综合与实践 体育中的数学（知识清单）数学人教版六年级上册（新教材）

该小学数学单元复习讲义聚焦“体育中的数学”，系统梳理起跑线确定（跑道结构、周长差计算及应用）和比赛问题（单循环与淘汰赛制）两大核心内容，通过思维导图、知识梳理、典例分析与变式练习，搭建从概念理解到解题应用的递进式学习支架。 清单以“知识点+考点+易错点”三维架构呈现知识体系，如“相邻跑道周长差=2π×跑道宽”推导过程培养推理意识，“200米跑弯道数量辨析”强化几何直观。典例结合世界杯等真实情境，变式练习分层设计，助力学生用数学语言解决实际问题，教师可直接用于课堂复习或分层辅导，提升教学效率。

人教版·新教材六年级数学上册 综合与实践：体育中的数学（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：起跑线的确定 1. 跑道结构特点 （1）标准跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，两个弯道合起来是一个完整的圆。 （2）所有跑道直道长度完全相等；相邻跑道差距只出现在弯道部分。 （3）跑道宽度统一，设跑道宽为w，内圈弯道半径为r，相邻外圈弯道半径为r+w。 2. 相邻跑道周长差（起跑线差距） （1）内圈弯道总长：2πr （2）相邻外圈弯道总长：2π（r+w） （3）相邻跑道周长差：2π（r+w）−2πr=2πw （4）核心结论：相邻两条跑道起跑线相差2π×跑道宽，与内圈半径无关。 3. 不同赛跑距离应用 （1）200米跑（跑1个弯道）：相邻起跑线差πw （2）400米跑（跑完整2个弯道）：相邻起跑线差2πw 4. 解题步骤 （1）找到跑道宽度； （2）判断比赛经过几个完整弯道； （3）代入公式计算起跑线前移距离。 【易错点】 （1）直接用直径计算差值，忘记只算弯道差； （2）200米、400米弯道数量混淆，公式用错。 知识点02：比赛问题 1. 单循环赛制（每两队只赛1场） （1）含义：任意两支队伍之间只进行一场比赛。 （2）计算公式：比赛总场数=n×(n−1)÷2（n为队伍总数） （3）思路：每支队伍要和其余n−1队比赛，每场重复计算2次，所以除以2。 2. 淘汰赛制（输一场直接淘汰） （1）含义：两队比赛，胜者晋级，负者淘汰，直至决出冠军。 （2）总比赛场数=参赛队伍数−1 （3）原理：最终只留1支冠军队伍，每比赛1场淘汰1队，淘汰n−1支队伍就需要n−1场。 3. 握手、击掌、下棋同类题型：和单循环比赛思路完全一致，通用公式：总次数=n(n−1)÷2。 4. 综合比赛题型：先分组单循环，再晋级淘汰赛：分两段分别计算场次，最后相加。 【易错点】 （1）单循环忘记除以2，场次算成两倍； （2）淘汰赛混淆轮次和总场数，错误用乘法计算。 考点01：起跑线的确定 【典型例题1】如下图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形。静静和欢欢进行跑步比赛，她们分别从A、B两点出发，沿跑道线跑一圈，最后都回到终点。为了比赛公平，静静和欢欢的起跑线应相差多少米？（π取3.14） 【答案】6.28米 【分析】观察图形可知，直道的长度一定，跑道两端的两个半圆可以组合成一个圆，那么相邻跑道的起跑线的差距是相邻的外圆与内圆的周长差。 根据圆的周长公式C＝2πr可得出，相邻外圆周长与内圆周长的差为2πR－2πr＝2π（R－r），已知跑道宽为1米，即R－r＝1米； 由此得出，相邻跑道的起跑线的差距＝2π×跑道宽，代入数据计算即可得解。 【详解】2×3.14×1＝6.28（米） 答：静静和欢欢的起跑线应相差6.28米。 【典型例题2】学校操场有一个的环形跑道（如图），它由两条直的跑道和两个半圆形的弯道组成。已知道宽。第二道的起跑线应该比第一道提前（     ）。（取3.14） A．3.14 B．3.925 C．6.28 D．7.85 【答案】C 【分析】直道部分各个道都是相同的长度，只有弯道的长度不一样，根据圆的周长＝πd，分别求出第二道和第一道两个圆的周长差，就是要比前一道提前的距离，由图中可知最内圈的圆直径为50m，第二道的圆直径为50＋2＝52（m）。 【详解】3.14×52－3.14×50 ＝3.14×（52－50） ＝3.14×2 ＝6.28（米） 故答案为：C 【练习1】有4名同学进行200米赛跑，都要经过一个半圆形弯道，每条跑道宽1.4米，那么相邻两道的弯道相差（     ）米。 A．1.4 B．π C．1.4＋π D．1.4π 【答案】D 【分析】根据题意可知，进行200米赛跑，要经过一个弯道，相邻两道的弯道差也就是外圆与内圆周长一半的差，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。 【详解】设弯道内圆的半径为r米，则外圆的半径是（r＋1.4）米。 π（r＋1.4）－πr ＝πr＋1.4π－πr ＝1.4π（米） 相邻两道的弯道相差1.4π米。 故答案为：D 【练习2】下图是海港路小学的操场示意图，周围是一条跑道。小敏沿外圈跑一周，小露沿内圈跑一周，小敏比小露多跑多少米？（π取3.14） 【答案】31.4米 【分析】两边弯道可以拼成一个完整的圆，跑一周的长度＝圆的周长＋直道×2，直道长度一样，求出内外两个圆的周长差即可，圆的周长＝2×圆周率×直径，据此列式解答。 【详解】2×3.14×20－2×3.14×15 ＝125.6－94.2 ＝31.4（米） 答：小敏比小露多跑31.4米。 考点02：比赛问题 【典型例题】2026年美加墨世界杯首次扩军至48支球队参赛。赛制规定，48支球队被分为12个小组。在小组赛阶段，采用单循环赛制，即同一小组内的任意两支球队之间都要进行一场比赛。每个小组要进行（ ）场比赛。 【答案】 【分析】因为支球队分个小组，所以用总球队数除以小组数得到单组球队数。 第支球队与其他支球队各比赛一场，计场。 第支球队除去与第支球队的比赛外，与剩下的支球队各比赛一场，计场。 第支球队除去与第、支球队的比赛外，与剩下的支球队比赛一场，计场。 【详解】第支球队已与前三支球队全部比赛过，不重复计算，最后求和得出总场数。 （支） （场） 每个小组要进行场比赛。 【典型例题2】2025年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼地举行。本次比赛共有13支球队参赛，分为两个阶段。第一阶段采用单场循环赛，13支球队每支球队都要和其他球队赛一场，最后根据积分产生“八强”；第二阶段采用淘汰赛，晋级“八强”的8支球队只要输了一场比赛即被淘汰出局，最终胜出者为冠军。算一算，按照这个规则，本次“苏超”共要比赛（ ）场。 【答案】85 【分析】比赛总场数分为单循环赛场次和淘汰赛场次两部分。单循环赛中，每支球队都要和其余12支球队各赛一场，用球队数乘球队数减1的差再÷2，可避免重复计数；淘汰赛决出冠军时，每场比赛淘汰1支球队，要淘汰7支球队才能决出冠军，因此场数等于队伍数减1，最后把两部分场次相加。 【详解】第一阶段单循环赛场次： 13×（13－1）÷2 ＝13×12÷2 ＝156÷2 ＝78（场） 第二阶段淘汰赛场次：8－1＝7（场） 总场次：78＋7＝85（场） 【练习1】一次足球比赛共有6个队参加，每两个球队间都要进行一场比赛，共进行（ ）场；每两个队间都互赠一件纪念品，共赠送了（ ）件纪念品。 【答案】 15 30 【分析】有个球队进行比赛，每两个球队之间进行一场比赛，即每队都要与其他队各比赛一场，共比赛场，则队共比赛场，由于比赛是在两队之间进行的，所以一共要比赛场．有个球队互赠纪念品，即每队都要与其他队互赠纪念品，每个球队赠件，则队共赠送件。 【详解】 （场） （件） 共进行场；每两个队间都互赠一件纪念品，共赠送了件纪念品。 【练习2】聪聪、红红、亮亮和丫丫4人进行跳棋比赛。比赛实行单循环制，每2人都要赛一局。一共需比赛（ ）局。 【答案】6 【分析】比赛实行单循环制，共4人也就是每人和其他3人各赛一局，第一个人与其他3人比3局，第二个人与第一个人比过了所以就与另外2人比2局，第三个人只需要比1局，由此列式解答。 【详解】由分析可知： 3＋2＋1＝6（局） 所以一共需比赛6局。 一、选择题 1．有8支球队要参加比赛，每2支球队都要赛一场，一共赛（     ）场。 A．64 B．56 C．28 【答案】C 【分析】根据题意，每2支球队只赛一场，不重复计数，按顺序推算：第1支球队要和剩下7支各赛1场，共7场；第2支已经和第1支赛过，只需要再和剩下的6支各赛1场，共6场；第3支再赛5场……以此类推，可以计算总场次。 【详解】7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（场） 2．终点相同时，如果在同一起跑线，外圈跑道上的同学跑的路程比内圈同学（     ）。 A．长 B．短 C．同样长 【答案】A 【分析】田径比赛中，因为终点相同，如果在同一条起跑线上，外圈跑道的同学跑的路程长。这样就不公平，所以跑外圈的运动员，他们的起跑线就会有差别的前移。因为从内圈起，每条跑道都包括两条直道和在两端的两个半圆形跑道。而两端的半圆形跑道合起来就是一个圆。 【详解】每一条跑道的长度都可以表示为：跑道长度＝直道长度×2＋圆的周长，从内圈跑道起，圆的直径都有差距，圆的周长也有固定的差值。所以终点相同时，如果在同一起跑线，外圈跑道上的同学跑的路程比内圈同学长。 故答案为：A 3．五子棋是一种深受人们喜爱的棋类游戏，它可以开发智力、培养心理素质、传承文化等，五（1）班5名同学进行五子棋决赛，每两人之间都要赛一场，一共要进行（     ）场比赛。 A．5 B．10 C．20 【答案】B 【分析】已知有名同学，每两人之间都要赛一场，说明是单循环赛制。思考时可以采用加法原理：第名同学要和其余人比赛，第名同学要和其余人比赛（排除已和第名比赛的场次），依此类推，将所有场次相加即可得出总场数。 【详解】由题意可知，共有名同学参赛。 第名同学需要比赛场； 第名同学需要比赛场； 第名同学需要比赛场； 第名同学需要比赛场； 第名同学与其他同学均已比赛过。 一共要进行的比赛场数为： （场） 4．红红、丫丫、聪聪、亮亮4人参加学校举办的人工智能编程个人对抗赛，规定每两名同学之间都要比赛一场，一共需要进行（     ）场比赛。 A．6 B．8 C．16 【答案】A 【分析】每两名同学之间都要比赛一场，即从4人中任选2人进行组合，可通过列举法来计算比赛场数。4名同学，第1名同学需比赛3场，第2名同学需比赛2场（除去已和第1名比赛的场次），第3名同学需比赛1场，第4名同学已与其他人比赛过，将所有场次相加即可得出总场数。 【详解】红红要和丫丫、聪聪、亮亮各比一场，共3场； 丫丫已经和红红比过了，所以丫丫还要和聪聪、亮亮各比一场，共2场； 聪聪已经和红红、丫丫比过了，所以聪聪还要和亮亮比一场，共1场； 亮亮已经和红红、丫丫、聪聪都比过了，不需要再比。 所以总共的比赛场数为：3＋2＋1＝6（场） 5．如图，体育课上两名同学在相邻的两条跑道进行200米赛跑，如果每条跑道宽1.25米，那么两名运动员的起点应相差（     ）米。（π取3.14） A．3.925 B．7.85 C．3.75 【答案】A 【分析】外道比内道长在弯道处，设弯道处最内道所在圆的半径为t米，则第二道所在圆的半径为（t＋1.25）米，且都是半圆，根据圆的周长公式，代入相应数值计算即可。 【详解】设弯道处最内道所在圆的半径为t米，则第二道所在圆的半径为（t＋1.25）米 （米） 故答案为：A 二、填空题 6．2026年美加墨足球世界杯的赛制∶共48支球队，第一阶段是分组循环赛，每4支球队一组，最终有32支球队进入第二阶段比赛；第二阶段为单场淘汰赛（即每场比赛淘汰一支球队），需要进行（ ）场比赛才能决出冠军。 【答案】31 【分析】单场淘汰制规则：每进行1场比赛，恰好淘汰1支球队。想要产生冠军，就要淘汰除冠军外的全部队伍，比赛场数和被淘汰队伍数量相等，因此总场次＝队伍数－1。 【详解】（场） 7．淘气和7名同学进行乒乓球比赛，每两人比赛一场，总共要比赛（ ）场。 【答案】28 【分析】已知淘气和其他7名同学比赛，总人数为人，假设其余同学的编号分别为1号、2号、3号、4号、5号、6号、7号，那么淘气需要和其他7名同学各比一次，，然后再看1号同学，需要和除淘气外的6名同学各比一次（因为淘气已经和1号比过了，不需要再重复算。），看2号，需要和除淘气、1号外的5名同学各比一次，这样依次类推，直到所有同学都比一场。然后将所有比赛场次相加即可。 【详解】淘气需要和1号至7号同学分别比赛，需要比7场； 排除淘气，1号需要和2号至7号同学分别比赛，需要比6场； 排除淘气、1号，2号需要和3号至7号同学分别比赛，需要比5场； 排除淘气、1号、2号，3号需要和4号至7号同学分别比赛，需要比4场； 排除淘气、1号、2号、3号，4号需要和5号至7号同学分别比赛，需要比3场； 排除淘气、1号、2号、3号、4号，5号需要和6号、7号同学比赛，需要比2场； 排除淘气、1号、2号、3号、4号、5号，6号需要和7号比赛，需要比1场。 总比赛场数为：（场），即总共需要比赛28场。 8．学校秋季运动会在400米的标准跑道上进行200米决赛，丽丽发现6名选手的起跑线不一样。已知弯道部分为半圆，最内圈的弯道半径是31.7米，每条跑道宽1.2米。那么，相邻两条跑道上的起跑线应相差（ ）米。（π取3.14） 【答案】3.768 【分析】相邻两条跑道宽为相邻两个弯道所在圆的半径差，相邻两条跑道起跑线相差的距离＝相邻两个弯道所在圆的周长之差÷2，据此解答。 【详解】2×3.14×1.2÷2 ＝（3.14×1.2）×（2÷2） ＝3.768（米） 【点睛】标准跑道的直道部分长度相同，400米的标准跑道进行200米决赛只计算一个弯道之差即可。 9．我校准备举办“校园足球联赛”，第一阶段小组赛中，每小组有7支球队，采用单循环制进行比赛，每小组一共要赛（ ）场。 【答案】21 【分析】单循环赛制是指每两支队伍之间都要比赛一场。共有7支球队，每支球队都要与其他6支球队各比赛一场，如果直接用7乘6，会将每场比赛重复计算两次（例如A队对B队与B队对A队是同一场），因此总场数需要再除以2。   【详解】7×（7－1）÷2 ＝7×6÷2 ＝42÷2 ＝21（场） 10．近期，欧洲冠军联赛的激烈赛事备受瞩目。假设有64支球队参加比赛，且以单场淘汰制（每场比赛淘汰一支球队）进行比赛，则要决出冠军，一共需要进行（ ）场比赛。 【答案】63 【分析】单场淘汰制的规则是每场比赛淘汰1支球队，要决出1个冠军，就需要淘汰其余所有球队，总共有64支球队，需要淘汰的球队数量为64－1场，即需要进行64－1场比赛，据此解答。 【详解】64－1＝63（场） 11．2026美加墨世界杯于6月12日在墨西哥城阿兹特克体育场揭幕，本届世界杯参赛队伍扩至48支国家队参赛，分12个小组，每组4队。各小组的每两队都要踢一场，本届世界杯的小组赛共有（ ）场比赛。 【答案】72 【分析】本题是经典的握手问题，先计算单个小组内的比赛场次，再乘以小组总数得到小组赛总场次。 【详解】每组4支队伍，各小组的每两队都要踢一场比。 第1支队伍要和另外3支各踢1场→3场； 第2支队伍已经和第1支踢过只需和剩下2支各踢1场→2场； 第3支队伍已经和前2支踢过，只需和最后1支踢1场→1场； 第4支队伍已经和前面3支都踢过→0场； 所以每组比赛场数是（场）。 12个小组一共要比赛的场次是（场）。 12．明明和5名同学参加围棋比赛，如果每两名同学之间都要进行一场比赛，一共要进行（ ）场比赛。 【答案】15 【分析】明明和5名同学参加比赛，总人数应为（人）。 每两名同学之间都要进行一场比赛，意味着每个人都要与其他5人各赛一场，若直接用人数乘每人比赛的场数，会将每场比赛重复计算两次（例如甲对乙和乙对甲是同一场），因此需要除以2。利用公式“总场数＝人数×（人数－1）÷2”进行计算即可。 【详解】参赛人数：5＋1＝6（人） 比赛场次：6×（6－1）÷2 ＝6×5÷2 ＝30÷2 ＝15（场） 13．学校新修了一条长200米（最内跑道一圈）的塑胶跑道（如下图），弯道最内圈的半径是15米，每条跑道宽1.5米，现在有4条跑道（比赛时跑步的选手一般压着跑道的内圈跑），第二道的运动员跑一圈跑了（ ）米，若进行400米赛跑，第4道运动员应比第2道运动员的起跑线提前（ ）米（第一圈分道，第二圈并道）。 【答案】 209.42 18.84 【分析】根据相邻两条跑道相差“2××跑道宽”，再加200就是第二道的运动员跑一圈跑的米数；400米赛跑需跑2圈，但第一圈分道，第二圈并道（即第二圈距离相等），所以只要考虑第一圈的弯道，即2个半圆（即1个整圆）。因此，每道的弯道长度差为“2×跑道宽度差”。因为第四跑道比第二跑道半径大了2×1.5，所以增加的周长就是2×（2×1.5），代入数据计算即可。 【详解】200＋2×3.14×1.5 ＝200＋6.28×1.5 ＝200＋9.42 ＝209.42（米） 2×3.14×（2×1.5） ＝6.28×3 ＝18.84（米） 学校新修了一条长200米（最内跑道一圈）的塑胶跑道（如下图），弯道最内圈的半径是15米，每条跑道宽1.5米，现在有4条跑道（比赛时跑步的选手一般压着跑道的内圈跑），第二道的运动员跑一圈跑了209.42米，若进行400米赛跑，第4道运动员应比第2道运动员的起跑线提前18.84米。 14．湖南省城市篮球联赛（“湘BA”）于今年3月至6月举行。常规赛阶段，全省14支市州代表队参赛，所有球队进行单循环比拼，每两支球队比赛一场。整个常规赛阶段，一共要进行（ ）场比赛。 【答案】91 【分析】14支队伍中任选2支进行一场比赛的总场次：第1支球队赛13场；第2支不用再和第1支重复比赛，赛12场；第3支球队不用和第1、2支重复比赛，赛11场；…… ；最后1支与前面13支都赛过，不用再比赛。 把各支球队的比赛场数相加就能得到总场次数。 【详解】 （场） 整个常规赛阶段，一共要进行91场比赛。 15．一个标准跑道的全长是400米，弯道最内圈半径是36米，每条跑道宽1.2米，现有8个弯道。若进行400米赛跑，第3道运动员的起跑线应比第1道运动员的起跑线提前约（ ）米。（π取3.14，结果保留整数） 【答案】15 【分析】根据题意可知，400米标准跑道有8个弯道，每个弯道合起来是一个圆。第1道的半径为（36＋1.2）米，第3道的半径为（36＋1.2×3）米；根据圆的周长公式C＝2πr，分别求出第1道、第3道的周长，再用第3道的周长减去第1道的周长，即是第3道运动员的起跑线应比第1道运动员的起跑线提前的米数。 【详解】2×3.14×（36＋1.2） ＝2×3.14×37.2 ＝233.616（米） 2×3.14×（36＋1.2×3） ＝2×3.14×（36＋3.6） ＝2×3.14×39.6 ＝248.688（米） 248.688－233.616≈15（米） 第3道运动员的起跑线应比第1道运动员的起跑线提前约（15）米。 16．2025年5月，江苏省开展城市足球联赛，省内13个城市各有一支代表队。足球联赛分“积分赛”和“淘汰赛”两个阶段进行。第一阶段，每支球队都要与其他球队进行一场比赛，一共要进行（ ）场比赛；第二阶段，积分排名靠前的8支球队将进行淘汰赛，淘汰赛采用单场淘汰制（即每场比赛淘汰1支球队），共要进行（ ）场比赛才能产生冠军。 【答案】 78 7 【分析】第一阶段（积分赛）：属于单循环赛制，即每两支球队之间都要比赛一场。若有n支球队，每支球队都要与其他（n－1）支球队比赛（n－1）场，总场次为n（n－1）÷2。 第二阶段（淘汰赛）：属于单场淘汰制，每场比赛淘汰1支球队。要从8支球队中决出1支冠军，意味着需要淘汰7支球队，因此比赛场数等于淘汰的球队数。 【详解】13×（13－1）÷2 ＝13×12÷2 ＝13×6 ＝78（场） 8－1＝7（场） 则第一阶段，每支球队都要与其他球队进行一场比赛，一共要进行78场比赛；第二阶段，积分排名靠前的8支球队将进行淘汰赛，淘汰赛采用单场淘汰制（即每场比赛淘汰1支球队），共要进行7场比赛才能产生冠军。 17．如果跑道全长400米，每条跑道宽1.2米，弯道最内圈半径是36米，若进行200米赛跑，第二道运动员的起跑线应比第一道的起跑线提前（ ）米。（） 【答案】3.6米 【分析】因为跑道长400米，进行200米的赛跑，所以只跑半圈，也就是跑一条直道，一个弯道，由此可知，第二道运动员的起跑线应比第一道的起跑线的差等于一个弯道的差，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。 【详解】2×3×（36＋1.2）÷2－2×3×36÷2 ＝6×37.2÷2－6×36÷2 ＝223.2÷2－216÷2 ＝111.6－108 ＝3.6（米） 第二道运动员的起跑线应比第一道的起跑线提前3.6米。 18．被称作中国国球的乒乓球运动深受大众喜爱。比赛中通常采取“单败淘汰制”，选手通过抽签或种子排位确定对阵位置，形成“单败淘汰树”。如有16名选手参加，对阵情况如图。某乒乓球比赛女子单打共有32名选手参加，通过“单败淘汰制”最终决出1名冠军，这次比赛共计需比赛（ ）场。在第一个比赛日中，12张球桌上同时进行乒乓球比赛，单打的比双打的多6人，那么进行双打比赛的乒乓球桌有（ ）张。 【答案】 31 3 【分析】单败淘汰制：要决出1个冠军，必须淘汰其余所有选手，每一场比赛淘汰1人，用选手人数减1即可算出共需比赛的场数； 假设12张球桌都进行单打比赛，总单打人数共2×12＝24人，双打人数是0人，此时单打比双打多24－0＝24人，比题目要求的“多6人”多出了24－6＝18人；把1张单打桌换成双打桌，单打减少2人，双打增加4人，两者的人数差会减少2＋4＝6人；想要减少18人的差值，就需要调换3张球桌（18÷6＝3），也就是有3张双打桌。 【详解】32－1＝31（场），共需比赛31场； 假设12张球桌都进行单打比赛。 2×12＝24（人） （24－6）÷（2＋4） ＝18÷6 ＝3（张） 进行双打比赛的乒乓球桌有3张。 三、解答题 19．学校举行乒乓球比赛，有16名同学要争夺单打冠军。比赛采用淘汰制（就是每局比赛的负者被淘汰，胜者进入下一轮比赛），一共要进行多少场比赛才能决出冠军呢？ 【答案】15场 【分析】每场比赛负者被淘汰，胜者进入下一轮，即每场比赛恰好淘汰名选手。要决出名冠军，意味着除了冠军以外的所有参赛选手都必须被淘汰。因此，比赛的总场数就等于需要淘汰的选手人数。 【详解】根据分析，比赛场数等于淘汰的同学人数。 （场） 答：一共要进行场比赛才能决出冠军。 20．12位击剑选手参加友谊比赛，每位选手赛了3场，每场比赛两位选手，击剑比赛无平局；如果一位选手在参加的3场比赛中至少胜了2场，将被颁发一枚“大师杯”奖牌，那么这次友谊比赛中获得“大师杯”奖牌的击剑选手最多有多少人？请给出你的证明和构造。 【答案】9人 构造方案：1、2、3胜10，4、5、6胜11，7、8、9胜12，1胜2，2胜3、……8胜9，9胜1。 【分析】根据参赛人数与每人比赛场数求出总场数（即总胜利场数），至少胜了2场可获“大师杯”奖牌，用总场数除以2即可。构造方案：将12人编号1－12。让前9人每人胜2场（总计18胜）。后3人全负，每一个胜场对应一个负场。18个胜场被前9人平分，每人胜2负1。后3人承担多出的9个负场（每人负3）。 【详解】（场） （人） 答：获得“大师杯”奖牌的击剑选手最多有9人。 构造方案：1、2、3胜10，4、5、6胜11，7、8、9胜12，1胜2，2胜3、……8胜9，9胜1。（答案不唯一） 21．在标准400米跑道上参加200米跑，每条跑道宽1.25米，相邻跑道中两人之间的起跑位置大约相差多少米？（π取3.14） 【答案】3.925米 【分析】在标准400米跑道上参加200米跑，要用到一段弯道和一段直道，一段弯道的长度是圆周长的一半，假设最内侧弯道直径x米，则相邻弯道直径（x＋1.25×2）米，根据圆的周长的一半＝圆周率×直径÷2，分别计算出两个跑道弯道部分的长度，求差即可。 【详解】假设最内侧弯道直径x米。 3.14×（x＋1.25×2）÷2－3.14×x÷2 ＝1.57×（x＋2.5）－1.57x ＝1.57x＋1.57×2.5－1.57x ＝3.925（米） 答：相邻跑道中两人之间的起跑位置大约相差3.925米。 22．风帆小学五年级举办春季足球比赛，经过第一轮淘汰赛之后，剩五个班举行足球循环赛，每两个班都要赛一场。 （1）一共要赛多少场？请列式解答。 （2）如果剩下的是五1—五5班，五1班已经赛了4场，五2班赛了3场，五3班赛了2场，五4班赛了1场，那么五5班赛了几场？不用列式，用画一画、连一连的方法表示你的思考过程，然后直接写答语。 【答案】（1）10场 （2）2场 【分析】（1）5个班进行循环赛，每两个班赛一场，即每个班都要与其他4个班各赛一场。用班级数乘每班赛场数，再除以2即可求得。 （2）根据各班已赛的场次，利用连线法表示班级间的比赛关系。从已赛场次最多和最少的班级入手，逐步排除不可能的对手，从而确定五5班的比赛场次。 【详解】（1）＝5×4÷2（场） 答：一共要赛10场。 （2） 答：五5班赛了2场。 23．“淮超”足球联赛于2025年11月29日开赛，2026年1月11日结束。第一阶段小组赛采用分组积分赛制，9支球队分A、B两个组，A组4支队伍，B组5支队伍，各组每两支球队赛一场。各小组排名前2名的球队进入名次赛。第二阶段名次赛采用单回合淘汰赛制，胜者进入决赛，负者争夺季军。 （1）“淮超”足球联赛小组赛一共进行多少场比赛？ （2）“淮超”足球联赛一共进行多少场比赛？ 【答案】（1）16 场 （2）20 场 【分析】（1）A组4支队伍，B组5支队伍，小组赛每两支球队赛一场，分组计算不重复的场次：第一支对另外3支，第二支对剩下2支，以此类推，第三支对第四支；B组共5支队伍，分组计算不重复的场次与A组相同，第一支对另外4支，第二支队剩下3支，以此类推。 （2）进入单回合淘汰赛的队伍是各小组前两名，共有2＋2＝4支队伍。淘汰赛阶段：半决赛2场，决赛1场，季军赛1场。最后与小组赛的比赛场次相加，即为“淮超”足球联赛一共进行多少场比赛。 【详解】（1）（1）A组：3＋2＋1＝6（场） B组：4＋3＋2＋1＝10（场） （场） 答：小组赛一共进行16场比赛。 （2）（2）2＋1＋1＝4（场） 4＋16＝20（场） 答：联赛一共进行20场比赛。 24．工人师傅在学校操场铺设了一个400米半圆式田径场，如图，测得每条跑道的宽度为1.25米，如果进行400米比赛，环形跑道上各道起跑线相差多少米？ 【答案】7.85米 【分析】跑道是由两条直的跑道和两个半圆形跑道组成，直道长度相同，相邻跑道之间的差距在弯道，两侧的弯道可以拼成一个圆，所以跑道上各道起跑线的差距就是相邻两个圆的周长差，根据圆的周长＝圆周率×直径，则两个圆的周长差＝圆周率×直径差，根据题意，每条跑道的宽度为1.25米，则相邻半圆形跑道的直径差为1.25×2＝2.5米，据此解答。 【详解】 （米） 答：环形跑道上各道起跑线相差7.85米。 25．2026年国际足联世界杯在美国、加拿大、墨西哥三国联合举办。在小组赛阶段，每个小组有4支球队，每两支球队之间比赛一场，按积分排名晋级。积分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。 （1）在小组赛阶段，每个队要比（ ）场。 （2）有一支欧洲球队，在小组赛中一共获得了7分，请分析，这支球队的战绩是几胜？几平？几负？ 【答案】（1）3 （2）2胜1平0负 【分析】（1）根据单循环赛制规则，每个小组有4支球队，每支球队都要与其他球队各比赛一场。因此，每支球队的比赛场数等于球队总数减去1。 （2）已知每支球队在小组赛中一共比赛3场，总积分为7分。根据积分规则（胜3分、平1分、负0分），利用枚举法，从胜场数最多的情况开始尝试，计算对应的总积分，找出符合总积分为7分且总场数为3场的胜负平组合。 【详解】（1）小组共有4支球队，每两支球队之间比赛一场。 对于任意一支球队，需要与本组除自己以外的其他球队各比赛一场。 列式计算如下：（场） 答：每个队要比3场。 （2）由第（1）题可知，每支球队在小组赛中一共比赛3场。 设这支球队胜场,平场，负场。 根据题意，总场数关系为：。 总积分关系为；。 采用枚举法进行分析： ①假设胜3场： 积分计算；（分） 因为，所以不可能胜3场。 ②假设胜2场： 胜场积分；（分） 剩余所需积分；（分） 剩余比赛场数；（场） 因为平1场得1分，恰好满足剩余积分和剩余场数。 此时负场数为：（场）。 该情况符合题意。 ③假设胜1场： 胜场积分：（分） 剩余所需积分：（分） 剩余比赛场数：（场） 剩余2场即使全部平局，最多得分为：（分） 因为，所以不可能胜1场。 ④假设胜0场： 最多得分为3场平局，即3分，小于7分，不符合题意。 综上所述，这支球队的战绩是2胜1平0负。 答：这支球队的战绩是2胜1平0负。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版·新教材六年级数学上册 综合与实践：体育中的数学（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：起跑线的确定 1. 跑道结构特点 （1）标准跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，两个弯道合起来是一个完整的圆。 （2）所有跑道直道长度完全相等；相邻跑道差距只出现在弯道部分。 （3）跑道宽度统一，设跑道宽为w，内圈弯道半径为r，相邻外圈弯道半径为r+w。 2. 相邻跑道周长差（起跑线差距） （1）内圈弯道总长：2πr （2）相邻外圈弯道总长：2π（r+w） （3）相邻跑道周长差：2π（r+w）−2πr=2πw （4）核心结论：相邻两条跑道起跑线相差2π×跑道宽，与内圈半径无关。 3. 不同赛跑距离应用 （1）200米跑（跑1个弯道）：相邻起跑线差πw （2）400米跑（跑完整2个弯道）：相邻起跑线差2πw 4. 解题步骤 （1）找到跑道宽度； （2）判断比赛经过几个完整弯道； （3）代入公式计算起跑线前移距离。 【易错点】 （1）直接用直径计算差值，忘记只算弯道差； （2）200米、400米弯道数量混淆，公式用错。 知识点02：比赛问题 1. 单循环赛制（每两队只赛1场） （1）含义：任意两支队伍之间只进行一场比赛。 （2）计算公式：比赛总场数=n×(n−1)÷2（n为队伍总数） （3）思路：每支队伍要和其余n−1队比赛，每场重复计算2次，所以除以2。 2. 淘汰赛制（输一场直接淘汰） （1）含义：两队比赛，胜者晋级，负者淘汰，直至决出冠军。 （2）总比赛场数=参赛队伍数−1 （3）原理：最终只留1支冠军队伍，每比赛1场淘汰1队，淘汰n−1支队伍就需要n−1场。 3. 握手、击掌、下棋同类题型：和单循环比赛思路完全一致，通用公式：总次数=n(n−1)÷2。 4. 综合比赛题型：先分组单循环，再晋级淘汰赛：分两段分别计算场次，最后相加。 【易错点】 （1）单循环忘记除以2，场次算成两倍； （2）淘汰赛混淆轮次和总场数，错误用乘法计算。 考点01：起跑线的确定 【典型例题1】如下图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形。静静和欢欢进行跑步比赛，她们分别从A、B两点出发，沿跑道线跑一圈，最后都回到终点。为了比赛公平，静静和欢欢的起跑线应相差多少米？（π取3.14） 【典型例题2】学校操场有一个的环形跑道（如图），它由两条直的跑道和两个半圆形的弯道组成。已知道宽。第二道的起跑线应该比第一道提前（     ）。（取3.14） A．3.14 B．3.925 C．6.28 D．7.85 【练习1】有4名同学进行200米赛跑，都要经过一个半圆形弯道，每条跑道宽1.4米，那么相邻两道的弯道相差（     ）米。 A．1.4 B．π C．1.4＋π D．1.4π 【练习2】下图是海港路小学的操场示意图，周围是一条跑道。小敏沿外圈跑一周，小露沿内圈跑一周，小敏比小露多跑多少米？（π取3.14） 考点02：比赛问题 【典型例题】2026年美加墨世界杯首次扩军至48支球队参赛。赛制规定，48支球队被分为12个小组。在小组赛阶段，采用单循环赛制，即同一小组内的任意两支球队之间都要进行一场比赛。每个小组要进行（ ）场比赛。 【典型例题2】2025年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼地举行。本次比赛共有13支球队参赛，分为两个阶段。第一阶段采用单场循环赛，13支球队每支球队都要和其他球队赛一场，最后根据积分产生“八强”；第二阶段采用淘汰赛，晋级“八强”的8支球队只要输了一场比赛即被淘汰出局，最终胜出者为冠军。算一算，按照这个规则，本次“苏超”共要比赛（ ）场。 【练习1】一次足球比赛共有6个队参加，每两个球队间都要进行一场比赛，共进行（ ）场；每两个队间都互赠一件纪念品，共赠送了（ ）件纪念品。 【练习2】聪聪、红红、亮亮和丫丫4人进行跳棋比赛。比赛实行单循环制，每2人都要赛一局。一共需比赛（ ）局。 一、选择题 1．有8支球队要参加比赛，每2支球队都要赛一场，一共赛（     ）场。 A．64 B．56 C．28 2．终点相同时，如果在同一起跑线，外圈跑道上的同学跑的路程比内圈同学（     ）。 A．长 B．短 C．同样长 3．五子棋是一种深受人们喜爱的棋类游戏，它可以开发智力、培养心理素质、传承文化等，五（1）班5名同学进行五子棋决赛，每两人之间都要赛一场，一共要进行（     ）场比赛。 A．5 B．10 C．20 4．红红、丫丫、聪聪、亮亮4人参加学校举办的人工智能编程个人对抗赛，规定每两名同学之间都要比赛一场，一共需要进行（     ）场比赛。 A．6 B．8 C．16 5．如图，体育课上两名同学在相邻的两条跑道进行200米赛跑，如果每条跑道宽1.25米，那么两名运动员的起点应相差（     ）米。（π取3.14） A．3.925 B．7.85 C．3.75 二、填空题 6．2026年美加墨足球世界杯的赛制∶共48支球队，第一阶段是分组循环赛，每4支球队一组，最终有32支球队进入第二阶段比赛；第二阶段为单场淘汰赛（即每场比赛淘汰一支球队），需要进行（ ）场比赛才能决出冠军。 7．淘气和7名同学进行乒乓球比赛，每两人比赛一场，总共要比赛（ ）场。 8．学校秋季运动会在400米的标准跑道上进行200米决赛，丽丽发现6名选手的起跑线不一样。已知弯道部分为半圆，最内圈的弯道半径是31.7米，每条跑道宽1.2米。那么，相邻两条跑道上的起跑线应相差（ ）米。（π取3.14） 9．我校准备举办“校园足球联赛”，第一阶段小组赛中，每小组有7支球队，采用单循环制进行比赛，每小组一共要赛（ ）场。 10．近期，欧洲冠军联赛的激烈赛事备受瞩目。假设有64支球队参加比赛，且以单场淘汰制（每场比赛淘汰一支球队）进行比赛，则要决出冠军，一共需要进行（ ）场比赛。 11．2026美加墨世界杯于6月12日在墨西哥城阿兹特克体育场揭幕，本届世界杯参赛队伍扩至48支国家队参赛，分12个小组，每组4队。各小组的每两队都要踢一场，本届世界杯的小组赛共有（ ）场比赛。 12．明明和5名同学参加围棋比赛，如果每两名同学之间都要进行一场比赛，一共要进行（ ）场比赛。 13．学校新修了一条长200米（最内跑道一圈）的塑胶跑道（如下图），弯道最内圈的半径是15米，每条跑道宽1.5米，现在有4条跑道（比赛时跑步的选手一般压着跑道的内圈跑），第二道的运动员跑一圈跑了（ ）米，若进行400米赛跑，第4道运动员应比第2道运动员的起跑线提前（ ）米（第一圈分道，第二圈并道）。 14．湖南省城市篮球联赛（“湘BA”）于今年3月至6月举行。常规赛阶段，全省14支市州代表队参赛，所有球队进行单循环比拼，每两支球队比赛一场。整个常规赛阶段，一共要进行（ ）场比赛。 15．一个标准跑道的全长是400米，弯道最内圈半径是36米，每条跑道宽1.2米，现有8个弯道。若进行400米赛跑，第3道运动员的起跑线应比第1道运动员的起跑线提前约（ ）米。（π取3.14，结果保留整数） 16．2025年5月，江苏省开展城市足球联赛，省内13个城市各有一支代表队。足球联赛分“积分赛”和“淘汰赛”两个阶段进行。第一阶段，每支球队都要与其他球队进行一场比赛，一共要进行（ ）场比赛；第二阶段，积分排名靠前的8支球队将进行淘汰赛，淘汰赛采用单场淘汰制（即每场比赛淘汰1支球队），共要进行（ ）场比赛才能产生冠军。 17．如果跑道全长400米，每条跑道宽1.2米，弯道最内圈半径是36米，若进行200米赛跑，第二道运动员的起跑线应比第一道的起跑线提前（ ）米。（） 18．被称作中国国球的乒乓球运动深受大众喜爱。比赛中通常采取“单败淘汰制”，选手通过抽签或种子排位确定对阵位置，形成“单败淘汰树”。如有16名选手参加，对阵情况如图。某乒乓球比赛女子单打共有32名选手参加，通过“单败淘汰制”最终决出1名冠军，这次比赛共计需比赛（ ）场。在第一个比赛日中，12张球桌上同时进行乒乓球比赛，单打的比双打的多6人，那么进行双打比赛的乒乓球桌有（ ）张。 三、解答题 19．学校举行乒乓球比赛，有16名同学要争夺单打冠军。比赛采用淘汰制（就是每局比赛的负者被淘汰，胜者进入下一轮比赛），一共要进行多少场比赛才能决出冠军呢？ 20．12位击剑选手参加友谊比赛，每位选手赛了3场，每场比赛两位选手，击剑比赛无平局；如果一位选手在参加的3场比赛中至少胜了2场，将被颁发一枚“大师杯”奖牌，那么这次友谊比赛中获得“大师杯”奖牌的击剑选手最多有多少人？请给出你的证明和构造。 21．在标准400米跑道上参加200米跑，每条跑道宽1.25米，相邻跑道中两人之间的起跑位置大约相差多少米？（π取3.14） 22．风帆小学五年级举办春季足球比赛，经过第一轮淘汰赛之后，剩五个班举行足球循环赛，每两个班都要赛一场。 （1）一共要赛多少场？请列式解答。 （2）如果剩下的是五1—五5班，五1班已经赛了4场，五2班赛了3场，五3班赛了2场，五4班赛了1场，那么五5班赛了几场？不用列式，用画一画、连一连的方法表示你的思考过程，然后直接写答语。 23．“淮超”足球联赛于2025年11月29日开赛，2026年1月11日结束。第一阶段小组赛采用分组积分赛制，9支球队分A、B两个组，A组4支队伍，B组5支队伍，各组每两支球队赛一场。各小组排名前2名的球队进入名次赛。第二阶段名次赛采用单回合淘汰赛制，胜者进入决赛，负者争夺季军。 （1）“淮超”足球联赛小组赛一共进行多少场比赛？ （2）“淮超”足球联赛一共进行多少场比赛？ 24．工人师傅在学校操场铺设了一个400米半圆式田径场，如图，测得每条跑道的宽度为1.25米，如果进行400米比赛，环形跑道上各道起跑线相差多少米？ 25．2026年国际足联世界杯在美国、加拿大、墨西哥三国联合举办。在小组赛阶段，每个小组有4支球队，每两支球队之间比赛一场，按积分排名晋级。积分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。 （1）在小组赛阶段，每个队要比（ ）场。 （2）有一支欧洲球队，在小组赛中一共获得了7分，请分析，这支球队的战绩是几胜？几平？几负？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $