专题02 小数除法（解决问题讲义）数学人教版五年级上册（新教材）

该小学数学讲义通过考点梳理构建小数除法解决问题的知识网络，以框架图呈现6大核心考点的核心思路、方法技巧及易错点，用表格归纳分段计费等题型的收费标准，体现从一般实际问题到特殊方法（进一法、去尾法）再到复杂问题的递进关系。 讲义亮点在于分层练习设计，夯实基础题如“比较康乃馨与百合单价”培养抽象能力，培优题“机器人充电巡展”发展运算能力，思维拓展题“代驾计费”强化模型意识。典型例题配变式训练，易错点提醒助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

（新教材）人教版五年级数学上册解决问题 专题02：小数除法 （考点梳理+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：利用小数除法解决一般实际问题 1．核心思路：把总量平均分，求1份用除法；求总量里包含几个单一量也用除法；被除数÷除数=小数商。 2．方法技巧 （1）等分除：总数÷份数=每份数； （2）包含除：总数÷每份数=份数； （3）除数是小数时，利用商不变性质转化为整数除法再计算。 【易错点】 （1）商的小数点与转化后被除数小数点对齐； （2）单位统一再列式计算。 考点02：与小数点移动相关的和差倍问题 1．核心思路：小数点右移1位→扩大10倍；左移1位→缩小到原来；设较小数为1倍量，大数是10倍、100倍，结合和差关系用除法求1倍量。 2．方法技巧 （1）和倍：和÷（倍数+ 1）=小数； （2）差倍：差 ÷（倍数−1）=小数； （3）小数×倍数=大数。 【易错点】 （1）分清谁是原数、谁是移动后的数； （2）求出小数后验算两数和/差是否符合题意。 考点03：错中求解问题（小数点看错、除数/被除数抄错） 1．核心思路：抓住不变量：除数看错则被除数不变；被除数看错则除数不变；根据错误算式反推不变量，再代入正确数字计算。 2．方法技巧 （1）被除数小数点右移，被除数变大，商同步扩大；左移则商缩小； （2）除数小数点右移，除数变大，商缩小；左移商扩大； （3）步骤：先用错误条件求出不变量→代入正确数字求正确商。 3．计算逻辑 （1）被除数看错：不变量= 除数=错误被除数÷错误商； （2）除数看错：不变量=被除数=错误除数×错误商； （3）正确商=正确被除数÷正确除数 【易错点】 （1）区分看错的是被除数还是除数，两者对商的影响相反； （2）小数点移动倍数不要颠倒； （3）求出不变量后必须用原题正确数字重新计算。 考点04：用“进一法”解决问题 1．核心思路：先通过小数除法算出商；只要有余数，无论小数部分是几，都向整数部分进1，取比商大的最小整数。 2．方法技巧 （1）列式：总数量÷每个容器承载量=商； （2）判断场景：需要全部装完、不能剩余，选用进一法； （3）取值规则：舍去小数部分，整数部分+1。 【易错点】 （1）适用场景关键词：桶、箱、车、船、袋子、载人、运货； （2）不能用四舍五入，小数部分哪怕0.1也要进1； （3）答题必须说明理由：剩余物品也需要1个容器，用进一法。 考点05：用“去尾法”解决问题 1．核心思路：小数除法算出商；小数部分代表不够做一件成品的废料，直接全部舍去，只取整数部分。 2．方法技巧 （1）列式：总材料÷单件用料=商； 判断场景：只取完整成品，零碎材料无用，选用去尾法； 取值规则：直接去掉小数部分，只保留整数。 【易错点】 （1）适用关键词：做衣服、扎花、包装礼盒、裁绳子、买整件商品； （2）不四舍五入，无论小数多大，一律舍去； （3）区分进一法和去尾法：看余数要不要单独占用工具/材料。 考点06：分段计费问题 1．核心思路：出租车计价、水电费、快递费、通话费；收费分两段，基础段单价低，超出部分单价高，已知总费用求用量。总费用分为两部分：基础固定费用 + 超出部分费用；已知总钱数反推总用量，先用减法去掉基础费，再用除法算出超出量，相加得到总量。 2．方法技巧 （1）第一步：总费用−基础段费用=超出部分总价； （2）第二步：超出总价÷超出单价=超出数量； （3）第三步：基础上限数量+超出数量=总用量。 【易错点】 （1）看清分界标准，不要全部按高价计算； （2）若总费用未超过基础费，用量只在基础区间，无超出部分； （3）结果若为路程、通话时长，根据题意保留一位或两位小数；人民币保留两位小数。 考点01：利用小数除法解决一般实际问题 【典型例题】妈妈去超市买牛奶，A品牌牛奶4盒装售价48.8元，B品牌牛奶6盒装售价70.2元。请你算一算，哪种品牌的牛奶单价更便宜？每盒便宜多少钱？ 【练习1】服装厂原来做一套衣服要用3.6米布，改进工艺后，每套少用0.2米布，原来做170套衣服的布现在可以做多少套？ 【练习2】为什么共享单车扫码后可以自动开锁？因为车筐中的太阳能发电板可以给电子锁供电。太阳能发电板1小时可以发电1.2瓦时，电子锁1小时耗电0.06瓦时，太阳能发电板每天工作多少小时就可以满足电子锁一天的用电量？（瓦时为电能单位） 考点02：与小数点移动相关的和差倍问题 【典型例题】刘阿姨在超市买了两件不同的商品，由于把其中一件商品的价格的小数点看错了一位，所以她只付给了收银员25元，而收银员说她应付41.65元。实际两件商品各多少元？ 【练习1】六一儿童节，六（3）班举行了班级联欢晚会，在整理账目时，发现现金多了273.6元，经查帐发现原来是有一笔支出款的小数点点错了一位。这笔款是多少元呢？先说说你的思考过程，再解答。 【练习2】已知甲、乙两个数的和是24.2，当甲数的小数点向左移动一位时正好等于乙数。甲、乙两数各是多少？ 考点03：错中求解问题 【典型例题】小明在计算268.26除以一个数时，错将除数的小数点向右移动了一位，其结果得10.2，知道原来的除数是多少吗？ 【练习1】小明在计算18.72除以一个两位小数时，漏写了除数的小数点，结果得0.36，那么正确的除数和商各是多少？你能用不同的方法求解吗？ 【练习2】小明在计算一道除法算式时，把被除数14.7错看成17.4，得到的商比原来多4.5。则这道除法算式正确的商是多少？ 考点04：用“进一法”解决问题 【典型例题】工地要运52吨黄沙盖房子，大货车每次运4.8吨，运了5次后坏了，剩下的用小面包车运，每次运2.6吨，还要几次才能运完？ 【练习1】福州是茉莉花茶的发源地，已有近千年历史，2024年入选全国名特优新农产品名录。王叔叔家新加工了2.88kg茉莉花茶，要分装到包装袋中，每个包装袋最多能装0.15kg茉莉花茶，至少需要准备多少个这样的包装袋？ 【练习2】广德芦塘鱼灯，是广德当地极具代表性的非遗手工艺品，承载着民俗文化与乡土记忆。手艺人准备了42.5米长的竹条制作广德芦塘鱼灯。 （1）制作一个广德芦塘鱼灯需要0.75米竹条，这些竹条最多可以制作多少个广德芦塘鱼灯？ （2）每盒最多能装9个鱼灯，要将上题制作出的广德芦塘鱼灯全部装完，至少需要多少个盒子？ 考点 05：用“去尾法”解决问题 【典型例题】李老师要用100元买一些文具作为“数学小讲师”的奖品，他先花65.4元买了6盒彩笔，并准备用剩下的钱买一些软皮本，软皮本每本2.5元。李老师还可以买几本软皮本？ 【练习1】汉字书法被誉为：无言的诗、无形的舞、无图的画、无声的乐。文化节开设“笔墨书香”手工工坊，小欣报名参加书法体验活动，带了40元采购毛笔和宣纸。她买毛笔花了21.5元，剩下的钱全部用来买宣纸，宣纸每张2.5元，她最多能买几张宣纸来完成书法作品？ 【练习2】温州米塑是以熟米粉团为原料，经揉、捏、掐、刻制成各类造型的传统民俗工艺，与北方面塑并称中国食品塑作双绝。米塑师傅王伯伯准备用15千克的米粉团做寿桃，做一个寿桃需要0.4千克米粉，最多可以做多少个寿桃？ 考点06：分段计费问题 【典型例题】自驾游，看世界。居家休整后，张璇一家要外出旅游。在某风景区停车，停车场收费标准如下表所示。他们付了停车费19.5元，他们在这个停车场停车多少小时？ 收费标准 （1）1小时及以内5.5元。 （2）超过1小时的部分，按每小时3.5元收费（不足1小时，按1小时计算）。 【练习1】漳江小学五（2）班同学参加桃花源研学活动，他们准备合影留念，洗印照片的收费标准如下： 洗印张数 收费标准 10张以内（含10张） 总价15元 超过10张的部分 每张1.2元 五（2）班洗印纪念照一共花了63元，他们一共洗印了多少张照片？ 【练习2】为鼓励居民节约用水，某自来水公司制订下列收费办法： 每户每月用水10吨以内（含10吨）价格是1.7元/吨； 超出10吨的部分，按2.5元/吨收取。 桥桥家十二月份缴水费22.5元，他家十二月份用水多少吨？ 夯实基础 1．8支康乃馨16.8元，9支百合27.9元。算式“27.9÷9－16.8÷8”解决的问题是（     ）。 A．1支康乃馨和1支百合共多少钱？ B．8支康乃馨比9支百合便宜多少钱？ C．1支康乃馨比1支百合贵多少钱？ D．1支康乃馨比1支百合便宜多少钱？ 2．“苏韵乡情”农产品展销会上，某农户将一根4.8米长的蚕丝带，每8.5厘米裁成一段做香囊挂绳，这根蚕丝带最多可以做（     ）个挂绳。 A．55 B．56 C．57 D．58 3．张大伯家今年一共收获了21.6吨白菜，用一辆载重4吨的卡车来运，至少（     ）次才能运完。 A．4 B．5 C．5.4 D．6 4．洪老师给同学们买了8本《数学世界》和6本《童话故事》，一共花了114.8元。每本《数学世界》11.5元，每本《童话故事》（     ）元。 A．3.8 B．8.2 C．14.35 D．19.1 5．同一种毛巾，甲超市卖13元2条，乙超市卖19元3条，丙超市卖35元6条，（     ）超市卖得最便宜。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法比较 6．做一种布娃娃，每个需要0.35米布。有3米布，最多可以做（ ）个这样的布娃娃。 7．农民伯伯用60千克油菜籽榨出24千克菜籽油，照这样计算：每千克油菜籽能榨出（ ）千克菜籽油，榨1千克菜籽油要（ ）千克油菜籽。 8．武穴芝麻月饼6袋78.9元，每袋价格是（ ）元，商保留两位小数是（ ）。 9．小红在计算41.58除以一个数时，由于商的小数点错误地向左移了一位，结果是2.31，这道算式的除数是（ ）。 10．妈妈去鱼摊买鱼，已知每千克鱼24元，妈妈付给鱼摊老板60元，找回7.2元。妈妈买的鱼重（ ）kg。 11．杜仲是一种著名的植物药材。现特制一种杜仲茶，每剂茶需要杜仲4.5g，那么40g杜仲最多可以制（ ）剂这样的杜仲茶。 12．一个瓶子最多可装400毫升的油，现有2100毫升油，至少需要（ ）个瓶子。 13．科技文化节的机器人展示区，一台巡展机器人充满电需要约1.5小时，充满电后可在展区内自主巡展约500米。该机器人平均充电1小时可以巡展（ ）米（得数保留一位小数），平均每巡展1米约（ ）小时。 14．一辆电动汽车行驶38km大约耗电5.7千瓦时，这辆电动汽车平均行驶1km耗电（ ）千瓦时，平均每千瓦时电大约能使这辆电动汽车行驶（ ）km（得数保留两位小数）。 15．将一根钢管锯成若干段，共用0.8小时，每锯一次要0.16小时，锯了（ ）次，锯下的钢管每段长0.6米，这根钢管长（ ）米。 16．“湘超”联赛常德队闯进决赛后，球迷们赶制一批粉色应援短袖为球队助威。已知制作一件粉色短袖需要布料1.5m，每卷布料长20m。一卷布最多可以做（ ）件短袖；如果要制作500件短袖，最少需要买（ ）卷同款布料。 17．一台拖拉机5小时耕地2.5公顷，照这样计算，耕1公顷需要（ ）小时，1.2小时可以耕地（ ）公顷。 培优拔高 18．2025年国庆期间，黄鹤楼景区8天接待游客32万人次，黄鹤楼高51.4米，每层高度约是6.425米，黄鹤楼一共有多少层？ 19．三峡电站2024年一季度发电140.15亿千瓦时，葛洲坝电站同期发电34.30亿千瓦时，三峡电站的月均发电量比葛洲坝多多少亿千瓦时？（结果保留两位小数） 20．家具厂生产一支中性笔，原来每个笔身要1.8元的塑料材料，优化模具以后每个笔身仅需1.2元的材料，原来准备生产300支中性笔的塑料材料，现在可以生产多少支？ 21．东湖绿道全长约101.98公里，小明一家骑行，爸爸每小时骑15.2公里，妈妈的速度是爸爸的0.8倍，妈妈骑行完全程需要多久？（结果保留两位小数） 22．学校举行“庆元旦”长跑比赛，全程2.4千米。在起点和终点之间每隔0.3千米设置一个服务站（起点和终点也设）。比赛开始后，所有服务站同时派出一名志愿者给运动员递水。 （1）一共需要设置多少个服务站？ （2）李老师跑完全程一共用了15分钟，平均每分钟跑多少千米 23．某市城区居民每月每户原来用水缴费每吨2.80元，为鼓励居民节约用水，现做如下调整：每户每月20吨以内（含20吨）水费为2.45元/吨；超过20吨的部分按3.20元/吨收取。备注：不足1吨的按1吨收取费用。 （1）张奶奶家上个月用水20.1吨，应缴纳水费多少钱？ （2）石叔叔家上个月缴纳水费65元，他家上月最多用水多少吨？ 思维拓展 24．代驾是指当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为。某平台日常代驾计费标准如下表：           行驶里程时间段 7千米以内（含7千米） 超过7千米的部分 7∶00～21∶59 45元 每千米3.5元 22∶00～次日6∶59 68元 每千米4.5元 说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算。 李叔叔在饭店参加聚会，22∶30聚会结束，他在该平台预约了代驾服务。服务结束后，李叔叔支付了117.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ （新教材）人教版五年级数学上册解决问题 专题02：小数除法 （考点梳理+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：利用小数除法解决一般实际问题 1．核心思路：把总量平均分，求1份用除法；求总量里包含几个单一量也用除法；被除数÷除数=小数商。 2．方法技巧 （1）等分除：总数÷份数=每份数； （2）包含除：总数÷每份数=份数； （3）除数是小数时，利用商不变性质转化为整数除法再计算。 【易错点】 （1）商的小数点与转化后被除数小数点对齐； （2）单位统一再列式计算。 考点02：与小数点移动相关的和差倍问题 1．核心思路：小数点右移1位→扩大10倍；左移1位→缩小到原来；设较小数为1倍量，大数是10倍、100倍，结合和差关系用除法求1倍量。 2．方法技巧 （1）和倍：和÷（倍数+ 1）=小数； （2）差倍：差 ÷（倍数−1）=小数； （3）小数×倍数=大数。 【易错点】 （1）分清谁是原数、谁是移动后的数； （2）求出小数后验算两数和/差是否符合题意。 考点03：错中求解问题（小数点看错、除数/被除数抄错） 1．核心思路：抓住不变量：除数看错则被除数不变；被除数看错则除数不变；根据错误算式反推不变量，再代入正确数字计算。 2．方法技巧 （1）被除数小数点右移，被除数变大，商同步扩大；左移则商缩小； （2）除数小数点右移，除数变大，商缩小；左移商扩大； （3）步骤：先用错误条件求出不变量→代入正确数字求正确商。 3．计算逻辑 （1）被除数看错：不变量= 除数=错误被除数÷错误商； （2）除数看错：不变量=被除数=错误除数×错误商； （3）正确商=正确被除数÷正确除数 【易错点】 （1）区分看错的是被除数还是除数，两者对商的影响相反； （2）小数点移动倍数不要颠倒； （3）求出不变量后必须用原题正确数字重新计算。 考点04：用“进一法”解决问题 1．核心思路：先通过小数除法算出商；只要有余数，无论小数部分是几，都向整数部分进1，取比商大的最小整数。 2．方法技巧 （1）列式：总数量÷每个容器承载量=商； （2）判断场景：需要全部装完、不能剩余，选用进一法； （3）取值规则：舍去小数部分，整数部分+1。 【易错点】 （1）适用场景关键词：桶、箱、车、船、袋子、载人、运货； （2）不能用四舍五入，小数部分哪怕0.1也要进1； （3）答题必须说明理由：剩余物品也需要1个容器，用进一法。 考点05：用“去尾法”解决问题 1．核心思路：小数除法算出商；小数部分代表不够做一件成品的废料，直接全部舍去，只取整数部分。 2．方法技巧 （1）列式：总材料÷单件用料=商； 判断场景：只取完整成品，零碎材料无用，选用去尾法； 取值规则：直接去掉小数部分，只保留整数。 【易错点】 （1）适用关键词：做衣服、扎花、包装礼盒、裁绳子、买整件商品； （2）不四舍五入，无论小数多大，一律舍去； （3）区分进一法和去尾法：看余数要不要单独占用工具/材料。 考点06：分段计费问题 1．核心思路：出租车计价、水电费、快递费、通话费；收费分两段，基础段单价低，超出部分单价高，已知总费用求用量。总费用分为两部分：基础固定费用 + 超出部分费用；已知总钱数反推总用量，先用减法去掉基础费，再用除法算出超出量，相加得到总量。 2．方法技巧 （1）第一步：总费用−基础段费用=超出部分总价； （2）第二步：超出总价÷超出单价=超出数量； （3）第三步：基础上限数量+超出数量=总用量。 【易错点】 （1）看清分界标准，不要全部按高价计算； （2）若总费用未超过基础费，用量只在基础区间，无超出部分； （3）结果若为路程、通话时长，根据题意保留一位或两位小数；人民币保留两位小数。 考点01：利用小数除法解决一般实际问题 【典型例题】妈妈去超市买牛奶，A品牌牛奶4盒装售价48.8元，B品牌牛奶6盒装售价70.2元。请你算一算，哪种品牌的牛奶单价更便宜？每盒便宜多少钱？ 【答案】B品牌；0.5元 【分析】首先根据“单价＝总价÷数量”的公式分别计算A、B品牌的单盒价格；得到两个单价后，对两个数值进行大小比较，判断出哪个单价更低；用较高的单价减去较低的单价，即可得到每盒便宜的金额。 【详解】（元） （元） 所以B品牌牛奶单价更便宜。 （元） 答：B品牌牛奶单价更便宜，每盒便宜0.5元。 【练习1】服装厂原来做一套衣服要用3.6米布，改进工艺后，每套少用0.2米布，原来做170套衣服的布现在可以做多少套？ 【答案】180套 【分析】先用原来每套衣服用布的米数乘原来做的套数，求出布料的总长度；再用原来每套用布的米数减去改进后每套少用的米数，求出现在每套衣服用布的米数；最后用布料的总长度除以现在每套衣服用布的米数，即可求出现在可以做的套数。 【详解】3.6×170÷（3.6－0.2） ＝612÷3.4 ＝180（套） 答：原来做180套衣服的布现在可以做180套。 【练习2】为什么共享单车扫码后可以自动开锁？因为车筐中的太阳能发电板可以给电子锁供电。太阳能发电板1小时可以发电1.2瓦时，电子锁1小时耗电0.06瓦时，太阳能发电板每天工作多少小时就可以满足电子锁一天的用电量？（瓦时为电能单位） 【答案】1.2小时 【分析】一天等于 24 小时，先根据电子锁1小时耗电0.06瓦时，用0.06乘24求出电子锁一天的总耗电量，再用求出的总耗电量除以太阳能发电板1小时的发电量1.2瓦时，求出发电板每天需要工作的时长。 【详解】一天＝24小时 0.06×24÷1.2 ＝1.44÷1.2 ＝1.2（小时） 答：太阳能发电板每天工作1.2小时就可以满足电子锁一天的用电量。 考点02：与小数点移动相关的和差倍问题 【典型例题】刘阿姨在超市买了两件不同的商品，由于把其中一件商品的价格的小数点看错了一位，所以她只付给了收银员25元，而收银员说她应付41.65元。实际两件商品各多少元？ 【答案】18.5元；23.15元 【分析】根据题意，由于把其中一件商品的价格的小数点看错了一位，导致少付了（41.65－25）元；这个差额是因为她把一件商品的价格缩小到原来的，可以把这件商品正确的价格看作1份，则看错的价格是0.1份，相差（1－0.1）份；用差额除以份数差，求出一份数，也就是这件商品正确的价格；再用应付的价钱减去这件商品正确的价格，即是另一件商品的价格。 【详解】（41.65－25）÷（1－0.1） ＝16.65÷0.9 ＝18.5（元） 41.65－18.5＝23.15（元） 答：实际两件商品分别是18.5元和23.15元。 【练习1】六一儿童节，六（3）班举行了班级联欢晚会，在整理账目时，发现现金多了273.6元，经查帐发现原来是有一笔支出款的小数点点错了一位。这笔款是多少元呢？先说说你的思考过程，再解答。 【答案】思考过程见详解；304元 【分析】由题可知，支出款的小数点点错了一位，现金多了273.6元，则表示支出款的小数点向左移动了一位，记录的支出款是原金额的0.1倍，用273.6元除以（1－0.1）求出记录的支出款。 【详解】思考过程：现金多了273.6元，即记录支出部分少算了273.6元，结合“一笔支出款的小数点点错了一位”可知，记录这笔支出款时，小数点向左移动了一位，那么实际支出是记录支出的（1－0.1）倍，多算的部分是记录支出的0.9倍。 273.6÷（1－0.1） ＝273.6÷0.9 ＝304（元） 答：这笔款是304元。 【练习2】已知甲、乙两个数的和是24.2，当甲数的小数点向左移动一位时正好等于乙数。甲、乙两数各是多少？ 【答案】甲数是22；乙数是2.2 【分析】当甲数的小数点向左移动一位时，甲数缩小到原来的，这时正好等于乙数，说明原来甲数是乙数的10倍。根据和倍问题“小数＝和÷（倍数＋1）”，用24.2除以（10＋1）即可求出乙数，用乙数乘10即可求出甲数。 【详解】通过分析可得：甲数是乙数的10倍。 乙数：24.2÷（10＋1） ＝24.2÷11 ＝2.2 甲数：2.2×10＝22 答：甲数是22，乙数是2.2。 考点03：错中求解问题 【典型例题】小明在计算268.26除以一个数时，错将除数的小数点向右移动了一位，其结果得10.2，知道原来的除数是多少吗？ 【答案】2.63 【分析】把除数的小数点向右点错了一位，即除数扩大了10倍，被除数不变，则商为正确的商除以10，根据题意，正确的商除以10后得10.2，则正确的商应该是：10.2×10＝102，所以本题除数为：268.26÷102，据此解答。 【详解】268.26÷（10.2×10） ＝268.26÷102 ＝2.63 答：原来的除数是2.63。 【练习1】小明在计算18.72除以一个两位小数时，漏写了除数的小数点，结果得0.36，那么正确的除数和商各是多少？你能用不同的方法求解吗？ 【答案】见详解 【分析】方法一：根据除数＝被除数÷商，先求出错误的除数，再把错误的除数除以100，得到正确的除数，最后求出正确的商； 方法二：根据除数去掉小数点，相当于乘100，那么商就除以100，所以直接用0.36×100求出正确的商，再求出正确的除数。 【详解】方法一： 18.72÷0.36＝52 正确的除数：52÷100＝0.52 正确的商：18.72÷0.52＝36 方法二： 正确的商：0.36×100＝36 正确的除数：18.7÷36＝0.52 答：正确的除数和商各是0.52和36。 【练习2】小明在计算一道除法算式时，把被除数14.7错看成17.4，得到的商比原来多4.5。则这道除法算式正确的商是多少？ 【答案】24.5 【分析】根据商的变化规律，增加的被除数÷增加的商＝正确的除数，据此求出正确的除数，再用正确的被除数除以正确的除数即可。 【详解】（17.4－14.7）÷4.5 ＝2.7÷4.5 ＝0.6 14.7÷0.6＝24.5 答：这道除法算式正确的商是24.5。 考点04：用“进一法”解决问题 【典型例题】工地要运52吨黄沙盖房子，大货车每次运4.8吨，运了5次后坏了，剩下的用小面包车运，每次运2.6吨，还要几次才能运完？ 【答案】11次 【分析】先用大货车每次运的吨数乘运的次数，求出大货车运走黄沙的吨数，再用总吨数减去已运走的吨数，求出剩下的黄沙吨数； 剩下的用小面包车运，用剩下的黄沙吨数除以小面包车每次运的吨数，求出小面包车运的次数；由于运输次数必须为整数，且剩余黄沙也需要运走，因此计算结果需采用“进一法”保留整数。 【详解】52－4.8×5 ＝52－24 ＝28（吨） 28÷2.6≈11（次） 答：还要11次才能运完。 【练习1】福州是茉莉花茶的发源地，已有近千年历史，2024年入选全国名特优新农产品名录。王叔叔家新加工了2.88kg茉莉花茶，要分装到包装袋中，每个包装袋最多能装0.15kg茉莉花茶，至少需要准备多少个这样的包装袋？ 【答案】20 个 【分析】用茉莉花茶总质量除以每袋质量，求得包装袋的个数，结果是小数，表示剩下的茶叶虽然不足 0.15kg，装不满一个包装袋，但也需要一个包装袋，所以不管小数部分是多少，都要进一取整数。 【详解】2.88÷0.15＝19.2（个） 19＋1＝20（个） 答：至少需要准备 20 个这样的包装袋。 【练习2】广德芦塘鱼灯，是广德当地极具代表性的非遗手工艺品，承载着民俗文化与乡土记忆。手艺人准备了42.5米长的竹条制作广德芦塘鱼灯。 （1）制作一个广德芦塘鱼灯需要0.75米竹条，这些竹条最多可以制作多少个广德芦塘鱼灯？ （2）每盒最多能装9个鱼灯，要将上题制作出的广德芦塘鱼灯全部装完，至少需要多少个盒子？ 【答案】（1）56个 （2）7个 【分析】（1）已知竹条总长度和制作一个鱼灯所需的长度，求最多制作多少个，用除法计算。结合实际情境，剩余竹条不足制作一个鱼灯，应采用“去尾法”取整数。 （2）已知鱼灯总数和每盒能装的数量，求至少需要多少个盒子，用除法计算。结合实际情境，剩余鱼灯也需要一个盒子，应采用“进一法”取整数。 【详解】（1）42.5÷0.75≈56（个） 答：这些竹条最多可以制作56个广德芦塘鱼灯。 （2）56÷9≈7（个） 答：至少需要7个盒子。 考点 05：用“去尾法”解决问题 【典型例题】李老师要用100元买一些文具作为“数学小讲师”的奖品，他先花65.4元买了6盒彩笔，并准备用剩下的钱买一些软皮本，软皮本每本2.5元。李老师还可以买几本软皮本？ 【答案】13本 【分析】本题考查小数四则混合运算及解决实际问题的能力。首先根据总钱数减去买彩笔花去的钱数，求出剩下的钱数；然后根据“数量＝总价÷单价”，用剩下的钱数除以软皮本的单价，求出理论上的购买数量；最后结合实际情况，因为软皮本的数量必须是整数，且剩下的钱不够买一本时不能购买，所以应采用“去尾法”取整数。 【详解】 （本） 答：李老师还可以买13本软皮本。 【练习1】汉字书法被誉为：无言的诗、无形的舞、无图的画、无声的乐。文化节开设“笔墨书香”手工工坊，小欣报名参加书法体验活动，带了40元采购毛笔和宣纸。她买毛笔花了21.5元，剩下的钱全部用来买宣纸，宣纸每张2.5元，她最多能买几张宣纸来完成书法作品？ 【答案】7张 【分析】用总钱数减去买毛笔花的钱数，求出剩下的钱数；然后用剩下的钱数除以宣纸的单价，求出能买宣纸的张数；因为宣纸的数量为整数，且剩余钱数不足买下一张，所以需采用“去尾法”取整。 【详解】40－21.5＝18.5（元） 18.5÷2.5≈7（张） 答：她最多能买7张宣纸来完成书法作品。 【练习2】温州米塑是以熟米粉团为原料，经揉、捏、掐、刻制成各类造型的传统民俗工艺，与北方面塑并称中国食品塑作双绝。米塑师傅王伯伯准备用15千克的米粉团做寿桃，做一个寿桃需要0.4千克米粉，最多可以做多少个寿桃？ 【答案】37个 【分析】根据题意，已知米粉团的总质量和做一个寿桃所需的质量，求最多可以做多少个寿桃，即求总质量里包含多少个单个质量，用除法计算。计算结果为小数，结合实际生活经验，剩下的米粉不够做一个完整的寿桃，因此在取近似值时应采用“去尾法”。 【详解】（个） 答：最多可以做 37 个寿桃。 考点06：分段计费问题 【典型例题】自驾游，看世界。居家休整后，张璇一家要外出旅游。在某风景区停车，停车场收费标准如下表所示。他们付了停车费19.5元，他们在这个停车场停车多少小时？ 收费标准 （1）1小时及以内5.5元。 （2）超过1小时的部分，按每小时3.5元收费（不足1小时，按1小时计算）。 【答案】5小时 【分析】先从总费用中减去1小时的基础费用，得到超出1小时部分的费用，再用这部分费用除以每小时的加收费用，得到超出的时长，最后加上最初的1小时，即可得到停车时间。 【详解】 （小时） 答：他们在这个停车场停车5小时。 【练习1】漳江小学五（2）班同学参加桃花源研学活动，他们准备合影留念，洗印照片的收费标准如下： 洗印张数 收费标准 10张以内（含10张） 总价15元 超过10张的部分 每张1.2元 五（2）班洗印纪念照一共花了63元，他们一共洗印了多少张照片？ 【答案】50张 【分析】超过10张部分的费用＝总费用－前10张的固定费用；超过10张的张数＝超过10张部分的费用÷超过部分的单价；洗印照片的总张数＝超过10张的张数＋10。 【详解】 （张） 答：他们一共洗印了50张照片。 【练习2】为鼓励居民节约用水，某自来水公司制订下列收费办法： 每户每月用水10吨以内（含10吨）价格是1.7元/吨； 超出10吨的部分，按2.5元/吨收取。 桥桥家十二月份缴水费22.5元，他家十二月份用水多少吨？ 【答案】12.2吨 【分析】先根据“单价×数量＝总价”求出用水10吨所需的水费，再用桥桥家十二月份缴的总水费减去10吨水所需的水费，求出剩下的费用，也就是用水量超出10吨部分的水费，单价2.5元，根据“总价÷单价＝数量”求出超出10吨部分的用水量，再加上10吨，就是桥桥家十二月份的总用水量。 【详解】（22.5－1.7×10）÷2.5＋10 ＝（22.5－17）÷2.5＋10 ＝5.5÷2.5＋10 ＝2.2＋10 ＝12.2（吨） 答：他家十二月份用水12.2吨。 夯实基础 1．8支康乃馨16.8元，9支百合27.9元。算式“27.9÷9－16.8÷8”解决的问题是（     ）。 A．1支康乃馨和1支百合共多少钱？ B．8支康乃馨比9支百合便宜多少钱？ C．1支康乃馨比1支百合贵多少钱？ D．1支康乃馨比1支百合便宜多少钱？ 【答案】D 【分析】根据单价＝总价÷数量，用27.9÷9即可求出1支百合的单价，用16.8÷8即可求出1支康乃馨的单价，然后用1支百合的单价－1支康乃馨的单价即可求出1支康乃馨比1支百合便宜多少钱。 【详解】根据分析可知，算式“27.9÷9－16.8÷8”解决的问题是1支康乃馨比1支百合便宜多少钱？ 故答案为：D 2．“苏韵乡情”农产品展销会上，某农户将一根4.8米长的蚕丝带，每8.5厘米裁成一段做香囊挂绳，这根蚕丝带最多可以做（     ）个挂绳。 A．55 B．56 C．57 D．58 【答案】B 【分析】先根据1米＝100厘米，乘进率将米换算为厘米。再用蚕丝带总长除以每段挂绳的长度，用“去尾法”取商的整数部分，因为剩余的蚕丝带不足以再做成一个完整的挂绳。 【详解】4.8×100＝480（厘米） 480÷8.5＝56（个）……4（厘米） 这根蚕丝带最多可以做56个挂绳。 3．张大伯家今年一共收获了21.6吨白菜，用一辆载重4吨的卡车来运，至少（     ）次才能运完。 A．4 B．5 C．5.4 D．6 【答案】D 【分析】总次数＝白菜总重÷一辆卡车的载重，结果用“进一法”取整数。 【详解】21.6÷4≈6（次） 至少6次才能运完。 4．洪老师给同学们买了8本《数学世界》和6本《童话故事》，一共花了114.8元。每本《数学世界》11.5元，每本《童话故事》（     ）元。 A．3.8 B．8.2 C．14.35 D．19.1 【答案】A 【分析】根据“单价×数量＝总价”用11.5×8算出《数学世界》的总价，用总花费减去《数学世界》的总价得到《童话故事》总钱数，再根据“单价＝总价÷数量”用《童话故事》总钱数除以本数得到单本价格。 【详解】114.8－11.5×8 ＝114.8－92 ＝22.8（元） 22.8‬÷6＝3.8（元） 5．同一种毛巾，甲超市卖13元2条，乙超市卖19元3条，丙超市卖35元6条，（     ）超市卖得最便宜。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法比较 【答案】C 【分析】根据单价＝总价÷数量，计算每条毛巾的单价再进行比较。 【详解】甲：13÷2＝6.5（元） 乙：（元） 丙：（元） 因为，所以。 6．做一种布娃娃，每个需要0.35米布。有3米布，最多可以做（ ）个这样的布娃娃。 【答案】8 【分析】已知布料总长度与单个布娃娃的用料长度，数量＝总长度÷单个用料长度；结合实际生产场景，剩余布料无法完成完整布娃娃制作，需用去尾法对计算结果取整数。 【详解】3÷0.35≈8（个） 采用去尾法舍去小数部分，最终可制作8个。 7．农民伯伯用60千克油菜籽榨出24千克菜籽油，照这样计算：每千克油菜籽能榨出（ ）千克菜籽油，榨1千克菜籽油要（ ）千克油菜籽。 【答案】 0.4 2.5 【分析】求每千克油菜籽榨油量，用榨油量÷油菜籽的重量。 求榨1千克菜籽油需要油菜籽的重量，用油菜籽的重量÷榨油量，据此解答。 【详解】24÷60＝0.4（千克） 60÷24＝2.5（千克） 8．武穴芝麻月饼6袋78.9元，每袋价格是（ ）元，商保留两位小数是（ ）。 【答案】 13.15 13.15 【分析】把一个小数保留几位小数：看保留数位的下一位上的数字，这个数字如果小于5，则直接去掉保留数位后面的数字，如果这个数字大于或等于5，则给需要保留的数位上的数字加1再去掉保留数位后面的数字； 先根据单价＝总价÷数量用除法求出每袋的价格；再根据“四舍五入”法把商保留两位小数。 【详解】78.9÷6＝13.15（元） 13.15保留两位小数还是13.15。 9．小红在计算41.58除以一个数时，由于商的小数点错误地向左移了一位，结果是2.31，这道算式的除数是（ ）。 【答案】1.8 【分析】分析题目，根据“由于商的小数点错误地向左移了一位，结果是2.31”可知：正确的商应该是把2.31的小数点向右移动一位，即23.1，再根据除数＝被除数÷商用被除数除以正确的商即可。 【详解】正确的商是23.1。 41.58÷23.1＝1.8 这道算式的除数是1.8。 10．妈妈去鱼摊买鱼，已知每千克鱼24元，妈妈付给鱼摊老板60元，找回7.2元。妈妈买的鱼重（ ）kg。 【答案】2.2 【分析】用60减去找回的钱，算出鱼的总价；根据数量＝总价÷单价计算即可。 【详解】（60－7.2）÷24 ＝52.8÷24 ＝2.2（kg） 因此，妈妈买的鱼重2.2kg。 11．杜仲是一种著名的植物药材。现特制一种杜仲茶，每剂茶需要杜仲4.5g，那么40g杜仲最多可以制（ ）剂这样的杜仲茶。 【答案】8 【分析】不管最后剩下多少g杜仲，只要不够制作一剂茶需要的重量，就不能再制作一剂茶，用杜仲的重量÷每剂茶需要杜仲的重量，结果用“去尾法”解答。 【详解】40÷4.5≈8（剂） 12．一个瓶子最多可装400毫升的油，现有2100毫升油，至少需要（ ）个瓶子。 【答案】6 【分析】不管最后剩下多少油，只要不够装一个瓶子，也要准备一个瓶子，用油的总量÷一个瓶子装油的量，结果用“进一法”解答。 【详解】2100÷400≈6（个） 13．科技文化节的机器人展示区，一台巡展机器人充满电需要约1.5小时，充满电后可在展区内自主巡展约500米。该机器人平均充电1小时可以巡展（ ）米（得数保留一位小数），平均每巡展1米约（ ）小时。 【答案】 333.3 0.003 【分析】根据小数除法的意义，用总巡展路程除以充电总时间，求出平均每小时巡展的米数，结果看小数点后第二位，按四舍五入保留一位小数；用充电总时间除以总巡展路程，求出平均每米需要的时间。 【详解】500÷1.5≈333.3（米） 1.5÷500＝0.003（小时） 14．一辆电动汽车行驶38km大约耗电5.7千瓦时，这辆电动汽车平均行驶1km耗电（ ）千瓦时，平均每千瓦时电大约能使这辆电动汽车行驶（ ）km（得数保留两位小数）。 【答案】 0.15 6.67 【分析】求平均行驶1km耗电量：是把总耗电量按路程平均分，用总耗电量÷总路程计算即可。 求平均每千瓦时行驶路程：是把总路程按耗电量平均分，用总路程÷总耗电量计算即可，得数保留两位小数。 【详解】平均行驶1km耗电量：5.7÷38＝0.15（千瓦时） 平均每千瓦时行驶路程：38÷5.7≈6.67（km） 15．将一根钢管锯成若干段，共用0.8小时，每锯一次要0.16小时，锯了（ ）次，锯下的钢管每段长0.6米，这根钢管长（ ）米。 【答案】 5 3.6 【分析】根据题意，用0.8除以每锯一次所用的时间，即可求出锯了几次。锯下的钢管数量等于锯的次数加1，再用锯下的钢管数量乘每段的长度，据此解答即可。 【详解】（次） （米） 16．“湘超”联赛常德队闯进决赛后，球迷们赶制一批粉色应援短袖为球队助威。已知制作一件粉色短袖需要布料1.5m，每卷布料长20m。一卷布最多可以做（ ）件短袖；如果要制作500件短袖，最少需要买（ ）卷同款布料。 【答案】 13 39 【分析】用一卷布的总长度除以做一件短袖需要的布料长度，因为剩下的布料不够做一件完整短袖，所以用去尾法取整数，求一卷布最多能做的件数。 用要做的总件数除以每卷布能做的件数，因为剩下的短袖也需要一卷布来做，所以用进一法取整数，求最少需要买的卷数。 【详解】20÷1.5≈13（件） 500÷13≈39（卷） 17．一台拖拉机5小时耕地2.5公顷，照这样计算，耕1公顷需要（ ）小时，1.2小时可以耕地（ ）公顷。 【答案】 2 0.6 【分析】用总时间除以总耕地公顷数即可求出耕1公顷需要的时间。 先用总耕地公顷数除以总时间求出1小时的耕地公顷数，再用1小时的耕地公顷数乘1.2即可算出1.2小时可以耕地的公顷数。 【详解】5÷2.5＝2（小时） 2.5÷5×1.2 ＝0.5×1.2 ＝0.6（公顷） 培优拔高 18．2025年国庆期间，黄鹤楼景区8天接待游客32万人次，黄鹤楼高51.4米，每层高度约是6.425米，黄鹤楼一共有多少层？ 【答案】8层 【分析】题干中“8天接待游客32万人次”是无关干扰信息； 用总高度51.4除以每层高度6.425即可得到黄鹤楼的总层数。 【详解】（层） 答：黄鹤楼一共有8层。 19．三峡电站2024年一季度发电140.15亿千瓦时，葛洲坝电站同期发电34.30亿千瓦时，三峡电站的月均发电量比葛洲坝多多少亿千瓦时？（结果保留两位小数） 【答案】35.28亿千瓦时 【分析】先用三峡电站一季度的总发电量减去葛洲坝电站同期的总发电量，求出两者的总发电量差值，再用这个差值除以一季度的3个月，计算结果保留两位小数时，看小数点后第三位，按照四舍五入法取舍。 【详解】（140.15－34.30）÷3 ＝105.85÷3 ≈35.28（亿千瓦时） 答：三峡电站的月均发电量比葛洲坝多35.28亿千瓦时。 20．家具厂生产一支中性笔，原来每个笔身要1.8元的塑料材料，优化模具以后每个笔身仅需1.2元的材料，原来准备生产300支中性笔的塑料材料，现在可以生产多少支？ 【答案】450支 【分析】根据题意，先用原来每个笔身需要塑料材料的钱数乘原来准备生产中性笔的支数，求出塑料材料的总钱数；再用塑料材料的总钱数除以现在每个笔身需要塑料材料的钱数，求出现在可以生产中性笔的支数。 【详解】1.8×300＝540（元） 540÷1.2＝450（支） 答：现在可以生产450支。 21．东湖绿道全长约101.98公里，小明一家骑行，爸爸每小时骑15.2公里，妈妈的速度是爸爸的0.8倍，妈妈骑行完全程需要多久？（结果保留两位小数） 【答案】8.39小时 【分析】先根据“妈妈的速度是爸爸的0.8倍”，用爸爸的速度15.2公里/小时乘0.8，求出妈妈的骑行速度；再根据“时间＝路程÷速度”，用绿道全长101.98公里除以妈妈的速度，即可求出妈妈骑行完全程需要的时间，最后根据四舍五入法按要求保留两位小数即可。 【详解】15.2×0.8＝12.16（公里/小时） 101.98÷12.16≈8.39（小时） 答：妈妈骑行完全程需要8.39小时。 22．学校举行“庆元旦”长跑比赛，全程2.4千米。在起点和终点之间每隔0.3千米设置一个服务站（起点和终点也设）。比赛开始后，所有服务站同时派出一名志愿者给运动员递水。 （1）一共需要设置多少个服务站？ （2）李老师跑完全程一共用了15分钟，平均每分钟跑多少千米 【答案】（1）9个 （2）0.16千米 【分析】两端都栽的植树问题的公式：服务站数量（植树棵数）＝间隔数＋1，间隔数＝总长÷间距； （2）根据速度＝路程÷时间，用全程除以李老师跑完全程用的时间即可。 【详解】（1）2.4÷0.3＋1 ＝8＋1 ＝9（个） 答：共需要设置9个服务站。 （2）2.4÷15＝0.16（千米） 答：平均每分钟跑0.16千米。 23．某市城区居民每月每户原来用水缴费每吨2.80元，为鼓励居民节约用水，现做如下调整：每户每月20吨以内（含20吨）水费为2.45元/吨；超过20吨的部分按3.20元/吨收取。备注：不足1吨的按1吨收取费用。 （1）张奶奶家上个月用水20.1吨，应缴纳水费多少钱？ （2）石叔叔家上个月缴纳水费65元，他家上月最多用水多少吨？ 【答案】（1）52.2元 （2）25吨 【分析】（1）张奶奶家用水20.1吨，超过了20吨。其中20吨按2.45元/吨计算，超过的0.1吨不足1吨，应按1吨计算，单价为3.20元/吨。将两部分费用相加即可。 （2）已知总水费为65元。首先计算20吨以内的基础水费，若总水费超过基础水费，说明用水量超过20吨。用总水费减去基础水费得到超过部分的费用，再除以超过部分的单价，得出超过部分的计费吨数。最后加上基础的20吨即为总用水量。 【详解】（1）20×2.45＋1×3.20 ＝49＋3.2 ＝52.2（元） 答：应缴纳水费52.2元。 （2）20吨以内的水费： 20×2.45＝49（元） 因为65＞49，所以用水量超过20吨。 超过部分的水费： 65－49＝16（元） 超过部分的计费吨数： 16÷3.20＝5（吨） 最多用水吨数： 20＋5＝25（吨） 答：他家上月最多用水25吨。 思维拓展 24．代驾是指当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为。某平台日常代驾计费标准如下表：           行驶里程时间段 7千米以内（含7千米） 超过7千米的部分 7∶00～21∶59 45元 每千米3.5元 22∶00～次日6∶59 68元 每千米4.5元 说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算。 李叔叔在饭店参加聚会，22∶30聚会结束，他在该平台预约了代驾服务。服务结束后，李叔叔支付了117.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【答案】18千米 【分析】李叔叔在22∶30预约代驾，属于“22∶00～次日6∶59”时段，计费规则为： 7千米以内（含7千米）：68元 超过7千米的部分：每千米4.5元 首先，李叔叔支付了117.5元，超过了68元，说明行驶里程超过了7千米。 我们先计算超出7千米部分的费用，再根据单价算出超出的里程，最后加上基础的7千米，即可得到总里程。 【详解】117.5－68＝49.5（元） 49.5÷4.5＝11（千米） 7＋11＝18（千米） 答：这次代驾服务的行驶里程最多是18千米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $