精品解析：2026年7月 重庆市南开中学校 小升初考试数学题

重庆市南开中学校小升初考试数学题 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 小林绕操场走一圈需要20分钟，小玉绕操场走一圈需要30分钟，他们同时同地出发相背而行，_______分钟后相遇． 2. 瓶内装满水，倒出全部水的，然后再灌入同样多的酒精，又倒出全部溶液的，又用酒精灌满，然后再倒出全部溶液的，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的______%． 3. 如图中个方格点的两个点为端点，有_______种不同长度的线段． 4. A、B两地相距1000米．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间往返散步，第一次两人相遇时距中点100米．那么第二次相遇时距第一次相遇的地点有_______米． 5. 甲、乙、丙三队要完成，两项工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成工程所需要的时间分别是天，天，天．现在让甲队做工程，乙队做工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做工程若干天，然后再与甲队合做工程若干天．丙队与乙队合做了_______天． 6. 公园个人票每张5元，团体票每张30元，供不超过10人入园，买10张以上的团体票，可优惠，某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时又加了两个人，幸好两人每人都带了相同多的钱，这样147人刚好都能购票入园，这两人共带了_______元． 7. 一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，这个自然数是_______． 8. 一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余9名选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得分．结果，甲队选手平均得分，乙队选手平均得分，丙队选手平均得9分，那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各为_______． 9. 一个自然数除429，791，500所得的余数分别是，，，则的值是_______． 10. 特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为_________． 二、计算题．（每题4分，共28分） 11. 计算： 12. 计算：． 13. 脱式计算： 14. 计算：． 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 计算： ． 三、应用题（共42分） 18. 如图，是长方形，其中．并且F是线段的中点，G是线段的中点．求三角形（阴影部分）的面积． 19. 一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成时前来帮忙，待工程完成时离去，结果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半，如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做下去，将比计划推迟天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前6天完成，还知道乙的工作效率是丙的3倍，问：计划规定的工期是多少天？ 20. 是一个等边三角形跑道，D在A、B之间，且有，某日甲、乙、丙三人从A、B、C同时出发（如图所示），甲、乙按顺时针方向跑步，丙按逆时针跑步，当甲、丙第一次相遇时，乙正好走到B；当乙、丙第二次相遇在D时，甲走了2012米，那么的周长是多少米． 21. 若关于、的方程组的解满足，求的值？ 22. 一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ 23. 某超市将菠萝、蜜桔、芒果三种水果采用两种不同的方式搭配成礼盒出售，礼盒中装有菠萝、蜜桔各4千克；礼盒中装有2千克菠萝、4千克蜜桔、6千克芒果．礼盒每盒的售价是52元，利润率是，两种礼盒一共卖出64盒，每千克蜜桔的成本是芒果的3倍．当天盘点时，发现菠萝与蜜桔的成本价标签贴反了，这样，卖出的实际总成本比盘点时结算的成本少300元，那么实际总成本应是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市南开中学校小升初考试数学题 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 小林绕操场走一圈需要20分钟，小玉绕操场走一圈需要30分钟，他们同时同地出发相背而行，_______分钟后相遇． 【答案】 12 【解析】 【分析】把操场一圈的长度看作单位，先求出两人每分钟走的路程占总长度的分率，得到速度和，再利用总路程除以速度和得到相遇时间． 【详解】解：把操场一圈的长度看作单位， 小林的速度：，小玉的速度：， 两人的速度和：， 则相遇时间：（分钟）． 2. 瓶内装满水，倒出全部水的，然后再灌入同样多的酒精，又倒出全部溶液的，又用酒精灌满，然后再倒出全部溶液的，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的______%． 【答案】75 【解析】 【分析】本题主要考查了百分数的应用，先设容积为1，再分别求出每一次酒精的剩余量，即可得出答案． 【详解】设瓶子的容积是1，， ， ， 所以此时酒精占全部溶液的． 故答案为：75． 3. 如图中个方格点的两个点为端点，有_______种不同长度的线段． 【答案】 【解析】 【分析】设相邻两点距离为，线段长度平方为，其中，为横向与纵向间隔格数．列举时，的所有可能值，去除重复后计数即可． 【详解】解：设网格中相邻两点间的距离为，任意两点横向间隔为，纵向间隔为． 是的方格点阵， ，且，不同时为． 线段长度的平方为． 若的值不同，则线段长度不同． 分类讨论如下： 当时，可取，，，，，分别为，，，，，共种； 当时，可取，，，，，分别为，，，，，共种； 当时，可取，，，，分别为，，，，共种； 当时，可取，，，分别为，，，其中与，时重复，故新增种； 当时，可取，，分别为，，共种； 当时，可取，为，共种． 综上所述，不同长度的线段种数为种． 4. A、B两地相距1000米．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间往返散步，第一次两人相遇时距中点100米．那么第二次相遇时距第一次相遇的地点有_______米． 【答案】 【解析】 【分析】根据往返相遇的特点，从出发到第一次相遇两人共走1个全程，到第二次相遇共走3个全程，结合第一次相遇距中点的距离，先求出速度快的人第一次相遇走的路程，再算出第二次相遇时速度快的人一共走的路程，确定两次相遇点的位置，最后计算两点之间的距离即可． 【详解】解：设甲的速度比乙快， 第一次相遇时，甲、乙两人共走了1个全程， 甲走的路程为：（米），乙走的路程为：（米），即第一次相遇点距离B地400米， 从出发到第二次相遇，两人一共走了3个全程， 因此甲一共走的路程为：（米）， 此时甲走了一个全程后又从B地返回，走了（米），即第二次相遇点距离B地800米， 则两次相遇点的距离为：（米）， 若假设乙速度比甲快，同上可得，两次相遇点的距离为米， 综上可知：第二次相遇时距第一次相遇的地点有米． 5. 甲、乙、丙三队要完成，两项工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成工程所需要的时间分别是天，天，天．现在让甲队做工程，乙队做工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做工程若干天，然后再与甲队合做工程若干天．丙队与乙队合做了_______天． 【答案】 【解析】 【分析】把工程的工作量看作单位“”，先得到工程的工作量与两项工程的总工作量，再根据三队单独完成工程的时间得到各自的工作效率，由于三队全程同时工作，可先算出两项工程的总完成时间，再计算乙在总时间内完成的工作量，剩余工作量由丙完成，即可算出丙与乙合做的天数． 【详解】解：把工程的工作量看作单位“”，则工程的工作量为，两项工程的总工作量为， 甲、乙、丙三队的工作效率分别为，，； 三队的效率和为； 因为三队同时开工同时完工，所以总工作时间为（天）； 乙队天完成的工作量为， 丙队在工程完成的工作量为， 丙队与乙队合做的天数为（天）． 6. 公园个人票每张5元，团体票每张30元，供不超过10人入园，买10张以上的团体票，可优惠，某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时又加了两个人，幸好两人每人都带了相同多的钱，这样147人刚好都能购票入园，这两人共带了_______元． 【答案】2 【解析】 【分析】先计算优惠后的团体票单价，对比不同购票方案的花费得到145人入园时单位原准备的钱数，再计算147人入园的最低总花费，两者的差就是两人共带的钱数． 【详解】解：优惠后每张团体票价格为：元， 计算145人不同购票方案的花费： 方案1：买14张团体票（容纳140人）5张个人票，总花费为元， 方案2：买15张团体票（可容纳150人），总花费为元， ∵，原来准备的钱刚好够145人门票， ∴单位原来准备的钱为403元， 计算147人不同购票方案的花费： 方案1：买14张团体票7张个人票，总花费为 元， 方案2：买15张团体票，总花费为 元， ∵， ∴147人入园的最低总花费为405元， 两人共带的钱为：元． 7. 一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，这个自然数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据约数性质确定最小约数为，再通过奇偶性排除为奇数的可能，得到第二个约数为，再分是或不是的约数两种情况讨论验证，得到符合条件的． 【详解】解：设该自然数为，最小的个约数从小到大依次为． ∵ 任何自然数的最小约数是， ∴ ，得． 若是奇数，则所有约数都是奇数，四个奇数的平方和为偶数，与是奇数矛盾， ∴ 是偶数，因此是的约数，得，即． ∵ 是偶数，是奇数， ∴ 是奇数， ∴一奇一偶． 若是的约数，则，且2,3均是N的约数，故6也是N的约数，即，得，由0不含约数3，即3不是N的约数； 若，则N是4的倍数，， ∵， ∴当d为奇数时的余数为1，即的余数为2，与N是4的倍数矛盾，故； 若为奇数，故d为偶数，3不是N的约数故6不是约数， 若为奇数不符合奇偶要求， 若则，94不含约数8不符合，9含因子3故不是约数，即； 验证发现不存在满足条件的d． 若不是的约数，则第三小的约数，得． ∵ 不是的约数， ∴也不是的约数，比大的下一个约数，代入得． 验证：的约数从小到大排列为，最小四个约数的平方和为，符合所有条件．因此这个自然数是． 8. 一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余9名选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得分．结果，甲队选手平均得分，乙队选手平均得分，丙队选手平均得9分，那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各为_______． 【答案】4人，5人，1人 【解析】 【分析】先计算比赛总盘数和总得分，根据丙队平均得分确定丙队人数，将问题转化为两个队的“鸡兔同笼问题”求解即可． 【详解】解：因为10名选手单循环比赛，所以总盘数为盘， 每盘比赛无论结果如何，都产生1分，因此比赛总得分是分， 因为每个选手最多赛9盘，最高得分为9分，丙队平均得9分， 所以丙队只能有1名选手，总得分9分， 剩余甲、乙两队总人数为人，总得分为分， 假设9人全部为甲队选手，总得分应为分，比实际总得分多出分， 因为每名乙队选手比甲队选手平均少得分， 所以乙队人数为：人，甲队人数为：人． 9. 一个自然数除429，791，500所得的余数分别是，，，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了余数，公因数，解题的关键在于将不同的余数整理为相同的余数． 设这个自然数为，根据题意整理得到，，791除以所得的余数相同为，进而得到为与的公因数，求出的值，进而即可推出的值． 【详解】解：设这个自然数为， 因为这个自然数除429，791，500所得的余数分别是，，， 所以除以所得的余数为， 除以所得的余数为， 因为，， 所以为与的公因数， 又因为： ， 所以， 因为， 所以； 故答案为：． 10. 特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为_________． 【答案】4：3 【解析】 【分析】设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，根据三种特产的总利润是总成本的25%列得，计算可得． 【详解】解：设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，由题意得 ， 解得3y=4x， ∴y：x=4：3， 故答案为：4：3． 【点睛】此题考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键． 二、计算题．（每题4分，共28分） 11. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：  ． 13. 脱式计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分数的混合运算，先算小括号，再算中括号，最后算括号外面的运算即可，掌握运算顺序是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】观察各部分分数分子分母的特征，进行恒等变形，化成可采用裂项相消的方法求解的形式，最后由分数加减及乘法运算计算即可． 【详解】解： ． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：  ． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】先将恒等变形为，再由公式计算前个正整数的平方和，最后由整数的乘除运算法则化简，再由分数乘法与加法运算计算即可． 【详解】解： ， ． 三、应用题（共42分） 18. 如图，是长方形，其中．并且F是线段的中点，G是线段的中点．求三角形（阴影部分）的面积． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了求三角形面积，如图所示，连接，先分别求出，，，根据等底同高的三角形面积相等得到，，进而得到， 同理可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴，，， ∵F是线段的中点， ∴， 又∵和是等底同高三角形， ∴， 同理可得 ∴， 同理可得． 19. 一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成时前来帮忙，待工程完成时离去，结果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半，如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做下去，将比计划推迟天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前6天完成，还知道乙的工作效率是丙的3倍，问：计划规定的工期是多少天？ 【答案】计划规定的工期是30天 【解析】 【分析】先计算丙参与阶段的工作量，结合乙丙效率关系与无丙时的推迟时间求出乙的工作效率；再由乙的总工作量得乙的工作时间；最后根据甲的效率与工期的关系列方程求解． 【详解】解：依题意，丙参与施工阶段完成的工作量为，该阶段由乙丙合作完成， ∵乙的工作效率是丙的3倍， ∴丙完成的工作量为， ∵丙完成的工作量由乙单独完成，总工期推迟天， ∴（天）， ∴乙的工作效率是（每天完成工程的）， ∵乙共完成工程总量的， ∴乙的总工作时间为（天）， ∵甲先做若干天后由乙接替至工程结束，总工期为天， 设甲工作时间为天， ∴， 即， ∵全由甲单独做可比计划提前6天完成， ∴甲的工作效率为， 乙丙合作时间为天， 丙的工作量为， 甲的工作量为， 甲的工作量满足， 将代入得：， 得， ， ， 解得， 答：计划规定的工期是30天． 20. 是一个等边三角形跑道，D在A、B之间，且有，某日甲、乙、丙三人从A、B、C同时出发（如图所示），甲、乙按顺时针方向跑步，丙按逆时针跑步，当甲、丙第一次相遇时，乙正好走到B；当乙、丙第二次相遇在D时，甲走了2012米，那么的周长是多少米． 【答案】7545米 【解析】 【分析】本题主要考查了比的应用，分数混合运算的应用，设的一条边长为s，根据题意求出乙、丙通过的路程之比为：，得出乙、丙的速度之比为，求出甲、乙、丙的速度比为：，根据乙、丙第二次相遇时，甲走了，求出s即可得出答案． 【详解】解：设的一条边长为s， ∵， ∴，， 当乙、丙第二次相遇时，乙、丙通过的路程之比为： ， ∴乙、丙的速度之比为， 甲、丙第一次相遇时，乙通过的路程为，则丙通过的路程为，甲通过的路程为：， ∴甲、乙、丙的速度比为：， 乙、丙第二次相遇时，甲走了， ∴米， ∴的周长是（米）． 21. 若关于、的方程组的解满足，求的值？ 【答案】 【解析】 【分析】先通过消元用表示和，再代入求解． 【详解】，  得，  得，  得，解得， 把代入，得 ，解得， 把，代入，得， 整理得，解得． 22. 一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ 【答案】该组工人一共有16人 【解析】 【分析】设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1，先分别求得卸A、B两列火车的货物的总工作量，再根据题意得到卸完火车货物的工作量是火车的2倍，进而列方程求解即可． 【详解】解：设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1， 他们上午10点到，共2.5小时，全组人一起卸A火车的货物的工作量为， 从到14点，共1.5小时，一半人卸A火车的货物的工作量为， 则卸A火车的货物的总工作量为； 从到14点，共1.5小时，一半人卸火车的货物的工作量为， 火车的货物剩余工作量为， 故卸B火车的货物的总工作量为， 因为卸完火车所需时间是火车的2倍，每人每小时的工作效率相同， 所以卸完火车货物的工作量是火车的2倍． 所以， 解得， 答：该组工人一共有16人． 23. 某超市将菠萝、蜜桔、芒果三种水果采用两种不同的方式搭配成礼盒出售，礼盒中装有菠萝、蜜桔各4千克；礼盒中装有2千克菠萝、4千克蜜桔、6千克芒果．礼盒每盒的售价是52元，利润率是，两种礼盒一共卖出64盒，每千克蜜桔的成本是芒果的3倍．当天盘点时，发现菠萝与蜜桔的成本价标签贴反了，这样，卖出的实际总成本比盘点时结算的成本少300元，那么实际总成本应是多少元？ 【答案】实际总成本应是2260元. 【解析】 【分析】先由A礼盒的售价与利润率算出A的成本，得到菠萝与蜜桔的成本单价和；再结合蜜桔与芒果的成本关系，推出盘点时B礼盒的单位成本与A礼盒相同，进而得到总盘点成本，最后结合成本差求出实际总成本． 【详解】解：设每千克菠萝成本为元，每千克蜜桔成本为元，每千克芒果成本为元， ∵ A礼盒售价52元，利润率为， ∴A礼盒的成本为（元）， 即， 化简得， ∵菠萝与蜜桔的成本价标签贴反， ∴盘点时菠萝成本单价按元计算，蜜桔成本单价按元计算， 盘点时A礼盒的成本为元，与实际成本一致， 盘点时B礼盒的成本为元， 由题意得， 即， 代入上式得：（元）， ∴ 盘点时每盒礼盒的成本均为40元，总盘点成本为 （元）， ∵实际总成本比盘点时结算的成本少300元， ∴实际总成本为 （元）， 答：实际总成本应是2260元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $