第1章 1.1 集合的概念-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

1．1　集合的概念 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系 2．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上．用符号语言刻画集合 在集合概念的形成中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养 [情境引入] 情景1：集合论诞生于19世纪末，其创始人是康托尔(1829－1920，德国数学家)．集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，它的出现大大扩充了数学的研究领域，可以说，集合论是整个数学大厦的基础，它不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑学． 情景2：高一开学第二天，学校通知：上午8点，在学校体育馆举行军训动员大会． [问题]　这个通知的对象是全体高一学生还是个别对象？ 提示　通知的对象是全体高一学生． [知识梳理] [知识点一]　元素与集合的相关概念 1．元素：一般地，把　研究对象　统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，……表示． 2．集合：把一些　元素　组成的总体叫做集合，简称为　集　，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 3．集合相等：构成两个集合的元素是　一样　的． 4．集合中元素的特性：　确定性　、互异性和无序性． 1.集合中的元素只能是数、点、代数式吗？ 提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等． 2．某班所有的高个子男生能否构成一个集合？ 提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准． [知识点二]　元素与集合的关系　 1．元素与集合的表示 通常用　大写拉丁字母A，B，C，…　表示集合； 通常用　小写拉丁字母a，b，c，…　表示集合中的元素． 2．元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素 与集 合的 关系 属于 如果　a是集合A中的元素　，就说a属于A 　a∈A　 “a属于A” 不属于 如果　a不是集合A中的元素　，就说a 不属于A a∉A “a不属于A” 3.元素与集合之间有第三种关系吗？ 提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果． [知识点三]　常见的数集及符号表示　 数集 非负整数集 (自然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 　N　 　N*或N＋　 　Z　 　Q　 　R　 4.N与N*(N＋)有何区别？ 提示：N*是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N*(N＋)多一个元素0. [知识点四]　集合的表示　 1．列举法：把集合的所有元素　一一列举　出来，并用花括号“　{____}　”括起来表示集合的方法叫做列举法． 5.一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？ 提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合． 2．描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为　{x∈A|P(x)}　，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成　{x∈A：P(x)}　或　{x∈A；P(x)}　. 6.集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合吗？ 提示：A＝{x|x－1＝0}＝{1}与集合B表示同一个集合． [预习自测] 1．下列各组对象中不能构成集合的是(　　) A．某校高一(2)班的全体男生 B．某校全体学生的家长 C．李明的所有家人 D．王明的所有好朋友 答案：D 2．设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是(　　) A．0∈A　　　　　　 B．a∉A C．a∈A D．a＝A 答案：C 3．下列四个关系式：①∈R；②∉Q；③0∈N；④0∈{0}．其中正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 　集合的概念 [例1] 考查下列每组对象能否组成一个集合，并说明理由． (1)2026年全国高考数学试卷中的所有难题； (2)观看神舟二十号飞船与神舟二十一号飞船交会对接的电视观众； (3)接近1的全体实数； (4)篮球比林书豪打得好的球员． [思路点拨]　根据集合元素的确定性判断． [解]　(1)试卷中的哪些题才能称为是“难题”，是无法确定的，故不能组成一个集合；(2)元素“观众”是确定的，所以能组成一个集合；(3)接近1的实数没有一个明确的标准，所以这些实数是无法确定的，不能组成一个集合；(4)哪些球员比林书豪打得好是不确定的，所以不能组成一个集合． 判断一些对象能否构成集合的方法 (1)判断每个对象是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键． (2)判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到一个明确的衡量标准． 提醒：注意集合中元素的互异性、无序性． [变式训练] 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．中国的所有直辖市可以组成一个集合 B．高一(1)班较胖的同学可以组成一个集合 C．正偶数的全体可以组成一个集合 D．大于2 014且小于2 026的所有整数不能组成集合 解析：AC　[B中，由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以B错误；D中的所有整数能组成集合，所以D错误．] 　元素与集合的关系 [例2] 下列关系中正确的个数为(　　) ①∈Q；②0∉N；③π∉R；④|－4|∈Z A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 [思路点拨]　先明确符合Q、N、R及Z的含义，再判断，0，π，|－4|与相应数集的关系． 解析：A　[①∵是无理数，∴∉Q，故①错误； ②∵0是非负整数，∴0∈N故②错误； ③∵π是实数，∴π∈R，故③错误； ④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确．] 1．判断元素与集合关系的2种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 2．已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a∉A时，结论恰恰相反． 利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验． [变式训练] 2．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为　________　. 解析：由∈N，x∈N知x≥0，>0，且x≠3，故0≤x<3.又x∈N，故x＝0,1,2.当x＝0时，＝2∈N；当x＝1时，＝3∈N；当x＝2时，＝6∈N.故集合A中的元素为0,1,2. 答案：0,1,2 集合中元素的特性 [例3] 已知集合A含有三个元素 1,0，x.若x2∈A, 求实数x的值． [思路点拨]　可令x2＝1,0或x解得x的值． [解]　若x2＝0，则x＝0，此时集合A中有两个相同元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去． 若x2＝1，则x＝±1. 当 x＝1时，集合A中有两个相同元素1，舍去； 当x＝－1时，集合A中三个元素为1,0，－1，符合． 若x2＝x，则x＝0 或x＝1， 不符合互异性，都舍去． 综上可知：x＝－1. 根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤 [变式训练] 3．集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等．则a＝　________　. 解析：由题意知a2＝4，即a＝±2. 答案：±2 列举法和描述法的灵活运用 [例4] 用适当的方法表示下列集合： (1)比5大3的数组成的集合； (2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集； (3)不等式x－3>2的解的集合； (4)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合． [思路点拨]　(3)(4)应选描述法，(1)(2)应选列举法． [解]　(1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}． (2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为：(x－2)2＋(y＋3)2＝0，∴∴方程的解集为{(2，－3)}． (3)由x－3>2，得x>5. 故不等式的解集为{x|x>5}． (4)“二次函数y＝x2－10的图象上的所有点”用描述法可表示为{(x，y)|y＝x2－10}． 用列举法和描述法表示集合的三点要求 (1)根据表示集合的元素的特点选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则． (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示．描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合． [变式训练] 4．选择适当的方法表示下列集合． (1)Welcome中的所有字母组成的集合； (2)所有正偶数组成的集合； (3)二元二次方程组的解集； (4)所有正三角形组成的集合． 解：(1)列举法：列举出所有字母得{W，e，l，c，o，m}． (2)描述法：正偶数可以写成正整数的2倍，所以用描述法表示为{x|x＝2k，k∈N*}． (3)列举法：求出该方程组的解，为或所以用列举法表示为{(0,0)，(1,1)}． (4)描述法：{x|x是正三角形}. 1．(多选)下列各组对象能构成集合的是(　　) A．拥有手机的人 B．2026年高考语文难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数 答案：ACD 2．下列说法正确的有(　　) ①1∈N；②∈N*；③∈Q；④2＋∈Q； ⑤∉Z. A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 答案：B 3．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是(　　) A．2∈A，且2∈B B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B C．2∈A，且(3,10)∈B D．(3,10)∈A，且2∈B 答案：C 4．由实数x，－x，|x|，，所组成的集合里面元素最多有　________　个． 答案：2 5．已知集合A由元素a－3,2a－1，a2－4构成，且－3∈A，求实数a的值． 解：因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3. 若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意． 若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3，－3}不满足集合中元素的互异性． 若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1(舍去)，当a＝1时集合A＝{－2,1，－3} ，符合题意．综上可知，a＝0，或a＝1. 1．下列说法正确的是(　　) A．某校爱好足球的同学组成一个集合 B．{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合 C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合 D．1,0,5，，，， 组成的集合有7个元素 答案：C 2．已知方程x2－16＝0的解是集合A中的元素，则下列关系不正确的是(　　) A．4∈A　　　　　　 B．{－4}∈A C．－4∈A D．4∈A且－4∈A 答案：B 3．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 答案：A 4．集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是(　　) A．{x|x是小于18的正奇数} B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k＜5} C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5} D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5} 答案：D 5．(多选)若以集合中的三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形可能是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：ABC　[若以集合中的三个元素为边可构成一个三角形，则由集合元素的互异性可得，三个元素互不相等，即三边都不相等，故选ABC.] 6．(多选)已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　) A．0∉M B．2∈M C．－4∈M D．4∈M 解析：CD　[x，y，z同为正数时，代数式的值为4，所以4∈M；当x，y，z中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x，y，z同为负数时，代数式的值为－4.故选C、D.] 7．若x∈N，则满足2x－5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为　________　. 解析：由2x－5＜0，得x＜，又x∈N，∴x＝0,1,2，故所有元素之和为3. 答案：3 8．不等式x－a≥0的解集为A，若3∉A，则实数a的取值范围是　________　. 解析：因为3∉A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3. 答案：a>3 9．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合中最多含有　______　个元素，最少含有　______　个元素． 解析：∵＝|x|＝±x，－＝－x，且当x＝0时，x＝－x＝|x|＝＝－＝0，∴由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合中最多含有2个元素，最少含有1个元素． 答案：2　1 10．分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A； (2)由小于8的所有自然数组成的集合B. 解：(1)描述法表示为A＝{x∈R|x2－5＝0}，列举法表示为A＝{，－}． (2)描述法表示为B＝{x∈N|x＜8}，列举法表示为B＝{0,1,2,3,4,5,6,7}． 11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a. 解：由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a， ∴a＝－1或a＝－. 则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去． 当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，∴a＝－. 12．若a，，1组成的集合与a2，a＋b,0组成的集合为同一个含3个元素的集合，则a2 026＋b2 026的值为　________　. 解析：因为a，，1组成的集合与a2，a＋b,0组成的集合为同一个集合， 所以解得或 当时，三个元素组成的集合为{－1,0,1}，符合题意； 当时，集合中有相同的元素，所以不符合题意． 综上， 所以a2 026＋b2 026＝(－1)2 026＋02 026＝1. 答案：1 13．已知集合A＝{x|x＝m＋n，且m2－3n2＝1，m，n∈Z}． (1)判断(＋)2是否为A中元素； (2)设c∈A，求证：∈A； (3)证明：若x∈A，则x＋是偶数． (1)解：因为(＋)2＝8＋4，此时m＝8，n＝4，不满足m2－3n2＝1，所以(＋)2不是集合A中元素． (2)证明：因为c∈A，所以可设c＝m＋n，m，n∈Z，所以＝＝(m＋n)(2－)＝(2m－3n)＋(2n－m).因为2m－3n,2n－m都是整数，且(2m－3n)2－3(2n－m)2＝m2－3n2＝1，所以∈A. (3)证明：因为x∈A，所以x＋＝m＋n＋＝m＋n＋＝2m.因为m∈Z，所以2m为偶数，即x＋为偶数． 学科网（北京）股份有限公司 $