3.1.1 比例线段及相似多边形 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“图形的相似”开篇核心，涵盖比例线段（线段比、成比例线段、比例性质）与相似多边形（定义、性质、相似比）。通过生活中形状相同图形实例导入，衔接小学比例知识，以合作探究、练一练、归纳总结为支架，构建知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实图形，通过格点图形计算、矩形裁剪等实例，培养抽象能力与几何直观。以数学思维推导比例性质、论证相似判定，结合分层练习题（含解析）与结构化小结，帮助学生夯实基础、提升推理能力，也为教师提供系统教学资源与高效巩固方案。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 3.1.1比例线段及相似多边形 第三章 图形的相似 比例线段及相似多边形 全章综合练习题（含解析） 本次练习题聚焦九年级数学相似图形开篇核心知识，涵盖比例的基本性质、比例线段、黄金分割、相似多边形的定义、性质与判定等重难点，考点全面、题型基础经典，适配课后巩固、单元基础检测，帮助学生夯实相似图形入门基础，熟练掌握比例运算与相似多边形的核心判定与性质应用。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知线段$$a=2\mathrm{cm}$$，$$b=4\mathrm{cm}$$，则$$a:b$$的值为（） A. $$1:2$$ B. $$2:1$$ C. $$1:4$$ D. $$4:1$$ 2. 若$$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$$，则下列比例式变形正确的是（） A. $$2x=3y$$ B. $$3x=2y$$ C. $$x=3y$$ D. $$y=2x$$ 3. 下列各组线段中，能构成比例线段的是（） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 2cm，4cm，6cm，8cm C. 1cm，√2cm，√2cm，2cm D. 2cm，3cm，4cm，5cm 4. 下列关于相似多边形的说法正确的是（） A. 对应角相等的多边形相似 B. 对应边成比例的多边形相似 C. 对应角相等、对应边成比例的多边形相似 D. 任意两个矩形都相似 5. 两个相似多边形的相似比为$$2:3$$，则它们的对应边的比为（） A.$$2:3$$ B. $$3:2$$ C. $$4:9$$ D.$$9:4$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 比例的基本性质：若$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$（$$b≠0，d≠0$$），则________。 7. 已知四条线段$$a、b、c、d$$成比例，且$$a=3，b=6，c=2$$，则$$d=$$________。 8. 若两个相似多边形的对应角分别为$$50^\circ$$、$$130^\circ$$，则对应角大小________。 9. 矩形的长为8，宽为4，若另一相似矩形的长为12，则宽为________。 10. 黄金分割比的比值约为________（保留三位小数）。 三、解答题（共60分） 11.（18分）根据比例性质求解：（1）已知$$\frac{a}{4}=\frac{b}{5}$$，求$$a:b$$；（2）已知$$3x=4y$$，写出比例式$$\frac{x}{y}$$的值；（3）判断线段2、3、4、6是否为比例线段。 12.（20分）已知两个四边形相似，四边形ABCD的四边长为4、6、8、10，相似四边形A'B'C'D'的最短边长为6。（1）求两个四边形的相似比；（2）求四边形A'B'C'D'的其余三边长；（3）若四边形ABCD的一个内角为$$85^\circ$$，求对应内角的度数。 13.（22分）已知矩形ABCD与矩形EFGH相似，矩形ABCD长为10cm，宽为5cm。（1）求两个矩形的相似比；（2）若矩形EFGH的长为15cm，求其宽；（3）简述相似多边形的两大核心特征。 四、参考答案与详细解析 选择题 1. A 解析：$$a:b=2:4=1:2$$，线段比值化简为最简整数比。 2. A 解析：根据比例交叉相乘相等，$$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$$可得$$2x=3y$$。 3. C 解析：$$1:\sqrt{2}=\sqrt{2}:2$$，满足外项之积等于内项之积，是比例线段。 4. C 解析：相似多边形必须同时满足对应角相等、对应边成比例，缺一不可；矩形对应边不一定成比例，不一定相似。 5. A 解析：相似多边形的相似比等于对应边的比。 填空题 6. $$ad=bc$$ 7. 4 8. 相等 9. 6 解析：相似矩形对应边成比例，$$8:4=12:x$$，解得$$x=6$$。 10. 0.618 解答题 11. （1）由$$\frac{a}{4}=\frac{b}{5}$$得$$a:b=4:5$$；（2）由$$3x=4y$$得$$\frac{x}{y}=\frac{4}{3}$$；（3）$$2:3=4:6$$，外项积=内项积，是比例线段。 12. （1）原四边形最短边为4，新四边形最短边为6，相似比为$$4:6=2:3$$；（2）其余三边长分别为9、12、15；（3）相似多边形对应角相等，对应角度数为$$85^\circ$$。 13. （1）相似比为$$10:5=2:1$$；（2）设宽为x，$$10:5=15:x$$，解得$$x=7.5\mathrm{cm}$$；（3）相似多边形核心特征：对应角相等，对应边成比例。 本章核心知识总结 1. 比例线段：四条线段$$a、b、c、d$$，若$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$，则四条线段成比例，核心性质为交叉相乘相等（$$ad=bc$$）。 2. 相似多边形判定：同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，二者缺一不可。 3. 相似多边形性质：对应角相等，对应边成比例，相似比为对应边的比值，是求解边长、角度的核心依据。 1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；了解相似多边形和相似比的概念.（重点） 2.理解成比例线段的概念；会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形. 3.掌握成比例线段的判定方法；掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算． （难点） 学习目标 问题 下面图形有什么相同点和不同点？ 在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图片. 形状相同 大小不相同 【合作探究】 你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗?这些形状相同的图形有什么不同? 探究点1：线段的比和成比例线段 形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”. 【归纳总结】 因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系. 探究点1：线段的比和成比例线段 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB，CD 的长度分别是 m， n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 A B C D m n 如果把 表示成比值 k，那么 = k，或 AB = k · CD，两条线段的比实际上就是两个数的比. AB : CD = m : n 或 . 探究点1：线段的比和成比例线段 线段AB，CD分别叫作这个线段比的前项和后项 6 1.若线段 AB＝6 cm，CD＝4 cm，则 . 2.若线段 AB＝8 cm，CD＝2 dm，则 . 【练一练】 探究点1：线段的比和成比例线段 4. 如图，五边形 ABCDE 与五边形 A'B'C'D'E' 形状相同，AB＝5 cm，A'B'＝3 cm，AB : A'B'＝ . A B C D E A' B' C' D' E' 5 : 3 3.已知线段 AB＝8 cm，A'B'＝2 cm，AB : A'B' 的比 为　　　，AB : A'B' 的比值为 ，AB＝　　A'B'. 4 : 1 4 4 就是线段 AB 与线段 A'B' 的比，这个比值刻画了这两个五边形的大小关系. 探究点1：线段的比和成比例线段 【操作·思考】如图，设小方格的边长为 1，五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′ 的顶点都在格点上. (2) 分别计算 ，，， 的值，你发现了什么？ A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ (1) AB，AE，A′B′，A′E′ 的长度分别是多少？ AB＝2，AE＝2，A′B′＝1，A′E′ ＝ ， 探究点1：线段的比和成比例线段 四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ，那么这四条线段 a，b，c，d 叫作成比例线段，简称比例线段. AB，A′B′，BC，B′C′ 是成比例线段， AB，BC，A′B′，B′C′ 也是成比例线段. 注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！ 【归纳总结】 探究点1：线段的比和成比例线段 例1 判断下列线段 a、b、c、d 是否是成比例线段：　 （1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10； 解：（1）∵　 ∴线段 a、b、c、d 不是成比例线段． ， ， ∴　 . （2）a＝2，b＝ ，c＝ ，d＝ ． （2）∵ 　， ∴ .　 ∴ 线段 a、b、c、d 是成比例线段． 探究点1：线段的比和成比例线段 注意: 1.若 a : b = k，说明 a 是 b 的 k 倍； 2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致； 3.两条线段的比值是一个没有单位的正数； 4.除了 a = b 外，a : b ≠ b : a， 互为倒数. 探究点1：线段的比和成比例线段 【思考交流】 如果 a，b，c，d 四个数成比例，即 ，那么 ad = bc 吗？ 那么 a = kb，c = kd， 所以 ad = kb·d = b·kd = bc. 在等式两边同时乘以 bd，得 ad = bc. 由此可得到比例的基本性质： 如果 ，那么 ad = bc. 探究点2：比例的基本性质 由此可得到比例的基本性质： 反过来，如果 ad = bc，那么等式 还成立吗？ 在等式中，四个数 a，b，c，d 可以为任意数，而在分式中，分母不能为 0. 如果 ad = bc (a，b，c，d 都不等于 0)，那么 . 即必须满足 b ≠ 0，d ≠ 0 探究点2：比例的基本性质 14 解：根据题意可知，AB = a m，AE = a m，AD = 1 m . 例2 如图，一块矩形绸布的长 AB = a m，宽 AD = 1 m，按照如图所示的方式将它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 ，那么 a 的值应当是多少？ D A F E C B 即 ， 由 ，得 ∴a2 = 3，开平方，得 探究点2：比例的基本性质 15 探究点3：相似多边形 【合作探究】 多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的，而多边形 A'B'C'D'E'F' 是投射到银幕上的. A B C D E A' B' C' D' E' 五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′ 是形状相同的多边形， ∠A 与∠A′，∠B 与∠B′，∠C 与∠C′， ∠D 与∠D′，∠E 与∠E′ 分别相等，称为对应角； 问题1 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜想. 度量法 叠合法 A B C D E A' B' C' D' E' 探究点3：相似多边形 AB 与 A′B′，BC 与 B′C′，CD 与 C′D′，DE 与 D′E′，EF 与 E′F′，FA 与 F′A′ 的比都相等，称为对应边. 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形. ◑相似多边形的定义： 记作：∽， 读作：相似于 【归纳总结】 问题2 在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？ A B C D E A' B' C' D' E' 探究点3：相似多边形 相似多边形的对应边的比叫作相似比. 相似多边形的对应角相等，对应边成比例. ◑相似比： ◑相似多边形的特征： 六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′的相似比为 k1 = 六边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比为 k2 = 如：六边形 ABCDEF 与六边形 A′B′C′D′E′F′ 探究点3：相似多边形 (2) 任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？ a1 a2 a3 an … 分析：已知等边三角形的每个角都为 60°，三边都相等. 所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等. 【思考·交流】 探究点3：相似多边形 (1) 两个全等三角形相似吗？为什么？ 相似，相似比为1 同理，任意两个正方形也相似. 归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似. … a1 a2 a3 an (3) 任意的两个菱形相似吗？ 矩形呢？ 探究点3：相似多边形 例3 如图，四边形 ABCD 和四边形 EFGH 相似，求角 α，β 的大小和 EH 的长度 x. 由此可得 ∠α＝∠C＝83°， ∠A＝∠E＝118°. 解：∵ 四边形 ABCD 和四边形 EFGH 相似， ∴ 它们的对应角相等． D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° 探究点3：相似多边形 在四边形 ABCD 中， ∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°. ∵ 四边形 ABCD 和四边形 EFGH 相似， ∴它们的对应边成比例，由此可得 解得 x = 28 cm. ，即 . D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° 探究点3：相似多边形 5.如图所示的两个五边形相似，求未知边 a，b， c，d 的长度． 5 3 2 c d 7.5 b a 6 9 解：由相似多边形的对应边的比相等可得 解得 a = 3，b = 4.5，c = 4，d = 6. 所以未知边 a，b，c，d 的长度分别为 3，4.5，4，6. ， ， ， ， 【练一练】 探究点3：相似多边形 知识点1 两条线段的比 1. 延长线段到点,使得,则 ( ) C A. B. C. D. 2. 近年来，我国航天事业发展迅猛，取得了惊 艳世界的成绩．海洋四号01星运转的轨道高度距离地表 ，则在比例尺是 的大屏幕上显示 为____ ． 35 返回 考试考法 25 3.若三角形三个内角的比为 ，则它的最长边与最短边的 比为_____. 返回 考试考法 26 知识点2 成比例线段 4. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) B A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 考试考法 27 返回 考试考法 28 5. 已知三个数1，2， ，请你再添上一个数，使这四 个数成比例，则这个数是_ ____________. 或或 成比例线段有顺序性 ，注意不要漏解. 返回 考试考法 29 知识点3 比例的基本性质 6. 若 ，则下列等式成立的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 30 7. 如图，在中，， 分别是，上的点，且 .若 ，， ， 则 ( ) A. B. C. D. B 返回 考试考法 知识点4 相似多边形的相关概念及性质 8. 下列图形中一定是相似图形的是( ) D A. 两个矩形 B. 两个等腰三角形 C. 两个直角三角形 D. 两个正方形 返回 考试考法 32 9. 如图，正五边形与正五边形 相似，若 ，则下列结论正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 33 线段的比： AB : CD = m : n，或写成 四条线段 a，b，c，d，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ，那么这四条线段 a， b，c，d 叫作成比例线段，简称比例线段 成比例线段 如果 ，那么 ad = bc 如果ad=bc (a, b, c, d 都不等于 0)，那么 对应角相等，对应边成比例 相似多边形对应边的比叫作相似比 比例的基本性质 相似多边形 比例线段及相似多边形 课堂小结 $