第四章 指数函数与对数函数（思维导图+知识清单+七大易错点总结）（暑假预习举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以思维导图+知识清单+易错点总结构建体系，系统覆盖指数对数概念、运算、函数性质及应用，突出概念生成-性质推导-应用拓展逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数|1典例+4跟踪训练|根式与分数指数幂互化、指数幂运算三原则|从整数指数到实数指数的概念拓展| |指数函数|1典例+4跟踪训练|图象“底大图高”规律、单调性应用|定义-图象-性质-大小比较的递进| |对数|1典例+4跟踪训练|指对互化、换底公式及推论、运算技巧|对数与指数的互逆关系构建| |对数函数|1典例+4跟踪训练|图象与底数关系、定义域优先原则|与指数函数性质的对称性分析| |函数应用|1典例+4跟踪训练|零点存在定理、二分法步骤、模型拟合|从方程解到实际问题的模型转化|

第四章 指数函数与对数函数（思维导图+知识清单+七大易错点总结） 【人教A版】 4.1 指数 【知识点1 根式与分数指数幂】 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【知识点2 指数幂的运算】 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 4.2 指数函数 【知识点1 指数函数的概念】 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①ax的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【知识点2 指数函数的图象与性质】 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 4.3 对数 【知识点1 对数的概念】 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e≈2.71828 简记作ln N 【知识点2 对数的运算】 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【知识点3 对数的实际应用】 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数式，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 4.4 对数函数 【知识点1 对数函数的概念】 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+∞). 例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 【知识点2 对数函数的图象与性质】 1．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【知识点3 反函数】 1．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4.5 函数的应用（二） 【知识点1 函数的零点与方程的解】 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零 点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点. 2．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【知识点2 用二分法求方程的近似解】 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. 2．用二分法求方程的近似解 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在 要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. 3．用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度ϵ，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c； ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，则令a=c. (4)判断是否达到精确度ϵ：若|a-b|<ϵ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【知识点3 函数模型的应用】 1．指数函数、对数函数模型 (1)指数型函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (2)对数型函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). 2．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 3．拟合函数模型的建立 (1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合). (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； ②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； ⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测； ⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 【易错点1 当根指数为偶数时，没考虑符号的正负】 易错点分析：当根指数为偶数时，在计算过程中，没有考虑根号下的代数式的符号的正负，从而导致计算错误. 【典例1】（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据根式的性质化简求值即可. 【解答过程】因为，所以. 故选：B. 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先分析的取值范围，再进行根式化简. 【解答过程】由题意得，，即， 所以. 故选：B. 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·全国·课后作业）化简得（    ） A．6 B． C．6或 D．6或或 【答案】C 【解题思路】根据根式的运算法则，即可容易求得结果. 【解答过程】， 故选：C. 【跟踪训练1.3】（25-26高一·全国·课后作业）当有意义时，化简的结果是（    ） A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 【答案】C 【解题思路】由有意义，得到，由，根据根式的运算性质，即可求解. 【解答过程】因为有意义，可得，即， 又由 ， 故选：C. 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·上海浦东新·期中）当时，化简___________. 【答案】4 【解题思路】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【解答过程】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 【易错点2 指数式与对数式的互化错误】 易错点分析：没有正确掌握指数式与对数式的互化规则，在进行互化时出错，导致结果错误. 【注】：对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 【典例2】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由指数和对数互化公式和运算性质直接计算即可得解. 【解答过程】由题可得，所以. 故选：D. 【跟踪训练2.1】（25-26高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数的定义将指数化为对数. 【解答过程】因为（且），所以. 故选：A. 【跟踪训练2.2】（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【解答过程】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若（，且），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值. 【解答过程】由对数的概念知，故，即. 故选：A. 【跟踪训练2.4】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【解题思路】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案. 【解答过程】由，得， 故， 故选：D. 【易错点3 对数的换底公式使用错误】 易错点分析：没有正确掌握对数的换底公式及其推论，在使用对数的换底公式进行求解时出错，导致结果错误. 【注】：对数的换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. 【典例3】（25-26高一上·贵州黔东南·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换底公式结合对数的运算即可求解. 【解答过程】由题意有：， 故选：B. 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·江苏常州·期中）已知，则（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用指数与对数的关系，先求出，再利用对数的换底公式得，最后利用对数的运算即可求解. 【解答过程】由，所以，所以， 所以， 故选：A. 【跟踪训练3.2】（2026·浙江金华·一模）已知，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】C 【解题思路】利用换底公式转化，进行求解即可. 【解答过程】， 所以，则，解得. 故选：C. 【跟踪训练3.3】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数的运算法则和换底公式即可求解. 【解答过程】由，得， 所以，又， 所以 . 故选：D． 【跟踪训练3.4】（25-26高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【解题思路】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【解答过程】设，显然， 则，可得， 所以. 【易错点4 当底数未知时，没分类讨论】 易错点分析：底数的取值对于指数函数与对数函数的性质有着决定性的影响，对于所给的指数型函数、对数型函数，当底数未知时，如果没有对底数进行分类讨论，很容易导致错误，因此解题时务必要对底数全面分析，避免错误. 【典例4】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先求解内层函数的单调性，再讨论外层函数的单调性和定义域，即可求解参数的取值范围． 【解答过程】函数在上递减，在上递增 当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增， 又，则函数在区间上递增，故满足题意； 当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减， 又，若要满足题意，则，得. 综上，的取值范围是． 故选：C． 【跟踪训练4.1】（25-26高一上·贵州·阶段检测）已知且，则a 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数函数的单调性及运算性质，分析求解，即可得答案. 【解答过程】由题意， 当时，在上单调递减，所以； 当时，在上单调递增，解得，结合前提，所以. 综上，a 的取值范围是. 故选：D. 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数且在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由复合函数的单调性，函数在区间上严格递减，分 和两种情况结合列不等式组求出范围即得答案. 【解答过程】令，则， 函数在区间上严格递减， 当，由函数在区间上严格递增， 则在区间上严格递减，且， 对称轴为， 所以，所以； 当，由函数在区间上严格递减， 则在区间上严格递增，且， 对称轴为， 所以，所以无解； 则实数取值范围是. 故选：C. 【跟踪训练4.3】（25-26高一下·河北沧州·开学考试）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用指数函数及复合函数的单调性求法，分析计算即可. 【解答过程】令，则， 当时，在R上单调递减， 当时，在R上单调递增， 由一次函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减， 因为在区间上单调递增，根据复合函数的单调性可知，且，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 【跟踪训练4.4】（25-26高一上·北京东城·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A．且 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先对参数范围分类讨论，再结合复合函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【解答过程】由对数函数性质得或，下面，我们对的范围进行分类讨论， 令，则是由和构成的复合函数， 当时，由对数函数性质得单调递增， 由一次函数性质得单调递减， 由复合函数性质得单调递减，不符合题意，故排除， 当时，由对数函数性质得单调递减， 若在区间上单调递增，故在区间上单调递减， 此时，解得，且恒成立， 由一次函数性质得的最小值为， 得到，解得， 综上，得到的取值范围为，故B正确. 故选：B. 【易错点5 使用换元法忽略新元的范围，导致错误】 易错点分析：利用换元法替代指数式或对数式时，容易忽略换元后新元的范围，所以一定要注意换元后新元的限制条件，否则会产生错解.求新元的范围时，要根据已知函数的定义域来求解. 【典例5】（25-26高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，所以，结合指数函数的单调性即可求出答案. 【解答过程】令，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故选：D. 【跟踪训练5.1】（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换元法和对数函数单调性即可求得函数的值域. 【解答过程】函数的定义域为R， 令，则， 又在上单调递增，则， 则函数的值域为 故选：B. 【跟踪训练5.2】（25-26高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【解答过程】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是. 故选：C. 【跟踪训练5.3】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【解答过程】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 【跟踪训练5.4】（25-26高一上·甘肃·期中）已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)当时，讨论函数的值域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用偶函数定义计算即可得； （2）借助换元法，结合指数函数单调性计算即可得. 【解答过程】（1）为偶函数，定义域为， 所以，即，即有， 则有恒成立，故； （2）当时，，令， 则有，则， 设，， 由在上为减函数，且恒成立，得， 所以函数的值域为. 【易错点6 忽略对数（型）函数的真数大于0】 易错点分析：在求解与对数函数有关的问题（如：解对数型不等式、研究对数型函数单调性等问题）时，忽略了对数函数的真数大于0这个条件，造成计算错误. 【注】：在求解与对数（型）函数问题时，对数函数的真数大于0这个条件一般都隐含在题干中，因此在开始解题前，首先要确保对数（型）函数的真数大于0，也就是要先确定对数（型）函数的定义域，从而避免错误. 【典例6】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合复合函数的单调性得到在上单调递减且在上恒成立，再由二次函数的性质得到不等式组，解得即可. 【解答过程】因为在定义域上单调递增， 要使函数在上单调递减， 则在上单调递减且在上恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【跟踪训练6.1】（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复合函数的单调性及对数函数的单调性和定义域求解即可. 【解答过程】因为函数在上单调递减， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 故选：B. 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·山西运城·阶段检测）函数在上单调递减，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复合函数单调性的判断方法，转化为内层函数在上单调递增，且，即可求解. 【解答过程】函数由，构成， 外层函数在是减函数， 则由函数在上单调递减， 则内层函数在上单调递增，且函数值大于0， 所以，得， 所以 取值范围是. 故选：C. 【跟踪训练6.3】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数，则下列不正确的为（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递减 【答案】C 【解题思路】对于A，根据对数函数的定义域即可判断；对于B、D，求出函数的单调性即可判断；对于C，利用函数的单调性解不等式，结合定义域即可判断. 【解答过程】因为，由，解得， 所以的定义域是，故A正确； ， 因的对称轴为直线，其图象在上递增，在上递减， 又在上单调递增，故在上递增，在上递减， 所以的最大值为，故B、D正确； ，即 所以解得，故C错误. 故选：C. 【跟踪训练6.4】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，其中． (1)求函数的单调区间和值域； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)增区间为，减区间为，值域为 (2) 【解题思路】（1）根据对数型复合函数的单调性求单调区间，利用单调性求值域； （2）根据单调性转化为，结合定义域求解即可. 【解答过程】（1）由，有，可得函数的定义域为， 又由二次函数的增区间为，减区间为， 当时，函数在上单调递增， 可得函数的增区间为，减区间为. 当时，，有， 故函数的值域为. （2）当时，函数在上单调递增, 关于的不等式可化为 ， 故关于的的不等式的解集为. 【易错点7 忽略二分法的使用条件】 易错点分析：忽略了使用二分法求近似解的条件，没有分析所给函数是否有零点，且零点两侧符号是否相反，盲目使用二分法进行求解，导致错误. 【注】：需要注意二分法的使用条件，对于满足在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，才适用二分法进行求解. 【典例7】（25-26高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【解答过程】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 【跟踪训练7.1】（25-26高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【解答过程】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误； 对于D选项，， 在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确. 故选：C. 【跟踪训练7.2】（25-26高三下·上海金山·阶段检测）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【解题思路】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项. 【解答过程】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点， 所以选项A中函数不能用二分法求零点． 故选：A. 【跟踪训练7.3】（25-26高一上·江西九江·阶段检测）下列函数零点不宜用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【解答过程】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于B选项，在单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点； 对于D选项，，在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解， 故选：C. 【跟踪训练7.4】（25-26高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解. 【解答过程】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数（思维导图+知识清单+七大易错点总结） 【人教A版】 4.1 指数 【知识点1 根式与分数指数幂】 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【知识点2 指数幂的运算】 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 4.2 指数函数 【知识点1 指数函数的概念】 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①ax的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【知识点2 指数函数的图象与性质】 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 4.3 对数 【知识点1 对数的概念】 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e≈2.71828 简记作ln N 【知识点2 对数的运算】 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【知识点3 对数的实际应用】 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数式，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 4.4 对数函数 【知识点1 对数函数的概念】 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+∞). 例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 【知识点2 对数函数的图象与性质】 1．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【知识点3 反函数】 1．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4.5 函数的应用（二） 【知识点1 函数的零点与方程的解】 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零 点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点. 2．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【知识点2 用二分法求方程的近似解】 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. 2．用二分法求方程的近似解 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在 要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. 3．用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度ϵ，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c； ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，则令a=c. (4)判断是否达到精确度ϵ：若|a-b|<ϵ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【知识点3 函数模型的应用】 1．指数函数、对数函数模型 (1)指数型函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (2)对数型函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). 2．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 3．拟合函数模型的建立 (1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合). (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； ②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； ⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测； ⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 【易错点1 当根指数为偶数时，没考虑符号的正负】 易错点分析：当根指数为偶数时，在计算过程中，没有考虑根号下的代数式的符号的正负，从而导致计算错误. 【典例1】（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·全国·课后作业）化简得（    ） A．6 B． C．6或 D．6或或 【跟踪训练1.3】（25-26高一·全国·课后作业）当有意义时，化简的结果是（    ） A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·上海浦东新·期中）当时，化简___________. 【易错点2 指数式与对数式的互化错误】 易错点分析：没有正确掌握指数式与对数式的互化规则，在进行互化时出错，导致结果错误. 【注】：对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 【典例2】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.1】（25-26高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.2】（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若（，且），则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.4】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【易错点3 对数的换底公式使用错误】 易错点分析：没有正确掌握对数的换底公式及其推论，在使用对数的换底公式进行求解时出错，导致结果错误. 【注】：对数的换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. 【典例3】（25-26高一上·贵州黔东南·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·江苏常州·期中）已知，则（　　） A．1 B．2 C． D． 【跟踪训练3.2】（2026·浙江金华·一模）已知，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 【跟踪训练3.3】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练3.4】（25-26高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 【易错点4 当底数未知时，没分类讨论】 易错点分析：底数的取值对于指数函数与对数函数的性质有着决定性的影响，对于所给的指数型函数、对数型函数，当底数未知时，如果没有对底数进行分类讨论，很容易导致错误，因此解题时务必要对底数全面分析，避免错误. 【典例4】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.1】（25-26高一上·贵州·阶段检测）已知且，则a 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数且在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.3】（25-26高一下·河北沧州·开学考试）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.4】（25-26高一上·北京东城·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A．且 B． C． D． 【易错点5 使用换元法忽略新元的范围，导致错误】 易错点分析：利用换元法替代指数式或对数式时，容易忽略换元后新元的范围，所以一定要注意换元后新元的限制条件，否则会产生错解.求新元的范围时，要根据已知函数的定义域来求解. 【典例5】（25-26高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练5.1】（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练5.2】（25-26高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练5.3】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练5.4】（25-26高一上·甘肃·期中）已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)当时，讨论函数的值域. 【易错点6 忽略对数（型）函数的真数大于0】 易错点分析：在求解与对数函数有关的问题（如：解对数型不等式、研究对数型函数单调性等问题）时，忽略了对数函数的真数大于0这个条件，造成计算错误. 【注】：在求解与对数（型）函数问题时，对数函数的真数大于0这个条件一般都隐含在题干中，因此在开始解题前，首先要确保对数（型）函数的真数大于0，也就是要先确定对数（型）函数的定义域，从而避免错误. 【典例6】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练6.1】（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.2】（25-26高一上·山西运城·阶段检测）函数在上单调递减，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练6.3】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数，则下列不正确的为（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递减 【跟踪训练6.4】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，其中． (1)求函数的单调区间和值域； (2)解关于x的不等式． 【易错点7 忽略二分法的使用条件】 易错点分析：忽略了使用二分法求近似解的条件，没有分析所给函数是否有零点，且零点两侧符号是否相反，盲目使用二分法进行求解，导致错误. 【注】：需要注意二分法的使用条件，对于满足在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，才适用二分法进行求解. 【典例7】（25-26高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练7.1】（25-26高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练7.2】（25-26高三下·上海金山·阶段检测）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【跟踪训练7.3】（25-26高一上·江西九江·阶段检测）下列函数零点不宜用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练7.4】（25-26高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $