2.3 第1课时 一元二次不等式的解法-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

数学·必修第一册 2.3二次画数与一元二次方程、不等式 第1课时 一元二次不等式的解法 课程标准 素养解读 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 通过求一元二次方程的解集及根与系数关系的 2.掌握图象法解一元二次不等式 应用，提升逻辑推理和数学运算素养 3.会对含参数的一元二次不等式分类讨论 课前。预习学案 对应学生用书P47 [情境引入] [知识点三] 二次函数与一元二次方程、不等式的解 利用恒等式的变形，推导一元二次方程根与系数的关 的对应关系 系如下 1.对应关系 设一元二次方程a.x2十b.x十c=0(a≠0)，两根为 A>0 △=0 △<0 x1x2, ax2+bx+c=a(x-)(x-x2)=ax2-a(x+ y=ax2+ x2)x十ax1x2, bx+c(a b 0)的图象 0/%2 0主 -a(x1十x2）, x1十x2= Tit:-a 有两个不相 [知识梳理] ax'+bx+c 有两个相等 等的实数根 的实数根x 没有实 =0(a>0) [知识点一]一元二次不等式 x1,x2(x1< 数根 的根 =x2= b 1.一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的 x2) 2a 最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 2.一元二次不等式的一般形式是a.x2十bx十c>0或 ax'+bx+c xla<x, ax2十b.x十c<0(其中a,b,c均为常数，a≠0). >0(a>0) 或x>x2} {≠} R 2思考1.不等式x2+2>0是一元二次不等 的解集 式吗？ ax?+bx+c ax<x 提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式 <0(a>0) 必 2.一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省 的解集 <x2} 略吗？ 2.本质：一元二次方程、一元二次不等式是一元二次 提示：不可以，若a=0,就不是二次不等式了. 函数y=a.x2十b.x十c(a≠0)的特殊情况，它们之间 [知识点二]二次函数的零点 是一种包含关系，也就是当y=0时，函数y=ax 一般地，对于二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)，我 +bx十c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时， 们把使a.x2十bx十c=0的实数x叫做二次函数y= 就转化为一元二次不等式. 3.应用：①解一元二次不等式；②已知一元二次不等 a.x2+b.x十c的零点， 式的解集求参数. 2思考3.二次函数y=ax2十bx十c的零点是 2思考4.当△=0时，不等式ax2十bx十c≥0(a>0)与 点吗？ a.x2十b.x十c≤0(a>0)的解集分别是什么？ 提示：不是，二次函数y=a.x2十bx十c的零点是方 6) 程a.x2十bx十c=0的根， 提示：R, 2a 64 第二章一元二次函数、方程和不等式 [预习自测] 2.下面四个不等式中解集为R的是 1.不等式-2x2十x十3<0的解集是 A.-x2+x+1≥0 B.x2-2√5x+5>0 A.{xlx<-1} C.x2+6.x+10>0 D.2x2-3x+4<0 ax1>号 答案：C C.{-l<x< 3.若二次函数y=ax2十bx十c(a<0)的图象与x轴 的两个交点为(-1,0)和(3,0)，则不等式ax2+bx D<-1,或> 十c<0的解集是 答案：D 答案：{xx>3,或x<-1》 课堂。互动学案 对应学生用书P48 题型一 二元三次不等式的解法 (4)原不等式可化为x2-6x十10<0， [例1]解下列不等式： A=-4<0, (1)2x2+5x-3<0; .方程x2-6.x十10=0无实根， (2)-3x2+6.x≤2； ,原不等式的解集为心. (3)4x2+4x+1>0; 规律方法 (4)-x2+6x-10>0. 一元二次不等式的两种解法 汇思路点拨了“先求对应方程的解，再依据二次函 (1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2十bx 数的图象写出不等式的解集。 十c>0(或≥0)或ax2十bx十c<0(或≤0)的 [解](1)△=49>0，方程2x2+5x-3=0的两根 一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程a.x2十b.x十c=0的解； 为x1=-3,x2=2, 。1 ②画出对应函数y=ax2十bx十c的图象： 作出函数y=2x2十5x一3的图象，如图①所示. ③由图象得出不等式的解集. 由图可得原不等式的解集为{红-一3<<号} 对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类 似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成 二次项系数为正的一元二次不等式，再求解. (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解 因式或配方求解，当p<q时，若(x一p)(x q)>0,则x>q或x<p;若(x-p)(x-q)< ① ② 0,则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于 (2)原不等式等价于3x2-6.x十2≥0.△=12>0，解 取中间” 方程3x2-6x+2=0,得x1=35,x=3+5 ⊙[变式训练] 3 3 1.解下列不等式： 作出函数y=3x2一6x十2的图象，如图②所示，由 (1)x2-x-6>0; 图可得原不等式的解集为 (2)25.x2-10x+1>0: (3)-2x2+x+1<0. 解：(1)方程x2-x一6=0的两根为x1=一2，x2= (3)△=0，.方程4x2+4x十1=0 3,结合二次函数y=x2-x-6的图象知x2-x-6 有两个相等的实根=x=一子 >0的解集为{xx>3,或x<-2}. 2 (2)方程25.x2-10x十1=0的两相等实根，x1=x2 作出函数y=4x2十4x十1的图象 10 如图③所示. 由图可得原不等式的解集为 ③ 结合二次函数y=25x2-10.x十1的图象知25x2 {红x≠-eR} 10x+1>0的解集为{x≠号} ·65· 数学·必修第一册 (3)方法一：方程-2x2+x十1=0 ⊙[变式训练] 的解为x1= 23=1,函数y= 2.解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0. 解：方程x2十(1-a)x-a=0的解为x1=一1，x2 2x2十x十1的图象是开口向下的 =a,函数y=x2十(1-a)x-a的图象开口向上，则 抛物线，与x轴的交点为（合0010，如园。 当a<-1时，原不等式解集为{xa<x<-1}; 当a=-1时，原不等式解集为心； 观察图象知不等式的解集为{《一子，或>} 当a>-1时，原不等式解集为{x|-1<x<a}. 方法二：在不等式两边同乘一1，可 题型 个三次”关系的应用 得2.x2-x-1>0,方程2.x2-x-1 [例3](1)（多选）已知关于x的一元二次不等式 1 =0的解为x1=一名，=1；画出 a.x2+bx十c≥0的解集为{xx≤-2或x≥1}，则 ) 函数y=2x2一x一1的图象如图所示 观察图象，可得原不等式的解集 A.b>0且c<0 B.4a+2b+c=0 为{<-减>} C.不等式bx+c>0的解集为{xx>2} 题型二含参数的一元三次不等式的解法 D.不等式cr2-x十a0的解架为{-1长<号} [例2]解关于x的不等式a.x2-(a+1)x十1<0. [思路点拔]分a=0和a≠0两种情况讨论： (2)若不等式ax2十b.x十2>0的解集是{x|一 [解]①当a=0时，原不等式即为一x十1<0，解 得x>1. <兮，则a+b= ②当a<0时，原不等式化为(c-)}水x-1)>0, 汇思路点拨]设一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠ 解得r<或x>1. 0)的两个根为1x2,则x十，=一么， 1=c a 国当a>0时，原不等我化为(-}x一1D<0. [解析](1)依题意可得方程ax2十bx十c=0的根 为x=-2或x=1,且a>0, 若a=1,即日-1时不等式无解， -2+1=-6 所以 若a>1,即1<1时，解得<x<1; 4即b=a,6=-2a. a -2×1=C a 若0<a<1,即上>1时，解得1<x<1 对于A,由a>0可得b=a>0,c=-2a<0,故A 综上可知，当a<0时，不等式的解集 正确；对于B,易知4a十2b十c=4a>0,故B错误； 对于C,不等式b.x十c>0,即a.x-2a>0,可得x>2,所 为{红<日，成> 以不等式bx十c>0的解集为{xx>2},故C正确； 当a=0时，不等式的解集为{(x|x>l}; 对于D,不等式cx2-b.x十a<0,即-2a.x2-ax十a 当0<a<1时，不等式的解条为{红1<x<日}： <0,即2x2+x-1>0,所以(2x-1)(.x+1)>0,解 当a=1时，不等式的解集为财； 得x>号或K-1,即不等式c2-ba十a<0的解 当a>1时，不等式的解终为{日<<} 集为{<-1或>}故D错。 规律方法 (2)由已知得， 含参数的一元二次不等式的解法 ax2十bx十2=0的解为- 讨论二次 二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0， 项系数 还是大于0，然后将不等式转化为二次项系 数为正的形式 「-b=-1+1 a 23' 判断方程 判断方程的根的个数，讨论判别式△与0 解得=-12， 层-(》× {b=-2, 根的个数 的关系 确定无根时可直接写出解集，确定方程有 写出解集 .a+b=-14. 两个根时，要讨论两根的大小关系，从而 确定解集形式 [答案](1)AC(2)-14 ·66· 第二章一元二次函数、方程和不等式 规律方法 ◇[变式训练] 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 3.若关于x的不等式a.x2+b.x十c>0的解集为{x|-3 (1)求解方法： <x<4},求关于x的不等式bx2+2a.x-c-3b<0 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的 的解集， 两根，从而由根与系数的关系，找出系数a,b, 解：，a.x2+bx十c>0的解集为{x|-3<x<4}, c之间的关系，写出不等式的解集. (2)求解步骤： .a<0且-3和4是一元二次方程ax2十bx十c=0 第一步：审结论—明确解题方向 的两根， 如要解cx2十bx十a<0,首先确定c的符号，最 -3+4=-b 1b=-a 好能确定a,b,c的值. ,解得 第二步：审条件—挖掘题目信息 -3X4=C c=-12a a 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集 的关系列出关于a,b,c的方程组，用a表示b,c. .不等式bx2+2ax-c-3b<0 第三步：建联系一找解题突破口 可化为-ax2+2ax+15a<0, 由给定不等式的解集形式→确定关于a,b,c 即x2-2.x-15<0, 的方程组→用a表示b,c→代入所求不等式 .-3<x<5, 之求解cx2十bx十a≤0的解集. .所求不等式的解集为{x-3<x<5}. 随堂。步步夯实 对应学生用书P50 1.集合A={x|-2≤x≤2}，B={xx2-5.x-6≤0}， 则(CRA)UB= ( ⑧当-号<a<0时，<-2，解原不等式可得x< A.{xx<-2或x>2} B.{x|2<x≤6} 或工>一2，此时，原不等式的解集 a C.{xx<-2或x≥-1} D.{x2≤x≤3》 答案：C 为{<是或x>-2} 2.（多选)关于x的不等式m.x2-ax-1>0(m>0)的 解集不可能是 ( ) ④当a=-是时，原不等式即为一2(x十2)<0，解 A{<-1,或x>} B.R 得x≠一2，此时，原不等式的解集为{xx≠一2}； D. 回当a<一号时，>-2，解原不等式可得x<-2 答案：BCD 或x> 日此时，原不等式的解条 3.已知集合A={x|1<x<2},B={x|x2-2a.x+a2 -1<0},若A二B,则实数a的取值范围 为{<-2成>} 是 时，原不等式的解集 答案：{a1≤a≤2}》 综上所述，当a<- 4.方程x2十(m-一3)x十m=0有两个实根，则实数m 的取值范围是 为{<-2成心日}： 答案：m≤1或m≥9 当a=- 2时，原不等式的解集为{xx≠-2： 5.解关于x的不等式ax2十(2a-1)x-2<0. 解：原不等式即为(ax-1)(x十2)<0. 当-号<a<0时，原不等式的解集 ①当a=0时，-x-2<0,解得x>-2,故不等式 的解集为{xx>一2}； 为女<日或x>-2}: ②当Q>0时，>-，解原不等式可得-2<1 当a=0时，原不等式的解集为{x|x>一2}： 日此时原不等式的解终为{口 -2<<}: 当a>0时，原不等式的解集为{红 -2<<a} ·67· 数学·必修第一册 课后。素养提升 对应学生课时P271 基础过关 根，B正确；当m=一1时，方程化为一x2一4x十6=0， 1.不等式x2-3x十2<0的解集为 因为△=（一4）2一4×（一1）×6>0，所以此时方程 A.{x|x<-2,或x>-1} 有两个不相等的实数根，C错误；当m=2时，方程 B.{x|-2<x<-1} 化为2.x2-4x+3=0,因为△=(-4)2-4×2×3= C.{xx<1,或x>2》 一8<0，所以此时方程无实数根，D错误.故选 D.{x|1<x<2} A、B.] 答案：D 6.(多选)对于给定的实数a,关于实数x的一元二次 2.已知集合M={x-1<x<1},N={x|y= 不等式x2+ax十4>0的解集可能是 √3+x-2x},则M∩N= A.{ -a-a-16或x>-a+a-16 A.{x-1<x<1} 2 2 B{-1<≤} B.R C.☑ C.{x-1≤x<2} D.0 D{eR.且x≠-} 答案：A 解析：ABD[对于二次函数y=x2十ax十4，△- 3.若一元二次方程ax2-2x-4=0(a≠0)有一个正 a2-16,.当△<0，即-4<a<4时，不等式x2十 根和一个负根，则实数a的取值范围为 ( a.x十4>0的解集为R;当△=0，即a=士4时，不等 A.{aa>0} B.{aa>2} 式x2十ax+4>0的解集为 C.{aa>1} D.{ala>-1} 答案：A {:,且x≠-受}：当4>0，即a<-4成a> 4.设x∈R,使得不等式x2-2.x一8<0成立的一个充 4时，不等式x2十a.x十4>0的解集 分不必要条件是 ( ) A.-2<x<4 B.x>-2 2 2 C.2≤x≤3 D.x<4 7.不等式(x十2)WJx一9≤0的解集为 答案：C x十2≤0， 5.(多选)关于x的方程mx2-4x-m十5=0，以下说 解析： 或x2-9=0,即 -9≥0， 法正确的是 ( x2 A.当m=0时，方程只有一个实数根 或x=土3，即x≤-3或x=3. x≤-3或x≥3， B.当m=1时，方程有两个相等的实数根 C.当m=一1时，方程没有实数根 答案：{xx≤-3，或x=3》 D.当m=2时，方程有两个不相等的实数根 8.不等式ax2-b.x十c>0的解集是 解析：AB[当m=0时，方程化为-4x十5=0，解 {一<2对于系数abc,有下列结论： 得x=,此时方程只有一个实数根，A正确；当m ①a>0;②b>0;③c>0;④a+b+c>0;⑤a-b+c =1时，方程化为x2-4.x十4=0，因为△=(-4)2 >0. 一4X1×4=0,所以此时方程有两个相等的实数 其中正确结论的序号是 ·68· 第二章一元二次函数、方程和不等式 解析：由ax2一bx十c>0的解集为 结合二次函数y=9x2一12x十4的图象知，原不等 {-<2}知a<0“=-×2=-1< 式的解集为{≠号} 0,.c>0 11.已知关于x的不等式x2十ax十b<0的解集为 +2>0，b<0. {x|1<x<2},求关于x的不等式b.x2+a.x+1>0 2 的解集 :-1e{-2<<2}a+6+c≤0， -a=1+2, a=-3, 解：由题意得 即) 又1∈{红-<<2}a-b+c>0,故⑤ b=1×2, b=2, ∴.不等式bx2+ax十1>0. 正确」 就是2.x2-3.x十1>0. 答案：③⑤ 由于2x2-3x+1>0台(2x-1)(x-1)>0台x< 9.在解方程x2十px十q=0时，甲同学看错了，解得 方程的根为x1=1,x2=一3；乙同学看错了q,解得 昌或>1 方程的根为x1=4,x2=一2，则方程中的p= .bx2+a.x十1>0的解集为 J(1,十∞). 9= 解析：甲同学看错了，但没有看错q,乙同学看错 能力提升 》 了q,但没有看错p,所以根据根与系数的关系，得9 12.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数， =(-3)×1=-3,p=-(-2+4)=-2. 那么使不等式4[x]-36[x]+45<0成立的x的 答案：一2-3 取值范围是 10.解下列不等式： (1)x2-5x-6>0: A{受<<} B.{x2≤x≤8》 (2)-x2+7x>6; C.{x|2≤x<8 D.{.x|2≤x≤7} (3)(2-x)(x+3)<0; (4)4(2x2-2x+1)>x(4-x). 解析：C[由41了-36[]+45<0，得号<[ 解：(1)方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2 <号，又[]表示不大于x的最大整数所以2 =6. 结合二次函数y=x2-5x-6的图象知，原不等式 <8.故选C.] 的解集为{xx<-1或x>6}. 13.解关于x的不等式x2-(a十a2)x十a3>0. (2)原不等式可化为x2-7x十6<0. 解：原不等式可化为(x-a)(x一a)>0. 解方程x2-7x十6=0，得x1=1,x2=6.结合二次 当a<0时，a<a2,解集为{xx<a或x>a}； 函数y=x2一7x十6的图象知， 当a=0时，a2=a,解集为{xx≠0}； 原不等式的解集为{x1<x<6}: 当0<a<1时，a2<a,解集为{xx<a或x>a}: (3)原不等式可化为(x-2)(x十3)>0. 当a=1时，a2=a,解集为{xx≠1}； 方程(x-2)(x十3)=0两根为2和-3. 当a>1时，a<a2,解集为{xx<a或x>a2}. 结合二次函数y=(x一2)(x十3)的图象知，原不 综上所述，当a<0或a>1时， 等式的解集为{xx<-3或x>2}. 解集为{xx<a,或x>a2}; (4)由原不等式得8.x2-8.x十4>4x-x2. 当0<a<1时，解集为{xx<a2或x>a}; .原不等式等价于9x2-12x十4>0. 当a=0时，解集为{xx≠0}； 解方程9x212x十4=0，得1=x= 当a=1时，解集为{xx≠1}. ·69·