甘肃庆阳市环县第四中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试卷

环县四中2025~2026学年度第二学期期末考试 高一数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 4.本卷主要命题范围：湘教版必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.(2+)(2-i)= A.-3-41 B.3-4i C.-3+4i D.3+4i 2.已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.8,P(B)=0.3,则P(AUB)= A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 3.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它 们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是 A.直线及直线外一点确定一个平面 B.两条平行直线确定一个平面 C.四点确定一个平面 D.两条相交直线确定一个平面 4.如图，△ABC斜二测画法的直观图是△A'B'C',△A'B'C'的面积为6，那么△ABC的面积为 A.242 B.122 y Gi D.3√2 5.已知tana=2,则sin2a= A号 B- C 5 6.已知图锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为等的泉形，则该圆维的体积为 都 A.16√2x B.16/2n C.32√2x D.32/x 3 【高一数学 第1页（共4页）】 6444A 7.太行山在河南的最高蜂一济源斗顶，远近闻名.如图，某校高一年 级数学实践小组为了测其高度.在山脚A测得山顶P的仰角为a, 沿倾斜角为的斜坡向上走am到达B处，在B处测得山顶P的 仰角为Y,若a=45°，β=30°，y=75°，a=2000m,则山高|PQl为 (图中的点A,B,P,C,Q均在同一个铅直平面内) A.2000m B.2000√2m C.1000m D.1000√zm 8.如图，在正四面体ABCD中，点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则 异面直线EC与BD所成角的余弦值为 A.3 26 B.3 13 C.33 D.33 26 13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量a=(m,3),b=(1,一m),c=a十mb,若b⊥c,则实数m的值可以为 A.-1 B.0 C.1 D.2 10.从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是 A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D.“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,则下列说法正确的是 A.若ccos C=bcos B,则△ABC是等腰三角形 B.若a>b,则sinA>sinB C.若asin A十bsin B<csin C,则△ABC是钝角三角形 D.若△ABC不是直角三角形，则tanA十tanB十tanC=tan Atan Btan C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为 13.从2,4,5,7这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是 14.tan35°+tan100°-tan35°tan100°= 【高一数学第2页（共4页）】 6444A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知向量a=(1,0),b=(m,一1)，a-2b=(一3,2). (1)求|a+b: (2)设向量a,b的夹角为0，求cos0的值. 16.(本小题满分15分) 如图，已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC 的中点， (1)证明：OD∥平面PAC; (2)证明：平面POD⊥平面PBC. 17.(本小题满分15分) 近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了 一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加2次考核，一旦第一次 考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每 次考核通过的概率为了，教师乙每次考核通过的概率为子，且甲乙每次是否通过相互独立。 (1)求乙通过考核的概率； (2)求甲、乙两人考核的次数之和为3的概率。 【高一数学第3页（共4页）】 6444A 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(1十cosC)=ccos B一a, (1)求角C: (2若c=23,且与A+dB-4,求△ABC的面积。 19.(本小题满分17分) 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=BC=CC1=√2，AB⊥BC (1)求证：B1C⊥AC1; C (2)求B1C与平面AA,C,C所成的角的大小. 环县四中2025~2026学年度第二学期期末考试·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1.B(2+3）(2-i)=(2-i)2=3-4i.故选B. 2.D由A和C对立，可得P(A)+P(C)=1,解得P(A)=0.2, 又由随机事件A和B互斥可知P(AB)=0, P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB), 将P(A)=0.2,P(B)=0.3代入计算可得P(AUB)=0.5.故选D. 3.D 4.B由∠C0B'=则Same=合Ag0C'sn子=号AB.0C,如图，作 出还原后△ABC,则5=号AB·0C=号AB·20C'=AB·0C,故 S△A=2√2，所以SAAc=12V2.故选B. S△ABC 5.A sin 2a=2sin acos a= 。=a。=专故选入 2sin acos a= 6.B设该圆锥的底面圆半径为，所以2xr=6×受=4x,解得r=2,所以该圆锥的高为V-2=4V厄，所以 该圆锥的体积V=号x×2×4V2=16.故选B 3 7.A因为AQ∥BC,∠CBA=180°-3=180°-30°=150°，又因为Y=75°，所以∠PBA=360°-150°-75°= 135°，∠BAP=a-3=45°-30°=15°，所以∠APB=30°.在△ABP中，∠APB=30°，∠BAP=15°，∠PBA= 135,AB=20,由正弦定理得：nm-m2员Pm甲n=品0，解得AP=200E.在 AP AB Rt△PAQ中，AP=2000√2，∠PQA=90°，∠PAQ=45°，所以PQ=APsin∠PAQ=2000√2×sin45°= 2000,故选A. 8.C过点E作直线BD的平行线，交AB于点F,连接CF,不妨设AB=4,易得EF=3, CF=CE=√DC+DE-2DC·DEcos,∠CDE=√I3.在△CEF中，由余弦定理得 0s∠CEF=ECCT-3沿.所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为B 2EC·EF 36枚选C 26 9.ABC因为b⊥c,所以b·c=a·b+m1b|2=m-3m十m(1+m2)=0,解得m=1或0或-1. 10.BD“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥 事件，故A错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个 红球或两个红球”，可以同时发生，故B正确； “恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球， 不是对立事件，故C错误： “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个 发生，是对立事件，故D正确.故选BD 11.BCD因为ceos C=bcos B,由正弦定理得sin Ccos C=sin Bcos B,即sin2C=sin2B,所以2C=2B或2C+ 2B=π，即C=B或C+B=受，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误， .由正a弦定理得a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,a>b,∴.2 Rsin A>2 Rsin B,.sinA>sinB,故B正确； 因为asin A+nB<C,由正弦定理得(+<2，所以cosC=。+)兰<0，所以C>受，所以 2ab △ABC是钝角三角形，故C正确； 由△ABC不是直角三角形且A=不-(B+C),得anA=-1an(B+C)=二，名2DC,所以anA tanB+tanC=tan Atan Btan C,故D正确.故选BCD. 12.130π因为圆柱的底面圆的半径为5、高为8，所以圆柱底面圆的周长为10π，所以该圆柱的表面积为50π+ 80π=130π. 13.号从2,4,5,7这4个数中一次随机抽取两个数的所有基本事件有(2,4)，(2,5).(2,7)，(4,5).(4,7)，(5,7). 共6个，所取2个数之和为9的基本事件有(2,7)，(4,5)，共2个，故所求概率P=2= 63 4.-】am35m863m102-1,an35+tanl00=1+ian35anl00 .tan35°+tan100°-tan35°tan100°=-1. 15.解：(1)由a=(1,0),b=(m,-1)可得，a-2b=(1,0)-2(m,-1)=(1-2m,2)=(-3,2), 即1-2n=-3,=2,b=(2,-1),………4分 a十b=(1,0)+(2,-1)=(3,-1),|a+b=√/32+(-1)7=/10；…6分 (2)因a·b=(1.0)·(2,-1)=1X2-0X1=2,|a|=1,|b|=5,…9分 则o店9 …13分 16.解：(1)因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点，…2分 又因为点D为BC的中点，所以OD∥AC,…4分 因为OD吐平面PAC,ACC平面PAC,所以OD∥平面PAC;…7分 (2)因为点C在底面圆周上，所以PB=PC,又因为点D为BC的中点，所以BC⊥PD;…9分 因为AB为底面直径，所以BCLAC,又因为OD∥AC,所以BC⊥OD,…11分 且PD∩OD=D,PD,ODC平面POD,所以BC⊥平面POD,…13分 BCC平面PBC,所以平面POD⊥平面PBC. 15分 17.解：(1)乙第一次考核通过的概率三，…… 2分 乙第二次考核通过的概率：=(1-十)×子-是， …5分 ∴乙道过考核的概率p=A十A=子+是-： …7分 (2):甲考核1次，乙考核2次的概率p=号×(1-十)=子： …10分 甲考核2次，乙考核1次的概率=(1-号)×=日 ……13分 :甲，乙两人的考核次数和为3的概率p=P:十A=十言=是 5 …15分 18.解：(1)因为b(1+cosC)=ccos B-a,由正弦定理得sinB(1+cosC)=sin Ccos B-sinA=sin Ccos B- sin(B+C)=sin Ccos B-(sin Bcos C+sin Ccos B)=-sin Bcos C,......................................5 又sinB>0,所以cosC=-号 又0<C<π，所以C=2红： 3；……………………………………………………………………7分 (2)由c=23,则 b smA=smB=nC=4,故1一=11一=4 sin A a'sin B' 9分 所以1 以十1B=4十方=4，所以a十b=ab, 11分 又oC=+松)=-合整理得a++ab-12=0, 2ab 则(a+b)2-ab-12=(ab)2-ab-12=(ab-4)(ab+3)=0,……14分 解得a6=4.所以△ABC的面积为S=你inC=号X4Xsin经=尽。…17分 19.(1)证明：连接BC:与BC相交于点D,如图所示， 在直棱柱ABC-A,B,C:中，BB,⊥平面ABC,ABC平面ABC, BB1⊥AB, ………………………………2分 又AB⊥BC,BC∩BB,=B,BC,BB1C平面BB1C1C, 所以，AB⊥平面BB,C,C, 又，BCC平面BBC1C,∴.AB⊥B,C, 4分 ,BC=CC,∴.四边形BCC,B,为菱形，即B,C⊥BC, 又.'AB∩BC=D,且AB,BC,C平面ABC, .BC⊥平面ABC,又ACC平面ABC, B1C⊥AC.……7分 (2)解：取A,C,的中点E,连接B,E,CE.如图所示； E A1B1=BC1,A,E=EC1,∴.B1E⊥AC B 又，CC1⊥平面ABC,BEC平面ABC, CCLB1E、…10分 又AC∩CC,=C1,且A,C,CC1C平面AA,CC, .B,E⊥平面AACC, ∴.CE是CB1在面AA,CC内的射影，∠ECB1是CB:与平面AAC1C所成角的平面角.…13分 .在Rt△CEB1中，易知B1E=1,CB=2, n∠BCB,-8-合∠BCB=30 即CB与平面AAC1C所成的角的大小为30°.… …………17分