精品解析：湖南省株洲景炎学校2021-2022学年九年级下学期中考全真模拟数学试题

株洲景炎学校2021—2022学年度第二学期九年级中考全真模拟考试数学试卷 时量：120分钟 满分:150分 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 北京冬奥会将于2022年在北京举行，届时将需要200000名城市志愿者和50000名赛会志愿者，数250000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩固定，这里所用到的几何原理是（ ） A. 两点之间距离最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知 在轴上，则点坐标为（ ）． A. （0，2） B. （4，0） C. （0，4） D. （3，0） 6. 如图，在数轴上A，B，C，D四个点所对应的数中是不等式组的解的是（ ） A. 点A对应的数 B. 点B对应的数 C. 点C对应的数 D. 点D对应的数 7. 近期，某社区的“党建＋”邻里中心组织居民进行核酸检测，每天安排的志愿者人数如图所示，统计数据后，工作人员发现星期三实际上有21位志愿者，那么下列关于平均数和中位数的变化情况的叙述中，正确的是（ ） A. 平均数增加了1，中位数不变 B. 平均数增加了1，中位数增加了1 C. 平均数增加了5，中位数增加了1 D. 平均数增加了1，中位数增加了5 8. 《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的每3家共取一头，恰好取完．问城中有多少户人家？（ ） A. 55户 B. 65户 C. 75户 D. 85户 9. 如图，边长为的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点所经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 10. 在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”P的可能性最大的线路是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 若m－1与－3互为相反数，则m的值为_______． 12. 分解因式：______． 13. 一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是___． 14. 如图，菱形OABC的顶点A，B，C在上，过点B作的切线交OA的延长线于点D．若的半径为1，则BD的长为_______ ． 15. 用4个全等的正八边形拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为__________． 16. 若，则代数式的值等于__________． 17. 如图，平行于y轴的直线与函数y1（x＞0）和y2（x＞0）的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线y2于点C，连接CD，若OCD的面积为2，则k＝_______． 18. 《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为______ 三、解答题（本题共8小题，共78分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，四边形是边长为1的正方形，点E在边上运动，且不与点A和点D重合，连接，过点C作交的延长线于点F，交于点G． （1）求证：； （2）当时，求的长． 22. 某中学600名学生参加了“让青春飞扬”知识竞赛．竞赛组委会从中随机抽取了部分学生的成绩（得分都是整数，最高分98分）作为样本进行统计分析，并绘制成抽样分析分类统计表和频率分布直方图（如表和图，部分数据缺失）．试根据所提供的信息解答下列问题： 表1：抽样分析分类统计表 成绩范围 x＜60 60≤x＜80 x≥80 成绩等第 不合格 合格 优良 频率 0.5 平均成绩 55 a b （1）本次随机抽样调查的样本容量是_______； （2）试估计全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数； （3）若本次随机抽样的样本平均数为79，又表1中b比a大15，试求出a、b的值． 23. 如图，是某市环城路的一段，，，都是南北方向的街道，其与环城路的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东方向，点B的北偏东方向上，，． （1）求B，D之间的距离； （2）求C，D之间的距离． 24. 如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求线段的长． 25. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴、轴分别交于、两点． （1）若点的横坐标为，求的值； （2）如图，若，求、两点的坐标； （3）在（2）的条件下，将一直角三角板的直角顶点放在反比例函数图象的段上滑动，直角边始终与坐标轴平行，且与线段分别交于、两点，设点的横坐标为，的长为．问：是否存在点，使的长为，存在请求出符合条件的的坐标，不存在请说明理由． 26. 已知二次函数与x轴交于和两点，且（），交y轴于点C，顶点为D． （1），， ①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标； ②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”； （2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲景炎学校2021—2022学年度第二学期九年级中考全真模拟考试数学试卷 时量：120分钟 满分:150分 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 北京冬奥会将于2022年在北京举行，届时将需要200000名城市志愿者和50000名赛会志愿者，数250000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：根据科学记数法的表示形式，可以得到 故选D． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，熟记科学记数法的表示方法是解题的关键． 3. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩固定，这里所用到的几何原理是（ ） A. 两点之间距离最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：所用到的几何原理是三角形的稳定性； 故选D． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式的相关运算法则进行计算判断即可． 【详解】解：A选项中，因为，所以A中计算错误，不符合题意； B选项中，因为，所以B中计算错误，不符合题意； C选项中，因为，所以C中计算正确，符合题意； D选项中，因为，所以D中计算错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】熟记“整式的相关运算法则和乘法的完全平方公式”是解答本题的关键． 5. 已知 在轴上，则点坐标为（ ）． A. （0，2） B. （4，0） C. （0，4） D. （3，0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据x轴上的点纵坐标为0的特征求出a值，即可得出答案． 【详解】解：在轴上， ， 解得：， ∴， ∴点坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查点的坐标，正确掌握x轴上点的坐标特征是解题的关键． 6. 如图，在数轴上A，B，C，D四个点所对应的数中是不等式组的解的是（ ） A. 点A对应的数 B. 点B对应的数 C. 点C对应的数 D. 点D对应的数 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，然后判断即可得出答案． 【详解】解∶ 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解为， ∴在数轴上B点所对应的数是不等式组的解． 故选∶B． 【点睛】本题考查了解不等式组和数轴上点的特征，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 7. 近期，某社区的“党建＋”邻里中心组织居民进行核酸检测，每天安排的志愿者人数如图所示，统计数据后，工作人员发现星期三实际上有21位志愿者，那么下列关于平均数和中位数的变化情况的叙述中，正确的是（ ） A. 平均数增加了1，中位数不变 B. 平均数增加了1，中位数增加了1 C. 平均数增加了5，中位数增加了1 D. 平均数增加了1，中位数增加了5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条形统计图读出数据，然后利用平均数、中位数的计算公式计算即可解答． 【详解】解：平均数增加了：， 原数据从小到大排列为：16，16，20，22，26，中位数为20， 新数据从小到大排列为：16，20，21，22，26，中位数为21，则中位数增加了1， 故选：B． 【点睛】本题考查了平均数与中位数的求法，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．解题的关键是中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会求错． 8. 《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的每3家共取一头，恰好取完．问城中有多少户人家？（ ） A. 55户 B. 65户 C. 75户 D. 85户 【答案】C 【解析】 【分析】设城中有户人家，由题意列一元一次方程，解一元一次方程即可解题． 【详解】解：设城中有户人家，根据题意得， 解得 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9. 如图，边长为的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点所经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正六边形的性质及正六边形中心的运动轨迹长．首先求得从B到时，圆心O的运动路线与点F运动的路线相同，即是的长，又由正六边形的内角为，求得所对的圆心角为，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵正六边形的内角为， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形在桌子上滚动(没有滑动)一周，则它的中心O点所经过的路径长为： ， 故选：D． 10. 在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”P的可能性最大的线路是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意即可得出结论． 【详解】解：B、D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；A、B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过.A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路． 故选：B． 【点睛】本题主要考查学生的细心程度，认真分析是解决本题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 若m－1与－3互为相反数，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由m－1与－3互为相反数，可得 再解方程即可． 【详解】解： m－1与－3互为相反数， 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是相反数的含义，一元一次方程的应用，掌握“互为相反数的两个数的和为0”是解本题的关键． 12. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】先整理原式为，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 13. 一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是___． 【答案】． 【解析】 【详解】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是=．故答案为． 考点：列表法与树状图法． 14. 如图，菱形OABC的顶点A，B，C在上，过点B作的切线交OA的延长线于点D．若的半径为1，则BD的长为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质、圆的切线、等边三角形的判定和性质及锐角三角函数来解决该题． 【详解】如图，连接， 在菱形中，， ， ， 为等边三角形． 是圆的切线， ， ， ， 在中，， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、圆的切线、等边三角形的判定和性质及锐角三角函数，解题的关键是：综合运用所考查的知识点，在中，利用锐角三角函数知识来求边长． 15. 用4个全等的正八边形拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据正六边形的一个内角为120°，可求出正六边形密铺时中间的正多边形的内角，继而可求出n的值． 【详解】解：两个正六边形拼接，一个公共点处组成的角度为240°， 故如果要密铺，则中间需要一个内角为120°的正多边形， 而正六边形的内角为120°，所以中间的多边形为正六边形， 故n=6. 故答案为6． 【点睛】此题考查了平面密铺的知识，解答本题的关键是求出在密铺条件下中间需要的正多边形的一个内角的度数，进而得到n的值，难度不大． 16. 若，则代数式的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，运用整体代入求值法，整体代入求值法是将已知条件适当变形，然后作为一个整体，代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法．由已知条件 可得 ，将代数式 利用平方差公式变形后整体代入求值． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ． 故答案为：． 17. 如图，平行于y轴的直线与函数y1（x＞0）和y2（x＞0）的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线y2于点C，连接CD，若OCD的面积为2，则k＝_______． 【答案】8 【解析】 【分析】设A（m，），则B（m，），D（m，），C（n，），由得出，再根据求解即可得到答案. 【详解】解：设A（m，），则B（m，），D（m，），C（n，）， ∵， ∴， 又∵ ∴ 解得 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数比例系数的几何意义，函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 18. 《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据弧田的面积公式列出关于“矢”的方程求出“矢”长，设圆的半径为米，利用垂径定理和勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设矢长为米， 由题意可得，， 整理得， 解得（不合题意，舍去） ∴矢长为米， 设圆的半径为米， 圆心到弦的距离为米， ∵“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差． ∴,即， 如图，连接过点作， ∵，米， ∴米 在中，， ∴， 解得米， 即弧田弧所在的圆的半径为米． 三、解答题（本题共8小题，共78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先通过约分和通分，进行化简，再代入求值，即可求解． 【详解】解：原式= = =， 当时，原式=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的通分和约分以及二次根式分母有理化，是解题的关键． 21. 如图，四边形是边长为1的正方形，点E在边上运动，且不与点A和点D重合，连接，过点C作交的延长线于点F，交于点G． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质推导出，，，然后利用证明结论即可； （2）证明得到，进而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，即， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，解得， ∴． 22. 某中学600名学生参加了“让青春飞扬”知识竞赛．竞赛组委会从中随机抽取了部分学生的成绩（得分都是整数，最高分98分）作为样本进行统计分析，并绘制成抽样分析分类统计表和频率分布直方图（如表和图，部分数据缺失）．试根据所提供的信息解答下列问题： 表1：抽样分析分类统计表 成绩范围 x＜60 60≤x＜80 x≥80 成绩等第 不合格 合格 优良 频率 0.5 平均成绩 55 a b （1）本次随机抽样调查的样本容量是_______； （2）试估计全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数； （3）若本次随机抽样的样本平均数为79，又表1中b比a大15，试求出a、b的值． 【答案】（1）80 （2）240人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据成绩在的频数和频率即可求出样本容量； （2）用学校的总人数乘以样本中成绩等第为优良的学生人数占比即可得到答案； （3）根据平均数的定义结合已知条件构建方程组求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：成绩在的人数为：（人）， ∴样本容量=40÷0.5=80， 故答案为：80； 【小问2详解】 解：（人）， ∴估计全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数为240人； 【小问3详解】 解：由题意得：， 解得． 【点睛】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，样本容量，平均数，二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识． 23. 如图，是某市环城路的一段，，，都是南北方向的街道，其与环城路的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东方向，点B的北偏东方向上，，． （1）求B，D之间的距离； （2）求C，D之间的距离． 【答案】（1）之间的距离为； （2）C，D之间的距离． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，以及方向角的定义即可求出根据等角对等边，即可证得即可求解； （2）根据等角对等边即可证得 然后根据三角函数即可求得的长． 【小问1详解】 解：如图，由题意得， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ． ∴ ∴为等腰三角形， ∴ 即之间的距离为． 【小问2详解】 解：过B作，交其延长线于点O， 在中， ∴ 在中， ∴． 即C，D之间的距离． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，构造直角三角形，用三角函数来解决问题是关键． 24. 如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求线段的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的判定，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键． （1）由直径所对的圆周角为直角得到为直角，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到与垂直，即可得证； （2）利用勾股定理求出的长，进而求出，证明；得到，则． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵圆心O在上， ∴是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解： 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，，即， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∴． 25. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴、轴分别交于、两点． （1）若点的横坐标为，求的值； （2）如图，若，求、两点的坐标； （3）在（2）的条件下，将一直角三角板的直角顶点放在反比例函数图象的段上滑动，直角边始终与坐标轴平行，且与线段分别交于、两点，设点的横坐标为，的长为．问：是否存在点，使的长为，存在请求出符合条件的的坐标，不存在请说明理由． 【答案】（1） （2），； （3）存在点或 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，再代入一次函数解析式，求出的值即可； （2）设，，且，，过点作轴于点，过点作轴于点，求出的坐标，进而求出，推出，得到，，推出，证明，得到，进而求出的值即可； （3）先求出一次函数解析式，进而求出点坐标，证明，得到，设，则，，根据比例式进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ，， 把，代入，得， 解得：， 故的值为； 【小问2详解】 设，，且，， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则，，，， ， 当时，， 解得：， 当时，， ，， ，， ， 轴，轴，轴轴， 轴， ， ， ，， ，， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，代入得：， ，， ，， ，； 【小问3详解】 存在点，使的长为．理由如下： 把代入，得， 解得：， ， 当时，，当时，， ，， 在中，， 直角三角板的直角边始终与坐标轴平行， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， 解得：或4， 或； 故存在点或，使的长为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 26. 已知二次函数与x轴交于和两点，且（），交y轴于点C，顶点为D． （1），， ①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标； ②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”； （2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足，求的值． 【答案】（1）①对称轴为直线，顶点坐标为； ②证明：设， 令，则，整理得， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根， 故存在两个点P，且点P的横纵坐标互为相反数， 故此二次函数有两个不同的“零和点”； （2） 【解析】 【分析】（1）先由已知得到，①根据二次函数的性质求解即可；②设，令，得到，证明该方程有两个不相等的实数根即可解答； （2）先由题意得到且，顶点D的坐标为，，，再求得直线的表达式为得到，证明得到，则，则整理得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：当，，时，， ①该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵二次函数与x轴交于和两点，且（），交y轴于点C，顶点为D． ∴且，顶点D的坐标为， 令，由得，， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 令，由得，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 则， 即 整理，得， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $