专题04 圆的概念、特点及认识五大类型（易错专项训练）数学北师大版六年级上册（新教材）

**基本信息** 聚焦圆的概念认知与应用，通过五大易错专项构建从基础概念到实践操作的递进式训练体系，强化几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的基本认识|5题|概念辨析题，结合生活情境考查圆心、半径本质|从圆的核心定义出发，建立“一中同长”的几何直观| |剪圆问题|5题|实际操作计算题，涉及半径直径关系与图形分割|应用半径直径关系解决平面图形裁剪问题，培养空间观念| |画圆|5题|作图题，要求规范使用工具确定圆心半径|通过动手操作深化对圆的构成要素的理解| |圆的对称性|5题|对称轴辨析与作图题，结合组合图形考查性质|从圆的轴对称性拓展到组合图形的对称分析，发展推理意识| |设计图案|5题|创意作图题，融合圆的性质与美学设计|综合应用圆的特征进行创新设计，提升应用意识与创新意识|

专题04 圆的概念、特点及认识五大类型 易错专项训练一 圆的基本认识 易错专项训练二 剪圆问题（半径、直径的关系） 易错专项训练三 画圆 易错专项训练四 圆的对称性 易错专项训练五 设计和圆有关的图案 易错专项训练一圆的基本认识 1．在等腰三角形ABC中，C，B两顶点在网格点上，每个方格都是边长为1的正方形（如图），已知顶点也在图中的格点上，那么满足条件的点A位置有（    ）个。 A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】三角形ABC为等腰三角形，若BC为底边，那么点A在BC的垂线上，找出该线上的所有格点，且需保证三点不共线； 若BC为腰且B为顶角顶点，那么点A在以B为圆心、BC长为半径的圆上，找出圆上的所有格点，且需保证三点不共线；若BC为腰且C为顶角顶点，那么点A在以C为圆心、BC长为半径的圆上，找出圆上的所有格点，且需保证三点不共线；三类中A点不重复。 【详解】BC为底，顶点A在BC边的垂线上，即在图上大正方形方格的对角线格点上，共有5个点； BC为腰且B为顶角顶点，顶点A在以B为圆心，BC长为半径的圆上，此时满足条件的A点有2个； BC为腰且C为顶角顶点，顶点A在以C为圆心，BC长为半径的圆上，此时满足条件的A点有2个； （个） 综上，满足条件的A点一共有9个。 2．在古代，我国数学史上关于圆的研究记载着不同的说法，下面说法中，描述圆心到圆上的距离一样长的是（    ）。 A．“没有规矩不成方圆” B．“径一而周三” C．“圆一中同长也” D．“圆出于方，方出于矩” 【答案】C 【分析】题干中“圆心到圆上的距离一样长”指的是圆的半径长度都相等，逐项分析即可。 【详解】A．“没有规矩不成方圆”是指画圆需要圆规，画方需要直尺，强调做事需要遵循规则，没有描述圆的半径特征，此选项错误； B．“径一而周三”是指圆的周长大约是直径的倍，反映的是圆周率的早期认识，此选项错误； C．“圆一中同长也”出自《墨经》，“一中”表示有一个中心（圆心），“同长”表示从中心到周边的距离相等（半径相等），符合题意，此选项正确； D．“圆出于方，方出于矩”是指圆可以从正方形切割而来，正方形可以用矩尺画出来，描述的是图形的形成，此选项错误。 3．把硬纸片做成（    ）的车轮，沿直尺的边滚一滚，车轮的中心点的痕迹在一条直线上。 A．三角形 B．正方形 C．圆形 D．椭圆形 【答案】C 【分析】圆的特性：圆的圆心到圆周的距离（半径）处处相等，所以圆形车轮滚动时，中心点到直尺的距离不变，痕迹是直线；其他形状的中心点到边缘距离不固定，滚动时中心点会起伏，痕迹不是直线。 【详解】A．三角形中心到各边距离不等，滚动时中心点会上下跳动，痕迹不是直线，不符合要求。 B．正方形中心到顶点的距离大于到边的距离，滚动到顶点时中心点会升高，痕迹不是直线，不符合要求。 C．圆心到圆上任意一点的距离相等，滚动时中心点到直尺的距离始终不变，痕迹是直线，符合要求。 D．椭圆中心到边缘的距离不固定，滚动时中心点高度会变化，痕迹不是直线，不符合要求。 把硬纸片做成圆形的车轮，沿直尺的边滚一滚，车轮的中心点的痕迹在一条直线上。 4．“圆，一中同长也。”出自中国古代数学著作《墨经》。下列选项中，意思和它相同的是（    ）。 A．在同一个圆中，直径的长度是半径的2倍 B．圆有无数条对称轴 C．圆的周长和它的直径的比值是一个固定的数 D．圆有一个圆心，圆心到圆周上的距离处处相等 【答案】D 【分析】“圆，一中同长也”意为圆有一个中心（圆心），且圆心到圆周上任意一点的距离都相等（即半径长度相同）。据此逐项分析。 【详解】A．描述的是直径和半径的倍数关系，和“一中同长”的含义不直接对应，错误。 B．描述的是圆的对称轴数量，和“一中同长”的含义无关，错误。 C．描述的是圆周率的性质，和“一中同长”的含义无关，错误。 D．“圆有一个圆心，圆心到圆周上的距离处处相等”，正好对应“一中同长”的含义，正确。 故答案为：D 5．在桌面上滚动圆，圆的圆心走过的轨迹是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，同一个圆内，所有的半径都相等，因此在桌面上滚动圆时，圆的圆心距离桌面的距离不变，据此分析。 【详解】 在桌面上滚动圆，因为圆的圆心距离桌面的距离不变，因此圆的圆心走过的轨迹是。 故答案为：C 易错专项训练二剪圆问题（半径、直径的关系） 6．用长20cm、宽12cm的长方形纸片，最多可剪出（    ）个半径为2cm的圆。 A．15 B．30 C．45 【答案】A 【分析】根据正方形内剪最大的圆，圆的直径＝正方形边长，求长方形纸片最多可剪出多少个半径为2cm的圆，相当于求长方形纸片最多可剪出多少个边长为（2×2）cm的正方形，沿着长方形的长可以剪[20÷（2×2）]个，沿着长方形的宽可以剪[12÷（2×2）]个，再相乘，即可求出剪的圆的个数。 【详解】[20÷（2×2）]×[12÷（2×2）] ＝[20÷4]×[12÷4] ＝5×3 ＝15（个） 最多可剪出15个半径为2cm的圆。 故答案为：A 7．在一块长12厘米，宽9厘米的长方形纸上剪半径为1厘米的圆片，最多能剪（    ）个这样的圆片。 A．24 B．27 C．30 D．34 【答案】A 【分析】直径＝半径×2，长方形纸上剪半径为1厘米的圆片的个数就是剪边长2厘米的正方形的个数，沿着长可以剪（12÷2）个，沿着宽可以剪（9÷2）个（结果用去尾法保留近似数），沿着长剪的个数×沿着宽剪的个数＝总个数，据此列式计算。 【详解】1×2＝2（厘米） 12÷2＝6（个） 9÷2≈4（个） 6×4＝24（个） 最多能剪24个这样的圆片。 故答案为：A 8．在一张长30厘米、宽14厘米的长方形纸上，若剪下一个最大的正方形，则这个正方形边长是（ ）厘米；若剪下一个最大的圆，则这个圆的半径是（ ）厘米，最多可以剪下（ ）个这样的圆。 【答案】14 7 2 【分析】在长方形中剪下一个最大的正方形，最大正方形的边长等于长方形的宽； 在长方形中剪下一个最大的圆，最大圆的直径等于长方形的宽，再除以2即为最大圆的半径； 分别用长方形纸的长和宽除以直径求出长方向和宽方向可以剪下的圆的个数，将整数结果相乘即可得到最多剪下的圆的个数。 【详解】长方形纸宽14厘米，所以剪下的最大正方形边长是14厘米； 14÷2＝7（厘米），最大圆的半径是7厘米； 30÷14＝2（个）……2（厘米） 14÷14＝1（个） 2×1＝2（个），最多可以剪下2个这样的圆。 9．在一张长为12cm、宽为9cm的长方形纸片上剪直径为4cm的圆，最多能剪（ ）个这样的圆。 【答案】6 【分析】要在长方形纸片上剪圆，需要分别计算长方形的长和宽分别包含多少个圆的直径，即用长和宽分别除以圆的直径，当商是小数时，利用去尾法取整数，然后将这两个数量相乘，得到能剪出圆的个数。 【详解】12÷4＝3（个） 9÷4≈2（个） 3×2＝6（个） 因此，一张长为12cm、宽为9cm的长方形纸片上剪直径为4cm的圆，最多能剪6个这样的圆。 10．龙龙老师需要用一些半径为1.5厘米的圆形纸片来装饰班级文化墙。如果在一张长22厘米、宽15厘米的长方形纸上剪这样的圆，最多能剪（ ）个。 【答案】35 【分析】长方形的长和宽分别包含几个圆的直径，再相乘即可。 【详解】22÷（1.5×2）×[15÷（1.5×2）] ＝22÷3×[15÷3] ≈7×5 ＝35（个） 最多能剪35个。 【点睛】本题主要考查图形拼组，关键是注意求长方形长和宽分别包含几个圆的直径。 易错专项训练三画圆 11．先画一条通过A、B的直线，再画一个通过A、B两点的最小的圆，并标明圆心与半径。 【答案】 【分析】两点确定一条直线，直接连接A、B画出直线；要画出过A、B两点最小的圆，需让AB为圆的直径，取线段AB中点作为圆心，AB长度的一半作为半径，此时圆直径最短、面积最小。 12．按要求作图。 在图中，以点O为圆心，画一个半径是2厘米的圆。 【答案】 【分析】每个小方格边长表示1厘米，所以从圆心O点开始，沿水平或竖直方向数2个小方格的长度。将圆规两脚的长度取为确定好的半径长度（2格），一脚固定在圆心O点，另一脚绕圆心旋转一周画出圆。 13．按要求完成。 在空白处画一个直径为3厘米的圆，并用字母分别标出它的圆心和半径。（注意保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】任选一点，标记为O，作为圆的圆心，将圆规的一脚固定在圆心O，另一脚调整到距离圆心半径的长度（半径标注为r），保持圆规两脚的距离不变，绕圆心O旋转一周。据此画圆即可。 【详解】3÷2＝1.5（厘米） 如图： 14．以O为圆心，OA为半径画一个圆。 【答案】 【分析】先固定圆规有针的一脚在O点，两个脚之间的距离等于OA的长度，另一个脚旋转一周，画圆即可。 【详解】画图略； 15．在下面的空白处画一个半径是2厘米的半圆形，然后在半圆形内画一个最大的三角形，再求三角形的面积。 【答案】图见详解；4平方厘米 【分析】先确定圆心，然后用圆规把两脚之间的距离打开到2厘米，然后转半圈画出半圆弧，之后把左右两点连接起来就是半圆，要使三角形最大，那么三角形的底是半圆的直径，只有当高是圆的半径的时候，三角形面积最大，根据三角形的面积公式：底×高÷2，代入数据即可求解。 【详解】如下图所示： 2×2＝4（厘米） 4×2÷2＝4（平方厘米） 三角形的面积是4平方厘米。 易错专项训练四圆的对称性 16．下面的轴对称图形中，只有一条对称轴的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形：沿着一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合，这条直线就是对称轴。逐个判断每个选项对称轴的数量。 【详解】A．长方形：可以沿长中点连线、宽中点连线对折，一共有2条对称轴。 B．等边三角形：三条高所在的直线都是对称轴，一共有3条对称轴。 C．正方形：横竖中线、两条对角线，一共4条对称轴。 D．半圆形：只有经过圆弧中点和底边中点的这1条竖直对称轴。 17．请你画出下面各图形的所有对称轴，并在括号里填出各有几条对称轴。 （    ）条             （    ）条               （    ）条              （    ）条 【答案】 【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 （1）这是一个正三角形（等边三角形）和其内切圆的组合图形。正三角形有3条对称轴，每条对称轴都能同时使正三角形和内切圆对折后完全重合。 所以，它有3条对称轴。   （2）这个图形由两个圆心在同一直线上、大小不同的圆组成。只有沿着“两个圆心的连线”对折，图形才能完全重合，且只有这1种对折方式。 所以，它有1条对称轴。   （3）这个图形是大圆内有两个大小相等且关于大圆圆心对称的小圆。沿着“两个小圆圆心的连线”对折，或沿着“垂直于小圆圆心连线且过大圆圆心的直线”对折，图形都能完全重合，共2种对折方式，所以，它有2条对称轴。 （4）这个图形是一个半圆，半圆只有沿着“垂直于直径且过圆心的直线”对折，才能完全重合，且只有这1种对折方式。 所以，它有1条对称轴。 【详解】如图所示： 18．如图所示，乐乐在一个圆中画了一个最大的正方形。这个组合图形有（ ）条对称轴。 【答案】4 【分析】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，直线叫做对称轴，据此确定对称轴的数量。 【详解】 如图，这个组合图形有4条对称轴。 【点睛】关键是熟悉轴对称图形的特点，能确定对称轴的数量。 19．在下面的长方形中画一个最大的圆，使所画的圆与长方形组成一个只有两条对称轴的轴对称图形，并画出所有对称轴。 【答案】 【分析】先确定长方形的中心：连接长方形的两条对角线，交点就是圆心。以交点为圆心，长方形的宽的一半为半径，在中心位置画圆。画出对称轴：一条是长方形的竖直中线（穿过圆心且垂直于长），另一条是长方形的水平中线（穿过圆心且垂直于宽）。据此画图。 【详解】画图略 20．画出下列图形的所有的对称轴。 【答案】 【分析】在同一个平面内，一个图形沿着某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，据此画出给出图形的对称轴即可。 【详解】作图略； 易错专项训练五设计和圆有关的图案 21．如图，是一个美术体逗号。请用圆规在右边的方格中画出同样的美术体逗号。 【答案】见详解 【分析】 先以点A为圆心，1个小方格的边长为半径画出整圆的，再以点B为圆心，2个小方格的边长为半径画出整圆的，最后以点C为圆心，1个小方格的边长为半径画出整圆的，据此作图。 【详解】作图如下： 22．如图每个小方格的边长是1厘米，画2个半径分别是2厘米、3厘米的圆，使它们组成一个轴对称图形。 【答案】（画法不唯一） 【分析】为了使两个圆组成轴对称图形，可将它们的圆心为同一个点，即画同心圆（画法不唯一）。画半径为2厘米的圆：任选一点作为圆心（例如方格纸中某格的顶点），以该点为中心，向四周画半径2厘米（即2个小方格边长）的圆，标注圆心O，画一条半径并标注r＝2cm。画半径为3厘米的圆：以第一个圆的圆心为圆心，以该点为中心，画半径3厘米（即3个小方格边长）的圆，画一条半径，标注R＝3cm。 【详解】作图略 23．用两个圆、两个三角形、两条线段，设计出一个有意义的图形。 如： 我的设计： 【答案】 【分析】图形的设计首先要明确元素，其次联想组合，从简单形象入手，然后赋予意义，确定组合图形后，给它一个合理“身份”，让图形有故事性、表意性。最后验证调整，检查是否用全给定元素，元素是否自然，若元素遗漏或组合生硬，就调整图形的位置、大小，让整体更加协调。 【详解】 24．借助圆规和直尺照样子画出与下列两幅图一样的图形。 【答案】 【分析】左图：用直尺画出正方形，确定边长，这是图形的外轮廓基础，以正方形四条边的中点为圆心（可通过直尺测量边长取中点），以正方形边长的一半为半径，用圆规分别在相邻边中点间画圆弧，四条边对应画出的圆弧就组成花瓣形图案 。 右图：用圆规确定圆心和半径，画出外侧大圆，找到大圆水平与垂直方向的直径（用直尺辅助绘制），将直径等分成若干段（观察图形可确定分割方式），以特定分段点为圆心（根据图形对称及曲线形态，确定圆心位置），以合适长度为半径（结合大圆半径及图形比例），用圆规画圆弧，组合这些圆弧得到内部曲线图案 。 【详解】 25．在下边的方格图中仿照左边的图案画一画。      【答案】见详解 【分析】第一个图形是以半径为一个方格、以“田”字形上下左右中间点为圆心画出4个半圆得到图形；第二个图形以半径为一个方格、以“田”字形上下左右中间点为圆心画出4个圆，将两两圆重合部分涂色得出。 【详解】可画出图如下： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆的概念、特点及认识五大类型 易错专项训练一 圆的基本认识 易错专项训练二 剪圆问题（半径、直径的关系） 易错专项训练三 画圆 易错专项训练四 圆的对称性 易错专项训练五 设计和圆有关的图案 易错专项训练一圆的基本认识 1．在等腰三角形ABC中，C，B两顶点在网格点上，每个方格都是边长为1的正方形（如图），已知顶点也在图中的格点上，那么满足条件的点A位置有（    ）个。 A．5 B．6 C．7 D．9 2．在古代，我国数学史上关于圆的研究记载着不同的说法，下面说法中，描述圆心到圆上的距离一样长的是（    ）。 A．“没有规矩不成方圆” B．“径一而周三” C．“圆一中同长也” D．“圆出于方，方出于矩” 3．把硬纸片做成（    ）的车轮，沿直尺的边滚一滚，车轮的中心点的痕迹在一条直线上。 A．三角形 B．正方形 C．圆形 D．椭圆形 4．“圆，一中同长也。”出自中国古代数学著作《墨经》。下列选项中，意思和它相同的是（    ）。 A．在同一个圆中，直径的长度是半径的2倍 B．圆有无数条对称轴 C．圆的周长和它的直径的比值是一个固定的数 D．圆有一个圆心，圆心到圆周上的距离处处相等 5．在桌面上滚动圆，圆的圆心走过的轨迹是（    ）。 A． B． C． 易错专项训练二剪圆问题（半径、直径的关系） 6．用长20cm、宽12cm的长方形纸片，最多可剪出（    ）个半径为2cm的圆。 A．15 B．30 C．45 7．在一块长12厘米，宽9厘米的长方形纸上剪半径为1厘米的圆片，最多能剪（    ）个这样的圆片。 A．24 B．27 C．30 D．34 8．在一张长30厘米、宽14厘米的长方形纸上，若剪下一个最大的正方形，则这个正方形边长是（ ）厘米；若剪下一个最大的圆，则这个圆的半径是（ ）厘米，最多可以剪下（ ）个这样的圆。 9．在一张长为12cm、宽为9cm的长方形纸片上剪直径为4cm的圆，最多能剪（ ）个这样的圆。 10．龙龙老师需要用一些半径为1.5厘米的圆形纸片来装饰班级文化墙。如果在一张长22厘米、宽15厘米的长方形纸上剪这样的圆，最多能剪（ ）个。 易错专项训练三画圆 11．先画一条通过A、B的直线，再画一个通过A、B两点的最小的圆，并标明圆心与半径。 12．按要求作图。 在图中，以点O为圆心，画一个半径是2厘米的圆。 13．按要求完成。 在空白处画一个直径为3厘米的圆，并用字母分别标出它的圆心和半径。（注意保留作图痕迹） 14．以O为圆心，OA为半径画一个圆。 15．在下面的空白处画一个半径是2厘米的半圆形，然后在半圆形内画一个最大的三角形，再求三角形的面积。 易错专项训练四圆的对称性 16．下面的轴对称图形中，只有一条对称轴的是（    ）。 A． B． C． D． 17．请你画出下面各图形的所有对称轴，并在括号里填出各有几条对称轴。 （    ）条             （    ）条               （    ）条              （    ）条 18．如图所示，乐乐在一个圆中画了一个最大的正方形。这个组合图形有（ ）条对称轴。 19．在下面的长方形中画一个最大的圆，使所画的圆与长方形组成一个只有两条对称轴的轴对称图形，并画出所有对称轴。 20．画出下列图形的所有的对称轴。 易错专项训练五设计和圆有关的图案 21．如图，是一个美术体逗号。请用圆规在右边的方格中画出同样的美术体逗号。 22．如图每个小方格的边长是1厘米，画2个半径分别是2厘米、3厘米的圆，使它们组成一个轴对称图形。 23．用两个圆、两个三角形、两条线段，设计出一个有意义的图形。 如： 我的设计： 24．借助圆规和直尺照样子画出与下列两幅图一样的图形。 25．在下边的方格图中仿照左边的图案画一画。      2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $