第三单元 分数除法（知识清单）数学人教版六年级上册（新教材）

该小学数学分数除法单元复习讲义全面梳理第三单元内容，涵盖倒数的认识、分数除法运算、四则混合运算、解决问题四大知识范畴，通过思维导图、知识梳理、典例分析、变式练习搭建从概念到运算再到应用的递进式学习支架。 清单采用“知识点+考点+综合练习”三级架构呈现完整知识体系，每个知识点标注易错点如“0没有倒数”“乘除数倒数”，结合典例分析培养运算能力和模型意识。设计“解题思路四步法”帮助确定单位“1”，不同学生可高效复习，教师能直接用于课堂讲解和分层训练。

人教版·新教材六年级数学上册 第三单元 分数除法（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：倒数的认识 1．倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。 2．倒数的性质 （1）1的倒数是1； （2）0没有倒数； （3）真分数的倒数大于1； （4）假分数的倒数小于或等于1； （5）带分数的倒数小于1。 3．求倒数的方法 （1）分数的倒数：交换分子和分母的位置。 （2）整数（0 除外）的倒数：先把整数看成分母是1的分数，再交换分子和分母。 （3）小数的倒数：先把小数化成分数，再求倒数。 【易错点】 （1）避免混淆“互为倒数”的表述，强调“互为”，即若a×b=1，则a是b的倒数，b也是a的倒数，不能单独说“某数是倒数”。 （2）0 没有倒数，这是高频易错点，需重点记忆；1的倒数容易误写成其他数，要明确1的倒数是自身。 （3）求带分数的倒数时，必须先把带分数化成假分数，再交换分子分母，不能直接对带分数的整数部分和分数部分颠倒。 知识点02：分数除法运算 1．一个数除以整数 （1）分数的平均分：把一个数平均分成整数份，求其中的几份就是求这个数的几分之几是多少。 （2）一个数除以整数的计算方法 方法一（平均分思路）：用分子除以整数，分母不变（仅适用于分子能被整数整除的情况）。 方法二（通用思路）：转化为乘法，即分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 【易错点】 （1）整数必须不为0，因为0不能作除数，这是除法的基本规则，需始终牢记。 （2）方法一有局限性，当分子不能被整数整除时，必须用方法二，因此优先掌握 “乘倒数” 的通用方法。 （3）计算时要注意约分时机：可先约分再计算，避免计算后分子分母过大导致结果不是最简分数。 2．一个数除以分数 （1）定义：一个数除以分数，表示已知一个数的几分之几是多少，求这个数；或表示求一个数里包含几个另一个分数。 （2）计算法则：一个数除以一个不为0的分数，等于这个数乘该分数的倒数。 【易错点】 （1）必须确保除数（分数）不为0，且转化为乘法时，是“乘除数的倒数”，不是“乘被除数的倒数”。 （2）计算过程中，能约分的要先约分，最后结果需化为最简分数或整数。 （3）小数除以分数时，若小数能和分数的分母直接约分，也可直接计算，但优先推荐将小数化成分数，避免小数与分数约分出错。 3．商与被除数的大小关系 （1）一个数（0除外）除以小于1的数，商大于被除数； （2）一个数（0除外）除以1，商等于被除数； （3）一个数（0除外）除以大于1的数，商小于被除数。 【易错点】前提是“除数不为 0”。 知识点03：分数四则混合运算 1．运算顺序：与整数四则混合运算顺序一致，遵循 “先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里的，再算括号外的；同级运算（只有乘除或只有加减）从左往右依次计算”。 2．简便运算：整数的运算定律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）同样适用于分数四则混合运算。 【易错点】 （1）严格遵循运算顺序，不可随意颠倒“先乘除后加减”的规则。 （2）运用运算定律简便计算时，要注意符号和数字的对应。 （3）计算过程中，分数的加减需先通分，乘除需注意约分，最后结果要化为最简分数，避免出现“假分数未化带分数”“分数未约分”等问题。 知识点04：解决问题 类型1：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 1．计算公式：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量 2．解题思路 （1）先找单位“1”（未知，通常是“的”字前面的量）； （2）确定已知量（即已知的具体数量）； （3）找已知量对应分率（即已知量占单位“1”的几分之几）； （4）用公式求单位“1”。 【易错点】 （1）找单位“1”是关键，常见的单位“1” 标志词有“是”“占”“比”“相当于” 等，其后的量通常是单位“1”。 （2）避免将“已知量”与“几分之几”的位置颠倒。 类型2：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 1．计算公式 （1）已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数：已知量 ÷（1+几分之几）＝单位‘1’的量； （2）已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数：已知量÷（1－几分之几）＝单位‘1’的量。 2．解题思路：先确定单位“1”（“比” 后面的量），明确“多（或少）几分之几”是“比单位‘1’多（或少）单位‘1’的几分之几”，即已知量对应的分率是“1 +几分之几”（多）或“1－几分之几”（少），再用方程或算术法求解。 【易错点】 （1）区分“多（或少）几分之几”与“多（或少）具体数量”：前者是分率（无单位），需用“1±分率”找对应关系；后者是具体量（有单位），直接用“已知量±具体量”计算，避免混淆。 （2）列方程时，需明确“单位‘1’的量×（1 ±分率）=已知量”，不可漏“1”。 类型3：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 1．计算公式：另一部分量÷（1－已知部分量占总量的分率）＝总量 2．解题思路：总量是单位“1”，先求出“另一部分量”占总量的对应分率（用单位“1”减去“已知部分量的分率”），再根据 “分数除法的意义”——“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用“另一部分量的具体值÷对应分率=总量”。 【易错点】 （1）找准单位“1”：单位“1”一定是“总量”（如绳子原长、总人数、工程总长），不能将“部分量”当作单位“1”。 （2）分率与具体量必须对应：必须确保“另一部分量的具体值”和“它对应的分率” 匹配。 类型4：两人合作的工程问题 （1）基本模型：工程问题通常将工作总量看作单位“1”，工作效率表示为“单位时间内完成工作总量的几分之几”。 （2）核心公式： ①单人效率：工作效率=1÷单独用时 ②合作效率：效率和=甲工作效率+乙工作效率 ③合作时间：合作时间=1÷效率和 【易错点】 （1）效率是分数，对应每天完成几分之一； （2）不可把天数直接相加减，必须先求效率； （3）多个人合作同理，全部效率相加再除1； （4）有休息、分段施工题目，分段计算工作量再合并。 考点01：倒数的认识 【典型例题】如果、b互为倒数，那么的结果为（ ）。 【答案】 【分析】分数与分数相乘，用分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，再根据倒数的含义确定ab的值即可。 【详解】因为、b互为倒数，所以b＝1， 即 【练习1】关于倒数的说法，正确的是（     ）。 A．任何数都有倒数 B．假分数的倒数一定是真分数 C．乘积是1的两个数互为倒数 D．一个数的倒数一定比这个数小 【答案】C 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数，1的倒数还是1；分子小于分母的分数叫做真分数；分子大于或等于分母的分数叫做假分数；一个数的倒数也许比这个数小，也许比这个数大。 【详解】A．0没有倒数，说法错误。 B．如：假分数，的倒数是，也是假分数，说法错误。 C．乘积是1的两个数互为倒数，说法正确。 D．如：的倒数是，＜，说法错误。 【练习2】0.25与（ ）互为倒数，（ ）的倒数是1。 【答案】 4 1 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。互为倒数的两个数，已知一个数，另一个数＝1÷一个数。 【详解】1÷0.25＝4 1÷1＝1 0.25与4互为倒数，1的倒数是1。 考点02：一个数除以整数 【典型例题】中国结寓意吉祥美满，把米长的红绳编织成3个同样的中国结，每个中国结用红绳（ ）米，每个中国结用去的红绳占全长的（ ）。 【答案】 /0.85 【分析】把米长的红绳编织成3个同样的中国结，即把米平均分成3份用除法计算； 把米长的红绳看作“1”，有3个同样的中国结，则每个中国结占。 【详解】 所以每个中国结用红绳米，每个中国结用去的红绳占全长的。 【练习1】先涂色表示，再按下面的算式分一分，并填空。 就是求的是多少，＝（     ）。 【答案】； 【分析】先把整个图形看作单位“1”，平均分成9份，每份表示，取其中的8份涂浅色阴影，用分数表示为；然后把浅色阴影部分看作单位“1”，平均分成4份，取其中的1份涂深色阴影，用分数表示为；那么深色阴影部分是整个图形的的，即÷4就是求的是多少，据此画图，并算出得数。 【详解】如图： 就是求的（）是多少，÷4＝（）。 【练习2】一瓶食用油重kg，东东家3口人15天吃完。每人每天食用油摄入标准量为kg，东东家平均每人每天的食用油摄入量超过标准了吗？ 【答案】超过标准了。 【分析】根据把一个数平均分用除法计算，先用一瓶食用油的重量除15，得东东家3口人每天的食用油摄入量，再用东东家3口人每天的食用油摄入量除以3，即可得东东家平均每人每天的食用油摄入量，最后再与比较大小即可。 【详解】 答：东东家平均每人每天的食用油摄入量超过标准了。 考点03：一个数除以分数 【典型例题】爸爸带小强到植物园晨跑，6分钟跑了千米，他们用同样的速度环绕植物园千米长的跑道一周，要多长时间？ 【答案】35分钟 【分析】根据“速度＝路程÷时间”用算出速度，再用跑道总长千米除以速度，得到跑一周的时间。 【详解】 （分钟） 答：他们用同样的速度环绕植物园跑道一周，要35分钟。 【练习1】要得到的结果，下面三名同学分别用不同的方法表达了自己的想法，（     ）的想法是合理的。 甲： 乙： 丙：因为，所以 A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 【答案】D 【分析】甲：分数除法的计算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 乙：将被除数3化成，与除数的分母相同，根据商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变，余数也会乘或除以相同的不为0的数得解。 丙：根据分数与除法的关系，将改写成，算式变成，再根据除法的性质a÷（b÷c）＝a÷b×c去掉括号即可。 【详解】甲：，甲的想法合理； 乙：，乙的想法合理； 丙：因为，所以，丙的想法合理； 所以，甲、乙和丙的想法是合理的。 故答案为：D 【练习2】粗心的小虎计算一个数除以时，错算成乘，得到的结果是10，正确的结果应该是多少？ 【答案】 【分析】这个数乘积是10，可以计算出这个数，最后计算这个数除以的商即可。 【详解】 ＝ ＝ 答：正确的结果应该是。 考点04：商与被除数的大小关系 【典型例题】如果□代表同一个非零自然数，那么下面各式计算结果最大的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一个非0数乘一个小于1的数（0除外），乘积小于这个数本身； 一个非0数除以一个小于1的数（0除外），商大于这个数本身； 一个非0数除以一个大于1的数，商小于这个数本身。 【详解】A．； B． ，即； C．，即； D．，即； 即的计算结果最大。 故答案为：D 【练习】下面各题的商大于被除数的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小； 一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大； 一个数（0除外）除以1，商等于原来的数。 【详解】A．2＞1，所以，商小于被除数，不符合题意； B．，所以，商小于被除数，不符合题意； C．，所以，商大于被除数，符合题意； D．，商等于被除数，不符合题意。 故答案为：C 考点05：分数四则混合运算 【典型例题】按“减→乘→除”的运算顺序给“”添上括号并写出算式是（ ）。 【答案】 【分析】先算减法，将减法部分用小括号括起来，得到；然后算乘法，即将的差与相乘，将这部分用中括号括起来，得到，最后算除法，用除以中括号里的结果，得到最终算式为。 【详解】按“减→乘→除”的运算顺序给“”添上括号并写出算式是。 【练习】脱式计算。（能简算的要简算）                               【答案】7；； 【分析】（1），先算减法，再算除法，依次计算。             （2）把变成，再利用乘法分配律简便计算； （3），利用减法的性质，先求的和，再求4减和的差，最后用除以差。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝7 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 考点06：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【典型例题】某超市的水果店营业额是3600元，正好是总营业额的，这个超市的总营业额是多少元？ 【答案】12600元 【分析】把总营业额看作单位“1”的量，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。即用水果店营业额除以，即可算出这个超市的总营业额是多少元。 【详解】3600÷ ＝3600× ＝12600（元） 答：这个超市的总营业额是12600元。 【练习1】沪杭磁悬浮铁路线分为中心城区段与郊区段两部分，其中中心城区段的长度为60千米，占全程的，沪杭磁悬浮列车的票价预定为平均每千米0.7元，请你计算沪杭磁悬浮列车从起始站到终点站全程的票价。 【答案】105元 【分析】已知中心城区段的长度为60千米，占全程的，把全程的长度看作单位“1”，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数（全程长度），用除法”，求出全程的长度；已知每千米票价（单价）是0.7元，用全程的长度×单价，求出全程的票价，据此解答。 【详解】60÷×0.7 ＝60××0.7 ＝150×0.7 ＝105（元） 答：沪杭磁悬浮列车从起始站到终点站全程的票价是105元。 【练习2】一条裤子的价格是180元，一条裤子的价格是一件连衣裙的，一件连衣裙的价格是多少元？ 【答案】300元 【分析】将连衣裙的价格看作单位“1”，已知裤子的价格是连衣裙价格的，即180元。根据分数除法的意义，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。 【详解】（元） 答：一件连衣裙的价格是300元。 考点07：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 【典型例题】一款手机，现价2000元，比原来降低了，降低了多少元？ 【答案】500元 【分析】现价比原来降低了，原来价格是单位“1”，现在价格是原来的（1－），原价＝现价÷（1－），最后用原价减现价得到降低的价钱。 【详解】原价：2000÷（1－） ＝2000÷ ＝2000× ＝2500（元） 降低了：2500－2000＝500（元） 答：降低了500元。 【练习1】实验小学有六年级学生660人，比五年级学生多，实验小学有五年级学生多少人？ 【答案】600人 【分析】把五年级的学生人数看作单位“1”，六年级学生人数比五年级学生多，即六年级学生人数相当于五年级学生人数的，求单位“1”的量用除法，用对应数量660人除以对应分率即可得到五年级的学生人数。 【详解】 ＝600（人） 答：实验小学有五年级学生600人。 【练习2】敦煌石窟是中国甘肃敦煌一带的石窟总称。包括莫高窟、西千佛洞、东千佛洞和榆林窟等。其中最大的石窟——莫高窟高为40米，高比宽多，莫高窟的宽是多少米？ 【答案】30米 【分析】把宽的长度看作单位“1”，高是宽的（1＋），已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题的解法：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。据此列式为：40÷（1＋）。 【详解】40÷（1＋） ＝40÷ ＝40× ＝30（米） 答：莫高窟的宽是30米。 考点08：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【典型例题】王阿姨开车从东城到西城去办事，走了全程的，离全程的中点还有16千米，东西两城相距多少千米？ 【答案】128千米 【分析】把全程看作单位“1”，根据题意可知，东城距离中点占全程的一半，即，走了全程的，离全程的中点还有16千米，说明16千米占全程的（－），根据分数除法的意义，用16千米除以对应的分率，即可求出全程。 【详解】16÷（－） ＝16÷（－） ＝16÷ ＝16×8 ＝128（千米） 答：东西两城相距128千米。 【练习1】崇文小学举办书画大赛，获奖人数占总数的，有120人未获奖。参加比赛的共有多少人？ 【答案】300人 【分析】将总人数看作单位“1”，获奖人数占，则未获奖人数占；已知一个数的几分之几求解这个数的问题，可以用除法解决，已知未获奖人数为120人，用总人数为120除以对应分率即可求解。 【详解】 （人） 答：参加比赛的共有300人。 【练习2】一个果园新摘了一些柚子，上午运走全部的，下午运走210千克，这时已运走的柚子质量占全部柚子的，果园新摘柚子多少千克？ 【答案】720千克 【分析】把这批柚子的质量看作单位“1”，已经运走的分率减去上午运走的分率，即为下午运走的分率，它对应的质量是210千克，用除法求出这批柚子共有多少千克。 【详解】 （千克） 答：果园新摘柚子720千克。 考点09：两人合作的工程问题 【典型例题】挖一条水沟，甲队单独挖20天完成，乙队单独挖15天完成。两队合作同时开挖，8天能完成任务吗？ 【答案】不能 【分析】将挖水沟的工作总量看作单位“1”。甲队单独挖 20 天完成，则甲队的工作效率为；乙队单独挖 15 天完成，则乙队的工作效率为。两队合作的工作效率为两队效率之和。根据数量关系“工作总量÷合作工作效率＝合作时间”，求出两队合作完成任务实际需要的天数，再将求得的天数与8天进行比较，大于8天则不能完成，小于或等于8天则可以完成。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝（天） 答：8 天不能完成任务。 【练习1】甲工程队单独做配套绿化工程，30天可以完成；乙工程队单独做，20天可以完成。现在两队合作，多少天能完成绿化工程？ 【答案】12天 【分析】将工作总量看作单位“1”，甲工程队的工作效率是，乙工程队的工作效率是，根据工作总量÷两队效率和＝合作时间，列式解答即可。 【详解】 （天） 答：12天能完成绿化工程。 【练习2】一本好书的形成离不开编辑的润色加工。校对一本书稿，甲单独校对需要12天完成，乙单独校对需要10天完成，丙单独校对需要15天完成，现在甲先校对2天，余下的由乙、丙二人合作校对，还需几天才能完成？ 【答案】5天 【分析】把校对的任务看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用1÷12，求出甲的工作效率；用1÷10，求出乙的工作效率；用1÷15，求出丙的工作效率；再根据工作量＝工作效率×工作时间，用甲的工作效率×2，求出甲2天的工作量；再用校对的任务－甲2天的工作量，求出余下的工作量；再根据工作时间＝工作量÷工作效率，用余下的工作量除以乙、丙的工作效率和，即可解答。 【详解】（1－×2）÷（＋） ＝（1－）÷（＋） ＝÷ ＝×6 ＝5（天） 答：还需要5天完成任务。 一、选择题 1．若与互为倒数，则（     ）。 A．1 B．4 C．100 【答案】C 【分析】互为倒数的两个数的乘积为1，即；除以一个数相当于乘这个数的倒数，由此即可整理求解。 【详解】 即若与互为倒数，则。 2．一张彩纸第一次截去做纸飞机，第二次截去余下的做纸船。两次截去的相比较，（     ）。 A．两次截去的同样多 B．第一次截去的多 C．第二次截去的多 【答案】A 【分析】把整张彩纸看作单位“1”，第一次截去部分占整张彩纸的，则剩下部分占整张彩纸的（1－），第二次截去余下的，第二次截去部分占整张彩纸的（1－）的，即（1－）×，求出第二次截去部分占整张彩纸的分率，最后比较大小，据此解答。 【详解】第一次截去部分占整张彩纸的分率： 第二次截去部分占整张彩纸的分率：（1－）× ＝× ＝ 因为＝，所以两次截去的同样多。 故答案为：A 3．有一对父子，儿子重32kg是爸爸的，爸爸重（     ）kg。 A．60 B．80 C．75 【答案】B 【分析】已知一个数的几分之几是另一个数，单位“1”未知，用除法，一个数＝另一数÷几分之几，儿子重32kg是爸爸的，单位“1”为爸爸的体重，单位“1”未知，爸爸的体重＝儿子的体重÷，代入计算即可。 【详解】 ＝ ＝80（kg） 所以爸爸重80kg。 故答案为：B 4．，，那么a（     ）b。 A．大于 B．小于 C．等于 【答案】B 【分析】a÷＝1，结果等于1，说明被除数和除数相等，所以a等于；b×＝1，说明b和互为倒数，所以b是，然后再比较a和b的大小即可。 【详解】a＝＝ b＝＝ ＜，所以a＜b； ，，那么a小于b。 故答案为：B 5．下面是三位同学计算“的方法，其中不正确的是（     ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘乙数的倒数。9的倒数是，所以÷9＝×，据此解题。 【详解】A．÷9＝×，所以正确； B．÷9＝×＝；7÷（6×9）＝7÷6÷9，所以说法正确。 C．÷9＝×＝×7×＝××7，所以说法错误。 下面是三位同学计算“的方法，其中不正确的是。 故答案为：C 二、填空题 6．的倒数是（ ），（ ）和互为倒数。 【答案】 5 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。用1除以算出它的倒数，用1除以算出它的倒数。 【详解】 7．若m、n互为倒数，则22022＋mn＝（ ），（ ）。 【答案】 22023 32 【分析】m、n互为倒数，则mn＝1，代入22022＋mn计算。根据分数除法化简为，代入计算即可。 【详解】因为mn＝1 22022＋mn＝22022＋1＝22023 若m、n互为倒数，则22022＋mn＝22023，32。 8．。 【答案】；； 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，要求括号里的数，直接计算对应已知分数的倒数即可，求一个分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母调换位置。 【详解】的倒数是，的倒数是，的倒数是。 因此。 9．为有效落实国家“双减”政策，加强学校特色建设，丰富学生校园文化生活，光明小学开展了丰富多彩的社团活动。有120名学生参加棋艺社团的象棋和跳棋活动，参加象棋的人数是跳棋人数的。参加象棋的有（ ）人，跳棋的有（ ）人。 【答案】 40 80 【分析】这道题已知有120名学生参加棋艺社团，其中参加象棋的人数是跳棋人数的。把参加跳棋的人数看作单位“1”，单位“1”未知，则用总量÷（1＋）＝单位“1”的量，也就是参加跳棋的人数。最后用120减去参加跳棋的人数即可求出参加象棋的人数。 【详解】根据分析： 参加跳棋的人数： （人） 参加象棋的人数： （人） 所以，参加象棋的有40人，参加跳棋的有80人。 10．小林家到学校的距离是千米，他步行去学校平均用时为小时。他1小时行（ ）千米，每行1千米需要的时间是（ ）时。 【答案】 【分析】求1小时行多少千米，就是求速度，根据“速度＝路程÷时间”，用除以，求出速度； 求每行1千米需要的时间，根据“行1千米的时间＝总时间÷路程”，用除以，求出每行1千米需要的时间。 【详解】÷ ＝×6 ＝（千米） ÷ ＝× ＝（时） 所以小林家到学校的距离是千米，他步行去学校平均用时为小时。他1小时行千米，每行1千米需要的时间是时。 11．如图是一个正方体的平面展开图，每个面上都填有一个数且相对两个面的数互为倒数，那么m＝（ ），n＝（ ）。 【答案】 5 【分析】正方体的展开图找相对面时，先找同行，同行中间隔1个正方形的是相对面，再找异行，异行中间隔2个正方形的是相对面，由此找出m和n的相对面，相对两个面的数互为倒数，说明相对两个面的数乘积为1，根据“因数＝积÷另一个因数”求出m的值，把真分数的分子和分母调换位置求出n的值，据此解答。 【详解】分析可知，m和0.2是相对面，n和是相对面。 1÷0.2＝5 的倒数是。 所以，m＝5，n＝。 12．工厂里有吨煤，如果每天烧吨，可以烧（ ）天；如果每天烧这堆煤的，可以烧（ ）天。 【答案】 6 9 【分析】根据题目可知，工厂的煤是单位“1”，如果每天烧煤吨，根据公式：煤的总量÷每天烧煤的吨数＝天数，即÷；一天烧这堆煤的，根据公式：工作时间＝工作总量÷工作效率，把数代入公式即可求解；算出结果即可。 【详解】（天） 1÷＝1×9＝9（天） 因此工厂里有吨煤，如果每天烧吨，可以烧6天；如果每天烧这堆煤的，可以烧9天。 13．把米长的绳子平均分成7段，每段长（ ）米，每段是全长的（ ）。 【答案】 /0.1 【分析】已知把米长的绳子平均分成7段，用绳子的全长除以7，求出每段的长度； 把绳子的全长看作单位“1”，平均分成7份，用1除以7，求出每段是全长的几分之几。 【详解】÷7 ＝× ＝（米） 1÷7＝ 每段长米，每段是全长的。 14．一桶油有4千克，先用去，再用去千克，两次共用去（ ）千克。 【答案】3.75// 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，一桶油有4千克，先用去，第一次用去的重量等于这桶油的总重量乘第一次用去的分率，求出第一次用去的重量；再用去千克，再根据两次共用去的重量等于第一次用去的重量加第二次用去的重量，求出两次共用去的重量。 【详解】两次共用去的重量： 4×＋ ＝3＋ ＝ ＝3.75（千克） 因此，两次共用去的重量3.75千克。 15．为创建文明城市，龙岩准备筹建一条公路，甲工程队单独承接需要20天完成，乙工程队单独承接需要30天完成。如果两个工程队合作承接该项目，（ ）天可以完成项目的。 【答案】6 【分析】先将工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲队和乙队的工作效率；再将两队的工作效率相加，求出合作的工作效率；最后根据“合作时间＝工作量÷合作效率”，用需要完成的工作量除以合作效率，求出完成项目一半所需的时间。 【详解】1÷20＝ 1÷30＝ ÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝×12 ＝6（天） 三、计算题 16．直接写出得数。 ÷＝　　 　　5÷＝            ÷2＝ ×＝          100÷＝          88÷＝ 【答案】；25； ；150；12 17．计算。      【答案】； 【分析】依据分数乘除法法则，先将题目中除法转化为乘法，除以一个数等于乘以它的倒数，再按照分数连乘，进行约分计算。 【详解】 四、解答题 18．校园里有松树12棵，是杨树的，柳树又是杨树棵数的，柳树有多少棵？ 【答案】14棵 【分析】根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”用除法，即用松树的棵数除以求出杨树的棵数；再根据“求一个数的几分之几是多少”用乘法，即用杨树的棵数乘求出柳树的棵数。 【详解】12÷ ＝12× ＝16（棵） 16×＝14（棵） 答：柳树有14棵。 19．实验小学美术组的人数是科技组的，科技组的人数比体育组少，美术组有40人。 （1）科技组有多少人？ （2）体育组有多少人？ 【答案】（1）45人； （2）54人 【分析】（1）把科技组的人数看作单位“1”，美术组的人数是科技组的，那么科技组的人数＝美术组的人数÷，即40÷； （2）把体育组的人数看作单位“1”，科技组的人数比体育组少，那么科技组的人数占体育组人数的（1－），体育组的人数＝科技组的人数÷（1－），即45÷（1－），据此解答。 【详解】（1）40÷ ＝40× ＝45（人） 答：科技组有45人。 （2）45÷（1－） ＝45÷ ＝45× ＝54（人） 答：体育组有54人。 20．一条公路已经修了它的，再修300米，就共修全长的。这条公路全长多少米？ 【答案】1125米 【分析】单位“1”是公路的全长。已经修了全长的，再修300米后共修全长的。300米对应的分率是（－）。根据分数除法的意义，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。因此，用300米除以对应的分率即可求出公路全长。 【详解】300÷（－） ＝300÷（） ＝300÷ ＝300× ＝1125（米） 答：这条公路全长1125米。 21．秋高气爽，松鼠妈妈带着松鼠兄妹去捡松果。松鼠妈妈捡了90个，松鼠妹妹捡的松果的数量是妈妈的，松鼠妹妹捡的松果的数量是松鼠哥哥的。松鼠哥哥捡了多少个松果？ 【答案】24个 【分析】已知松鼠妈妈捡了90个，松鼠妹妹捡的松果的数量是妈妈的，把松鼠妈妈捡的松果数量看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出松鼠妹妹捡的松果的数量； 已知松鼠妹妹捡的松果的数量是松鼠哥哥的，把松鼠哥哥捡的松果数量看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出松鼠哥哥捡的松果数量。 【详解】 （个） 答：松鼠哥哥捡了24个松果。 22．国庆期间，小强一家自驾从西安到武汉旅游，他们行驶了全程的时候进入一个高速服务区休息，而这个高速服务区离西安574千米。这时他们到武汉还有多少千米？ 【答案】164千米 【分析】将全程看作单位“1”，高速服务区离西安的距离是全程的，高速服务区离西安的距离÷对应分率＝全程长度；高速服务区到武汉的距离是全程的（1－），用全程的长度×（1－）得出此时他们离武汉的距离。据此列式解答。 【详解】 ＝574×× ＝164（千米） 答：这时他们到武汉还有164千米。 23．习水县有一条8千米的通村公路需要改造，甲施工队独立做要15天完成；乙施工队独立做要10天完成，甲乙两队合作，需要多少天才能完成？ 【答案】6 天 【分析】将工作总量看作单位“1”。则甲队的工作效率为 ；乙队的工作效率为 。根据数量关系“工作时间＝工作总量÷工作效率和”，列综合算式求解即可。 【详解】把这条公路的全长看作单位“1”。 （天） 答：需要 6 天才能完成。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版·新教材六年级数学上册 第三单元 分数除法（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：倒数的认识 1．倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。 2．倒数的性质 （1）1的倒数是1； （2）0没有倒数； （3）真分数的倒数大于1； （4）假分数的倒数小于或等于1； （5）带分数的倒数小于1。 3．求倒数的方法 （1）分数的倒数：交换分子和分母的位置。 （2）整数（0 除外）的倒数：先把整数看成分母是1的分数，再交换分子和分母。 （3）小数的倒数：先把小数化成分数，再求倒数。 【易错点】 （1）避免混淆“互为倒数”的表述，强调“互为”，即若a×b=1，则a是b的倒数，b也是a的倒数，不能单独说“某数是倒数”。 （2）0 没有倒数，这是高频易错点，需重点记忆；1的倒数容易误写成其他数，要明确1的倒数是自身。 （3）求带分数的倒数时，必须先把带分数化成假分数，再交换分子分母，不能直接对带分数的整数部分和分数部分颠倒。 知识点02：分数除法运算 1．一个数除以整数 （1）分数的平均分：把一个数平均分成整数份，求其中的几份就是求这个数的几分之几是多少。 （2）一个数除以整数的计算方法 方法一（平均分思路）：用分子除以整数，分母不变（仅适用于分子能被整数整除的情况）。 方法二（通用思路）：转化为乘法，即分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 【易错点】 （1）整数必须不为0，因为0不能作除数，这是除法的基本规则，需始终牢记。 （2）方法一有局限性，当分子不能被整数整除时，必须用方法二，因此优先掌握 “乘倒数” 的通用方法。 （3）计算时要注意约分时机：可先约分再计算，避免计算后分子分母过大导致结果不是最简分数。 2．一个数除以分数 （1）定义：一个数除以分数，表示已知一个数的几分之几是多少，求这个数；或表示求一个数里包含几个另一个分数。 （2）计算法则：一个数除以一个不为0的分数，等于这个数乘该分数的倒数。 【易错点】 （1）必须确保除数（分数）不为0，且转化为乘法时，是“乘除数的倒数”，不是“乘被除数的倒数”。 （2）计算过程中，能约分的要先约分，最后结果需化为最简分数或整数。 （3）小数除以分数时，若小数能和分数的分母直接约分，也可直接计算，但优先推荐将小数化成分数，避免小数与分数约分出错。 3．商与被除数的大小关系 （1）一个数（0除外）除以小于1的数，商大于被除数； （2）一个数（0除外）除以1，商等于被除数； （3）一个数（0除外）除以大于1的数，商小于被除数。 【易错点】前提是“除数不为 0”。 知识点03：分数四则混合运算 1．运算顺序：与整数四则混合运算顺序一致，遵循 “先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里的，再算括号外的；同级运算（只有乘除或只有加减）从左往右依次计算”。 2．简便运算：整数的运算定律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）同样适用于分数四则混合运算。 【易错点】 （1）严格遵循运算顺序，不可随意颠倒“先乘除后加减”的规则。 （2）运用运算定律简便计算时，要注意符号和数字的对应。 （3）计算过程中，分数的加减需先通分，乘除需注意约分，最后结果要化为最简分数，避免出现“假分数未化带分数”“分数未约分”等问题。 知识点04：解决问题 类型1：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 1．计算公式：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量 2．解题思路 （1）先找单位“1”（未知，通常是“的”字前面的量）； （2）确定已知量（即已知的具体数量）； （3）找已知量对应分率（即已知量占单位“1”的几分之几）； （4）用公式求单位“1”。 【易错点】 （1）找单位“1”是关键，常见的单位“1” 标志词有“是”“占”“比”“相当于” 等，其后的量通常是单位“1”。 （2）避免将“已知量”与“几分之几”的位置颠倒。 类型2：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 1．计算公式 （1）已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数：已知量 ÷（1+几分之几）＝单位‘1’的量； （2）已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数：已知量÷（1－几分之几）＝单位‘1’的量。 2．解题思路：先确定单位“1”（“比” 后面的量），明确“多（或少）几分之几”是“比单位‘1’多（或少）单位‘1’的几分之几”，即已知量对应的分率是“1 +几分之几”（多）或“1－几分之几”（少），再用方程或算术法求解。 【易错点】 （1）区分“多（或少）几分之几”与“多（或少）具体数量”：前者是分率（无单位），需用“1±分率”找对应关系；后者是具体量（有单位），直接用“已知量±具体量”计算，避免混淆。 （2）列方程时，需明确“单位‘1’的量×（1 ±分率）=已知量”，不可漏“1”。 类型3：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 1．计算公式：另一部分量÷（1－已知部分量占总量的分率）＝总量 2．解题思路：总量是单位“1”，先求出“另一部分量”占总量的对应分率（用单位“1”减去“已知部分量的分率”），再根据 “分数除法的意义”——“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用“另一部分量的具体值÷对应分率=总量”。 【易错点】 （1）找准单位“1”：单位“1”一定是“总量”（如绳子原长、总人数、工程总长），不能将“部分量”当作单位“1”。 （2）分率与具体量必须对应：必须确保“另一部分量的具体值”和“它对应的分率” 匹配。 类型4：两人合作的工程问题 （1）基本模型：工程问题通常将工作总量看作单位“1”，工作效率表示为“单位时间内完成工作总量的几分之几”。 （2）核心公式： ①单人效率：工作效率=1÷单独用时 ②合作效率：效率和=甲工作效率+乙工作效率 ③合作时间：合作时间=1÷效率和 【易错点】 （1）效率是分数，对应每天完成几分之一； （2）不可把天数直接相加减，必须先求效率； （3）多个人合作同理，全部效率相加再除1； （4）有休息、分段施工题目，分段计算工作量再合并。 考点01：倒数的认识 【典型例题】如果、b互为倒数，那么的结果为（ ）。 【练习1】关于倒数的说法，正确的是（     ）。 A．任何数都有倒数 B．假分数的倒数一定是真分数 C．乘积是1的两个数互为倒数 D．一个数的倒数一定比这个数小 【练习2】0.25与（ ）互为倒数，（ ）的倒数是1。 考点02：一个数除以整数 【典型例题】中国结寓意吉祥美满，把米长的红绳编织成3个同样的中国结，每个中国结用红绳（ ）米，每个中国结用去的红绳占全长的（ ）。 【练习1】先涂色表示，再按下面的算式分一分，并填空。 就是求的是多少，＝（     ）。 【练习2】一瓶食用油重kg，东东家3口人15天吃完。每人每天食用油摄入标准量为kg，东东家平均每人每天的食用油摄入量超过标准了吗？ 考点03：一个数除以分数 【典型例题】爸爸带小强到植物园晨跑，6分钟跑了千米，他们用同样的速度环绕植物园千米长的跑道一周，要多长时间？ 【练习1】要得到的结果，下面三名同学分别用不同的方法表达了自己的想法，（     ）的想法是合理的。 甲： 乙： 丙：因为，所以 A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 【练习2】粗心的小虎计算一个数除以时，错算成乘，得到的结果是10，正确的结果应该是多少？ 考点04：商与被除数的大小关系 【典型例题】如果□代表同一个非零自然数，那么下面各式计算结果最大的是（    ）。 A． B． C． D． 【练习】下面各题的商大于被除数的是（     ）。 A． B． C． D． 考点05：分数四则混合运算 【典型例题】按“减→乘→除”的运算顺序给“”添上括号并写出算式是（ ）。 【练习】脱式计算。（能简算的要简算）                               考点06：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【典型例题】某超市的水果店营业额是3600元，正好是总营业额的，这个超市的总营业额是多少元？ 【练习1】沪杭磁悬浮铁路线分为中心城区段与郊区段两部分，其中中心城区段的长度为60千米，占全程的，沪杭磁悬浮列车的票价预定为平均每千米0.7元，请你计算沪杭磁悬浮列车从起始站到终点站全程的票价。 【练习2】一条裤子的价格是180元，一条裤子的价格是一件连衣裙的，一件连衣裙的价格是多少元？ 考点07：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 【典型例题】一款手机，现价2000元，比原来降低了，降低了多少元？ 【练习1】实验小学有六年级学生660人，比五年级学生多，实验小学有五年级学生多少人？ 【练习2】敦煌石窟是中国甘肃敦煌一带的石窟总称。包括莫高窟、西千佛洞、东千佛洞和榆林窟等。其中最大的石窟——莫高窟高为40米，高比宽多，莫高窟的宽是多少米？ 考点08：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【典型例题】王阿姨开车从东城到西城去办事，走了全程的，离全程的中点还有16千米，东西两城相距多少千米？ 【练习1】崇文小学举办书画大赛，获奖人数占总数的，有120人未获奖。参加比赛的共有多少人？ 【练习2】一个果园新摘了一些柚子，上午运走全部的，下午运走210千克，这时已运走的柚子质量占全部柚子的，果园新摘柚子多少千克？ 考点09：两人合作的工程问题 【典型例题】挖一条水沟，甲队单独挖20天完成，乙队单独挖15天完成。两队合作同时开挖，8天能完成任务吗？ 【练习1】甲工程队单独做配套绿化工程，30天可以完成；乙工程队单独做，20天可以完成。现在两队合作，多少天能完成绿化工程？ 【练习2】一本好书的形成离不开编辑的润色加工。校对一本书稿，甲单独校对需要12天完成，乙单独校对需要10天完成，丙单独校对需要15天完成，现在甲先校对2天，余下的由乙、丙二人合作校对，还需几天才能完成？ 一、选择题 1．若与互为倒数，则（     ）。 A．1 B．4 C．100 2．一张彩纸第一次截去做纸飞机，第二次截去余下的做纸船。两次截去的相比较，（     ）。 A．两次截去的同样多 B．第一次截去的多 C．第二次截去的多 3．有一对父子，儿子重32kg是爸爸的，爸爸重（     ）kg。 A．60 B．80 C．75 4．，，那么a（     ）b。 A．大于 B．小于 C．等于 5．下面是三位同学计算“的方法，其中不正确的是（     ）。 A． B． C． 二、填空题 6．的倒数是（ ），（ ）和互为倒数。 7．若m、n互为倒数，则22022＋mn＝（ ），（ ）。 8．。 9．为有效落实国家“双减”政策，加强学校特色建设，丰富学生校园文化生活，光明小学开展了丰富多彩的社团活动。有120名学生参加棋艺社团的象棋和跳棋活动，参加象棋的人数是跳棋人数的。参加象棋的有（ ）人，跳棋的有（ ）人。 10．小林家到学校的距离是千米，他步行去学校平均用时为小时。他1小时行（ ）千米，每行1千米需要的时间是（ ）时。 11．如图是一个正方体的平面展开图，每个面上都填有一个数且相对两个面的数互为倒数，那么m＝（ ），n＝（ ）。 12．工厂里有吨煤，如果每天烧吨，可以烧（ ）天；如果每天烧这堆煤的，可以烧（ ）天。 13．把米长的绳子平均分成7段，每段长（ ）米，每段是全长的（ ）。 14．一桶油有4千克，先用去，再用去千克，两次共用去（ ）千克。 15．为创建文明城市，龙岩准备筹建一条公路，甲工程队单独承接需要20天完成，乙工程队单独承接需要30天完成。如果两个工程队合作承接该项目，（ ）天可以完成项目的。 三、计算题 16．直接写出得数。 ÷＝　　 　　5÷＝            ÷2＝ ×＝          100÷＝          88÷＝ 17．计算。      四、解答题 18．校园里有松树12棵，是杨树的，柳树又是杨树棵数的，柳树有多少棵？ 19．实验小学美术组的人数是科技组的，科技组的人数比体育组少，美术组有40人。 （1）科技组有多少人？ （2）体育组有多少人？ 20．一条公路已经修了它的，再修300米，就共修全长的。这条公路全长多少米？ 21．秋高气爽，松鼠妈妈带着松鼠兄妹去捡松果。松鼠妈妈捡了90个，松鼠妹妹捡的松果的数量是妈妈的，松鼠妹妹捡的松果的数量是松鼠哥哥的。松鼠哥哥捡了多少个松果？ 22．国庆期间，小强一家自驾从西安到武汉旅游，他们行驶了全程的时候进入一个高速服务区休息，而这个高速服务区离西安574千米。这时他们到武汉还有多少千米？ 23．习水县有一条8千米的通村公路需要改造，甲施工队独立做要15天完成；乙施工队独立做要10天完成，甲乙两队合作，需要多少天才能完成？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $