一根履带围着4个半径1cm的轮子前进。这辆玩具车的履带长度是（ ）cm。 【答案】18.28 【分析】根据图示可知，履带的长度等于1个圆的周长加上6条直径的长，利用圆的周长公式计算出圆的周长，加上6个直径的长度即可。 【解答】3.14×1×2＋1×2×6 ＝6.28＋12 ＝18.28（厘米） 12．生活中，人们经常需要把同样大小的圆柱管捆扎成一排（横截面如图）。每个圆柱管的外直径都是8厘米、打结处绳子的长度不计。（取3.14） （1）捆扎2个圆柱管一圈需要（ ）厘米长的绳子；捆扎3个圆柱管一圈需要（ ）厘米长的绳子。 （2）捆扎n个圆柱管一圈需要（ ）厘米长的绳子。 【答案】（1）41.12 57.12 （2）9.12＋16n 【分析】（1）通过观察图形可知，捆1个圆柱管时，绳子的长度就是底面圆的周长；2个圆柱管时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（2－1）×2个圆的直径；3个圆柱管时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（3－1）×2个圆的直径，根据圆的周长公式：，可求得。 （2）同理：每增加一个圆柱管，就增加2个圆的直径，那么n个圆柱体，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（n－1）×2个圆的直径。 【解答】（1） （厘米） （厘米） 所以捆扎2个圆柱管一圈需要41.12厘米长的绳子；捆扎3个圆柱管一圈需要57.12厘米长的绳子。 （2） （厘米） 捆扎n个圆柱管一圈需要（）厘米长的绳子。 13．下图中有一个圆和一个等腰直角三角形，阴影部分的面积是（ ）cm2。（π取3.14） 【答案】50 【分析】由图把阴影部分分为两部分：上半圆内的阴影、下半三角形内的阴影，上半圆内的阴影面积＝上半圆面积 −空白等腰三角形面积；下半三角形内的阴影面积＝三角形面积 − 下半圆面积－空白等腰三角形面积。 【解答】上半圆内的阴影面积：π×－×10×5 ＝×3.14×25－5×5 ＝1.57×25－25 ＝（1.57－1）×25 ＝0.57×25 ＝14.25（） 下半三角形内的阴影面积：×20×10－π×－×10×5 ＝10×10－×3.14×25－5×5 ＝100－1.57×25－25 ＝100－39.25－25 ＝60.75－25 ＝35.75（） 阴影部分的面积：14.25＋35.75＝50（） 阴影部分的面积是50。 14．一个底面是圆形的扫地机器人，底面的半径是2dm，它沿着长方体茶几边缘清扫一周（如图所示）。圆心走过路线的长度是（ ）dm，它扫过的面积是（ ）dm2。 【答案】72.56 290.24 【分析】（1）观察图形可知，圆形扫地机器人沿着长方体茶几边缘走一周，圆心走过的四个转角处都是半径为2dm的圆，合起来刚好是一个完整的圆；所以圆心走过的路线＝圆的周长＋长方形的周长；根据圆的周长公式C＝2πr，长方形的周长公式C＝2（a＋b），代入数据计算求解。 （2）观察图形可知，圆形扫地机器人扫过的四个转角处都是半径为（2＋2）dm的圆，合起来刚好是一个完整的圆；所以圆形机器人扫过的面积＝圆的面积＋上下两个长方形的面积＋左右两个长方形的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算求解。 【解答】（1）圆的周长：2×3.14×2＝12.56（dm） 长方形的周长： （18＋12）×2 ＝30×2 ＝60（dm） 圆心走过路线的长度是：12.56＋60＝72.56（dm） （2）圆的面积： 3.14×（2＋2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（dm2） 上下两个长方形的面积： 18×（2×2）×2 ＝18×4×2 ＝144（dm2） 左右两个长方形的面积： 12×（2×2）×2 ＝12×4×2 ＝96（dm2） 它扫过的面积是： 50.24＋144＋96＝290.24（dm2） 15．一个直角梯形，上底和高都是4厘米，下底比上底长2厘米，用这个直角梯形剪去一个最大的圆，剩下的面积是（ ）平方厘米。 【答案】7.44 【分析】上底和高都是4厘米，下底比上底长2厘米，因此先算出下底为4＋2＝6厘米，根据梯形面积公式：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数值，求出梯形的面积。在梯形内剪最大的圆，圆的直径不能超过梯形的高，也不能超过上底/下底的最短边。梯形的高是4厘米，上底也是4厘米，下底6厘米，因此最大圆的直径只能是4厘米，半径为2厘米。再根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14），求出圆的面积。用梯形的总面积减去最大圆的面积，求出剩余面积。 【解答】下底：4＋2＝6（厘米） 梯形面积：（4＋6）×4÷2 ＝10×4÷2 ＝40÷2 ＝20（平方厘米） 半径：4÷2＝2（厘米） 圆的面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 剩下的面积：20－12.56＝7.44（平方厘米） 所以剩下的面积是7.44平方厘米。 【点睛】本题的关键在于先根据梯形上底和下底的关系求出下底，再利用梯形面积公式算出总面积，同时明确在直角梯形内剪最大的圆，其直径受限于梯形的高（也是上底长度），进而求出圆的面积，最后用梯形面积减去圆的面积得到剩余面积。 16．一张可折叠的圆桌，直径是1.2米，折叠后变成了一个正方形（如图），折叠后的桌面折叠部分是______平方米。（得数保留两位小数） 【答案】0.41 【分析】已知圆桌的直径是1.2米，求出半径为1.2÷2＝0.6米，根据圆的面积公式求出圆桌的桌面面积； 将折叠后的正方形分成两个相同的三角形，三角形的底相当于圆的直径、高相当于圆的半径，根据“三角形面积＝底×高÷2”求出1个三角形的面积，再乘2即可求出正方形的面积； 最后用圆桌桌面的面积减去正方形的面积即可求出折叠部分的面积，最后根据“四舍五入”法保留两位小数。 【解答】1.2÷2＝0.6（米） 3.14×0.62＝3.14×0.36＝1.1304（平方米） 1.2×0.6÷2×2 ＝0.72÷2×2 ＝0.36×2 ＝0.72（平方米） 1.1304－0.72＝0.4104≈0.41（平方米） 所以折叠后的桌面折叠部分是0.41平方米。 【点睛】将正方形分成两个相同的三角形，根据三角形面积公式求出1个三角形面积，再乘2求出正方形面积，最后用圆的面积减去正方形面积即可。 三、计算题 17．求图中阴影部分的面积。 【答案】5.375平方厘米 【分析】根据图形，空白部分是4个的扇形，拼接在一起就是一个直径是5厘米的圆，空白部分的面积＝圆的面积＝πr2。 阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，正方形的面积＝边长×边长。代入数据计算即可。 【解答】5×5－3.14×（5÷2）2 ＝25－3.14×2.52 ＝25－3.14×6.25 ＝25－19.625 ＝5.375（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积5.375平方厘米。 18．求出下面阴影部分的周长和面积。 周长：             面积： 【答案】18.84cm；16cm2 【分析】已知图形中标注的线段长度为4cm，观察阴影部分的轮廓，其周长是两条曲线的和，曲线1：直径为4cm的完整圆的周长（由图形中的两个小半圆弧拼接而成，合为一个整圆）；曲线2：半径为4cm的圆的周长的（大扇形的弧长）。根据圆的周长公式：C＝πd（已知直径）、C＝2πr（已知半径）。曲线1用C＝πd计算，曲线2用C＝2πr先算整圆周长，再乘。分别算出两条曲线的长度后，相加得到阴影部分的总周长。 已知正方形的边长为4cm，小半圆的直径为4cm（即半径为2cm）。把不规则的阴影面积拆成两个规则图形的组合：部分1：直径为4cm的整圆面积（两个小半圆拼接成的完整圆，半径2cm）；部分2：边长为4cm的正方形面积，减去半径为4cm的圆面积的（大扇形的面积）。根据圆的面积公式：S＝πr2，正方形的面积公式：S＝a2，先分别算出“整圆面积”“正方形面积”“大扇形面积”，再算出“正方形减大扇形的面积”，最后将“整圆面积”与这个差值相加，得到阴影部分的总面积。 【解答】周长：3.14×4＋3.14×4÷2 ＝3.14×4＋3.14×2 ＝3.14×（4＋2） ＝3.14×6 ＝18.84（cm） 面积：3.14×（4÷2）2＋（4×4－3.14×42×） ＝3.14×22＋（16－3.14×16×） ＝3.14×4＋（16－3.14×4） ＝3.14×4＋16－3.14×4 ＝3.14×4－3.14×4＋16 ＝0＋16 ＝16（cm2） 所以阴影部分的周长是18.84cm，面积是16cm2。 【点睛】本题关键在于，先把不规则阴影的周长拆成直径4cm整圆的周长与半径4cm圆周长的，再用割补法把阴影面积拆成半径2cm整圆面积与“正方形减半径4cm圆面积”的差值，最后分别套用圆和正方形的周长、面积公式计算求和。 四、作图题 19．在科技馆中有一个边长为60厘米的正方形实验轨道，轨道中有一个半径为6厘米的圆形车轮（如图），这个圆形车轮沿着正方形实验轨道的内侧刚好转回原处，那么这个圆形车轮的圆心一共移动了多少厘米？请先画出圆心的移动轨迹，然后再计算。 【答案】；192厘米 【分析】根据题意，这个圆形车轮的圆心移动的轨迹也是一个正方形，边长是（60－6×2）厘米，根据正方形的周长＝边长×4，即可求出这个圆形车轮的圆心一共移动了多少厘米。据此先画出圆形车轮的移动轨迹，再计算解答。 【解答】如下图所示，车轮的移动轨迹为边长是（60－6×2）厘米的正方形，画图略； 60－6×2 ＝60－12 ＝48（厘米） 48×4＝192（厘米） 答：这个圆形车轮的圆心一共移动了192厘米。 【点睛】本题解题的关键在于圆形车轮沿正方形轨道内侧移动时，圆心始终与正方形轨道的边保持“车轮半径”的距离，因此圆心的移动轨迹是一个“小正方形”，需先算出这个小正方形的边长，再计算其周长。 五、解答题 20．实践课上，老师布置大家在操场上画圆。因为没有足够大的圆规，要想办法画出一个半径是5米的大圆，用于后续模拟操场游戏区域的规划。如果是你打算怎么做？ 【答案】准备一根5米长的绳子，一端固定当作圆心，另一端绑一根粉笔，拉直后绕着圆心转动一圈，就可以画出一个半径是5米的大圆。 【分析】要画出半径5米的大圆，核心是利用圆的定义（平面内到定点距离等于定长的点的集合）：定点是圆心，定长是半径5米，需找到替代圆规的工具来固定“定点”和“定长”。 【解答】取一根长度为5米的绳子（保证绳长等于圆的半径），一端绑住固定物（如木桩），另一端绑粉笔（或其他画线工具）。将绑有固定物的一端放在操场选定的位置（作为圆心），拉直绳子（确保绳长始终为5米，即半径固定），手持绑粉笔的一端绕圆心转动一周，粉笔留下的轨迹就是半径5米的大圆。 答：准备一根5米长的绳子，一端固定当作圆心，另一端绑一根粉笔，拉直后绕着圆心转动一圈，就可以画出一个半径是5米的大圆。 21．赵阿姨响应“低碳生活、绿色出行”的号召，她每天骑自行车上班。自行车轮胎的外直径是70cm，平均每分钟转100周。赵阿姨骑自行车通过一座长659.4m的桥，需要多少分钟？ 【答案】3分钟 【分析】利用“”算出车轮转一周走过的距离，然后乘100得1分钟前进的距离，最后用桥长除以每分钟前进的距离可算得需要的时间。 【解答】70cm＝0.7m （分钟） 答：需要3分钟。 22．聪聪在整理玩具时，测量了一个直角三角形塑料片和一个中间有圆孔的长方形塑料片，所得数据如图所示（单位：cm）。他想把直角三角形塑料片从圆孔穿过去。你认为能穿过去吗？请通过计算说明理由。 【答案】可以从圆孔穿过；详解见解析 【分析】算出直角三角形斜边上的高，跟圆的直径进行比较，若小于直径，那么可以通过，若大于直径，则不能通过。 【解答】 （cm） 答：直角三角形塑料片可以从圆孔穿过去。 【点睛】在求解三角形面积的时候，底和高要相互对应，直角三角形的两条直角边互为底和高。 23．如图，长方形木片长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米（即线段AC、线段BD都为13厘米），正方形木桩边长为17厘米。木片从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木片滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长多少厘米？（π取3.14） 【答案】135.02厘米 【分析】 如图：通过观察可知，点A经过的路径＝一个半径是5厘米的圆周长的一半＋一个半径是13厘米的圆周长＋一个半径是12厘米的圆周长的一半，根据圆周长公式：C＝2πr，代入数据分别求出每部分的长度，再相加即可。 【解答】2×3.14×5÷2＋2×3.14×13＋2×3.14×12÷2 ＝15.7＋81.64＋37.68 ＝135.02（厘米） 答：点A经过的路径长135.02厘米。 24．如图所示，公园的人工期上建了一个风车形的小岛，已知小岛中间是边长为20m的正方形，与这个正方形每一条边相连的都是圆心角为90°的扇形，整个小岛的面积是多少平方米？绕这个小岛走一圈是多少米？ 【答案】1656平方米；205.6米 【分析】整个小岛的面积＝正方形的面积＋以正方形的边长为半径的圆的面积，根据正方形面积＝边长×边长，圆的面积公式：S＝πr²，代入数据即可求出这个小岛的面积；绕这个小岛走一圈的长度是4个圆弧的长度（也就是一个圆的周长）加上圆的4条半径，由此求解即可。 【解答】20×20＋3.14×202 ＝400＋1256 ＝1656（平方米） 2×3.14×20＋4×20 ＝125.6＋80 ＝205.6（米） 答：整个小岛的面积是1656平方米，绕这个小岛走一圈是205.6米。 【点睛】解答此题的关键是弄清楚，这个图形由哪些图形组成，利用规则图形的面积和以及周长和，即可得解。 25．2020年6月23日09点43分，北斗卫星导航系统第55颗卫星（最后一颗卫星），在西昌卫星发射中心发射。如图是卫星进入近地轨道后的运行示意图，卫星先从P点处进入一个圆形的近地轨道，在近地轨道飞行了1圈后在P点处变轨，随后进入转移轨道（该转移轨道的起点为近地圆形轨道上的点P，终点为同步圆轨道上的点Q），转移轨道PQ的长度为65000千米，到达远地点时再次变轨，进入圆形同步轨道。北斗55号在同步轨道试运行一圈，进行在轨测试、入网评估等工作，随后正式入网。（结果精确到千米） （地球半径6400千米，近地轨道离地球表面高度为500千米，同步轨道离地球表面高度为35900千米） （1）求近地轨道的半径与周长； （2）求卫星从进入近地轨道到卫星正式入网所飞行的总距离。 【答案】（1）6900千米；43332千米（2）373976千米 【分析】（1）近地轨道的半径等于地球的半径加上近地轨道距地球表面的距离，再根据圆的周长公式： C＝2πr，求出近地轨道的周长； （2）总距离为近地轨道一周的距离＋转移轨道PQ的距离＋同步轨道一周的距离，根据圆的周长公式： C＝2πr，代入求值即可。 【解答】（1）近地轨道半径： 6400＋500＝6900 （千米） 周长： 2×3.14 × 6900 ＝6.28 ×6900 ＝43332 （千米） 答：近地轨道的半径为6900千米，周长为43332千米。 （2）总距离： 43332＋65000＋2×3.14× （6400＋35900） ＝108332＋6.28× 42300 ＝108332＋265644 ＝373976（千米） 答：飞行总距离为373976千米。 【点睛】本题主要考查了圆的周长及其应用，熟记公式是本题解题的关键。 26．湛江的市花是紫荆花。某公园计划打造一个紫荆花形状的铁艺地标（设计图如下）。这个图案由一个正方形和四个以正方形边长为直径的半圆组成。已知正方形的边长为6米。 （1）这个图案的总面积是多少平方米？ （2）公园有一批铁艺边框材料。请你帮助设计一个紫荆花图案，使制作一个图案需要的边框长度在30米左右。 你的设计过程： ①我计划将正方形的边长设定为______米。（请填写一个整数或一位小数） ②根据我的设计，制作一个图案需要的边框长度大约是：______米。（写出计算过程） ③我判断这个设计符合要求，因为：（    ）。 【答案】（1）92.52平方米 （2）2.9；29.812；； 【分析】（1）这个图案的总面积可以看成四个半圆的面积（半圆的直径为6米）加上一个正方形的面积（边长为6米），再根据半圆的面积和正方形的面积＝边长乘边长，代入数据得出答案。 （2）边框长度可以看作4个半圆的周长加上正方形的周长，再根据半圆的周长和正方形的周长公式为边长乘4，直径和边长是一样的，得出边长即可。 【解答】（1）3.14（62）22 ＝3.14322 （平方米） （平方米） 答：这个图案的总面积是92.52平方米。 （2） （米） （米） 公园有一批铁艺边框材料。请你帮助设计一个紫荆花图案，使制作一个图案需要的边框长度在30米左右。 你的设计过程： ①我计划将正方形的边长设定为2.9米。（请填写一个整数或一位小数）  ②根据我的设计，制作一个图案需要的边框长度大约是：29.812米。（写出计算过程）  ③我判断这个设计符合要求，因为：。 27．泸州某校建设有400米跑道的运动场（如下图所示），如果聘请你任工程师，问： （1）若内圈直道长100米，则内圈弯道弧长半径为多少米？（π取值为3.14，得数保留整数） （2）共8个跑道，每条宽1.2米，操场最外圈长多少米？ （3）若操场中心铺绿草，跑道铺塑胶，则各需绿草、塑胶多少平方米？ （4）若绿草50元/平方米，塑胶350元/平方米，学校现有200万元，可以开工吗？ 【答案】（1）32米 （2）461.248米 （3）绿草：9615.36平方米；塑胶：4138.5984平方米 （4）可以开工 【分析】（1）跑道两个弯道弧长合起来是一个圆，用跑到的长度－2个直道长度，求出两个弯道的弧长，再根据圆的周长＝2×π×半径，半径＝周长÷2÷π，据此解答。 （2）因为有8个跑道，最外圈的半径等于内圈圆的半径＋1.2×8。根据圆的周长＝2×π×半径，求出操场最外圈两个弯道弧长的长，加上两个直道长即为所求。 （3）操场中心铺绿草的面积＝里面长方形的面积＋里面两个半圆的面积；跑道铺塑胶的面积＝外面长方形的面积＋外面两个半圆的面积﹣操场中心铺绿草的面积，根据圆的面积＝π×半径2，长方形的面积＝长×宽，计算即可求解。 （4）分别求出操场中心铺绿草，跑道铺塑胶的钱数，相加后与200万元比较即可作出判断，注意单位的一致。 【解答】（1）（400－100×2）÷2÷3.14 ＝（400－200）÷2÷3.14 ＝200÷2÷3.14 ＝100÷3.14 ≈32（米） 答：内圈弯道弧长半径为32米。 （2）2×3.14×（32＋1.2×8）＋100×2 ＝2×3.14×（32＋9.6）＋100×2 ＝2×3.14×41.6＋100×2 ＝6.28×41.6＋200 ＝261.248＋200 ＝461.248（米） 答：操场最外圈长461.248米。 （3）100×32×2＋3.14×322 ＝3200×2＋3.14×1024 ＝6400＋3215.36 ＝9615.36（平方米） 100×（41.6×2）＋3.14×41.62－9615.36 ＝100×83.2＋3.14×1730.56－9615.36 ＝8320＋5433.9584－9615.36 ＝13753.9584－9615.36 ＝4138.5984（平方米） 答：需要绿草的面积是9615.36平方米，需要塑胶的面积是4138.5984平方米。 （4）200万元＝2000000元 9615.36×50＋4138.5984×350 ＝480768＋1448509.44 ＝1929277.44（元） 1929277.44＜2000000，可以开工。 答：可以开工。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 圆（易错思维训练） 一、选择题 1．还记得平面图形的面积公式是怎样推导出来的吗？根据它们之间的联系整理（如图），①②③所对应的图形分别是（    ）。 A．平行四边形、长方形、三角形 B．三角形、平行四边形、长方形 C．长方形、平行四边形、三角形 D．长方形、三角形、平行四边形 2．圆的半径由4cm减少到3cm，圆的面积减少了（    ）cm2。 A．21.98 B．3.14 C．31.4 D．6.28 3．如图，有一座桥（线段AB）通过圆形池塘的中心点O，儿子从点O沿着半径向点B跑，同时，爸爸从点A沿着箭头方向追。儿子的速度是2米/秒，爸爸的速度是6米/秒，谁先到达点B？（    ） A．爸爸 B．儿子 C．一起到达 D．无法判断 4．如图，长方形的周长是30dm，则这个半圆的面积是（    ）。 A．31.4 B．39.25 C．62.8 D．78.5 5．图中A，B是圆的直径AB的两个端点，那么阴影部分的周长与空白部分的周长相比较，结果是（    ）。 A．阴影部分的周长大 B．空白部分的周长大 C．两者的周长一样大 D．无法确定 6．如图所示，一个三角形的三个顶点分别为三个半径为4厘米的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 A．4π B．6π C．8π D．14π 7．如图，三角形的面积是3cm2，则圆的面积是（    ）cm2。 A．18.84 B．12.56 C．9.42 D．6.14 8．用一块长12米、宽8米的长方形铁皮，剪成半径是1.5米的小圆（不能剪拼），至多能做多少（    ）个。 A．11 B．10 C．8 D．13 二、填空题 9．小军在整理玩具时，找到了一个直角三角形塑料板和一个中间有圆孔的长方形塑料板（如图）。若他想把直角三角形塑料板从长方形塑料板的圆孔中穿过去，则圆孔的直径至少为（ ）厘米。 10．如下图，这个图形有（ ）条对称轴，如果其中一个圆的直径是20厘米，那么其中一个圆的半径是（ ）厘米，长方形的长是（ ）厘米。 11．如图所示，一辆玩具坦克车由一根履带围着4个半径1cm的轮子前进。这辆玩具车的履带长度是（ ）cm。 12．生活中，人们经常需要把同样大小的圆柱管捆扎成一排（横截面如图）。每个圆柱管的外直径都是8厘米、打结处绳子的长度不计。（取3.14） （1）捆扎2个圆柱管一圈需要（ ）厘米长的绳子；捆扎3个圆柱管一圈需要（ ）厘米长的绳子。 （2）捆扎n个圆柱管一圈需要（ ）厘米长的绳子。 13．下图中有一个圆和一个等腰直角三角形，阴影部分的面积是（ ）cm2。（π取3.14） 14．一个底面是圆形的扫地机器人，底面的半径是2dm，它沿着长方体茶几边缘清扫一周（如图所示）。圆心走过路线的长度是（ ）dm，它扫过的面积是（ ）dm2。 15．一个直角梯形，上底和高都是4厘米，下底比上底长2厘米，用这个直角梯形剪去一个最大的圆，剩下的面积是（ ）平方厘米。 16．一张可折叠的圆桌，直径是1.2米，折叠后变成了一个正方形（如图），折叠后的桌面折叠部分是______平方米。（得数保留两位小数） 三、计算题 17．求图中阴影部分的面积。 18．求出下面阴影部分的周长和面积。 周长：             面积： 四、作图题 19．在科技馆中有一个边长为60厘米的正方形实验轨道，轨道中有一个半径为6厘米的圆形车轮（如图），这个圆形车轮沿着正方形实验轨道的内侧刚好转回原处，那么这个圆形车轮的圆心一共移动了多少厘米？请先画出圆心的移动轨迹，然后再计算。 五、解答题 20．实践课上，老师布置大家在操场上画圆。因为没有足够大的圆规，要想办法画出一个半径是5米的大圆，用于后续模拟操场游戏区域的规划。如果是你打算怎么做？ 21．赵阿姨响应“低碳生活、绿色出行”的号召，她每天骑自行车上班。自行车轮胎的外直径是70cm，平均每分钟转100周。赵阿姨骑自行车通过一座长659.4m的桥，需要多少分钟？ 22．聪聪在整理玩具时，测量了一个直角三角形塑料片和一个中间有圆孔的长方形塑料片，所得数据如图所示（单位：cm）。他想把直角三角形塑料片从圆孔穿过去。你认为能穿过去吗？请通过计算说明理由。 23．如图，长方形木片长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米（即线段AC、线段BD都为13厘米），正方形木桩边长为17厘米。木片从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木片滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长多少厘米？（π取3.14） 24．如图所示，公园的人工期上建了一个风车形的小岛，已知小岛中间是边长为20m的正方形，与这个正方形每一条边相连的都是圆心角为90°的扇形，整个小岛的面积是多少平方米？绕这个小岛走一圈是多少米？ 25．2020年6月23日09点43分，北斗卫星导航系统第55颗卫星（最后一颗卫星），在西昌卫星发射中心发射。如图是卫星进入近地轨道后的运行示意图，卫星先从P点处进入一个圆形的近地轨道，在近地轨道飞行了1圈后在P点处变轨，随后进入转移轨道（该转移轨道的起点为近地圆形轨道上的点P，终点为同步圆轨道上的点Q），转移轨道PQ的长度为65000千米，到达远地点时再次变轨，进入圆形同步轨道。北斗55号在同步轨道试运行一圈，进行在轨测试、入网评估等工作，随后正式入网。（结果精确到千米） （地球半径6400千米，近地轨道离地球表面高度为500千米，同步轨道离地球表面高度为35900千米） （1）求近地轨道的半径与周长； （2）求卫星从进入近地轨道到卫星正式入网所飞行的总距离。 26．湛江的市花是紫荆花。某公园计划打造一个紫荆花形状的铁艺地标（设计图如下）。这个图案由一个正方形和四个以正方形边长为直径的半圆组成。已知正方形的边长为6米。 （1）这个图案的总面积是多少平方米？ （2）公园有一批铁艺边框材料。请你帮助设计一个紫荆花图案，使制作一个图案需要的边框长度在30米左右。 你的设计过程： ①我计划将正方形的边长设定为______米。（请填写一个整数或一位小数） ②根据我的设计，制作一个图案需要的边框长度大约是：______米。（写出计算过程） ③我判断这个设计符合要求，因为：（    ）。 27．泸州某校建设有400米跑道的运动场（如下图所示），如果聘请你任工程师，问： （1）若内圈直道长100米，则内圈弯道弧长半径为多少米？（π取值为3.14，得数保留整数） （2）共8个跑道，每条宽1.2米，操场最外圈长多少米？ （3）若操场中心铺绿草，跑道铺塑胶，则各需绿草、塑胶多少平方米？ （4）若绿草50元/平方米，塑胶350元/平方米，学校现有200万元，可以开工吗？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $