28.1图形的旋转（分层作业，9大知识点）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本同步练习围绕图形的旋转构建“基础认知-概念理解-性质应用-综合拓展”四层递进体系，通过生活实例、图形辨析、性质推理及综合问题，培养几何直观与空间观念，实现从单一知识点到综合应用的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|生活中的旋转现象判断|以国旗升降、螺旋桨转动等实例设置选择题，直观建立旋转概念，培养数学眼光| |概念理解|图形旋转判断、旋转中心/角/对应点|结合冰墩墩、网格图形等情境，通过图形辨析深化旋转要素认知，发展空间观念| |性质应用|旋转性质、坐标系中的旋转|以三角形、矩形旋转为载体，涉及角度计算、坐标变换，强化推理能力与模型意识| |综合拓展|旋转规律、线段/面积/角度综合题|设置正方形旋转规律探究、面积最值计算等问题，融合多知识点，提升综合应用与创新意识|

28.1 图形的旋转 知识点一 判断生活中的旋转现象 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．国旗上升的过程 B．输送带运输的行李箱 C．轮船航行时的螺旋桨的转动 D．商场的扶手电梯载着顾客上下楼 【答案】C 【分析】在平面内，绕一个定点沿某个方向转动一个角度的图形变换称为旋转，沿某一方向直线移动的变换称为平移，根据定义逐一判断各选项的运动类型即可． 【详解】解：选项A国旗上升是沿竖直方向直线运动，属于平移，不符合要求； 选项B输送带运输的行李箱沿直线运动，属于平移，不符合要求； 选项C轮船航行时螺旋桨绕中心定点转动，符合旋转的定义，属于旋转，符合要求； 选项D扶手电梯载顾客上下楼沿直线运动，属于平移，不符合要求． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列运动属于旋转的有（   ） A．钟表上的时针运动 B．国旗上升的过程 C．传输带运输的东西 D．飞驰的火车 【答案】A 【详解】解：A．钟表上的时针运动，属于旋转，符合题意； B．国旗上升的过程，属于平移，不符合题意； C．传输带运输的东西，属于平移，不符合题意； D．飞驰的火车沿轨道移动，属于平移，不符合题意． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 【答案】A 【分析】本题是考查图形的平移、旋转的意义，掌握图形平移与旋转的区别是解题的关键． 根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．由此进行判定即可． 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动，钟表指针绕中心旋转，钟摆绕悬挂点摆动，两者均属于旋转运动，故该说法正确，符合题意； B、站在电梯上的人的运动，是平移，不符合题意； C、汽车沿笔直的公路行驶，是平移，不符合题意； D、地下水位线逐年下降，不是旋转，不符合题意； 故选：A． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把生活问题转化为数学问题． 根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可． 【详解】∵ ①荡秋千是围绕固定点摆动，属于旋转； ②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转； ③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转； ④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转． ∴ 属于旋转的是①和④． 故选：D． 知识点二 判断一个图形由旋转而成的图形 1．（25-26九年级上·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，熟知旋转的概念和性质是解题的关键．根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是： 故选：D． 3．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题图形旋转的性质：根据图形旋转的性质，判断原图形旋转后得到的图形，需明确旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系． 【详解】解：将如图所示的“葫娃”逆时针旋转九十度可得到选项A， 旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系，其他选项的“葫娃”和题干的不一样，故不能由题干所示图形旋转得来． 故选：A． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）把下图中的三角形，以如图所示的边为轴旋转一周，得到的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中的三角形可看成上、下两个直角三角形，上面的直角三角形绕轴旋转一周后得到的几何体是一个圆锥，下面的直角三角形绕轴旋转一周后得到的几何体也是一个圆锥． 【详解】解：图中三角形绕轴旋转一周后得到的几何体应是圆锥和圆锥的组合体． 知识点三 旋转中心、旋转角、对应点 1．（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，在的方格纸中，格点三角形①经过一次旋转后得到格点三角形②，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，通过旋转的性质，旋转中心到旋转前、后图形的对应点的距离相等． 【详解】解：如图，连接D和两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点D的距离相等， 因此格点D就是所求的旋转中心， 故选：D． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，点在底边上，如果绕点按顺时针方向旋转一个角度后与重合，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕点按顺时针方向旋转一个角度后与重合， ∴旋转角为， ∵点在底边上， ∴，即旋转角的度数为． 3．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 4．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质可得，再结合旋转的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，且、、在同一直线上， ∴， 由旋转的性质可得旋转角度是， 故选：C． 知识点四 旋转的性质 1．（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，，根据三角形内角和求出，可知，即可求出． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据旋转可得，旋转角度，可得为等边三角形，再由求解即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，且， ∴为等边三角形， ∴， 则的长为5 ． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据角的和差关系得出，根据三角形外角性质即可得答案． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转（），得到，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，由旋转的性质可得，，利用等边对等角可得，再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵将绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上， ∴，， ∴， ∴． 知识点一 坐标系中的旋转 1．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分析原三角形的边长与垂直关系，结合旋转的性质和旋转后点所在的象限，确定旋转后点的坐标． 【详解】解：，原中轴， 因此，， 绕逆时针旋转后，如图： 在中轴， 因此，， 旋转后落在第二象限（横坐标为负，纵坐标为正）， 因此坐标为． 2．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）在直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意作平面直角坐标系，过点作轴于点，由得，，逆时针旋转后，，与轴夹角变为，即落在轴正半轴，即可得出的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵ ， ∴ ，， 由勾股定理得 ， 又∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， 由旋转的性质得 ，旋转角， ∴ ， ∴ 点在轴正半轴上， ∴ 的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的旋转变换，题目未给出图形，解题时需根据题意画出图形，再结合勾股定理与旋转性质进行分析． 3．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以、为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 先根据题意得到，，再由矩形的性质可得，，，由旋转的性质可得，，，据此可得第二象限内的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，，， ∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，点在第二象限， ∴，，， ∴点的坐标为， 故选：D． 4．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，边长为2的等边的边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到等边，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．设与x轴相交于C，根据等边三角形的性质求出、，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，设与x轴相交于C，    ∵是等边三角形，旋转角为， ∴， ∴轴， ∵等边的边长为2， ∴， ∵， ∴，， 又∵在第四象限， ∴点的坐标为 故选：A． 知识点二 旋转中的规律问题 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图、在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索问题、正方形的性质，找出规律是解题的关键． 根据正方形的性质得，再找出规律为旋转8次为一个周期，进而可求解． 【详解】解：正方形的边长为1， ， 由题意得： ，，，，，， ，，， 旋转8次为一个周期， ， 点的坐标为：， 故选：B． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法． 【详解】解：∵点的坐标为，四边形是正方形， ∴点的坐标为， ∵四边形是正方形， 连接，如图：    由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， ∵将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， 则8次为一循环， ∵余1， ∴是第253组的最后一个点，是第254组的第一个点， ∴点的坐标为， 故选：B． 3．（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的旋转和周期问题．找到机器狗运动的周期规律是解题的关键． 先求出机器狗运动的周期，再根据周期计算经过分钟时机器狗的位置即可． 【详解】解：由题可知，机器狗1分钟转动， 则机器狗转动一周所需时间为分钟， 所以经过分钟，机器狗走的周期数为， 所以机器狗的位置为， 从P点（O点正北方），逆时针转动，此时机器狗的位置与选项D中图形一致， 故选D． 知识点三 线段问题（旋转综合题） 1．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 2．（25-26九年级上·天津武清·期中）如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（        ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，旋转后的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理可求得 【详解】∵绕点C逆时针旋转得到，其旋转中心是点C，旋转角度是 ∴, ∴是等腰直角三角形 ∴ 故选项是B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形和旋转的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键 3．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（   ） A． B．12 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变换−旋转，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用以及二次函数的性质，表示出点Q的坐标是解题的关键．设，则，证明，由全等三角形的性质可得，，可确定点Q的坐标，然后根据勾股定理得到，即可求得当时，有最小值，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 作轴于点，如下图， ∵将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，BQ有最小值，最小值为． 故选：A． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（   ） A．9，18 B．9，10 C．3， D．3， 【答案】C 【分析】过点作轴的垂线，根据全等三角形的判定与性质，得出点在直线上，据此求出的最大值及最小值即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， 由旋转可知，， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 所以点在直线上． 当与直线垂直时，取得最小值， 因为点坐标为， 所以的最小值为． 当点在点处时， 点坐标为， 则； 当点在点处时， 点坐标为， 则， 因为， 所以的最大值为， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的性质和判定，勾股定理，实数的大小比较等知识点，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 知识点四 面积问题（旋转综合题） 1．（24-25九年级上·广西玉林·期中）将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，旋转角∠CAC=15∘，则∠BAC=45∘−15∘=30°，可见阴影部分是一个锐角为30°的直角三角形，且已知直角边AC=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答． 【详解】解：设与交于点， 根据旋转性质得，而， ， 又，， ， 阴影部分的面积． 故选：． 【点睛】本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点·旋转中心；②旋转方向；③旋转角度 2．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线． 过作交于点，根据旋转得到，，，根据含的直角三角形的性质即可得到，即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， 绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，，， ， ， ， ， 又，， ． 故选：D． 3．（24-25九年级·全国·单元测试）如图，两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕O点旋转，那么它们重叠部分的面积为(   ) A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，由四边形ABCD为正方形，得到OB=OA，∠BOA=90°，∠MBO=∠OAN=45°，而四边形ORQP为正方形，得∠NOM=90°，所以∠MOB=∠NOA，则△OBM≌△OAN，即可得到S四边形MONB=S△AOB=×2×2=1． 【详解】连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OB=OA，∠BOA=90°，∠MBO=∠OAN=45°， 而四边形ORQP为正方形， ∴∠NOM=90°， ∴∠MOB=∠NOA， ∴△OBM≌△OAN， ∴S四边形MONB=S△AOB=×2×2=1， 即它们重叠部分的面积为1． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质． 4．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形判定与性质及二次函数求最值．先过点作，先通过证明与全等，得到对应边相等，再用和表示的面积，最后通过二次函数求面积的最大值． 【详解】解：如图，过点作，则．    设()． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，． ∴． 又， ∴． 在和中：， ∴． ∴， ∴， ∴的面积， ∵是关于的二次函数，图象开口向下，， ∴当时，面积取得最大值：， 故选：A． 知识点五 角度问题（旋转综合题） 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 2．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键． 由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出，再依据计算即可得出结论． 【详解】解：在三角形中，，， ， 由旋转的性质可知：， ， 又， ， ， 故选：D． 3．（25-26九年级上·广东广州·期末）将一副三角板如图放置（为含的直角三角板，，，为含的直角三角板，）将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，根据旋转的性质和已知条件进行分类讨论是解题的关键．根据题目要求，需要分两种情况讨论，第一种情况是当时，第二种情况是当时，再根据已知条件求解即可． 【详解】解：当时，如图，   ，， ， ， ， 旋转角为； 当时，如图，   ，， ， 旋转角为； 故选：C． 4．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，再根据，即得结果． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 1．（2026·安徽芜湖·三模）如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构造辅助线，从而得到，利用全等三角形的性质及正方形的性质得与的位置关系，进而利用中位线定理建立与的数量关系，从而求解的长度． 【详解】解：如图所示，连接， 四边形是正方形， ，，， ， 由题意可知，，， ， ， ，， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ． 2．（25-26八年级下·北京·期中）X射线因其极强的穿透性被广泛用于医学（如）， 工业（如金属探伤），治安（如机场安检）等领域．如图1，将一个厚度均匀的零件（图中阴影部分）放置在平面直角坐标系中．射线和射线是两条从原点开始分别沿x轴正半轴，y轴正半轴匀速运动的X射线，其中t为运动时间．当X射线穿过零件时会发生衰减，根据衰减情况我们可以得到射线与零件重合部分的所有线段长度之和为，与零件重合部分的所有线段长度之和为．已知和的函数图象分别如图2，图3所示，则说法错误的是（     ） A． B． C．零件中心的小孔是正方形 D．该零件的面积是12 【答案】D 【分析】由图1得：，，由图2得：，，即，，故A，B选项正确；再由，可得零件中心的小孔是正方形，故C选项正确；根据题意得：，延长交y轴于点K，则，根据题意图3，设当时，过直线，分别与于点M，Q，过点M作于点N，则，，， 可得为等腰直角三角形，可求出该零件的面积，即可判断D． 【详解】解：如图， 根据题意得：四边形为矩形， 由图1得：，， 由图2得：，，即，，故A，B选项正确，不符合题意； ∴， ∴零件中心的小孔是正方形，故C选项正确，符合题意； 根据题意得：， 如图，延长交y轴于点K，则， 根据题意图3，设当时，过直线，分别与于点M，Q，过点M作于点N，则，，， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴该零件的面积是，故D选项错误，符合题意． 3．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，四边形是正方形，P、N分别为上的点且，，将绕点P逆时针旋转交于点M得到，则______． 【答案】 / 【分析】设正方形的边长为，则，将绕点逆时针旋转得到，利用旋转的性质可得，，，，过点作于，过点作于，过点作于，求出和的长度，利用建立方程求解即可. 【详解】解：设正方形的边长，则， ，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ， ，，，， 过点作于，过点作于，过点作于， 四边形为矩形 ，， 在中，，， ，， ∴ ， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 点在上，四边形是正方形， ， ， ，解得； ∴. 4．（25-26九年级下·广东深圳·期中）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，我们称是的“旋补交差三角形”，连接、，我们将、所在直线的相交而成的角称之为“旋补交差角”．如图1，即为“旋补交差角”． (1)当，则“旋补交差角”____________． (2)若图1中的度数发生改变，则“旋补交差角”度数是否发生改变？若不发生改变，请求出这个角度；若发生改变，请说明理由． (3)已知图2中是“旋补交差三角形”，的长度等于4，中点为点，求出的长度． 【答案】(1)90 (2)不变； (3) 【分析】1）根据旋转得出，根据证明、C、B三点共线，、C、A三点共线，即可得出答案； （2）证明，得出，根据，结合三角形内角和定理得出，即可得出答案； （3）延长，取点F，使，连接，证明，得出，，证明，得出，求出即可． 【详解】（1）解：根据旋转可得：， ∵， ∴， ∴、C、B三点共线，、C、A三点共线， ∴点O与点C重合， ∴； （2）解：“旋补交差角”度数不变；即； 如图，设与交于点H， 根据旋转可得：，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． （3）解：延长，取点F，使，连接，如图所示： ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 根据旋转可得：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转 知识点一 判断生活中的旋转现象 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．国旗上升的过程 B．输送带运输的行李箱 C．轮船航行时的螺旋桨的转动 D．商场的扶手电梯载着顾客上下楼 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列运动属于旋转的有（   ） A．钟表上的时针运动 B．国旗上升的过程 C．传输带运输的东西 D．飞驰的火车 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 知识点二 判断一个图形由旋转而成的图形 1．（25-26九年级上·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）把下图中的三角形，以如图所示的边为轴旋转一周，得到的立体图形是（     ） A． B． C． D． 知识点三 旋转中心、旋转角、对应点 1．（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，在的方格纸中，格点三角形①经过一次旋转后得到格点三角形②，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，点在底边上，如果绕点按顺时针方向旋转一个角度后与重合，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（    ） A． B． C． D． 知识点四 旋转的性质 1．（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上，则等于（   ） A． B． C． D． 知识点一 坐标系中的旋转 1．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）在直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以、为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，边长为2的等边的边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到等边，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 知识点二 旋转中的规律问题 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图、在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（ ） A． B． C． D． 知识点三 线段问题（旋转综合题） 1．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·天津武清·期中）如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（        ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（   ） A． B．12 C． D． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（   ） A．9，18 B．9，10 C．3， D．3， 知识点四 面积问题（旋转综合题） 1．（24-25九年级上·广西玉林·期中）将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 3．（24-25九年级·全国·单元测试）如图，两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕O点旋转，那么它们重叠部分的面积为(   ) A．4 B．2 C．1 D． 4．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 知识点五 角度问题（旋转综合题） 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东广州·期末）将一副三角板如图放置（为含的直角三角板，，，为含的直角三角板，）将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 4．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 1．（2026·安徽芜湖·三模）如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则为（     ） A．2 B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京·期中）X射线因其极强的穿透性被广泛用于医学（如）， 工业（如金属探伤），治安（如机场安检）等领域．如图1，将一个厚度均匀的零件（图中阴影部分）放置在平面直角坐标系中．射线和射线是两条从原点开始分别沿x轴正半轴，y轴正半轴匀速运动的X射线，其中t为运动时间．当X射线穿过零件时会发生衰减，根据衰减情况我们可以得到射线与零件重合部分的所有线段长度之和为，与零件重合部分的所有线段长度之和为．已知和的函数图象分别如图2，图3所示，则说法错误的是（     ） A． B． C．零件中心的小孔是正方形 D．该零件的面积是12 3．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，四边形是正方形，P、N分别为上的点且，，将绕点P逆时针旋转交于点M得到，则______． 4．（25-26九年级下·广东深圳·期中）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，我们称是的“旋补交差三角形”，连接、，我们将、所在直线的相交而成的角称之为“旋补交差角”．如图1，即为“旋补交差角”． (1)当，则“旋补交差角”____________． (2)若图1中的度数发生改变，则“旋补交差角”度数是否发生改变？若不发生改变，请求出这个角度；若发生改变，请说明理由． (3)已知图2中是“旋补交差三角形”，的长度等于4，中点为点，求出的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $