第4章 指数函数与对数函数 章末归纳提升-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

该高中数学讲义通过“网络构建”和“归纳提升”模块，运用知识框架图与思维导图系统梳理指数对数运算、函数图象性质、零点判断等核心内容，清晰呈现运算技巧、函数性质及应用的内在逻辑，突出重难点分布。 讲义亮点在于“例题-变式训练”分层设计，如指数对数运算化简、函数零点存在性判断等题型，培养数学思维（运算能力、推理意识）与数学语言（模型观念）。基础题巩固方法，综合题提升应用能力，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

[网络构建] [归纳提升] 　　　指数与对数的运算 指数运算与对数运算是两类重要的运算，它们也是学习指数函数、对数函数的基础． 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的，对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． [例1] (1)化简： (2)求值：lg－lg＋lg. (2)解法一：lg－lg＋lg ＝lg－lg 4＋lg 7＝lg ＝lg＝lg 10＝. 解法二：原式＝(5lg 2－2lg 7)－·lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5 ＝lg 2＋lg 5 ＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝. [变式训练] 1．求下列各式的值： (2)(lg 5)2＋lg 2×lg 500－lg－log29×log32 ＝(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋2lg 2－lg－log39 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2－lg 2＋1－2 ＝lg 5＋lg 2－1＝1－1＝0. 　　指数函数、对数函数的图象及其应用 指数函数、对数函数的图象按底数a分为a>1和0<a<1两类，注意掌握它们的形状和画法，函数图象有着广泛的应用，利用函数的图象可以求函数的单调性、值域与最值等． [例2] (1)在y＝2x，y＝log2x，y＝x2这三个函数中，当0<x1<x2<1时，使f>恒成立的函数的个数是(　　) A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 (2)设，则(　　) A．a＜b＜c　　　　 B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c [解析]　(1)f>恒成立的图象是向上凸的，如图所示，故只有y＝log2x满足，故选B. [答案]　(1)B　(2)A [变式训练] 2．(1)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) (2)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　) 解析：(1)当0<a<1时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递减， 于是函数y＝的图象过定点(0,1)，在R上单调递增． 函数y＝loga的图象过定点，在上单调递减． 因此，选项D中的两个图象符合． 当a>1时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递增， 于是函数y＝的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，函数y＝loga的图象过定点，在上单调递增． 显然A、B、C、D四个选项都不符合． (2)由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝()x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符． 答案：(1)D　(2)B 　 　　指数函数、对数函数的性质及应用 指数函数、对数函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、定点．注意掌握这些函数的性质，特别注意掌握好函数的单调性，函数的单调性有着广泛的应用，利用函数的单调性可以比较两数的大小，求函数的值域，解不等式等． [例3] 已知函数y＝loga(x2－3x＋3)，当x∈[1,3]时有最大值1，求a的值． [解]　令t＝x2－3x＋3＝2＋， 当x∈[1,3]时，t∈. ①若a>1，y＝logat在上是增函数， 则ymax＝loga3＝1， ∴a＝3，满足题意． ②若0<a<1，y＝logat在上是减函数， 则ymax＝loga＝1，∴a＝，满足题意， 综上所述，a＝3或. [变式训练] 3．设a为常数且0<a<1，解关于x的不等式loga[4＋(x－4)a]<2loga(x－2)． 解：∵0<a<1， ∴原不等式等价于 ∴即 ∵0<a<1，∴∴2<x<4， ∴原不等式解集为(2,4)． 　 　　与指数函数、对数函数有关的综合问题 综合问题常是指数函数、对数函数的复合函数问题，常考查函数的单调性、奇偶性、值域等． [例4] 已知函数f(x)＝log2＋log2(x－1)＋log2(p－x)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)解关于x的不等式：f(x)＞log2(2x2－2x－4)； (3)求函数f(x)的值域． [解]　(1)由⇒ ⇒ ∵函数的定义域不能为空集， ∴p＞1，函数的定义域为(1，p)． (2)f(x)＝log2 ＝log2(x＋1)(p－x)， 不等式化为log2[(x＋1)(p－x)]＞log2(2x2－2x－4)，则 由2x2－2x－4＞0得x＞2或x＜－1(结合定义域1＜x＜p，故x＞2)， 由(x＋1)(p－x)＞2x2－2x－4化简得3x2－(p＋1)x－(p＋4)＜0， 解得－1＜x＜(结合x＞2和定义域，解集为2＜x＜，需＜p，即p＞2)． (3)f(x)＝log2 ＝log2(x＋1)(p－x) ＝log2[－x2＋(p－1)x＋p]，x∈(1，p) 令t＝－x2＋(p－1)x＋p＝－2＋＝g(x)， ①当即1＜p＜3时，t在(1，p)上单调递减，g(p)＜t＜g(1)，即0＜t＜2p－2， ∴f(x)＜1＋log2(p－1)， 函数f(x)的值域为(－∞，1＋log2(p－1))； ②当 即p≥3时，g(p)＜t≤g， 即0＜t≤. ∴f(x)≤2log2(p＋1)－2， 函数f(x)的值域为(－∞，2log2(p＋1)－2)． 综上，当1＜p＜3时，函数f(x)的值域为 (－∞，1＋log2(p－1))； 当p≥3时，函数f(x)的值域为(－∞，2log2(p＋1)－2)． [变式训练] 4．已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过点. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数h(x)为f(x)的反函数，且h(x2－bx－1)在(1,5)上单调递减，求b的取值范围； (3)若函数f(x)＝g(x)＋m(x)，其中g(x)为奇函数，m(x)为偶函数，已知函数w(x)＝|x|，对于任意x1∈，都存在x2∈R，使得等式2cg(x1)＋m(2x1)＝w(x2)成立，求实数c的取值范围． 解：(1)由函数f(x)＝ax的图象过点，可得f(1)＝a1＝，解得a＝， 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x. (2)因为函数h(x)为f(x)的反函数， 所以， 易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又h(x2－bx－1)在(1,5)上单调递减，所以函数y＝x2－bx－1在(1,5)上单调递增，且x2－bx－1＞0在(1,5)上恒成立， 因此解得b≤0， 所以b的取值范围为(－∞，0]． (3)因为f(x)＝g(x)＋m(x)＝x＝2－x， 所以f(－x)＝g(－x)＋m(－x)＝2x. 由g(x)为奇函数，m(x)为偶函数可知－g(x)＋m(x)＝2x， 可得g(x)＝，m(x)＝. 又w(x)＝|x|，对于任意x2∈R都有w(x2)≥0， 因为对于任意x1∈，都存在x2∈R，使得等式2cg(x1)＋m(2x1)＝w(x2)成立， 所以2cg(x1)＋m(2x1)≥0在x1∈上恒成立， 因为y＝2－x在上单调递减，y＝2x在上单调递增， 即g(x)＝在上单调递减， 所以g(x1)∈. 令g(x)＝＝t∈， 则m(2x)＝＝ ＝＝2t2＋1. 则2cg(x1)＋m(2x1)≥0在x1∈上恒成立等价于2ct＋2t2＋1≥0在t∈上恒成立， 可得c≤－，因此c≤min. 又－＝－＝－t＋≥ 2＝， 当且仅当t＝，即t＝－时，等号成立， 即c≤min＝， 因此，实数c的取值范围为(－∞，]． 　 　　函数的零点及零点的存在性判断 1．函数的零点 对于函数y＝f(x)，若f(x)可化为f(x)＝g(x)－h(x)．则f(x)的零点⇔f(x)＝0的根⇔函数g(x)与h(x)图象交点的横坐标．零点、方程的根、图象交点问题可相互转化． 2．函数零点存在性判断 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 3．函数零点的个数 确定函数零点个数有两种方法，一是转化为判断函数图象交点个数，二是利用零点存在性定理判断零点是否存在，然后再结合函数单调性判断． [例5] 求函数f(x)＝ex＋4x－4的零点的个数． [解]　解法一：∵函数f(x)的图象是连续不断的， 且f(0)＝－3<0， f(1)＝e＋4×1－4＝e>0， ∴f(0)·f(1)<0， 又函数f(x)在R上是增函数， ∴函数f(x)在(0,1)之间有且只有一个零点． 解法二：根据函数零点与方程实根之间的关系，令f(x)＝0，即有ex＝4－4x.在同一直角坐标系中分别作出y＝ex，y＝4－4x的图象，如图所示，由图易知，两函数图象仅有一个公共点，故方程ex＝4－4x有唯一实根，从而函数f(x)＝ex＋4x－4有唯一的零点． [变式训练] 5．(1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　) A．(0,1)　　　　　 B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞) (2)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　) A．2　　 B．3　　 C．4　　 D．5 解析：(1)C　[因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数， 又f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0， 所以由函数零点存在定理知函数f(x)在区间(2,4)内必存在零点．] (2)A　[函数y＝f(x)－g(x)的零点个数即f(x)，g(x)图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中分别画出函数f(x)＝和函数g(x)＝3－f(2－x)的大致图象，如图所示，其中函数g(x)的图象可由f(x)→f(－x)→f(2－x)→－f(2－x)→3－f(2－x)的图象变化得到．由图可知，函数f(x)，g(x)的图象有2个交点，所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2.] 　　　二分法求方程的根 求函数的零点或方程的根，对于特殊的函数或方程，我们可以通过公式法、因式分解求零点或根．对于一般的函数或方程，不能用公式法或因式分解求零点或根时，我们可以用二分法求其近似解，用二分法求解时，注意二分法使用的条件和步骤． [例6] 借助计算器，用二分法求f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x在区间(1,2)的近似零点值(精确到0.1)． [解]　由f(x)＝ln(2x＋6)－3x＋2， 用计算器作出如下对应值表： x －2 －1 0 1 2 f(x) 2.582 0 3.053 0 2.791 8 1.079 4 －4.697 4 观察上表，可知零点在(1,2)内，取区间中点x1＝1.5，且f(1.5)≈－1.00，从而零点在(1,1.5)内；再取区间中点x2＝1.25，且f(1.25)≈0.20，从而可知零点在(1.25,1.5)内． 同理取区间中点x3＝1.375，且f(1.375)<0，从而可知零点在(1.25,1.375)内． 同理取区间中点x4＝1.312 5，且f(1.312 5)<0，从而可知零点在(1.25,1.312 5)内． 由于|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，此时区间(1.25，1.312 5)内任一值精确到0.1后都是1.3，故原函数在区间(1,2)内的近似零点为1.3. [变式训练] 6．(1)判断方程2x3－6x2＋3＝0是否有解？如果有解，有几个解，且全部解的和为多少(精确度为0.01，解保留两位小数)? (2)已知方程2x3－6x2＋5＝0的近似解为－0.81,1.17,2.64,2x3－6x2＋7＝0的近似解为－0.94,1.56,2.38，结合(1)你可以得出什么结论？ 解：(1)设函数f(x)＝2x3－6x2＋3. ∵f(－1)＝－5<0，f(0)＝3>0，f(1)＝－1<0，f(2)＝－5<0，f(3)＝3>0，且函数f(x)＝2x3－6x2＋3的图象是一条连续的曲线，∴函数f(x)＝2x3－6x2＋3在区间(－1,0)，(0,1)，(2,3)上分别有一个零点， ∴方程2x3－6x2＋3＝0有3个实数解． ∵f(－1)·f(0)<0，∴函数f(x)在区间(－1,0)内有一个零点x0. 取区间(－1,0)的中点x2＝－0.5，用计算器计算得f(－0.5)＝1.25>0. ∵f(－1)·f(－0.5)<0，∴x0∈(－1，－0.5)． 再取(－1，－0.5)的中点x1＝－0.75，用计算器计算得f(－0.75)＝－1.218 75<0. ∵f(－0.75)·f(－0.5)<0， ∴x0∈(－0.75，－0.5)． 同理可得，x0∈(－0.75，－0.625)， x0∈(－0.687 5，－0.625)． x0∈(－0.656 25，－0.625)， x0∈( －0.656 25，－0.640 625)， x0∈(－0.648 437 5，－0.640 625)． 由于|－0.640 625－(－0.648 437 5)|＝0.007 812 5<0.01， 因此方程2x3—6x2＋3＝0在区间(－1,0)内的解在区间(－0.648 437 5，－0.640 625)内． 由于结果要保留两位小数，我们多计算一步得到： x0∈(－0.644 531 25，－0.640 625)． ∴方程2x3－6x2＋3＝0在区间(－1,0)内的近似解为－0.64. 同理，可求得方程2x3－6x2＋3＝0在区间(0,1)和(2,3)内的近似解分别为0.83,2.81. ∴方程2x3－6x2＋3＝0的3个解的和为－0,64＋0.83＋2.81＝3. (2)方程2x3－6x2＋5＝0,2x3－6x2＋7＝0的全部近似解的和都是3.得出如下结论： 一般地，若一元三次方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0(a≠0)有3个根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝－. 　　　函数模型及其应用 常见的函数模型有：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型．常见的函数模型应用问题有三类： 1．利用给定的函数模型解决问题．这一类的特点是实际问题所符合的函数模型已经给定，只需要根据模型解决问题即可； 2．建立确定性函数模型解决问题．这一类的特点是实际问题所符合的函数模型是确定的，但没明确给出，需要根据题中数据信息先求出该模型，再运用它解决实际问题； 3．建立拟合函数模型解决实际问题．这一类的特点是实际问题所符合的函数模型不确定，需要从实际问题中收集数据，根据散点图和已学过的模型函数的性质特点确定选什么函数模型，并求出来，然后检验拟合的效果，最后再应用它解决实际问题． [例7] 某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月时染污度为60，整治后前四个月的污染度如下表： 月数 1 2 3 4 … 污染数 60 31 13 0 … 污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式： f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝(x－4)2(x≥1)， h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度． (1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由； (2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60? [解]　(1)用h(x)模拟比较合理，理由如下： 因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30； f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5. 由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理． (2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，h(16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60. [变式训练] 7．某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名著，预备制定一个每日阅读考核评份制度，建立一个每日得分y(单位：分)与当日阅读时间x(单位：分钟)的函数关系．要求如下： (ⅰ)函数的部分图象接近图示； (ⅱ)每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分； (ⅲ)每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分； (ⅳ)每日阅读最多得分不超过6分． 现有以下三个函数模型供选择： ①y＝kx＋m(k＞0)； ②y＝k·1.1x＋m(k＞0)； ③y＝klog2＋m(k＞0)． (1)请你根据函数图象性质，从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由； (2)根据你对(1)的判断以及所给信息，写出合适函数模型的解析式； (3)若该校要求每日的得分不少于5分，问每日至少阅读名著多少分钟？(结果精确到整数) 注： 解：(1)根据题意可得应选择增长速度为先快后慢的增长模型， 所以选对数函数模型，故选y＝klog2＋m(k＞0)． (2)由题意及(1)可知(0,0)，(30,3)在y＝klog2＋m的图象上， 所以解得k＝3，m＝－3， 所以y＝3log2－3， 令y＝6，可得3log2－3＝6，解得x＝90， 所以函数模型的解析式为 y＝ (3)令y＝3log2－3≥5， 可得log2≥， 所以每日的得分不少于5分，至少需要阅读66分钟． 学科网（北京）股份有限公司 $