2.2 第2课时 基本不等式的应用-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

数学·必修第一册 第2课时 基 课程标准 掌握基本不等式√ab≤a十也(a,b≥0).结合具体实例 2 基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 课前© [情境引入] (1)某养殖场要用100米的篱笆围 成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能 使鸡舍面积最大？ (2)某农场主想用篱笆围成一个 10000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆 最省呢？ [问题]实例中两个问题的实质是什么？如何求解？ 提示这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周 长一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy ≤（告）=25=625当且仅等，=y=5诗取等 号，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最 大.第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y 之和最小值，x十y≥2√xy=2W10000=200,当且仅 当x=y=100时取等号，即当农场为正方形，边长为 100米时，所用篱笆最省. [知识梳理] [知识点] 1.用基本不等式求最值， ①设x,y为正实数，若x十y=s(s为定值)，则当x =y=之时，积xy有最大值为 ● 课堂 题型一 利用基本不等式求最值 [例1](1)若x>0,求函数y=x十4的最小值，并求 此时x的值； (2)设0<<号，求函数y=4女3-2x)的景大值： 3)已知≥2，求x十的录小值 汇思路点拨了“()直接应用基本不等式求最值： (2)y=4.x(3-2x)=2[2.x(3-2x)]. (8x+2=x-2+,42+2 (4)利用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等” 三个条件缺一不可， 本不等式的应用 素养解读 能用通过学习基本不等式及其应用，重点提升数学 运算、逻辑推理、数学建模素养 预习学案 对应学生用书P43 ②设x,y为正实数，若xy=p(p为定值)，则当x =y=√时，和x十y有最小值为2√. 2.基本不等式求最值的条件 ①x,y必须是正数 ②求积xy的最大值时，应看和x十y是否为定值； 求和x十y的最小值时，应看积xy是否为定值. ③等号成立的条件是否满足. [预习自测] 1.若二+1(x>1)在x=1处取得最小值，则： x-1 等于 A.1+√2 B.2 C.3 D.4 答案：B 2.已知正数x,y满足8+1=1，则x十2y的最小 值是 A.18 B.16 C.8 D.10 答案：A 3.已知正数a,b满足ab=10,则a十b的最小值 尽 答案：2√10 互动学案 对应学生用书P44 [解] (1)x>0, x 当且仅当x=4,即x2=4,x=2时取等号. “函数y=x十4(x>0)在c=2时取得最小值4. x 20<x<93-2x>0 ∴y=4.x(3-2.x)=2[2x(3-2.x)] 22+21-号 2 当且仅当2x=3-2江，即x=是时等号成主. 68 画y=4女(3-2x)0<<)的最大值为号 9 (3)x>2,x-2>0, x x-2 =x-2 4 x-2+2 ≥2，/(x-2)·4+2=6. x-2 当且仅当x-2= x-2' 即x=4时，等号成立.x十2的最小值为6. 规律方法 1.常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此 种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值（常数）. (2)把确定的定值（常数）变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相 除，进而构造和或积的形式 (4)利用基本不等式求解最值. 2.含有多个变量的条件最值问题的解决方法 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接 利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数， 即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式 中转化为只含有一个变量的最值问题. 3.应用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定， 三相等”的原则，即： 1)-正：特合基本不等我“士>VD成立的前提 条件，a>0,b>0; (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“=”号的条件，即“=”号 成立，以上三点缺一不可. 4.基本不等式的常见变形 (1)a+b≥2√ab; 2ab≤(）e6“(失年>06>0.当里 2 仅当a=b时等号成立）》 ◇[变式训练] 1.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0.求： (1)xy的最小值； (2)x十y的最小值 解：(1)xy=2x+8y≥2√16xy,当且仅当2x=8y, 即x=16,y=4时等号成立， 第二章一元二次函数、方程和不等式 Wxy≥8，xy≥64， xy的最小值为64. (2)由2x+8y=xy,得2+8=1， y +=(+=10+号+10+8 y =18, 当且仅当2红-8型 即x=12,y=6时等号成立， x十y的最小值为18. 题型二利用基本不等式求参数的值（范围）] [例2】已知a>0,b>0,若不等式总+方产246恒 成立，则m的最大值等于 ( A.10 B.9 C.8 D.7 汇思路点拨] 4>06>0时，名+6 2a十6恒成 立，等价于m≤(2a+b(会+) 恒成立，利用基 a 本不等式求解。 [解析]因为a>0,b>0,所以2a十b>0, 所以要使2十1≥。m恒成立， 十b2a+b 恒成立， 2a+b》(径+)=4++2+1≥5+4=9， 当且仅当a=b时，等号成立，所以m≤9. [答案]B 规律方法 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立 条件，从而得参数的值或取值范围. (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将 已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主 元与次元的转化. (3)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小 值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立台 f(x)mn>A;若f(x)在区间D上存在最大值， 则不等式f(x)<B在区间D上恒成立台 f(x)≤B. ◇[变式训练] 2.（多选)已知正实数x,y满足x十2y=2,若不等式 3.x2-2m2xy十6y2+2x+4y>0恒成立，则实数m 的值可以为 A.-4 B.-2 C.1 D.3 59 数学·必修第一册 解析：BC[由题可得m'<3+6+2十4y恒 2xy 成立. ,(x+2y)2=4=2x+4y, m2<3x2+6y+2x+4=3x2+6y2+(x+2y) 2xy 2xy =4x2+10y+4xy=2x+5y+2, 2xy 而2红+义≥2·型=2V而，当且仅当2x= y 5y,即=4而-0y=8-2四时取等号. 3 3 则m2<2√10+2≈8.] 题型“利用基本不等式解决实际问题 [例3]某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个 长方形公园ABCD,公园由长方形AB,C1D1的休 闲区和环公园人行道（阴影部分）组成.已知休闲区 A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别 为4米和10米（如图所示）. D 14米 4米 0来 （1)若设休闲区的长和宽的比AB B C =x(x>1),求 公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A,BC1D, 的长和宽该如何设计？ 汇思路点拔]设出长和宽，列出面积公式。 [解](1)设休闲区的宽为a米，则长为a.x米，由 a2x=4000,得4=20V0 则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8.x十20)a十160 =4000+(8.x+20) 20W10+160 ( =8010(2+5)+4160(x>1). Vx (2)因为8010(2+5)+4160≥80√0× x ● 随堂。 1 1.已知x>-2,则x+x十2的最小值为 A.一2 B.-1 C.2 D.0 答案：D ·6 22×5+4160=1600+4160=5760,当且 仅当2反=5，即x=2.5时，等号成立，此时4 √x 40,a.x=100,所以要使公园所占面积最小，休闲区 A1B,C1D1应设计为长100米，宽40米. 规律方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转 化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性 质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时， 应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最 大值或最小值的变量定为函数， (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函 数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值， (4)正确写出答案. ◇[变式训练] 3.某企业2026年年初花费64万元购进一台新的设备， 并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计 为30万元，设备使用x(x∈N*)年后该设备的维修保 养费用为x十4x万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈 利额=盈利总额÷使用年数). 解：(1)根据题意，y=30x-64-(x2+4.x) =-x2+26.x-64, 故y关于x的函数关系式为y=-x2+26x一64(x ∈N*). (2)由(1)知盈利总额y=-x2十26x-64(x∈N"), 则年平均盈利额W=二t2十26x一64 ),因为x+64≥2，x.9 64 则W=26-x十 ,64=16(当 且仅当x=8时取等号)，所以W≤26一16=10万元， 故该设备使用8年后年平均盈利额取得最大值，最 大值为10万元. 步步夯实 对应学生用书P46 2.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到 车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与 到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处 建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万 元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离 车站 A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处 D.2千米处 答案：A 3.已知a>0,b>0,3a十b=2ab,则a十b的最小值 为 答案：2十√5 4.若对任意x>0,x2+3x+1 ≤a恒成立.则a的取 值范围是 答案：aa≥} 5.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及 其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支 课后。 基础过关 》 1.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=号+告的最小 值是 ( ) A日 B.4 c号 D.5 答案：C 2.已知≥号则fx)=2+有 2.x-4 A.层大值号 B景小值号 C.最大值1 D.最小值1 答案：D 3.已知x>0,y>0,x十2y十2xy=8,则x+2y的最小 值是 ( A.3 B.4 c号 n.号 答案：B 4.设正实数x,y,之满足x2-3xy十4y2-之=0，则当 取得最大值时，号号是的朵大位为（ A.9 B.1 c D.3 答案：B 5.(多选)若x>0,y>0,且2x十y=xy,则 ( A.+>1 y B.x+2y+xy≥9+6√2 C.xy≤8 ·6 第二章一元二次函数、方程和不等式 付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能 使平均每天所支付的总费用最少？ 解：设该厂每x天购买一次面粉.其购买量为 6x吨. 由题意可知，面粉的保管费及其他费用为 3×[6.x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1]=9x(x+1). 设平均每天所支付的总费用为y1元， 则1=1[9x(x+1)+900]+6×1800=9.x+900 +10809≥2./9x· .900+10809=10989(元)， 当且仅当9x=900,即x=10时，等号成立. 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天 所支付的总费用最少. 素养提升 对应学生课时P269 解析：ABD>0>0,2x+y=y,1+日 =12+名>1+2-=1，A正确：x十2y十y x y 3x+3y=(ax+3w)(2+号）9+2+g≥9+ 6√2，当且仅当√2x=y,即x=1十√2，y=2+√2时 等号成立，B正确；2x十y=xy≥2W√2xy,解得xy≥ 8,C错误；2x十y=xy可化为(x-1)(y-2)=2,又 由>0y>0知-1>0y-2>0,则十 户2产‘22=2当且仅当2 2 1 2 x-1y-21 即x=2,y=4时等号成立，D正确.] 6.（多选)已知a,b均为正实数，且a十b=1,则 A.ab的最大值为号 B名+号的最小值为5 c(+)6+名)的是小宣为时 D.a' D产十年的旅小位为时 解析：ACD[对于A选项，由基本不等式可得ab )- 当且仅当=b, .即当a=b=号时，等号成立， (a+b=1, 所以a6的最大值为，A正骑；对于B选项，么十 数学·必修第一册 -+》-++2≥2 b b.2+2 a b =2√2+2， 「b=2a a b, 当且仅当 a+b=1, 即 a=2-1, 时，等号成 b=2-√2 a>0,b>0, 立，所以么+二的最小值为22+2，B错误： b 时于C选项，a+后)8+) =a谷+安（公+）+清 1 =a-6++ 8, a=2+② 4 当且仅当 a+b=1, 即 或 a>0,b>0, 4 [a=2-2 4 时，等号成立， b=2+2 4 所以(+8)(+日)的最小位为君，C正确：时 a 于D选项，a+2+ 62=(a+2-2)2+b+1-1)月 a+2 b+1 =+2-+2+叶1-2+点a年2+-2， 1 4 设s=a十2，t=b+1,可得s>0,t>0,且s十t=4, 则上式=（生+》+）-2 5+些+)-2≥+座·-2=子 8 当且仅当二2： 3 [a= 3 即 时，等号 s+t=4, 成立， 以a十2十千的最小值为子，D正确.] 所以a 7.若xy是正实数，(x-)=(y户.则+的最 小值为 ·6 解析：因为(x一y)2=(xy)3且x,y是正实数，所以 两边同时除以(y,（侣） =xy,又因为 (+)=日-》)+ =xy十 y 2y… ,=4,当且仅当xy= 即x=2+2, 4 y=2-2时等号成立，所以1十1≥=2. 答案：2 8.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”： “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上 以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从 隅，开平方得积.”即假设在平面内有一个三角形， 边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S- √p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周 长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式. 现有一个三角形的边长满足a十b=12,c=4,则此 三角形面积的最大值为 解析：由题意可得，p=(a十b十c)=8,则S =√32(8-a)(8-b). 由基本不等式可得，S=√32(8-a)(8-b)≤ 32.16-ar=8w2 4 当且仅当8-a=8-b,即a=b=6时取等号. 答案：8√2 9.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台 机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与 机器运转时间x(单位：年)的关系为y=一x2十18x 一25(x∈N*),则当每台机器运转 年 时，年平均利润最大，最大值是 万元 解析：每台机器运转x年的年平均利润为义=18一 (x+2）,且x>0,故义≤18-2√25=8，当且仅当 x=5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为 8万元. 答案：58 10.某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已 知该品牌电脑的进价为3000元/台，为节约资金 决定分批购入，若每批都购入x(x∈N*)台，且每 批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保 管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比 (比例系数为k),若每批购入20台，则全年需付运 费和保管费7800元. (1)记全年所付运费和保管费之和为y元，求y关 于x的函数， (2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最 小，则每批应购入电脑多少台？ 解：1)由题意，得y=360X300十k×300. 当x=20时，y=7800,解得k=0.04. 所以y=360×300+0.04×3000.x=360×300+ 120x(x∈N*). (2)由(1)，得y=360×300十120x≥ 360×300×120.x=2×3600=7200. 当且仅当360X300=120x,即x=30时，等号 成立 所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最 少，每批应购入电脑30台. 1山.1已知0<x<号，求y=2x-5r的最大值： (2)已知x>0,y>0,且x+y=1,求8+2的最 小值 解：(1)y=2x-5.x2=x(2-5.x) =日5x(2-x. 0<x<2, 5<2.2-5x>0, 5x(2-5.x)≤(5u+2-5x)2=1, 2 ≤号，当且仅当5x=2一5a,即x=吉时y (2):x>0,y>0,且x+y=1, :.8+2=(8+2)x+y)=10+8y+2≥ yx y 8y.2z=18, 10+2y 当且仅当8y=2红，即x= 2 x y y= 时等号成立， .8+2的最小值是18. x y 能力提升 -》 12.已知：x>0,y>0,且x+2y=1,求使1+1>4 恒成立的参数a的范围. 解：x>0,y>0,且x+2y=1, :1+1=+2y++2y=1+2+2y+≥ x y x y y 2y.工=3+22. 3+2xy ·63 第二章一元二次函数、方程和不等式 当且仅当2y=之，且x+2y=1, 即反-1y=1一竖时，等号减之 小+号的最小债为3十2，故委化十号> y 恒成立，只需a<3十2√2即可. 即a的取值范围为(-∞，3十2√2). 13.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生 产x千件，需另投入成本为C(x),当年产量不足 80千件时，C()=号x+10z(万元).当年产量不 小于80千件时，C(x)=51x+10000-1450(万 元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析， 该厂生产的商品能全部售完， (1)写出年利润L(.x)(万元)关于年产量x(千件) 的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生 产中所获利润最大？ 解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件 商品销售额为0.05×1000x万元， 依题意得当0<x<80时，L(x)=1000x×0.05 (+10-250=-3r+40x-250: 当x≥80时， L(x)=1000x×0.05-51x+10000-1450） 250=1200- x+10000 x 3元2+40x-250,0<x<80, .L(x) 1200-x+10000 ,x≥80. (2)当0<x<80时，L(x)= (x-60)+950. 3 对称轴为x=60,即当x=60时，L(x)mx=950 万元； 当x≥80时，L(x)=1200 x+10000）≤1200 -2√10000=1000（万元）， 当且仅当x=100时，L(x)mx=1000万元， 综上所述，当年产量为100千件时，年获利润 最大