第3章 3.1 3.1.1 函数的概念-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦函数的概念这一核心知识点，衔接初中变量依赖关系，通过集合语言与对应关系构建完整函数概念，系统梳理定义域、值域、区间表示及函数相等条件，形成递进式学习支架。 资料以比萨斜塔自由下落情境引入激发兴趣，知识梳理通过设问深化理解，例题与变式训练结合提升数学抽象和运算素养。课中辅助教师引导探究，课后练习助力学生查漏补缺，强化知识应用。

3．1　函数的概念及其表示 3．1.1　函数的概念 课程标准 素养解读 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 3．了解构成函数的要素及同一个函数的概念，能求简单函数的定义域和值域 1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养 2．通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养 [情境引入] 比萨斜塔是意大利的标志性建筑，更是世界建筑史上的一大奇迹．比萨斜塔位于比萨城北面的一个名字叫奇迹广场上．奇迹广场的大片草坪上有一组宗教建筑，它们是比萨大教堂、洗礼堂、比萨斜塔和墓园．它们的外墙面均为乳白色大理石砌成，各自相对独立但又形成统一的罗马式建筑风格.1987年12月，奇迹广场(包括大教堂、洗礼堂、比萨斜塔和墓园)被联合国教科文组织列入《世界文化遗产》．比萨斜塔位于大教堂后面右侧，它从地面到塔顶高55米，直径16米，总重约14 453吨．塔身向东南方向倾斜，倾斜角度3.99度． 某物体从比萨斜塔的塔顶自由下落，物体下落的高度h(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为h＝gt2，其中g取9.8 m/s2. [问题]　物体下落的高度h(m)是所用时间t(s)的函数吗？ 提示：物体下落的高度h(m)是所用时间t(s)的函数． [知识梳理] [知识点一]　函数的概念　 1．函数的定义：设A、B是　非空的数集　，如果按照某种　确定的　对应关系f，使对于集合A中的　任意　一个数x，在集合B中都有　唯一　确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作　y＝f(x)，x∈A　. 2．函数的定义域：函数y＝f(x)中，x是自变量，　x的取值范围A　叫做函数的定义域． 3．函数的值域：函数y＝f(x)中，与x的值相对应的y值叫做函数值，　函数值的集合{f(x)|x∈A}　叫做函数的值域．显然，值域是集合B的　子集　. 1.对于函数f：A→B，值域一定是集合B吗？为什么？ 提示：不一定．值域是集合B的子集，即{f(x)|x∈A}⊆B. 2．对应关系f必须是一个解析式的形式吗？为什么？ 提示：不一定．可以是数表，也可以是图象． 3．有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？ 提示：这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数． 4．f(x)与f(a)有何区别与联系？ 提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数． [知识点二]　区间的概念　 1．区间的概念：设a，b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] 2.无穷区间表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 3.特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 {x|x≥a} 　[a，＋∞)　 {x|x>a} 　(a，＋∞)　 {x|x≤b} 　(－∞，b]　 {x|x<b} 　(－∞，b)　 5.区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ 提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 6．“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？ 提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号． [知识点三]　函数三要素及函数相等　 1．函数三要素：　定义域　、　对应关系　和　值域　. 2．函数相等：由于函数的值域是由　定义域　和　对应关系　确定的，如果两个函数的　定义域　相同，并且　对应关系　完全一致，就称这两个函数相等． 7.函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？ 提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可． 8．定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数． [预习自测] 1．已知集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示从集合M到集合N的函数图象的个数为(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 答案：A 2．函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　) A. B. C. D.∪ 答案：D 3．给出下列三组函数，其中表示同一个函数的是　______　(填序号)． ①f(x)＝x，g(x)＝； ②f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1； ③f(x)＝x，g(x)＝. 答案：③ 　　　函数概念的理解 [例1] 下列对应关系是否为A到B的函数？ (1)A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝R，B＝R，f：x→y＝； (3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝； (4)A＝[－2,2]，B＝{1}，f：x→y＝1. [思路点拨]　依据函数的概念判断． [解]　(1)A中的任一元素按照对应关系y＝|x|，在B中都有唯一确定的元素与之对应，故是集合A到集合B的函数． (2)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． (3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素，且不一定是整数，故此对应关系不是集合A到集合B的函数． (4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝1，在集合B中都有唯一一个确定的数1与它对应，故是集合A到集合B的函数． 1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 如图所示： 1．有如下对应关系： (1)A＝{0,2}，B＝{0,1}，f：x→； (2)A＝{－2,0,2}，B＝{4}，f：x→x2； (3)A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→； (4)A＝R，B＝R，f：x→2x＋1； (5)A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，f：(x，y)→x＋y. 其中能构成从集合A到集合B的函数的有　________　.(填序号) 解析：(1)由函数的定义知，满足题意； (2)当x＝0时，B中不存在元素与之对应，不满足题意； (3)当x＝0时，没有意义，不满足题意； (4)由函数的定义知，满足题意； (5)集合A不是数集，故不满足题意． 答案：(1)(4) 　　　判定函数相等 [例2] 下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝，g(x)＝； ③f(x)＝·，g(x)＝ ； ④f(x)＝ ，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示相等函数的是　____________　(填上所有正确的序号)． [思路点拨]　判断是否为相等函数，关键是看对应关系和定义域是否一致． [解析] 序号 是否相等 原因 ① 不等 定义域不同，f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R. ② 不等 对应法则不同，f(x)＝，g(x)＝. ③ 相等 定义域、对应关系都相同． ④ 不等 值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R. ⑤ 相等 定义域、对应关系都相同. [答案]　③⑤ (1)如何判断两个函数是否相等？ ①判断定义域是否相等； ②判断对应关系是否相等； ③结论：如果①和②都肯定，则两个函数相等；如果①和②中有一个否定，则两个函数不等． (2)判断两个函数是否相等的注意事项： ①如果两个函数的定义域和值域分别相同，那么这两个函数不一定相等，如f(x)＝x2＋1与g(x)＝|x＋1|，两个函数的定义域、值域分别相同，但它们的对应法则不同，因此它们不是相等函数． ②因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的，如f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4表示相等的函数． [变式训练] 2．判断下列各组函数是否是相等函数． (1)f(x)＝x2－x＋1，g(t)＝t2－t＋1； (2)f(x)＝·，g(x)＝ . 解：(1)虽然表示自变量的字母不同，但定义域、对应关系均相同，因而是相等函数． (2)∵f(x)的定义域为{x|x≥1}，而g(x)的定义域为{x|x≤－1，或x≥1}，两函数的定义域不同， ∴f(x)与g(x)不是相等函数． 　 　　求函数的定义域 [例3] 求下列函数的定义域． (1)f(x)＝·＋2； (2)f(x)＝＋. [思路点拨]　求函数的定义域，就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围． [解]　(1)要使此函数有意义，应满足即1≤x≤4，所以此函数的定义域是{x|1≤x≤4}． (2)要使此函数有意义，则 ⇒⇒x≥－3，且x≠－2. 所以f(x)的定义域为{x|x≥－3，且x≠－2}． 定义域的求法 (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R； (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合； (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合． (5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． [变式训练] 3．已知函数y＝f(x)的定义域为[－2,3]，则函数y＝的定义域为(　　) A.　 B.∪(－1,1] C．[－3,7] D．[－3，－1)∪(－1,7] 解析：B　[由题意得－2≤2x＋1≤3，解得－≤x≤1， 由x＋1≠0，解得x≠－1，所以函数y＝的定义域是∪(－1,1]．] 　　函数值和函数的值域 [例4] 已知函数f(x)＝. (1)求f(2)； (2)求函数f(x)的值域． [思路点拨]　形如f(x)＝的函数在求值域时，一般利用分离常数的方法，即在分式的分子上构造出分母的形式以便分离出常数来求值域． [解]　(1)f(2)＝＝. (2)f(x)＝＝＝1－， 又≠0，∴1－≠1， ∴f(x)≠1， 即函数值域是{y|y∈R，且y≠1}． 求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域； ②再根据函数的具体形式及运算确定其值域． (2)常用方法： ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法． ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法． ④分离常数法．此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． [变式训练] 4．求下列函数的值域： (1)y＝2x＋1； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)． 解：(1)因为x∈R，所以2x＋1∈R，即函数的值域为R. (2)配方：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2， 因为x∈[1,5)，由图所示． 所以所求函数的值域为[2,11)． 1．区间(－3,2]用集合可表示为(　　) A．{－2，－1,0,1,2} B．{x|－3<x<2} C．{x|－3<x≤2} D．{x|－3≤x≤2} 答案：C 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝x－2和y＝ B．y＝x－1和y＝ C．f(x)＝(x－2 026)2和g(x)＝(x＋2 026)2 D．f(x)＝和g(x)＝ 答案：D 3．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C三点的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(4))＝　________　；不等式f(x)＜2的解集为　________　. 答案：0　(1,4) 4．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为　______________　. 答案：{－1,1,3,5,7} 5．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)． (1)求f(2)，g(3)的值； (2)求f(g(3))的值及f(g(x))． 解：(1)因为f(x)＝， 所以f(2)＝＝－. 因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8. (2)依题意，知f(g(3))＝f(8)＝＝－， f(g(x))＝＝＝(x≠0). 1．下列四个函数中，与y＝2x表示同一个函数的是(　　) A．y＝2|x|　　　　 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 答案：D 2．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝(　　) A．[－2,2) B．(－2,2) C．[－2，＋∞) D．(－∞，2] 答案：A 3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案：C 4．下列函数中，值域为[0,4]的是(　　) A．f(x)＝x－1，x∈{1,2,3,4,5} B．f(x)＝－x2＋4 C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋－2(x＞0) 答案：C 5．(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有(　　) A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中数的平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，f：A中的数的2倍 解析：AD　[A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系．] 6．(多选)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：ABC　[函数y＝x2－4x－4的图象如图f(0)＝f(4)＝－4，f(2)＝－8.因为函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，所以实数m的取值范围是[2,4]，故选A、B、C.] 7．将函数y＝的定义域用区间表示为　________　. 解析：由解得x≤1且x≠0，用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]． 答案：(－∞，0)∪(0,1] 8．设f(x)＝，则f(f(x))＝　________　. 解析：f(f(x))＝＝＝. 答案：(x≠0，且x≠1) 9．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－3，且f(4)＝5，则f(2)＝　________　. 解析：∵函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－3，令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)－3，又∵f(4)＝5，∴f(2)＝4. 答案：4 10．试求下列函数的定义域与值域： (1)y＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}； (2)y＝(x－1)2＋1； (3)y＝； (4)y＝x－. 解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，当x＝－1时，y＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}． (2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}． (3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}． (4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝2－.又t≥0，故f(t)≥－.所以函数的值域是. 11．已知函数f(x)＝. (1)求证：f(x)＋f＝2(x≠－1且x≠0)； (2)求f(2 026)＋f(2 025)＋…＋f(2)＋f(1)＋f＋…＋f的值． (1)证明：∵f(x)＝，∴f＝＝， ∴f(x)＋f＝＝2，其中x≠－1且x≠0. (2)由题得f(1)＝＝1，f(2 026)＋f(2 025)＋…＋f(2)＋f(1)＋f＋…＋f＝f(2 026)＋f＋…＋f(2)＋f＋f(1)＝2 025×2＋1＝4 051. 12．(多选)若某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”．下列函数是“[0,1]交汇函数”的是(　　) A．y＝ B．y＝2－x C．y＝ D．y＝－|x| 解析：AB　[由[a，b]交汇函数的定义可知[0,1]交汇函数表示函数的定义域与值域交集为[0,1]． 对于选项A，y＝的定义域A＝(－∞，1]，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0,1]，A正确；对于选项B，y＝2－x的定义域A＝[0，＋∞)，令t＝≥0，则y＝2t－t2＝－(t－1)2＋1≤1，值域B＝(－∞，1]，则A∩B＝[0,1]，B正确；对于选项C，y＝＝，∵(x－1)2≥0，∴(x－1)2＋1≥1，∴0＜≤1，定义域A＝R，值域B＝(0,1]，则A∩B＝(0,1]，C错误；对于选项D，y＝－|x|的定义域A＝[－1,1]，y2＝1－x2＋x2－2|x|＝1－2，∵－1≤x≤1，∴0≤x2(1－x2)≤，即0≤y2≤1，∴－1≤y≤1，值域B＝[－1,1]，则A∩B＝[－1,1]，D错误．] 13．已知函数f(x)＝. (1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求实数a的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)的定义域为R，所以a(x2＋1)－4x＋3≥0在R上恒成立．当a＝0时，－4x＋3≥0⇒x≤，不符合题意； 当a≠0时，要使a(x2＋1)－4x＋3≥0在R上恒成立，即ax2－4x＋3＋a≥0在R上恒成立，只需解得a≥1，所以实数a的取值范围为[1，＋∞)． (2)当a＝0时，f(x)＝≥0，符合题意； 当a≠0时，要使函数f(x)值域为[0，＋∞)，只需解得0＜a≤1. 综上所述，实数a的取值范围为[0,1]． 学科网（北京）股份有限公司 $