2.4　一元二次方程的应用 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程在行程、动点问题中的应用，通过回顾列方程解实际问题的关键环节导入新课，以“审设列解验答”步骤为支架，衔接过往方程应用经验，引导学生探究新知。 其亮点在于以情境化例题（如海军基地补给船相遇、直角三角形动点面积）为载体，通过几何直观构建等量关系，发展推理能力与模型意识。采用步骤化解析与分层训练，学生能提升实际问题解决能力，教师可依托丰富实例优化教学流程。

第二章　一元二次方程 4　一元二次方程的应用 第2课时　一元二次方程的应用（2）——销售、增长率等问题 　 1 商家定价、人口增长、面积变化……这些问题中常隐藏着一元二次方程. 这一课我们将继续探索从生活情境中抽象出方程，用一元二次方程解决 实际问题. 　 　用一元二次方程解决增长（降低）率等问题 列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长 率（降低率），以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是 一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. （1）增长率问题： 平均增长率公式为a（1＋x）n＝b（a为起始量，x为平均增长率，n为增 长次数，b为增长后的量）. （2）降低率问题： 平均降低率公式为a（1－x）n＝b（a为起始量，x为平均降低率，n为降 低次数，b为降低后的量）. 　 【例1】（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开 发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，求该景区这两年接待游客的年 平均增长率. 解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 根据题意得25（1＋x）2＝36， 解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（不符合题意，舍去）， ∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20％. 　 （2025•广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制 造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预 计7月产值将增至9 100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可 列出的方程为 ⁠. 2 500（1＋x）2＝9 100 　 【例2】某种药剂每瓶原售价为16元， 经过两次降价， 现在每瓶售价为4元，求平均每次降价的百分率. 解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得16（1－x）2＝4，解得x1＝0.5 ＝50％，x2＝1.5（不符合题意，舍去），故平均每次降价的百分率为50％. 　 （2024秋•宝安区校级月考）为执行国家药品降价政策，给人民 群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，已知两 次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ⁠. 解析：设该药品每次降价的百分率为x，根据题意，得100（1－x）2＝64， 解得x1＝0.2＝20％，x2＝1.8（不合题意，舍去）. 即每次降价的百分率是20％.故答案为20％. 20％ 　 　用一元二次方程解决销售问题 单件利润＝售价－进价（或成本） 总利润＝单件利润×销售量 利润率＝ ×100％＝ ×100％ 　 1. （降价后的售价－进价）×（降价前的销售量＋增加的销售量）＝总利润 2. （降价前的售价－下降价格－进价）×（降价前的销售量＋增加的销售 量）＝总利润 涨价销售 1. （涨价后的售价－进价）×（涨价前的销售量－减少的销售量）＝总利润 2. （涨价前的售价＋上涨价格－进价）×（涨价前的销售量－减少的销售 量）＝总利润 降价销售 　 【例3】（2025秋•宝安区期末）第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融 融”以中华白海豚为原型，吉祥物玩偶一经发售，深受大家喜爱.玩偶进价 为每个45元，当售价为65元时，平均每周可售出200个.经调查发现，该玩偶 单个售价每降低1元，每周可多售出20个. （1）若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为 元； 若每个玩偶售价降低x元，则每周的销售量为 个（用含x 的代数式表示）； 18 （200＋20x） 　 （2）商店希望通过销售该玩偶实现平均每周4 500元的盈利，则每个玩偶售 价应降价多少元？ 解：根据题意得（65－x－45）（200＋20x）＝4 500， 整理得x2－10x＋25＝0，解得x1＝x2＝5. 答：每个玩偶售价应降价5元. 　 某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每 件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … （1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； 解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）， 将（25，15），（28，12）代入y＝kx＋b，得 解得 ∴y与x之间的函数表达式为y＝－x＋40. 　 （2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价. 解：根据题意，得xy＝300，即x（－x＋40）＝300， 整理得x2－40x＋300＝0，解得x1＝10，x2＝30. 答：每件玩具的售价为10元或30元. 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … 　 1. （2025秋•龙岗区期末）据统计，2024年某新能源汽车在深圳销售约为12 万辆，预计到2026年底在深圳的销量将达到27万辆.设这两年该新能源汽车在 深圳的年平均增长率为x，则可列方程为（　A　）. A. 12（1＋x）2＝27 B. 12（1＋2x）＝27 C. 12＋12（1＋x）＋12（1＋x）2＝27 D. 12（1－x）2＝27 A 　 2. （2024春•福田区校级期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车 的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽 车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价 的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　A　）. A. 23（1－x）2＝18.63 B. 18.63（1＋x）2＝23 C. 18.63（1－x）2＝23 D. 23（1－2x）＝18.63 A 　 3. 某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6 000元，则每千克应该涨价（　D　）. A. 15元或20元 B. 10元或15元 C. 10元或20元 D. 5元或10元 D 　 4. （2025秋•龙华区期末）经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每 天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件.该款小商品降价 多少元时，可使平均每天销售利润达到6 250元？设每件小商品降价x元，则 可列方程为 ⁠. （30－x）（200＋10x）＝6 250 　 5. （2025秋•龙岗区校级月考）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设 计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿 色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度 走红. 素材1 据统计，某电商平台2024年12月份“巳升升”的销售量是5万件， 2025年2月份的销售量是7.2万件. 素材2 某实体店“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元， 则每天能销售20件. 素材3 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣 传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存. 　 问题解决 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率. 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1 200元，求每件的售 价应降低多少元. 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题. 　 问题解决 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率. 解：设月平均增长率为x， 由题意得5（1＋x）2＝7.2， 解得x1＝－2.2（不合题意，舍去），x2＝0.2＝20％. 答：月平均增长率为20％. 　 解：（2）设每件的售价应降低y元，则每件的销售利润为（100－y－60） 元，每天的销售量为（20＋2y）件， 由题意得（100－y－60）（20＋2y）＝1 200， 整理，得y2－30y＋200＝0， 解得y1＝20，y2＝10（不符合题意，舍去）. 答：每件的售价应降低20元. 问题解决 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1 200元，求每件的售 价应降低多少元. 　 参考答案 【新课导学】 【例1】　解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 根据题意得25（1＋x）2＝36， 解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（不符合题意，舍去）， ∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20％. 变式训练1　2 500（1＋x）2＝9 100 【例2】　解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得16（1－x）2＝4，解 得x1＝0.5＝50％，x2＝1.5（不符合题意，舍去），故平均每次降价的百分 率为50％. 　 变式训练2　20％　解析：设该药品每次降价的百分率为x，根据题意，得 100（1－x）2＝64， 解得x1＝0.2＝20％，x2＝1.8（不合题意，舍去）. 即每次降价的百分率是20％.故答案为20％. 【例3】　解：（1）18　（200＋20x） （2）根据题意得（65－x－45）（200＋20x）＝4 500， 整理得x2－10x＋25＝0，解得x1＝x2＝5. 答：每个玩偶售价应降价5元. 　 变式训练3　解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）， 将（25，15），（28，12）代入y＝kx＋b，得 解得 ∴y与x之间的函数表达式为y＝－x＋40. （2）根据题意，得xy＝300，即x（－x＋40）＝300， 整理得x2－40x＋300＝0，解得x1＝10，x2＝30. 答：每件玩具的售价为10元或30元. 　 【随堂小测】 1. A　2.A　3.D 4. （30－x）（200＋10x）＝6 250 5. 解：（1）设月平均增长率为x， 由题意得5（1＋x）2＝7.2， 解得x1＝－2.2（不合题意，舍去），x2＝0.2＝20％. 答：月平均增长率为20％. 　 （2）设每件的售价应降低y元，则每件的销售利润为（100－y－60）元，每 天的销售量为（20＋2y）件， 由题意得（100－y－60）（20＋2y）＝1 200， 整理，得y2－30y＋200＝0， 解得y1＝20，y2＝10（不符合题意，舍去）. 答：每件的售价应降低20元. 　 $第二章　一元二次方程 4　一元二次方程的应用 第1课时　一元二次方程的应用（1）——行程、动点等问题 　 1 回顾过往的学习经验，利用方程可以解决很多实际问题，你还记得在列方程 解决实际问题的过程中有哪些关键的环节吗？今天我们一起探索一元二次方 程在解决行程问题、动点问题中的应用. 　 　　用一元二次方程解决行程、动点等问题 1. 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程 并检验解的合理性. 2. 利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 　 3. 解决应用题的一般步骤： 审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）； 设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）； 列（根据题目中的等量关系列出方程）； 解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答（写出答案，切忌答非所问）. 　 【例1】（根据教材第51页例1改编）如图，某海军基地位于A处，在其正南 方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标 C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点，一 艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西 方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰. （1）小岛D和小岛F相距多少海里？ 解：由题意可知，AB＝BC＝200海里. ∵D位于AC的中点，F位于BC的中点， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF＝ AB＝ ×200＝100（海里）. 答：小岛D和小岛F相距100海里. 　 （2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里，参考数据： ≈2.45） 解：设相遇时补给船航行了x海里， 则DE＝x海里，AB＋BE＝2x海里，由题意可知，AB⊥BC， 由（1）可知，DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB， ∴DF⊥BC， ∴∠DFE＝90°. ∵F位于BC的中点， ∴CF＝ BC＝100海里， ∴EF＝AB＋BC－（AB＋BE）－CF＝（300－2x）海里， 在Rt△DEF中，由勾股定理得x2＝1002＋（300－2x）2， 整理，得3x2－1 200x＋100 000＝0， 解得x1＝200－ ≈118.3，x2＝200＋ （不合题意，舍去）. 答：相遇时补给船航行了约118.3海里. 　 如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速 度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向 前进，那么最快经过多少小时，甲、乙两人相距6千米？ 解：设经过x小时，甲、乙两人相距6千米，根据题意可得，BC＝（10－ 16x）千米，DC＝12x千米. ∵BC2＋DC2＝BD2， ∴（10－16x）2＋（12x）2＝62，解得x1＝x2＝0.4. ∴最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6千米. 　 【例2】（根据教材P54习题2.4第2题改编）如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，AC＝8 m，BC＝6 m，点P，Q同时由C，B两点出发分别沿CA， BC方向向点A，C匀速移动（一个点到达终点时另一个点也停止运动）， 点P，Q的速度分别是2 m/s和1 m/s，经过几秒△PCQ的面积是Rt△ABC面 积的 ？ 解：设经过x s △PCQ的面积是Rt△ABC面积的 ， 根据题意，得 ×2x（6－x）＝ × ×8×6. 整理，得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4. 答：经过2 s或4 s，△PCQ的面积是Rt△ABC面积的 . 　 （2025秋•龙岗区期中）如图，在矩形ABCD中，AD＝16 cm， AB＝12 cm，点P，Q分别是边AD，BC上的动点，点P，Q同时出发，点 P从点D出发以2 cm/s的速度向点A移动，一直到达点A为止，点Q从点B出 发以1 cm/s的速度向点C移动，则当点P和点Q的距离是13 cm时，P，Q两 点运动了多长时间？ 　 解：16÷2＝8（s）. 过点P作PE⊥BC于点E，则PE＝12 cm，如图所示. 当运动时间为t（0≤t≤8）s时，DP＝2t cm，BQ＝t cm， CQ＝（16－t） cm，QE＝｜16－t－2t｜＝｜16－3t｜ cm， 根据题意得PE2＋QE2＝PQ2，即122＋（16－3t）2＝132， 整理得（16－3t）2＝25，解得t1＝ ，t2＝7， ∴P，Q两点运动了 s或7 s. 　 1. 九年级（3）班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共2 070张，如 果设九年级（3）班有x个学生，则可列方程为（　B　）. A. x（x－1）＝2 070 B. x（x－1）＝2 070 C. （x－1）2＝2 070 D. x（x＋1）＝2 070 B 　 2. （根据教材第52页随堂练习第1题改编）《九章算术》中有一题：“今有 二人同所立.甲行率五，乙行率二.乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会.问 甲乙行各几何.”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为 5，乙的速度为2.乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位）， 后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时甲、乙各走了多少 步？设甲、乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的 （　A　）. A A. （2x）2＋82＝（5x－8）2 B. （2x）2＋82＝（5x）2 C. （5x）2＋82＝（2x－8）2 D. （2x）2＝（5x－8）2＋82 　 3. 如图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小 正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖 纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则 所列方程是 ⁠. （30－2x）（40－2x）＝600 　 4. （根据教材第54页习题2.4第2题改编）如图，在Rt△ACB中，∠C＝ 90°，AC＝6 cm，CB＝8 cm，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿 AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 cm/s. 秒后△PCQ的 面积是Rt△ACB面积的一半. 2 解析：设x s后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半， 则 ＝ × ×6×8， 解得x1＝12（舍去），x2＝2. 故2 s后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半. 　 5. （2025秋•龙岗区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB ＝6 cm，BC＝8 cm. （1）点P从点A开始沿AB边向B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿 BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过 几秒，使△PBQ的面积等于8 cm2？ 　 解：设经过x s，使△PBQ的面积等于8 cm2， 则AP＝x cm，BQ＝2x cm， ∴BP＝AB－AP＝（6－x） cm. ∵∠B＝90°， ∴S△PBQ＝ BP•BQ＝8， 即 •2x（6－x）＝8，解得x＝2或x＝4. 答：经过2 s或4 s，使△PBQ的面积等于8 cm2. 　 5. （2025秋•龙岗区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB ＝6 cm，BC＝8 cm. （2）若点P沿射线AB方向从点A出发以1 cm/s的速度移动，点Q沿射线CB 方向从点C出发以2 cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ 的面积为1 cm2？ 　 解：①点P在线段AB上，点Q在线段BC上， 设经过y s，△PBQ的面积为1 cm2，0＜y≤4， 依题意得AP＝y cm，CQ＝2y cm. ∵AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴PB＝（6－y） cm，BQ＝（8－2y） cm， 由题意得S△PBQ＝ BP•BQ＝1， 即 （6－y）（8－2y）＝1， 解得y＝5＋ （舍去）或y＝5－ ， 故m＝5－ ； 　 ②点P在线段AB上，点Q在CB的延长线上， 设经过m s，△PBQ的面积为1 cm2，4＜m≤6， 依题意得AP＝m cm，CQ＝2m cm. ∵AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴PB＝（6－m）cm，BQ＝（2m－8）cm， 由题意得S△PBQ＝ BP•BQ＝1， 即 （6－m）（2m－8）＝1， 解得m＝5（符合题意）； 　 ③点P在AB的延长线上，点Q在CB的延长线上， 设经过n s，△PBQ的面积为1 cm2，n＞6， 依题意得AP＝n cm，CQ＝2n cm. ∵AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴PB＝（n－6） cm，BQ＝（2n－8） cm， 由题意得S△PBQ＝ BP•BQ＝1， 即 （n－6）（2n－8）＝1， 解得n＝5＋ 或n＝5－ （舍去）， 故n＝5＋ . 答：经过（5－ ）s或5 s或（5＋ ）s后，△PBQ的面积为1 cm2. 　 参考答案 【新课导学】 【例1】　解：（1）由题意可知，AB＝BC＝200海里. ∵D位于AC的中点，F位于BC的中点， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF＝ AB＝ ×200＝100（海里）. 答：小岛D和小岛F相距100海里. 　 （2）设相遇时补给船航行了x海里，则DE＝x海里，AB＋BE＝2x海里， 由题意可知，AB⊥BC， 由（1）可知，DF是△ABC的中位线，∴DF∥AB， ∴DF⊥BC，∴∠DFE＝90°. ∵F位于BC的中点，∴CF＝ BC＝100海里， ∴EF＝AB＋BC－（AB＋BE）－CF＝（300－2x）海里， 在Rt△DEF中，由勾股定理得x2＝1002＋（300－2x）2， 整理，得3x2－1 200x＋100 000＝0， 解得x1＝200－ ≈118.3，x2＝200＋ （不合题意，舍去）. 答：相遇时补给船航行了约118.3海里. 　 变式训练1　解：设经过x小时，甲、乙两人相距6千米，根据题意可得，BC ＝（10－16x）千米，DC＝12x千米. ∵BC2＋DC2＝BD2， ∴（10－16x）2＋（12x）2＝62，解得x1＝x2＝0.4. ∴最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6千米. 【例2】　解：设经过x s △PCQ的面积是Rt△ABC面积的 ，根据题意， 得 ×2x（6－x）＝ × ×8×6. 整理，得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4. 答：经过2 s或4 s，△PCQ的面积是Rt△ABC面积的 . 　 变式训练2　解：16÷2＝8（s）. 过点P作PE⊥BC于点E，则PE＝12 cm，如图所示. 当运动时间为t（0≤t≤8）s时，DP＝2t cm，BQ＝t cm，CQ＝（16－t） cm，QE＝｜16－t－2t｜＝｜16－3t｜ cm， 根据题意得PE2＋QE2＝PQ2，即122＋（16－3t）2＝132， 整理得（16－3t）2＝25，解得t1＝ ，t2＝7， ∴P，Q两点运动了 s或7 s. 　 【随堂小测】 1. B　2.A　3.（30－2x）（40－2x）＝600 4.2　解析：设x s后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半，则 ＝ × ×6×8， 解得x1＝12（舍去），x2＝2. 故2 s后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半. 　 5. 解：（1）设经过x s，使△PBQ的面积等于8 cm2， 则AP＝x cm，BQ＝2x cm， ∴BP＝AB－AP＝（6－x） cm. ∵∠B＝90°， ∴S△PBQ＝ BP•BQ＝8， 即 •2x（6－x）＝8，解得x＝2或x＝4. 答：经过2 s或4 s，使△PBQ的面积等于8 cm2. 　 （2）①点P在线段AB上，点Q在线段BC上， 设经过y s，△PBQ的面积为1 cm2，0＜y≤4， 依题意得AP＝y cm，CQ＝2y cm. ∵AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴PB＝（6－y） cm，BQ＝（8－2y） cm， 由题意得S△PBQ＝ BP•BQ＝1， 即 （6－y）（8－2y）＝1， 解得y＝5＋ （舍去）或y＝5－ ， 故m＝5－ ； 　 ②点P在线段AB上，点Q在CB的延长线上， 设经过m s，△PBQ的面积为1 cm2，4＜m≤6， 依题意得AP＝m cm，CQ＝2m cm. ∵AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴PB＝（6－m）cm，BQ＝（2m－8）cm， 由题意得S△PBQ＝ BP•BQ＝1， 即 （6－m）（2m－8）＝1， 解得m＝5（符合题意）； 　 ③点P在AB的延长线上，点Q在CB的延长线上， 设经过n s，△PBQ的面积为1 cm2，n＞6， 依题意得AP＝n cm，CQ＝2n cm. ∵AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴PB＝（n－6） cm，BQ＝（2n－8） cm， 由题意得S△PBQ＝ BP•BQ＝1， 即 （n－6）（2n－8）＝1， 解得n＝5＋ 或n＝5－ （舍去）， 故n＝5＋ . 答：经过（5－ ）s或5 s或（5＋ ）s后，△PBQ的面积为1 cm2. 　 $