精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年七年级下学期数学期末考试题

南开中学2025-2026学年第二学期初2028届期末数学质量监测 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2．考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卡． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 谢尔宾斯基三角形 D. 科克曲线 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．  笛卡尔心形线沿中间竖直直线折叠，两旁部分能够互相重合，它是轴对称图形，故此选项不符合题意．； B． 赵爽弦图找不到任何一条直线使折叠后两旁部分重合，它不是轴对称图形，故此选项符合题意； C．  谢尔宾斯基三角形沿过顶点的垂线折叠，两旁部分能够互相重合，它是轴对称图形，故此选项不符合题意； D． 科克曲线沿过顶点的直线折叠，两旁部分能够互相重合，它是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意． 3. 成语作为汉语的瑰宝，凝结了中华文明的智慧与语言艺术精华．下列成语所描述的事件是随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 水中捞月 C. 秋去冬来 D. 不期而遇 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、旭日东升，一定会发生，是必然事件，不符合题意； B、水中捞月，一定不会发生，是不可能事件，不符合题意； C、秋去冬来，一定会发生，是必然事件，不符合题意； D、不期而遇可能发生，也可能不发生，是随机事件，符合题意. 4. 若关于x的多项式是一个完全平方式，则常数k的值是（ ） A. B. 9 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵关于的多项式是完全平方式， ∴， ∴. 5. 2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火升空．飞船上升过程中，飞船剩余燃料的质量会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一变化过程中，自变量是（ ） A. 飞船的总质量 B. 飞船的飞行高度 C. 剩余燃料的质量 D. 飞船的飞行时间 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵在一个变化过程中，主动变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量， 又根据题意，剩余燃料的质量随飞船飞行高度的增加而减少，飞行高度是主动变化的量， ∴自变量是飞船的飞行高度. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形的对称轴是底边上的中线 B. 三角形三边的垂直平分线交于一点且到三边距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形任意两边之和大于第三边 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的对称性、三角形特殊线的性质、三角形三边关系等基础知识点，逐一辨析每个选项的正误． 【详解】解：选项A，∵对称轴是直线，而底边上的中线是线段，∴A错误； 选项B，∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形三条角平分线的交点，∴B错误； 选项C，根据三角形高线的性质，任意三角形的三条高所在直线交于一点，高线不一定交于一点，∴C错误； 选项D，三角形任意两边之和大于第三边是三角形三边关系的基本定理，∴D正确． 7. 某快递网点货仓一开始包裹数量为零，运输车持续匀速送来包裹一段时间后，快递员开始派送，但每小时派送数量小于运输车送来的数量，运输车停止送来后，快递员继续派送直至清空货仓．能大致表示货仓包裹数量与时间关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析货仓包裹数量随时间变化的三个阶段：第一阶段只进不出，数量快速增加；第二阶段进多出少，数量缓慢增加；第三阶段只出不进，数量减少至零． 【详解】解：由题意，能大致表示货仓包裹数量与时间关系的图象是： 8. 小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证出，根据全等三角形的性质可得，，求出的长，再结合B点距地面的高度求出点E距地面的高度，由此即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，与地面垂直， ∴与地面平行， ∵B处距地面， ∴D处距地面， ∴点E距地面， 同理可得：与地面平行， ∴点C到地面的高度等于点E到地面的高度， ∴点C到地面的距离是． 9. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个十字星，第②个图案中有5个十字星，第③个图案中有10个十字星，第④个图案中有17个十字星，…，按照这一规律，第⑨个图案中十字星的个数是（ ） A. 65 B. 82 C. 95 D. 101 【答案】B 【解析】 【分析】观察前四个图案中十字星的数量，分别为2、5、10、17，发现每个数都比序号的平方多1，从而得出第个图案中十字星个数的表达式，代入求解即可． 【详解】解： ∵ 第① 个图案中有个十字星， 第②个图案中有个十字星， 第③个图案中有个十字星， 第④个图案中有个十字星， …… ， ∴ 第个图案中十字星的个数为． 当时，十字星的个数为． 10. 如图，在中，点D在线段上且，E为的中点，与相交于点O，若四边形的面积是，则的面积是（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】如图：连接，设，，，，利用等高三角形面积比等于底边比及中线性质建立方程求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，  ∴，，， ∵E为的中点，  ∴设，  ∴，解得：， ∵， ∴， ，解得：，  ∵四边形的面积是，  ∴， ∴， 解得，  ∴，  ∴． 11. 如图，在中，AD是的角平分线，F为射线上一点，连接并延长至点E，连接且．若，，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图：在上截取，连接，通过证明和，推导出平分，从而确定D为的内心，利用三角形内角和定理及角平分线性质建立α与的关系求解即可． 【详解】解：如图：在上截取，连接，  ∵AD是的角平分线，  ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，  ∵F，B，E共线， ∴，  ∴平分，  又∵平分， ∴，， 在中，， ∴，  在中，，  ∴， ∴． 12. 已知整式，其中n，为正整数，，…，，为自然数，，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，下列说法： ①当时，满足条件的所有整式M为单项式； ②当时，满足所有条件的M中二次三项式共有3个； ③当，，时，； ④当时，存在，，，，，使得M可以写出的形式，其中p，q为正整数． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意确定系数和与次数和的表达式，，，再结合条件，逐个判断四个说法即可． 【详解】解：① 当时，，，即． 为正整数，为自然数，， 只有，是单项式，①正确． ② 当时，，，即． 二次三项式要求，且，列举得： ，共3个，②正确． ③ 当时，，，即． 当时，，整理得． 联立两式得：，解得，③正确． ④ 当时，，． 展开， ∴． ∴系数和， ，由得， ． 取，得，满足，符合所有条件，④正确． 四个说法都正确，故正确个数为． 二、填空题：（本大题共10个小题，13题至20题每小题3分，21题、22题每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13. 寄生蜂是目前已知的体重最轻的昆虫之一，仅克，数据用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 14. 一个不透明的袋子中装有5个红球和3个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为_______________________． 【答案】. 【解析】 【详解】试题解析：布袋中球的总数为：5+3=8， 取到红球的概率为：. 考点：概率公式． 15. 若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】将变形为，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：，即， 将，代入得：． 16. 若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可得，再去绝对值 ，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴ ． 17. 重庆东站自2025年6月27日正式投入使用，便重塑了重庆铁路枢纽格局．其中渝厦高铁的某一车次行驶时间（）与行驶路程（）的关系如表： 时间（） 1.5 2 2.5 3 3.5 … 路程（） 525 700 875 1050 1225 … 根据表格中两者的对应关系，若行驶时间为，则行驶路程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得行驶时间每增加，行驶的路程就增加，据此结合表格中的数据计算求解即可． 【详解】解：由题意得，行驶时间每增加，行驶的路程就增加， ∴若行驶时间为，则行驶路程为． 18. 若多项式，则A的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式对多项式进行配方，结合偶次方的非负性即可确定的最小值． 【详解】解： 的最小值是． 19. 如图，将长方形沿着折叠，点C恰好落在边上点F处，若，，则_______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，由长方形的性质可得，从而得到，结合已知比例关系用表示出，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可 ． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∵四边形是长方形 ， ∴，，  ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：（已舍去负值）． 20. 如图，在等边中，D为上一点，连接，在左侧作，且，连接，过点D作交延长线于点F．若，，则AF的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接，易证是等边三角形可得，再证明可得，，进而得到、，最后根据含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接 ， ∵等边， ∴，， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，，的角平分线交于点D，过点C作交于点E，交于点F，过点F作交于点G．则的度数是_______；若，则的值是_______． 【答案】 ①. ②. 18 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形性质和角平分线定义求出 的度数，利用平行线性质和三角形内角和定理求 ；通过证明三角形全等得出线段间的数量关系，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接 ∵在中，，， ∴， ∵ 平分 ，  ∴， 在 中，， ∵，  ∴， ∵， ∴， 在和 中， ，  ∴，  ∴， 在  和中，  ， ∴， ∴，， ∴，  在 中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 22. 若一个各位数字均不为零的四位正整数满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，且千位数字与百位数字不等，则称这个四位数为“环心数”．将“环心数”t的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，我们将得到一个新的四位数，记．例如，，则．若m是最小的“环心数”，则_______；已知两个“环心数”p和，其中，（其中，，且）．记，若能被12整除，且M为完全平方数，则满足条件的所有M的和是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先根据“环心数”定义推导的一般表达式，再找出最小的“环心数”计算第一空；然后根据整除条件得到所有符合要求的，结合是完全平方数，找出所有符合条件的再求和． 【详解】解：设“环心数”，即千位为，百位为，则：，对调后得到，则． 要得到最小的“环心数”，各位不为，千位最小取，百位不等于千位且最小取，因此最小的“环心数”，． 已知，，则，，则，，． 由题意，能被整除，即能被整除，∴能被整除，即为偶数． 对分类讨论：当，，，不能被整除，舍去； 当，，代入均不能被整除，舍去； 当，仅时，，能被整除，得； 当，仅时，，能被整除，得． ， 设，则，为非负完全平方数： ①当，，，可能的完全平方数为； ②对，，，可能的完全平方数为． ∴去重后所有满足条件的为，和为． 三、解答题：（本大题共8个小题，第23题16分，第24题，25题各8分，其余每题10分，共82分）解答每小题时必须给出必要的演算过程或者推理步骤，请将解答题的过程书写在答题卡中对应的横线上． 23. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先利用有理数乘方、零次幂、负整数次幂化简，然后再计算即可； （2）先利用同底数幂乘除法、幂的乘方、积的乘方法则化简，然后再合并同类项即可； （3）先利用积的乘方计算，然后再运用完全平方公式计算即可； （4）先凑出平方差公式的形式，再运用平方差公式和完全平方公式计算，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 24. 先化简，再求值：，其中a，b使关于x的多项式不含一次项． 【答案】，0 【解析】 【详解】解： ， ， ∵a，b使关于x的多项式不含一次项， ∴， ∴原式． 25. 如图，在中，为上一点，连接． （1）请用尺规作图：作的角平分线交于点，并在上取一点，使，连接．（不写作法和结论，保留作图痕迹） （2）在所作的图形中，若，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴___________， 又∵， ∴___________， ∴， 又∵__________，， ∴． 【答案】（1）解：如图，，点即为所求； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：，，，． 【解析】 【分析】根据题意进行作图即可； 由平分则有，证明，所以，又，则，故有，然后通过三角形的外角性质和角度和差即可求证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 26. 某校初一年级30个班共有1200名学生，为落实“双减”政策，了解学生睡眠时长是否达到国家建议的9小时及以上，调查小组开展了一次调查研究． 【收集数据】 调查小组计划选取男女生各20名共计40名学生的每日睡眠时长（单位：小时）作为样本． 下面的取样方法中，合理的是_______．（填字母）； A．抽取全年级数学成绩最好的男女生各20名同学的睡眠时长组成样本 B．抽取初一年级1班，2班男女生各10名学生的睡眠时长组成样本 C．从学校足球队的男女队员中各选20名学生的睡眠时长组成样本 D．从全年级按学号随机选取男女各20名学生的睡眠时长组成样本 【描述数据】 抽样方法确定后，调查小组获得了40名学生的睡眠时长（四舍五入取整）如下： 男生：6，6，7，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10 女生：6，6，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10 【整理数据】 根据上面学生的睡眠时长，对数据进行整理并绘制成如图所示的不完整的统计图（表）： 40名学生的睡眠时长统计表 时长 性别 6 7 8 9 10 男 2 a 6 3 1 女 2 7 b 3 3 【分析数据】 请根据以上数据，回答下列问题： （1）在【收集数据】阶段，取样方法合理的是_______（填字母）； （2）_______，_______，_______，_______； （3）根据国家要求，中小学生睡眠时长必须在9小时及以上才能达标．请估计该校初一年级有多少人达标？ 【答案】（1）D （2）8；5；；99 （3）300人 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查要具有随机性和代表性可得答案； （2）根据所给数据求解即可； （3）用1200乘以样本中睡眠时长必须在9小时及以上的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抽取的样本要具有随机性，代表性， ∴取样方法合理的是D； 【小问2详解】 解：由题意得，， ，， ； 【小问3详解】 解：人， 答：估计该校初一年级有300人达标． 27. 如图，在中，，点D在延长线上，点F在线段上，连接，，使．过点A作交延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）30 【解析】 【分析】（1）直接利用证明即可； （2）先利用角度和差关系以及全等三角形性质得到，，然后再根据勾股定理求出，进而可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 28. 如图1，已知六边形相邻的两边互相垂直，其中，动点G从点A出发，沿着六边形的边以每秒的速度逆时针运动，当G运动到点D时调头，以每秒的速度原路返回，到A点处停止运动．设的面积为，运动时间为，S与t的图象如图2所示，请回答下面问题： （1）_______，_______，_______，_______； （2）请直接写出动点G从时，S与t的关系式； （3）当时间t为何值时，动点G在上运动且是以为腰的等腰三角形？请直接写出t的值． 【答案】（1），，， （2）； （3）当为，，或时，动点G在上运动且是以为腰的等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据图象分析每个点的意义，然后解题即可； （2）分当时，当时，两种情况分别进行计算即可； （3）先计算出的长度，然后分两种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：当点在边上运动时，的面积不变，根据图象可知，当时，到达点， 当时，到达点，当时，到达点，然后返回，当时，回到点，当时，回到点，当时，回到点， ∴，，返回时的速度， 从返回点的时间为：， ∴， 从到的时间为，从返回到的时间为， ∴，解得， ∴综上； 【小问2详解】 解：动点G从时，的取值范围为：， 当时，在上运动，此时不发生改变，为； 当时，在上运动，此时的底为，到的距离为高， ∴，， ∴此时， ∴； 【小问3详解】 解：当时，动点G在上运动， 过点作垂足为点， ∵从点到点的时间为， ∴， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， 当时，如下图： ∴当时，符合， 当，； 当时，如下图：过点作垂足为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，符合， 当，； ∴综上当为，，或时，动点G在上运动且是以为腰的等腰三角形． 29. 定义：如果一个三角形的三边长为x，y，z，满足（k为正整数），则称这个三角形为“k股三角形”． 例如：三边长为x，y，z，且，，，因为，所以为4股三角形． （1）下列三角形中一定是k股三角形的是_______（填序号）； ①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形 （2）已知等腰是3股三角形，，，求的度数； （3）如图，CM是的中线，且，求证：是5股三角形． 【答案】（1）② （2） （3）证明：作交延长线于， ∵CM是的中线，且， ∴，， 设 ∵， 即 ∴， ， ∵， ∴， ∴是5股三角形． 【解析】 【分析】（1）根据“k股三角形”定义判断即可； （2）根据“k股三角形”分两类讨论，即可求解题目； （3）作交延长线于，根据题意可求，，利用勾股定理可求出，而，则题目可证． 【小问1详解】 解：在直角三角形中，三边分别为a，b，c（斜边）， 根据勾股定理有：，此时k值为1， 即直角三角形为1股三角形； 而锐角三角形、钝角三角形都不一定为k股三角形， 故答案为：②； 【小问2详解】 解：∵，，且等腰是3股三角形， 若， 即， 不满足； 若， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【小问3详解】 证明：略． 30. 如图，在中，过点作交于点，过点作交于点，与交于点，为射线上一点，为直线上一动点，连接． （1）如图，若，与重合且，当，时，求的长； （2）如图，若，，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若为等边三角形，且，将绕点顺时针旋转至，连接，，和，当有最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）猜想：， 证明：如图，延长至点，使得，作于点，设， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． （3） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质结合等腰三角形的性质可得，则，容易判断是等腰直角三角形，因此； （2）延长至点，使得，作于点，设，容易证明，则，从而证明是等腰直角三角形，因此．根据题意可计算得，，从而得到，结合可得是等边三角形，因此．容易证明，则，因此； （3）延长至点，使得，连接，由等边三角形的性质可得，，进而得到，．利用含角的直角三角形的性质和勾股定理可得，从而得到．容易判断和都是等边三角形，则，，进而证明，则，进一步可证明，则．因此，当、、三点共线时，取得最小值．结合作图可知，当、、三点共线时，点在线段上，因此． 【小问1详解】 解：∵，且与重合， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长至点，使得，连接，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，，， 在中，，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由旋转的性质可得，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵, ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 如图，、、三点共线时，点在线段上， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学2025-2026学年第二学期初2028届期末数学质量监测 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2．考试结束，试题卷由学生自己保管，监考人员只收答题卡． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 谢尔宾斯基三角形 D. 科克曲线 2. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 成语作为汉语的瑰宝，凝结了中华文明的智慧与语言艺术精华．下列成语所描述的事件是随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 水中捞月 C. 秋去冬来 D. 不期而遇 4. 若关于x的多项式是一个完全平方式，则常数k的值是（ ） A. B. 9 C. 3 D. 5. 2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火升空．飞船上升过程中，飞船剩余燃料的质量会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一变化过程中，自变量是（ ） A. 飞船的总质量 B. 飞船的飞行高度 C. 剩余燃料的质量 D. 飞船的飞行时间 6. 下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形的对称轴是底边上的中线 B. 三角形三边的垂直平分线交于一点且到三边距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形任意两边之和大于第三边 7. 某快递网点货仓一开始包裹数量为零，运输车持续匀速送来包裹一段时间后，快递员开始派送，但每小时派送数量小于运输车送来的数量，运输车停止送来后，快递员继续派送直至清空货仓．能大致表示货仓包裹数量与时间关系的图象是（ ） A. B. C. D. 8. 小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（ ）． A. B. C. D. 9. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个十字星，第②个图案中有5个十字星，第③个图案中有10个十字星，第④个图案中有17个十字星，…，按照这一规律，第⑨个图案中十字星的个数是（ ） A. 65 B. 82 C. 95 D. 101 10. 如图，在中，点D在线段上且，E为的中点，与相交于点O，若四边形的面积是，则的面积是（ ） A. B. 5 C. D. 6 11. 如图，在中，AD是的角平分线，F为射线上一点，连接并延长至点E，连接且．若，，则等于（ ）． A. B. C. D. 12. 已知整式，其中n，为正整数，，…，，为自然数，，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，下列说法： ①当时，满足条件的所有整式M为单项式； ②当时，满足所有条件的M中二次三项式共有3个； ③当，，时，； ④当时，存在，，，，，使得M可以写出的形式，其中p，q为正整数． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题共10个小题，13题至20题每小题3分，21题、22题每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13. 寄生蜂是目前已知的体重最轻的昆虫之一，仅克，数据用科学记数法表示为_________． 14. 一个不透明的袋子中装有5个红球和3个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为_______________________． 15. 若，，则_______． 16. 若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 17. 重庆东站自2025年6月27日正式投入使用，便重塑了重庆铁路枢纽格局．其中渝厦高铁的某一车次行驶时间（）与行驶路程（）的关系如表： 时间（） 1.5 2 2.5 3 3.5 … 路程（） 525 700 875 1050 1225 … 根据表格中两者的对应关系，若行驶时间为，则行驶路程为_______． 18. 若多项式，则A的最小值是_______． 19. 如图，将长方形沿着折叠，点C恰好落在边上点F处，若，，则_______． 20. 如图，在等边中，D为上一点，连接，在左侧作，且，连接，过点D作交延长线于点F．若，，则AF的长度为_______． 21. 如图，在中，，，的角平分线交于点D，过点C作交于点E，交于点F，过点F作交于点G．则的度数是_______；若，则的值是_______． 22. 若一个各位数字均不为零的四位正整数满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，且千位数字与百位数字不等，则称这个四位数为“环心数”．将“环心数”t的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，我们将得到一个新的四位数，记．例如，，则．若m是最小的“环心数”，则_______；已知两个“环心数”p和，其中，（其中，，且）．记，若能被12整除，且M为完全平方数，则满足条件的所有M的和是_______． 三、解答题：（本大题共8个小题，第23题16分，第24题，25题各8分，其余每题10分，共82分）解答每小题时必须给出必要的演算过程或者推理步骤，请将解答题的过程书写在答题卡中对应的横线上． 23. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 24. 先化简，再求值：，其中a，b使关于x的多项式不含一次项． 25. 如图，在中，为上一点，连接． （1）请用尺规作图：作的角平分线交于点，并在上取一点，使，连接．（不写作法和结论，保留作图痕迹） （2）在所作的图形中，若，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴___________， 又∵， ∴___________， ∴， 又∵__________，， ∴． 26. 某校初一年级30个班共有1200名学生，为落实“双减”政策，了解学生睡眠时长是否达到国家建议的9小时及以上，调查小组开展了一次调查研究． 【收集数据】 调查小组计划选取男女生各20名共计40名学生的每日睡眠时长（单位：小时）作为样本． 下面的取样方法中，合理的是_______．（填字母）； A．抽取全年级数学成绩最好的男女生各20名同学的睡眠时长组成样本 B．抽取初一年级1班，2班男女生各10名学生的睡眠时长组成样本 C．从学校足球队的男女队员中各选20名学生的睡眠时长组成样本 D．从全年级按学号随机选取男女各20名学生的睡眠时长组成样本 【描述数据】 抽样方法确定后，调查小组获得了40名学生的睡眠时长（四舍五入取整）如下： 男生：6，6，7，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10 女生：6，6，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10 【整理数据】 根据上面学生的睡眠时长，对数据进行整理并绘制成如图所示的不完整的统计图（表）： 40名学生的睡眠时长统计表 时长 性别 6 7 8 9 10 男 2 a 6 3 1 女 2 7 b 3 3 【分析数据】 请根据以上数据，回答下列问题： （1）在【收集数据】阶段，取样方法合理的是_______（填字母）； （2）_______，_______，_______，_______； （3）根据国家要求，中小学生睡眠时长必须在9小时及以上才能达标．请估计该校初一年级有多少人达标？ 27. 如图，在中，，点D在延长线上，点F在线段上，连接，，使．过点A作交延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 28. 如图1，已知六边形相邻的两边互相垂直，其中，动点G从点A出发，沿着六边形的边以每秒的速度逆时针运动，当G运动到点D时调头，以每秒的速度原路返回，到A点处停止运动．设的面积为，运动时间为，S与t的图象如图2所示，请回答下面问题： （1）_______，_______，_______，_______； （2）请直接写出动点G从时，S与t的关系式； （3）当时间t为何值时，动点G在上运动且是以为腰的等腰三角形？请直接写出t的值． 29. 定义：如果一个三角形的三边长为x，y，z，满足（k为正整数），则称这个三角形为“k股三角形”． 例如：三边长为x，y，z，且，，，因为，所以为4股三角形． （1）下列三角形中一定是k股三角形的是_______（填序号）； ①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形 （2）已知等腰是3股三角形，，，求的度数； （3）如图，CM是的中线，且，求证：是5股三角形． 30. 如图，在中，过点作交于点，过点作交于点，与交于点，为射线上一点，为直线上一动点，连接． （1）如图，若，与重合且，当，时，求的长； （2）如图，若，，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若为等边三角形，且，将绕点顺时针旋转至，连接，，和，当有最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $