第3章 3.2 3.2.1 第2课时 函数的最大值、最小值-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课时作业（人教A版）

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、进阶应用、拓展探究三层设计，覆盖函数最值、单调性等核心知识点，梯度合理，适配新授课知识内化与能力提升，体现数学眼光、思维与语言的素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一函数最值概念（图象、一次函数）|直接应用概念，题型为单选、填空（如1由图象判断最值）| |进阶层|函数性质综合应用（二次函数、分段函数、实际问题）|结合性质推理，含多选与中档解答（如5二次函数单调性分析）| |拓展层|探究性与创新应用（存在性问题、新定义、跨知识点综合）|融入新定义与开放探究，题型为综合解答（如12“黄金区间”问题）|

1．函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．－2，f(2)　　　　　　 B．2，f(2) C．－2，f(5) D．2，f(5) 答案：C 2．若一次函数y＝kx＋5在[－1,2]上的最小值和最大值分别为－1和8，则k的值是(　　) A．6　　　 B．3　　　 C．－3　　　 D．－4 答案：C 3．函数f(x)＝x＋，x∈[1,2](　　) A．有最大值5，无最小值 B．有最小值4，无最大值 C．有最大值5，最小值4 D．无最大值和最小值 答案：C 4．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋x2(万元)，x∈N*.若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为(　　) A．18件 B．36件 C．22件 D．9件 答案：A 5．(多选)已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1]上单调递减，则函数g(x)＝在区间(0,1]上一定(　　) A．有最大值 B．有最小值 C．单调递增 D．单调递减 解析：BD　[二次函数f(x)＝x2－2ax＋a图象的对称轴为直线x＝a，因为函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1]上单调递减，所以a≥1.g(x)＝x＋－2a，该函数在(0，)上单调递减，而a≥1，所以当x∈(0,1]时，函数g(x)单调递减，且有最小值，为g(1)＝1－a.] 6．(多选)已知函数f(x)＝(m∈R)，则下列命题正确的是(　　) A．当m＝0时，函数最大值为1 B．当m＝1时，函数最大值为0 C．若f(x)存在最大值，则m≥ D．∀m∈R，f(x)在(－1，＋∞)上不可能单调递减 解析：BC　[A选项，当m＝0时，y＝－2x＋1在(0，＋∞)上单调递减，故y＝－2x＋1＜1； y＝－x2－2x－1＝－(x＋1)2在(－∞，－1)上单调递增，在[－1,0]上单调递减， 故y＝－(x＋1)2≤－(－1＋1)2＝0，所以当m＝0时，函数最大值不存在，故A错误；B选项，当m＝1时，y＝－2x＋1在(1，＋∞)上单调递减，故y＝－2x＋1＜－1； y＝－(x＋1)2在(－∞，－1)上单调递增，在[－1,1]上单调递减， 故y＝－(x＋1)2≤－(－1＋1)2＝0，所以当m＝1时，函数最大值为0，故B正确；C选项，因为y＝－2x＋1在(m，＋∞)上单调递减，所以y＝－2x＋1＜1－2m； 若m≤－1，则y＝－(x＋1)2在(－∞，m]上单调递增，则y＝－(x＋1)2≤－(m＋1)2. 因为m≤－1，所以1－2m＞0≥－(m＋1)2，此时f(x)无最大值； 若m＞－1，则y＝－(x＋1)2在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，m]上单调递减， 则y＝－(x＋1)2≤0，要使f(x)存在最大值，则1－2m≤0，解得m≥，故C正确；D选项，注意到当m＝－1，x＞m＝－1时，f(x)＝－2x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，故D错误．] 7．函数f(x)＝在[1,2]上的最大值和最小值分别是　________　. 解析：f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，所以f(x)max＝f(2)＝， f(x)min＝f(1)＝1. 答案：，1 8．已知函数f(x)＝－x2－4x＋2在[m,0]上的值域为[2,6]，则m的取值范围是　________　. 解析：二次函数f(x)＝－x2－4x＋2图象的对称轴为直线x＝－2，f(x)在[m,0]上的值域为[2,6]，f(0)＝f(－4)＝2，f(－2)＝6，由图可知m∈[－4，－2]． 答案：[－4，－2] 9．已知二次函数f(x)＝－x2＋x，如果存在实数m，n(m<n)，使得f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m,3n]，那么m＝　________　，n＝　________　. 解析：根据题意，得二次函数f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋图象的对称轴为直线x＝1，最大值为. ①当m<n≤1时，f(x)在[m，n]上单调递增， 则 解得m＝－4，n＝0，此时m＋n＝－4； ②当m<1<n时，f(x)的最大值为f(1)＝＝3n，解得n＝，与m<1<n矛盾，不符合题意； ③当1≤m<n时，f(x)在[m，n]上单调递减， 若f(x)的值域为[3m,3n]，则必有3n≤，解得n≤，不符合题意．故m＝－4，n＝0. 答案：－4　0 10．已知函数f(x)＝，x∈[2,5]． (1)判断该函数在区间[2,5]上的单调性，并给予证明； (2)求该函数在区间[2,5]上的最大值与最小值． 解：(1)f(x)＝在区间[2,5]上是减函数． 证明如下：任意取x1，x2∈[2,5]且x1＜x2， 则f(x1)＝，f(x2)＝. f(x2)－f(x1)＝－ ＝. ∵2≤x1＜x2≤5， ∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0. ∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1)． ∴f(x)＝在区间[2,5]上是减函数． (2)由(1)可知f(x)＝在区间[2,5]上是单调递减的，故任意的x∈[2,5]均有f(5)≤f(x)≤f(2)， ∴f(x)max＝f(2)＝＝2. f(x)min＝f(5)＝＝. 11．在①∀x∈[－2,2]；②∃x∈[1,3]这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题． 已知函数f(x)＝x2＋ax＋4. (1)当a＝－2时，求f(x)在[－2,2]上的取值范围； (2)若　________　，f(x)≥0，求实数a的取值范围． 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，则f(x)在[－2,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增， ∴f(x)在[－2,2]上的最小值为f(1)＝3，f(x)在[－2,2]上的最大值为max{f(－2)，f(2)}＝max{12,4}＝12， ∴f(x)在[－2,2]上的取值范围为[3,12]． (2)选择条件①： 当－≤－2，即a≥4时，f(x)在[－2,2]上单调递增， ∴f(x)在[－2,2]上的最小值为f(－2)＝8－2a≥0，解得a≤4，又a≥4，∴a＝4； 当－2＜－＜2，即－4＜a＜4时， f(x)在上单调递减， 在上单调递增， ∴f(x)在[－2,2]上的最小值为f＝4－≥0， 解得－4≤a≤4，又－4＜a＜4，∴－4＜a＜4. 当－≥2，即a≤－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，∴f(x)在[－2,2]上的最小值为f(2)＝8＋2a≥0，解得a≥－4，又≤－4，∴a＝－4. 综上所述，实数a的取值范围是[－4,4]． 选择条件②： ∵∃x∈[1,3]，f(x)≥0， ∴当x∈[1,3]时，f(x)max≥0， 即max{f(1)，f(3)}≥0， ∴f(1)≥0或f(3)≥0，解得a≥－5或a≥－. ∴a≥－5，即实数a的取值范围是[－5，＋∞)． 12．对于定义域为I的函数，如果存在区间[m，n]⊆I，同时满足下列两个条件： ①f(x)在区间[m，n]上是单调的； ②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是函数y＝f(x)的一个“黄金区间”．如果[m，n]是函数f(x)＝(a≠0)的一个“黄金区间”，则n－m的最大值为(　　) A. B．1 C. D．2 解析：C　[由题意，f(x)＝＝－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，而函数f(x)在“黄金区间”[m，n]上单调，所以[m，n]⊆(－∞，0)或[m，n]⊆(0，＋∞)，且f(x)在[m，n]上单调递增，故即m，n为方程－＝x的两个同号实数根， 即方程a2x2－(a2＋a)x＋1＝0有两个同号的实数根，因为mn＝＞0，所以只需要Δ＝(a2＋a)2－4a2＞0⇔a＜－3或a＞1， 又所以n－m＝＝＝，则当a＝3时，n－m有最大值.] 13．已知函数f(x)＝，且满足f(0)＝0，f(1)＝. (1)判断f(x)在[－2,2]上的单调性，并用定义证明； (2)设g(x)＝kx2＋2kx＋1(k≠0)，若对任意的x1∈[－2,2]，总存在x2∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围． 解：(1)由函数f(x)＝满足f(0)＝0，f(1)＝， 可得解得 则f(x)＝. f(x)在[－2,2]上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈[－2,2]，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝， 由－2≤x1＜x2≤2，可得x1x2＜4， 又x1－x2＜0，x＋4＞0，x＋4＞0， 则＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在[－2,2]上单调递增． (2)对任意的x1∈[－2,2]，由f(x)在[－2,2]上单调递增， 可得f(－2)≤f(x1)≤f(2)，即－≤f(x1)≤， 则f(x)在[－2,2]上的值域A＝. 函数y＝kx2＋2kx＋1(k≠0)图象的对称轴为直线x＝－1， 当k＞0时，g(x)＝kx2＋2kx＋1在[－1,2]上单调递增， 值域B＝[－k＋1,8k＋1]， 由题意可得A⊆B，则 解得k≥； 当k＜0时，g(x)＝kx2＋2kx＋1在[－1,2]上单调递减， 值域B＝[8k＋1，－k＋1]， 由题意可得A⊆B，则 解得k≤－. 综上，实数k的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $