第2章 2.1 第1课时 不等关系与不等式-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦“不等关系与不等式”核心知识点，从生活情境（糖水变甜）引入，系统梳理不等式概念、文字与符号语言转换，再到比较实数大小的作差法、作商法，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境化问题驱动学习，如糖水浓度不等式培养数学抽象，作差法比较代数式大小提升数学运算与逻辑推理。课中助力教师引导学生探究，课后通过分层练习帮助学生巩固方法，查漏补缺。

2．1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 课程标准 素养解读 1.用不等式(组)表示不等关系及两个实数大小的关系 2．实际问题中不等关系的确定 3．作差法比较两个数的大小 1.通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小提升数学抽象及数学运算素养 2．通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养 [情境引入] 在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，你能根据这一事实表示出糖水浓度不等式吗？ 提示　糖水变甜这一现象对应的不等式为<，其中a<b，c>0. [知识梳理] [知识点一]　不等式与不等关系　 1．不等式的概念． 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的　不等关系　.含有这些不等号的式子叫做不等式． 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换. 文字 语言 大于，高于， 超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不多于，不超过 符号 语言 　>　 　<　 　≥　 　≤　 3.本质：现实世界和日常生活中的不等关系在数量关系上的反映，这种不等关系可以用不等式来表示．应用：描述现实世界和日常生活中的不等关系． 1.3≤3成立吗？ 提示：成立．不等式“a≤b”的含义是：或者“a<b”或者“a＝b”，即当“a<b”与“a＝b”一个成立时，该不等式就成立． [知识点二]　比较两个实数a，b大小的依据　 文字语言 符号表示 如果a>b，那么a－b是正数，反之亦然 a>b⇔　a－b>0　 如果a<b，那么a－b是负数，反之亦然 a<b⇔　a－b<0　 如果a＝b，那么a－b等于0，反之亦然 a＝b⇔　a－b＝0　 2.在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？ 提示：是． 3．p⇔q的含义是什么？ 提示：p⇔q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推． [预习自测] 1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是(　　) A．5x＋4y<200　　　 B．5x＋4y≥200 C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200 答案：D 2．在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x，y，则用不等式组表示为(　　) A. B. C. D. 答案：D 3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是　________　. 答案：4.5 t<28 000 　用不等式(组)表示不等关系 [例1] 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求600 mm钢管的数量不能超过5 00 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式(组)． [思路点拨]　读懂题意，把实际问题转化为数学不等式关系． [解]　设截得500 mm的钢管x根．截得600 mm的钢管y根． 根据题意得： 　将不等关系表示成不等式(组)的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． [变式训练] 1．某蔬菜收购点租用车辆，将100 t新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆大卡车载重8 t，运费960元，每辆农用车载重2.5 t，运费360元，运输成本之和不能超过10 000元，据此安排两种车型，应满足哪些不等关系？请列出来． 解：设租用大卡车x辆，农用车y辆， 根据题意，应满足如下的不等关系： ①两种车辆的总载重量应该不少于100 t； ②运输成本之和不超过10 000元； ③大卡车不能超过10辆； ④农用车不能超过20辆； ⑤x∈N，y∈N. 要同时满足以上不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 即 　　　作差法比较大小 [例2] 设x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)·(x＋y)的大小． [思路点拨]　作差，判断差与0的大小关系 [解]　(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)(x2＋y2)－(x－y)(x＋y)2 ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2] ＝(x－y)(－2xy)． 由于x<y<0，所以x－y<0，－2xy<0， 所以(x－y)(－2xy)>0， 即(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)． 比较大小最常用的是作差法，其步骤为： 第一步：作差并变形，其目的是应容易判断差的符号． 变形有两种情形： ①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘． ②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断． 第二步：判断差值与零的大小关系． 第三步：得出结论． [变式训练] 2．已知a，b均为正实数，试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 解：∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． 当a－b＝0，即a＝b时，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a－b≠0，即a≠b时， (a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. 　　　比较大小的其它方法 [例3] 比较aabb与abba(a>0且a≠1，b>0且b≠1)的大小． [思路点拨]　作商，判断商与1的大小． [解]　＝aa－bbb－a＝a－b， 当a>b>0时，>1，a－b>0， 则a－b>1，所以aabb>abba； 当b>a>0时，0<<1，a－b<0， 则a－b>1，所以aabb>abba； 当a＝b>0时，a－b＝1，所以aabb＝abba， 综上可知，aabb≥abba(当且仅当a＝b时取等号)． 作商法比较大小 如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.方法图示如下： 依据 a>0，b>0 >1⇔a>b ＝1⇔a＝b <1⇔a<b a<0，b<0 >1⇔a<b ＝1⇔a＝b <1⇔a>b 应用范围 同号两数比较大小或分式、积、幂之间比较大小 步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论 [变式训练] 3．已知a>0，b>0，试比较＋与＋的大小． 解：方法一(作差法)　－(＋)＝＋＝＋＝＝. ∵a>0，b>0，∴＋ >0， >0，(－)2≥0， ∴≥0，∴＋≥＋. 方法二(作商法) ＝＝ ＝＝＝1＋≥1. ∵a>0，b>0，∴＋>0，＋>0， ∴＋≥＋. 1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示(　　) A．v≤120 (km/h)或d≥10 (m) B. C．v≤120(km/h) D．d≥10(m) 答案：B 2．(多选)下列关于不等关系的说法正确的是(　　) A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h(米)满足0＜h≤4.5 B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b＞0 C．不等式x≥2的含义是指x不小于2 D．若a＜b或a＝b之中有一个成立，则a≤b成立 答案：ACD 3．某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生(除小李外)决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班(除小李外)共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为　________　. 答案： 4．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是　________　. 答案：a>c>b 5．试比较下列各组式子的大小： (1)－与－，其中x>1； (2)x3－2y3与xy2－2x2y，其中x>y>0. 解：(1)－＝，－＝， ∵＋>＋>0， ∴－<－. (2)(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3 ＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)(x＋2y) ＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)． ∵x>y>0，∴x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0， ∴(x3－2y3)－(xy2－2x2y)>0， 即x3－2y3>xy2－2x2y. 1．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是(　　) A．a－b＞0　　　　　 B．a－b＜0 C．a－b≥0 D．a－b≤0 答案：C 2．已知a、b分别对应数轴上的A、B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是(　　) A．a－b≤0 B．a＋b＜0 C．|a|＞|b| D．a2＋b2≥－2ab 答案：D 3．已知a>0，b>0，M＝＋，N＝，则(　　) A．M>N B．M＝N C．M<N D．不能确定 答案：A 4．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元．现有工人工资预算2 000元，设请木工x人，瓦工y人，则工人数需满足的关系式是(　　) A．5x＋4y＜200(x，y∈N*) B．5x＋4y≥200(x，y∈N*) C．5x＋4y＝200(x，y∈N*) D．5x＋4y≤200(x，y∈N*) 答案：A 5．(多选)若x>1>y，则下列不等式一定成立的有(　　) A．x－1>1－y B．x－1>y－1 C．x－y>1－y D．1－x>y－x 解析：BCD　[x－1－(1－y)＝x＋y－2，无法判断它与0的大小关系，任取特殊值x＝2，y＝－1得x－1－(1－y)<0，故选项A中不等式不一定成立；x－1－(y－1)＝x－y>0，故选项B中不等式成立；x－y－(1－y)＝x－1>0，故选项C中不等式成立；1－x－(y－x)＝1－y>0，故选项D中不等式成立．故选B、C、D.] 6．b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为(　　) A.＜ B.＞ C.＜ D.＞ 解析：B　[变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．] 7．(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2的大小关系为　________　. 解析：(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－(x2＋12x＋36)＝－1＜0，所以(x＋5)(x＋7)＜(x＋6)2. 答案：(x＋5)(x＋7)＜(x＋6)2 8．若规定＝ad－bc，则与的大小关系为　____________　(a，b∈R，a≠b)． 解析：－＝[a·a－(－b)·b]－[a·b－(－a)·b]＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2. ∵a≠b，∴(a－b)2＞0. ∴＞. 答案：＞ 9．若x∈R，则与的大小关系为　________　.与1的大小关系为　________　. 解析：－＝＝≤0. ∴≤.－1＝ ＝<0， ∴<1. 答案：≤　<1. 10．某蛋糕师制作A，B两种蛋糕，原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下：制作一个A种蛋糕需要面粉150 g、黄油100 g、牛奶50 mL；制作一个B种蛋糕需要面粉200 g、黄油140 g、牛奶70 mL.现有面粉1 000 g、黄油600 g、牛奶350 mL.试列出满足题意的不等式组． 解：设A，B两种蛋糕分别制作x，y个，根据题意，应有如下的不等关系： ①制作A，B两种蛋糕需要的面粉不超过1 000 g，用不等式表示为150x＋200y≤1 000； ②制作A，B两种蛋糕需要的黄油不超过600 g，用不等式表示为100x＋140y≤600； ③制作A，B两种蛋糕需要的牛奶不超过350 mL，用不等式表示为50 x＋70y≤350； ④A，B两种蛋糕的制作量都应不少于0，且为整数个，故x∈N，y∈N； 所以满足题意的不等式组为 11．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程走步，一半路程跑步，乙一半时间走步，一半时间跑步，如果两人走步速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？ 解：设寝室到教室的路程为s，走步速度为v1，跑步速度为v2，则甲用时t1＝＋＝， 由s＝v1＋v2，得乙用时t2＝， t1－t2＝－＝s ＝·s＝＞0， 所以甲用时多，所以乙先到达教室． 12．数学来源于生活，又服务于生活，婷婷和莎莎两次购买同一种物品时，婷婷不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；莎莎不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．假设所购物品的价格发生波动，则(　　) A．两位中省钱小能手是婷婷 B．两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C．两位中省钱小能手是莎莎 D．两位中谁是省钱小能手与购买数量有关 解析：C　[设第一次所购物品的价格为p1，第二次所购物品的价格为p2，婷婷单次购买物品的数量为n，则婷婷两次所购物品的平均价格为＝.设莎莎单次购买物品所花的钱数为m，第一次购买物品的数量为，第二次购买物品的数量为，则莎莎两次所购物品的平均价格为＝，因为－＝－＝＝≥0，但p1≠p2，等号不能取到，所以婷婷两次所购物品的平均价格大于莎莎两次所购物品的平均价格，故莎莎是省钱小能手．] 13．已知a1，a2∈R，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，试比较M与N的大小． 解：作差，即M－N＝(a1－1)(a2－1)． ①当a1，a2∈(－∞，1)时，(a1－1)(a2－1)＞0， 即M＞N； ②当a1，a2∈(1，＋∞)时，(a1－1)(a2－1)＞0， 即M＞N； ③当a1，a2中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，(a1－1)(a2－1)≤0，即M≤N. 综上，当a1，a2∈(－∞，1)或a1，a2∈(1，＋∞)时，M＞N，当a1，a2中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，M≤N. 学科网（北京）股份有限公司 $