湖南花垣县华鑫教育集团2025-2026学年下学期期中联考试题卷九年级数学

**基本信息** 以高铁里程、巴黎奥运会金牌、传统耧车等真实情境为载体，梯度设计考查数学抽象、几何直观与推理能力的九年级期中试卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|无理数、视图、旋转等基础概念|结合冬奥会领奖台考视图，体现空间观念| |填空题|6/18|科学记数法、因式分解、分式方程等|以正六边形金牌考内角计算，渗透文化传承| |解答题|8/72|几何证明、统计分析、函数新定义等|耧车问题融合解直角三角形（应用意识），二次积点函数考查创新思维（创新意识）|

2026春华鑫教育集团初中部期中联考试题卷 九年级数学 考试时间：120分钟；考试分数：120分； 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．在下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．下图为年冬奥会领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（   ） A． B．C． D． 3．某摄像机逆时针旋转记为，则顺时针旋转记为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．以下说法正确的是（   ） A．这组数据3，5，4，1，的中位数是4 B．两组身高数据方差分别为，，则乙更整齐 C．92，90，88，92，93，88的众数是92 D．太阳从东边升起是必然事件 6．若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 7．如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，若，则的度数是（   ） 第7题图 第8题图 A． B． C． D． 8．如图，这是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则△AOB的面积是（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 9．已知下列尺规作图：作一条线段的垂直平分线；作一个角的平分线：作一个角等于已知角．其中作法正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形的边在轴上，顶点在第一象限，现进行以下操作： （1）将△AOB沿轴向上平移2个单位长度，此时变为； （2）将（1）得到的三角形沿轴翻折，此时变为； （3）将（2）得到的三角形绕点旋转，此时变为； （4）将（3）得到的三角形沿轴向上平移4个单位长度，此时变为． 按照此规律，重复以上四步，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．截至2026年3月，全国高铁累计安全运行里程已超过8500000公里，成为全球最安全、最繁忙的高速铁路网络．8500000用科学记数法表示为______． 12．如图，在数轴上，点A表示，点B与点A分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点B表示的数是___________． 13．因式分解：______． 14．分式方程的解为______． 15．图1是2024年巴黎奥运会金牌，金牌正中间镶嵌了一块正六边形铁块，这个正六边形铁块的示意图如图2所示，则的度数是______． 16．已知实数a，b，c满足，甲、乙、丙、丁四人分别进行了推导，得出结论如下： 甲：a，b，c中至少有一个是无理数；乙：当时，； 丙：当a，b，c中有两个数相等时，；丁：二次函数与一次函数的图象有两个交点； 以上结论中，正确的是______． 三、解答题（共8题，满分72分） 17．（本题6分）计算： 18．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 19．（本题10分）如图，是⊙O的弦，经过圆心交⊙O于点，是⊙O上一点，． (1)判断与⊙O的位置关系并证明； (2)若⊙O的半径为4，求阴影部分的面积 20．（本题10分）某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)这次活动共调查了________人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为________；将条形统计图补充完整． (2)如果某个社区共有2000个人，那么选择微信支付的人约有________人； (3)“A：微信”，“B：支付宝”，“C：现金”，请用画树状图或列表法，求甲、乙两同学买书（只使用一种方式）付款方式相同的概率． 21．（本题10分）学校安排名学生外出研学一天，旅游公司有，两种型号的中巴车，满载时乘载情况如下表所示： 型车（辆） 型车（辆） 可乘载人数（名） (1)求，两种型号的中巴车满载时可乘载人数分别为多少； (2)公司现有型和型中巴车共辆可以调配使用，已知每辆型中巴车每天的租金元，每辆型中巴车每天的租金元． ①请通过计算说明学校共有几种租车方案（要求两种车都要租）； ②当总租车费用最少时，求租了多少辆型中巴车？ 22．（本题10分）耧（lóu）车（如图1）的起源可以追溯到西汉时期，由耧斗、耧腿、耧杆、播种架等部分组成．图2为示意图，已知耧腿，耧辕为，点B固定在上，且，耧把在点A的位置．当耧车不工作时，耧辕顶点D在地面上，此时．（结果精确到0.1cm，参考数据：，，，） (1)当耧车不工作时，求的度数． (2)当耧车不工作时，求点A到地面的距离. (3)如图3，当耧车工作时，点D被抬起，，求耧把从不工作到工作时端点A下降的高度． 23．（本题10分）将一次函数图象上的任意点的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积，得到新的点．点所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点函数，例如：若一次函数，则其二次积点函数为． (1)一次函数的图象经过点，，完成下列问题： ①求y的解析式；②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标； (2)猜想：一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由； (3)一次函数的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A，B，点C为，设△ABC外接圆的直径为d，若，求b的取值范围． 24．（本题10分）【定义】如图1，点是□ABCD的对角线的交点，过点作，，垂足分别为、．若时，我们称是□ABCD的中心距比． (1)【概念理解】如图2，当时，求证：□ABCD是菱形； (2)【性质探究】在图1中，□ABCD的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； (3)【拓展应用】如图3，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比．点在射线上，连接、，当时，直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $《九年级数学期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 D B B 0 0 C 1.D 【详解】解：√4=2， 由无理数的定义可得，四个数中，只有√2是无理数， 故选；D. 2.B 【详解】解：从正面看，该几何体是由三个矩形组成的图形，中间的矩形最高，左边的矩 形高度次之，右边的矩形最矮， 故此领奖台的主视图是一 3.B 【详解】题目规定逆时针旋转30°记为+30°，即逆时针旋转用正数表示，顺时针旋转与逆 时针旋转是一对具有相反意义的量， 顺时针旋转65°应记为-65° 4.B 【详解】A、d+ac=2ad,故A错误： B、d÷d=d,故B正确： C、a2×a3=a,故C错误： D、(2a2)=16a8,故D错误. 5.D 【详解】解：A、将数据从小到大排序为-2,1,3,4,5，共5个数据，中位数为排序后第3个 数，即中位数为3， 该选项错误； B、方差越小，数据波动越小，越整齐，且S=0.03<S2=0.3, “甲比乙更整齐，该选项错误； C、这组数据中88和92都出现2次，出现次数最多， 众数为88和92，该选项错误： D、必然事件是一定会发生的事件，太阳从东边升起是一定会发生的自然规律， 答案第1页，共14页 该选项正确。 6.D 【详解】解：代数式x+3 有意义， x-1 +3≥0，x-1≠0 ∴x≥-3且x≠1. 7.B 【详解】解：如图， 根据折叠性质可知：∠2+∠3=∠4， 根据长方形对边互相平行，得A+∠4=180°，1=∠3=60°， 即∠1+∠3+∠2=180°， .∠2=180°-4-∠3=180°-60°-60°=60°. 8.A 【详解】解：A(x,y), ..OB=x,AB=y, ®点A为反比例函数y=图象上一点 …xy=12, 1 1 ∴S4B=)AB-OB=2xy=)×12=6. 2 2 2 故选：A 9.C 【详解】解：由作图可知，作图正确的有②③， 故选：C. 10.B 【详解】解：如图，过A作AC⊥y轴于C, 答案第2页，共14页 3 B 2 1 3210234 -2 .∠AC0=90°， △AOB是等边三角形，边长为2， ∠AOB=60°，AO=2, .∠OAC=30°， 40C=140=1, 21 ∴AC=√A02-OC2=V3, ∴点A的坐标为(3,1) 第1步操作后点A的坐标是(3,3)， 第2步操作后点A的坐标是(-V3,3), 第3步操作后点A的坐标是(3,3)， 第4步操作后点A4的坐标是(3,1). 每4步操作为一个循环。 ×65÷4=16…1, ∴点A5的坐标为（√3,3）. 11.8.5×106 【详解】解：将8500000转变为满足1≤d<10的形式，可得a=8.5,原数的小数点向左移 动了6位，因此n=6,即8500000=8.5×105. 12.-√2 【详解】解：点A表示√2，点B与点A分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等， 点B表示的数是-√ 13.a(a+2)(a-2) 答案第3页，共14页 【详解】解：d-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2). 14.x=6 【详解】解： 12 x-3x 去分母得：x=2(x-3) 去括号得：x=2x-6 移项合并得：-x=-6 解得：x=6 检验：当x=6时，x(x-3)=6×(6-3)=18≠0 ∴原分式方程的解为x=6. 15.60°160度 【详解】解：∠I是正六边形的外角， <1=360 =60° 6 16.丁 【详解】解：(a-b)=ab, .a2 -2ab+b2 ab a2+b2=3ab, 又(a-b)2=ab=c, ..(a+b)=(a-b)+4ab=ab+4ab=5ab=5c. 甲：当a=b=c=0时，满足(a-b)=ab=c,且a,b,c均为有理数，故甲结论错误； 乙：当c=5时，(a+b)=5c=25,可得a+b=±5，故乙结论错误： 丙：当a=c时，由c=ab得a=ab, 若a≠0，则b=1, 将b=1代入(a-b)2=ab得：(a-1)=a, 整理得a2-3a+1=0,解得a=3社5 此时c=a≠0，存在两个数相等但c≠0的情况， 2 故丙结论错误； 答案第4页，共14页 y=x2+bx-c 丁：联立 y=+1 消去y并整理得x2+(b-a)x-(c+1)=0, .△=(b-a}+4(c+1), 又(a-b)=c, .△=c+4(c+1)=5c+4, c=(a-b)≥0， .△=5c+4≥4>0， 该一元二次方程有两个不相等的实数根，即两个函数图象有两个交点，故丁结论正确 17.0 【详解】解：原式-1+22-2x5+5-1-4 =1+4-5+√5-1-4(4分) =0 (6分) 18. :月 【详解】解：(x-y)(2x-y)-(x+y)+5y =2x2-xy-2.xw+y2-（x2+2xy+y2)+5xy =2.x2-y-2.xy+y2-x2-2xy-y2+5xy =(2x2-x2)+(-wy-2xw-2xy+5xw)+(y2-y2) =x2, (4分) 当x=时， 武(} (6分) 19.(1)BC与⊙O相切，见解析 (2)见解析 答案第5页，共14页 【详解】(1)解：BC与⊙O相切，证明如下： 连接OB, .BD=BD' .∠A=∠BED, ∠ACB=∠BED=30°， .∠A=∠ACB=30°. .OA=OB, .∠A=∠ABO=30° ∠BOC=∠A+∠ABO=60°， ∴∠OBC=180°-∠ACB-∠BOC=90°，即OB⊥BC, .BC与⊙O相切. (5分) (2)解： 由(1)知△OBC为直角三角形，且∠OBC=90 。 .·⊙0的半径为4，即OB=4, 在Rt△OBC中，∠C=30°， .BC= OB 4 tan30 =4V3。 3 :SAOBC= 2×OB×BC=1 ×4×4v3= 83 .∠BOD=60°， ·S形e0BD= 60m×428π 360 3 S月影=Sa0BC-S形OBD=8V3-8T 39 (10分) 20.(1)200,81°，条形统计图见解析 (2)600 (3)见详解（每空2分，作图2分） 【详解】(1)解：本次活动调查的人数为：50÷25%=200（人），(2分) 使用“支付宝”支付方式的占比为：45÷200x100%=22.5%, 扇形圆心角的度数为：360°×22.5%=81°.(4分) 条形统计图见解析 (6分) 答案第6页，共14页 使用“微信支付方式的人数为：200-30-45-50-15=60（人）， 补全条形图如图所示： 个人数 60- 60 50 45 45 30 30 微 支 银 现 其 支付方式 信 付 派 他 宝 卡 (2)样本中使用微信”支付方式的百分比为：60÷200x100%=30%, 由此可以估计2000人中最喜欢使用“微信”支付方式的人数也是30%， 即2000×30%=600（人）. 答：估计2000人中最喜欢使用“微信”支付方式的人数是600人. (8分) 解：(3)根据题意，画出树状图如下： 甲 C 乙 A B CAB CA B C 甲、乙两同学买书付款方式相同的的可能性只有3种， 所以P(付款方式相同)=)3 1 (10分) 21.(1)A种型号的中巴车满载时可乘载15人，B种型号的中巴车满载时可乘载22人 (2)①4种：②租了4辆A型中巴车时，总租车费用最少 【详解】(1)解：设A种型号的中巴车满载时可乘载x人，B种型号的中巴车满载时可乘 载y人， 3x+4y=133 根据题意得： (2分) 5x+2y=119' [x=15 解得： y=22” 答：A种型号的中巴车满载时可乘载15人，B种型号的中巴车满载时可乘载22人；(3 分) 答案第7页，共14页 (2)解：①设租用辆A型中巴车，则租用(10-m)辆B型中巴车， 根据题意得：15+22(10-m)≥192， (5分) 解得：m≤4， (6分) 两种车都要租，∴m>0,10-m>0,且m为正整数， .=122,3,4, 学校共有4种租车方案； (7分) ②设租了m辆A型中巴车，总租车费用为w元， 根据题意得：1w=500m+800(10-m)=-300m+8000, (9分) .-300<0, .m越大，w越小，由①可知，最大取4， .租了4辆A型中巴车时，总租车费用最少 (10分) 22.(1)18 (2)98cm (3)27.3cm 【详解】(1)解：~∠ABD=120°， .∠OBD=60°， ∠OBD+∠ODB=∠AOC,∠AOC=78°， .∠ODB=∠AOC-∠OBD=78°-60°=18°. (3分) (2)解：如图1，过点A作AN⊥OC, 耧腿 D 耧腿 耧辕 B 耧辕 B D地面 ON 地面O E C 图1 图2 在Rt△AON中，∠AON=78°， ·AN=OA:sin∠AON≈100x0.98=98(cm), (6分) (3)如图2，过点A作AE⊥OC, 在Rt△AOE中，∠AOE=45°， 1B=0A:sm∠A0B=1O0xY2 70.7(cm）, 2 答案第8页，共14页 AN-AE=98-70.7=27.3(cm). 答：耧把从不工作到工作时端点A下降的高度约为27.3cm. (10分) 23.(1)①y=x-2,②y=x2-2x,顶点坐标为(1，-1) (2)成立，理由见解析 (3)-6≤b≤-4或0≤b≤2 【详解】（1)解：①一次函数y=x+b(k≠0)的图象经过点(3,1)，(0，-2)， 根据恩意得6=-2， 3k+b=1 「k=1 解得b=-2 y的解析式为y=x-2.(2分) ②二次积点函数为y=x(x-2)=x2-2x, y=(x-1)2-1. 顶点坐标为(1,1). (5分) (2)解：二次积点函数为y=x(x+b)=2+bx, 由2+br=x+b,整理得kx2+(b-k)x-b=0, k≠0， △=(b-k)+4b=(b+k)≥0. 该方程总有实数根. y与其二次积点函数的图象必有交点.(7分) (3)解：y=2x+b的二次积点函数为y=x(2x+b)=2x2+bx, 由2x2+bx=2x+b,解得=1，为-号 交点A,B坐标分别为(1,2+b), 又C为(1,0)， △ABC为直角三角形. 答案第9页，共14页 .∠ACB=90°； AB的长为△ABC外接圆的直径d, ac's 当d=√5时，b=0或-4， 当d=2√5时，b=2或-6， 抛物线dP开口向上， 又抛物线d2的对称轴为b=-2, ①当b>-2时，dP随b的增大而增大， 当√5≤d≤2√5，即5≤d≤20时，0≤b≤2， ②当b<-2时，dP随b的增大而减小， 当V5≤d≤25，即5≤dP≤20时，-6≤b≤-4， 综上，-6≤b≤-4或0≤b≤2. (10分) 24.(1)见解析 (2②)存在，1=BC AB ®)的长为}或16或0N-15 17 3 【详解】（1)证明：方法1： 当元=1时，则OM=ON, .ABCD, ..OA=OC, A N B 在△ANO和△CMO中， 答案第10页，共14页 「∠ANO=∠CMO=90° ON=OM OA=OC :DANO≌CMO(HL), .∠BAC=∠BCA. .BA=BC, ABCD是菱形. (3分) 方法2： ABCD ..OA=OC, ∴.S△4B=SACOB, 4oN-scoM .元=1时，OM=ON, ..AB=BC, ABCD是菱形. M (2)解：ABCD ..OA=OC, ∴.S△4aB=SACOB, ON-C.OM 2 .A=ON_BC (6分) OM AB (3)解：由(2)可知，当2=2时，平行四边形两相邻边的比为2. ①如图1，当AD=2AB时，过点B作BG⊥AD于点G,过点A作AH⊥CD延长线于点 H, 答案第11页，共14页 P H E 四边形ABCD是平行四边形， 图1 AB=CD=5,AB∥CD, ∴.AD=BC=10,∠ADH=∠PAB, 在RUABG中，tan∠PAB=BC_4 AG3· .设BG=4a,AG=3a, AB=AG2+BG2=5a=5, 解得：a=1, .BG=4,AG=3, tm∠ADA-g=m∠PB-4 DH 同理可得，DH=6,AH=8, .CH=CD+DH=11, :∠AEB=∠ACD, ,·.tan∠AEB=tam∠ACD, BG AH EG CH 48 G1' BG= 2 ·AB=AG+BG=3+11_17 2-2 ②如图2，当AB=2AD时，过点B作BGLAD于点G,过点A作AH⊥CD延长线于点 H, 答案第12页，共14页 :四边形ABCD是平行四边形， G B 图2 AB=CD=5,AB∥CD, AD=3:∠ADH=∠PAB ∴.tan∠ADH=tan∠PAB, AH 4 DH 3' 同理可求，AH=2,DH= 3 313 ..CH=CD+DH=5+ 22 由①可知，BG=4,AG=3, :∠AEB=∠ACD, .tan∠AEB=tan∠ACD, BG AH …EG-CH' 42 G13, 2 EG=13, .AE=EG+AG=13+3=16 ③如图3，AC=2AD时，连接CD,过点D作DF⊥AB, 答案第13页，共14页 P E 'tan∠PAB=DF4 AF 3 0 B 图3 C .设DF=4a,AF=3a, .AD=AF2+DF2 =5a, :BD=AC=10a, :.BF=BD2-DF2 =(10a)-(4a)=2v21a, .AB=AF+BF=5, .3a+2W21a=5 解得：a=2W2i-3 15 BD∥AC, .∠BDE=∠CAD, 又：∠AEB=∠ACD, :.△EDB∽△CAD, DE BD AC AD DE 10a 10a5a .DE=20a, AB=AD+DE=25a=10N2-15 3 综上可知，业的长为7或16或10页5 (10分) 3 答案第14页，共14页