第二章 一元二次方程【章末复习】（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的定义、解法、根的判别式、韦达定理及五大实际应用题型，通过“基础定义-解法体系-根的关系-实际建模”逻辑脉络，用知识框架图串联核心内容，如四种解法的适用条件与选用口诀，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“易错诊断+分层训练”复习模式，结合数学抽象能力（如定义判断中a≠0的强调）、运算能力（配方五步法规范训练）和模型意识（平均变化率等通用模型），如例3窗框面积问题用“夹逼法”估算培养数学眼光，韦达定理参数题强调Δ检验训练推理思维。这种设计让学生精准突破难点，教师可高效开展针对性复习。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 章末小结 第二章 一元二次方程 第二章 一元二次方程 全章复习讲义（完整版） 本章是初中代数核心重点，承接整式、分式运算，是后续二次函数学习的基础。主要包含：一元二次方程定义、四种解法、根的判别式、韦达定理、五大实际应用题型，是期中、期末必考重难点，计算与建模为核心考查方向。 一、一元二次方程基础定义 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 一般形式 $$ax^2+bx+c=0\ (a eq0)$$ - $$ax^2$$：二次项，$$a$$为二次项系数（$$a eq0$$是核心前提） - $$bx$$：一次项，$$b$$为一次项系数 - $$c$$：常数项 3. 易错判断要点 - 必须是整式方程，分式方程、根式方程不是一元二次方程 - 必须保证二次项系数$$a eq0$$ - 整理为一般式后，再判断次数和系数 二、一元二次方程的四种解法（由简到繁，择优选用） 1. 直接开平方法（2.2.1） 适用题型 无一次项，可化为平方等于常数的方程：$$x^2=p$$、$$(mx+n)^2=p$$ 根的规则 - $$p>0$$：两个不相等实数根 - $$p=0$$：两个相等实数根 - $$p<0$$：无实数根 核心优势 计算最快，无需复杂变形，是平方型方程首选解法。 2. 配方法（2.2.1+2.2.2） 适用题型 所有一元二次方程，多用于公式法推导、代数式最值问题。 标准五步法 1. 移项：常数项移到等式右侧 2. 化1：二次项系数不为1时，两边同除系数化为1 3. 配方：两边加「一次项系数一半的平方」 4. 整理：左边化为完全平方式，右边合并常数 5. 开方：直接开平方法求解 易错点 二次项系数不为1时，必须先归一再配方，且等式两边必须同时加常数。 3. 公式法（2.2.3） 万能通用解法，适用于所有有实数根的一元二次方程 1. 根的判别式 $$\Delta=b^2-4ac$$ - $$\Delta>0$$：两个不相等实数根 - $$\Delta=0$$：两个相等实数根 - $$\Delta<0$$：无实数根 2. 求根公式 $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ (\Delta\ge0)$$ 标准步骤 化一般式→确定$$a、b、c$$（带符号）→计算$$\Delta$$→代入公式→化简结果 4. 因式分解法（2.2.4） 考试首选最简解法，计算量最小 核心原理 若$$AB=0$$，则$$A=0$$或$$B=0$$ 常用分解方式 - 提公因式法：含公共因式的方程 - 平方差公式：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$ - 十字相乘法：二次三项式整数分解 禁忌 严禁两边直接除以含未知数的式子，会丢失根。 三、根与系数的关系（韦达定理 2.3） 1. 核心公式（前提：$$a eq0，\Delta\ge0$$） 若$$ax^2+bx+c=0$$两根为$$x_1、x_2$$，则： $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}，\ \ x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$ 2. 高频代数式变形（必背） - $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$ - $$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$ - $$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$ 3. 参数题型要求 含参数方程，利用韦达定理求参数后，必须用$$\Delta\ge0$$检验根的存在性。 四、一元二次方程实际应用（2.4 全题型总结） 1. 平均变化率问题 通用模型：$$A(1\pm x)^2=B$$ $$A$$初始量，$$x$$变化率，$$B$$最终量，增长取$$+$$，下降取$$-$$，负根一律舍去。 2. 行程与几何动点问题 设运动时间$$t$$，用含$$t$$的式子表示线段长度、路程；利用面积、勾股定理、路程差列方程，解后检验动点取值范围。 3. 营销利润问题（必考） 核心公式：总利润=单件利润×销售数量 建模模板：设涨价/降价$$x$$元→表示新售价、新销量→列利润方程。 取舍原则：尽快清库存选降价多的解，所有负解、超范围解舍去。 4. 传播倍增问题 两轮传播模型：$$(1+x)^2=总人数$$，只取正整数解。 5. 数字问题 合理设未知数，表示连续整数、两位数，根据和、积、平方关系列方程求解。 五、四种解法选用优先级（解题提速口诀） 优先因式分解，其次直接开方； 无法分解用公式，配方多用于最值。 六、全章高频易错汇总 - 忽略$$a eq0$$，误判一元二次方程 - 韦达定理两根和漏写负号 - 配方时只加左边、不加右边，或未先归一就配方 - 因式分解法随意除未知数，导致丢根 - 实际应用题不解后检验，保留负数、超范围解 - $$\Delta<0$$时强行代入公式求根 七、全章核心考点清单 1. 一元二次方程的识别与一般式变形 2. 四种解法的灵活选用与规范计算 3. 判别式判断根的情况、含参数取值范围 4. 韦达定理代数式求值、参数求解 5. 五大实际应用题建模与取值取舍 知识点1 一元二次方程的概念 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 注意：①都是整式方程， ②只含有一个未知数， ③未知数的最高次数是2。 知识点1 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式： ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)。 ax2 + bx + c = 0 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项 等号右边为0 若关于x的方程(m+1)xm²+1+2mx-3=0是一元二次方程，求m的值。 解：根据题意，得m²+1=2，解得m=1或m=-1。 因为二次项系数m+1≠0， 即m≠-1， 所以m=1。 知识点1 一元二次方程的概念 例1 知识点2 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。 判断一个数是不是方程的解：分别将这个数代入方程的两边并计算，若结果相等，则此数是方程的解，否则不是。 例2 “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力。定义：方程cx²+bx+a=0是一元二次方程ax²+bx+c=0的倒方程，其中a，b，c为常数(a≠0， c≠0) 。 根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程-4x²+3x+1=0的倒方程是 。 (2)若m是一元二次方程-6x²+x+1=0的倒方程的一个实数根， 求m³+m²-6m+2026的值。 解：(2)由题意可知方程-6x²+x+1=0的倒方程为x²+x-6=0。 因为m是方程x²+x-6=0的一个实数根， 所以m²+m-6=0， 所以m³+m²-6m+2026=m(m²+m-6)+2026=2026。 知识点2 一元二次方程的解 x²+3x-4=0 知识点3 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤： (1)审——审清题意，找出已知量与未知量之间的等量关系； (2)设——设出合适的未知数； (3)列——列出一元二次方程，并化为一般形式。 知识点3 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 估算一元二次方程ax²+bx+c=0的解(或近似解)： (1)先通过试值确定方程解的大致范围； (2)在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把m代入方程使得am²+bm+c<0，把n代入方程使得an²+bn+c>0，那么方程的解就在m与n之间。 (3)在m与n之间再取值，重复步骤(2)，可得到更加接近方程的解的数值。 “夹逼法” 有一根长为7.2m的木料，做成如图所示的窗框(宽<高)，当窗框的宽为多少时，这个窗户的面积为2m²?(精确到0.01，不考虑木料加工时的损耗和中间木框所占的面积) 解：设窗框的宽为x m， 则窗框的高为 m。 根据题意，得x·=2。 整理，得15x²-36x+20=0。 列表估算方程的解： 例3 知识点3 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 x 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … 1.5 1.6 15x²-36x+20 3.8 2.15 0.8 -0.25 -1 … -0.25 0.8 由表格，知0.8<x<0.9或1.5<x<1.6。 由宽<高，得x< ， ∴x<1.44，∴1.5<x<1.6不合题意，舍去。 继续列表计算： ∴0.87<x<0.88。当x=0.875时，15x²-36x+20≈-0.016， ∴0.87<x<0.875，∴x≈0.87。 因此，当窗框的宽约为0.87m时，这个窗户的面积为2m²。 知识点3 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 x 0.85 0.86 0.87 0.88 15x²-36x+20 0.237 5 0.134 0.033 5 -0.064 x 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … 1.5 1.6 15x²-36x+20 3.8 2.15 0.8 -0.25 -1 … -0.25 0.8 知识点4 用直接开平方法解一元二次方程 利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。 理论依据：平方根的意义。 适用范围：能转化为x²=n或(x+m)²=n(n≥0)的形式的方程。 根的表示： 对于方程x²=n，当n≥0时，x1=，x2=-。 对于方程(x+m)²=n，当n≥0时，x1=-m，x2=--m。 知识点5 用配方法解一元二次方程 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 配方法解方程的关键：在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即 知识点5 用配方法解一元二次方程 利用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一化：化二次项系数为1。 二配：配方，使原方程变为(x+m)²-n=0的形式。 三移：移项，使方程变为(x+m)²=n的形式。 四开：如果n≥0，就可以左右两边同时开平方，得x+m=±。 五解：方程的根为x=-m±。如果是解决实际问题，那么还要注意判断结果是否符合实际问题。 已知2x²+y²+4x-6y+11=0，x，y为实数，求xy的值。 解：2x²+y²+4x-6y+11=0， (2x²+4x)+(y²-6y)+11=0， 2(x²+2x)+(y²-6y)+11=0， 2(x²+2x+1-1)+(y²-6y+9-9)+11=0， 2(x²+2x+1)-2+(y²-6y+9)-9+11=0， 2(x+1)²+(y-3)²=0。 ∵(x+1)²≥0，(y-3)²≥0， ∴x+1=0，y-3=0， ∴x=-1，y=3， ∴xy=(-1)³=-1。 例4 知识点5 用配方法解一元二次方程 知识点6 用公式法解一元二次方程 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 一元二次方程的求根公式： 对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当b²-4ac≥0时，它的根是 = 知识点6 用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 一化：将一元二次方程化为ax²+bx+c=0。 二定：确定a，b，c的值。 三算：计算b²-4ac的值。 四解：若b²-4ac≥0，则将a，b，c的值代入求根公式=。 知识点6 用公式法解一元二次方程 根的判别式： b²-4ac叫作一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示。 Δ>0，方程有两个不相等的实数根。 Δ=0，方程有两个相等的实数根。 Δ<0，方程没有实数根。 已知关于x的方程(m+1)x²+2mx+m-3=0有实数根。求m的取值范围。 解：关于x的方程(m+1)x²+2mx+m-3=0有实数根，分两种情况讨论： ①当m+1=0且2m≠0，即m=-1时，原方程是一元一次方程， 此时原方程为-2x-4=0，必有实数根； ②当m+1≠0 时，原方程是一元二次方程， Δ=b²-4ac=(2m)²-4×(m+1)×(m-3)=8m+12≥0， 解得m≥-且m≠-1。 综上可知，当m≥-时，方程(m+1)x²+2mx+m-3=0有实数根。 例5 知识点6 用公式法解一元二次方程 知识点7 用因式分解法解一元二次方程 当一元二次方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。 一般步骤： (1)移项：将方程的右边化为0； (2)化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； (3)转化：令每个一次因式都为0，转化为两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解。 知识点7 用因式分解法解一元二次方程   配方法 （直接开平方法） 公式法 因式分解法 各自 特点 共性 将一元二次方程转化为(x+m)²=n的形式；是解一元二次方程的通法。 是配方法的一般 化，将a，b，c直接代入求根公式求解；是解一元二次方程的通法。 将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，只能求特殊形式的方程。 都进行了恒等变形；都运用了转化思想，即将一元二次方程转化为一次方程或可直接求解的形式，即“降次”。 知识点7 用因式分解法解一元二次方程 一元二次方程的解法选择思路： 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法； 2.若常数项为0 (ax2+bx=0)，应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0)，先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。 用适当的方法解下列方程： (1) 4(x+1)2-25=0； (2) (x-2)2=4x-2x2； (3) x2-x-1=0； (4) 2x²-5x+1=0。 解：(1)移项，得4(x+1)²=25。 两边同时除以4， 得 (x+1)²= 。 两边开平方，得 x+1=±， 所以x1=，x2=-。 例6 知识点7 用因式分解法解一元二次方程 (2)原方程可变形为(x-2)²+2x(x-2)=0。 因式分解，得(x-2)(x-2+2x)=0， 所以x-2=0， 或3x-2=0， 所以x1=2，x2= 。 用适当的方法解下列方程： (1) 4(x+1)2-25=0； (2) (x-2)2=4x-2x2； (3) x2-x-1=0； (4) 2x²-5x+1=0。 解：(3)二次项系数化为1，得x2-2x-2=0。 配方，得x²-2x+1-1-2=0， 即( x-1)²-3=0。 移项，得(x-1)²=3。 两边开平方，得x-1=±， 所以x1=1+， x2=1-。 例6 知识点7 用因式分解法解一元二次方程 (4)这里a=2，b=-5，c=1。 因为Δ=(-5)²-4×2×1=17>0， 所以x== 所以：x1= ，x2=。 知识点8 一元二次方程的根与系数的关系 如果x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，那么ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。 知识点8 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系： 如果一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根x1，x2，那么 ， 。 注意 应用根与系数的关系时要满足： (1)方程必须是一元二次方程(即a≠0)，且一定要化为一般形式； (2)方程必须有实数根，即b²-4ac≥0。 知识点8 一元二次方程的根与系数的关系 根与系数关系的常见的变形： ①； ②； = 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入。 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的两个实数根，其中x1=1，则x2= 。 -3 知识点8 一元二次方程的根与系数的关系 例7 已知关于x的一元二次方程x²+(2m+1)x+m²-2=0。 (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值。 (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1-x2)²+m²=21，求m的值。 解：(1)根据题意，得Δ=(2m+1)²-4(m²-2)≥0， 解得m≥-， ∴m的最小整数值为-2。 知识点8 一元二次方程的根与系数的关系 例8 已知关于x的一元二次方程x²+(2m+1)x+m²-2=0。 (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值。 (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1-x2)²+m²=21，求m的值。 解：(2)根据题意，得x1+x2=-(2m+1)，x1x2=m²-2。 ∵(x1-x2)²+m²=21， ∴(x1+x2)²-4x1x2+m²=21， ∴[-(2m+1)]²-4(m²-2)+m²=21。 整理，得m²+4m-12=0， 解得m1=2，m2=-6. ∵m≥-， ∴m的值为2。 知识点8 一元二次方程的根与系数的关系 例8 知识点9 一元二次方程的应用 数学问题( 一元二次方程) 实际问题 实际问题的解 抽象 寻找等量关系 数学问题的解 (一元二次方程的解) 解方程 解释 验证 知识点9 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤： (1)审：审清题意，找出等量关系； (2)设：设出未知数，用所设的未知数表示其他量； (3)列：列一元二次方程； (4)解：解一元二次方程； (5)验：检验所求的解是否符合题意，确定未知数的值； (6)答：作答。 知识点9 一元二次方程的应用 常见问题： 平均增长率(降低率)问题： a(1±x)n=b， x为平均增长(或降低)百分率， a是增长(或降低)前的量， b是增长(或降低)n次后的量。 几何图形面积问题：根据题意设出未知数，并用含该未知数的代数式表示相关线段，利用图形的面积公式列方程求解; 当涉及不规则图形时，可采用割补法(即利用图形面积的和差关系)或者通过平移、旋转转化为规则图形进行求解； 若问题中涉及直角三角形，则通常借助勾股定理列方程求解。 知识点9 一元二次方程的应用 常见问题： 商品销售问题：单件利润=售价-成本； 总销量=原销量±因售价变化增减的销量； 总利润=单件利润×总销量。 几何图形中的动点问题：解决此类问题主要从两方面入手: 一是审清题意，明确动点的起点、终点、路线、速度等; 二是用含时间t的代数式正确表示有关线段的长; 进而表示相关图形的面积，再根据题中给出的等量关系列出方程求解。 考点1 一元二次方程的有关概念 1. 下列方程中：； ； ； ； ，一元二次方程 有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 考试考法 34 2. 关于的一元二次方程 有一根为0,则 的值为( ) A A. 2 B. C. 2或 D. 3.把一元二次方程 化成一般 形式为________________. 返回 考试考法 35 考点2 一元二次方程的解法 4.用配方法解一元二次方程 ，得 到，从而解得方程的一根为1，则 ___. 3 【点拨】由可得， ， 即或 方程的一根为1，且，则 ， 即. 原方程为 ，整理,得 ，. . 返回 考试考法 36 5.解方程： （1） ； 【解】， . ， . 考试考法 37 （2） ；（配方法） ， . . . ， . （3） ； ， . ， . 考试考法 38 （4） . 原方程可化为 . ,, , . . , . 返回 考试考法 39 考点3 一元二次方程根的判别式 6. 关于的一元二次方程 的根的情况是 ( ) A A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 返回 考试考法 40 7. [2025内江] 若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是 ( ) C A. B. C. 且 D. 且 【点拨】 关于的一元二次方程 有 实数根，，且 ， 解得且 . 返回 考试考法 41 考点4 一元二次方程的根与系数的关系 8.[2025广安] 已知方程的两根分别为和 ， 则代数式 的值为____. 29 【点拨】 方程的两根分别为和 ， ,,， 返回 考试考法 42 9.关于的一元二次方程 有两个不同的实 数根，，且，则 ____. 【点拨】根据题意，得, . ，. . ，., 或 . 不合题意，舍去. . 返回 考试考法 43 $