专题02 二次函数应用的六种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次函数应用的六种模型 题型归纳 题型一二次函数的应用之增长率、销售问题 题型二二次函数的应用之拱桥问题 题型三二次函数的应用之投球问题 题型四二次函数的应用之喷水问题 题型五二次函数的应用之图形问题 题型六二次函数的应用之图形运动问题 题型专练 题型一：二次函数应用之增长率、销售问题 1.(25-26九年级上·吉林松原阶段检测)据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度GDP总值约为 1.5千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x, 则'关于x的函数表达式是() A.y=1.5(1+2x) B.y=1.51-x C.y=1.51+x) D.y=1.5+1.51+x)+1.5(1+x) 2.(2026黑龙江佳木斯·一模)某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售， 每天可售出200件：若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元(x≥15)，每天的 利润为y元，则y与x的函数关系式为() A.y=(x-10)(200-10x） B.y=(x-10)(350-10x) C.y=(x-15)200-10x) D.y=(x-15)350-10x) 3.(2425九年级上浙江温州阶段检测)某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业 额共万元，如果平均每月增长率为x,则营业额'与月平均增长率x之间的函数关系式为（直观关 系式无需化简) 4.(2022浙江宁波模拟预测)某商场销售人员在销售中发现：“南极人”牌童装进价为60元，售价定 为100元时平均每天可售出20件.为了迎接六·一儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量， 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 增加盈利，减少库存.经市场调查发现，如果每件童装每降价5元，那么平均每天可多售出10件. (1)要想平均每天盈利1200元，那么每件童装的售价应定为多少元？ (2②)每件童装的售价为多少元时，该商场每天销售此童装的盈利最多？ 5.(25-26八年级下·河南开封期末)某义乌玩具厂赶制2026年马年春节吉祥物笑笑马（设计为上扬微笑、 喜庆吉祥)，缝纫工人赶工时操作失误，把原本向上弯的嘴角反向缝制，笑笑马变成满脸委屈丧萌的“哭 哭马”，引起年轻人的情绪共鸣，更被网友解读为“不完美也值得被喜欢”，一跃成为2026年顶流网红马 (1)某网店“哭哭马”今年1月份的销售量为1200件，3月份的销售量为1728件.若1月份到3月份销售量 的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)若该“哭哭马”的进价为每件15元，售价为每件25元，每天能销售40件：若售价每降价1元，每天可 多售出10件.该店决定降价促销，若使销售“哭哭马”每天获利480元，为了尽快清理库存，则售价应降 低多少元？ (3)当“哭哭马”售价降低多少元时，该网店每天获利最大，最大利润多少元？ 6.(25-26八年级下·安徽安庆·期末)2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下 撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品， (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件.求该电商平台 “哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率. (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式.线下市场调查发现，当售 价为35元/件时，日销量为80件.售价每降低1元，日销量可增加10件， ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销.为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少 元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件.当每件降价 多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润. 题型二：二次函数应用之拱桥问题 7.(25-26九年级下·黑龙江·期中)如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4 米；那么当水位下降2米后，水面的宽度为()米 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2V6 B.25 C.6 D.42 2 根据题意设二次函数解析式为： 4 y=ax2+2 把A(-2,0)代入，得a(-2}+2=0, 解得a=-1 2” .y=- +2 当y-2时，2=+2， 解得x=±2√2， 8.(2026陕西延安·一模)图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”.如图2，门的内侧曲线 为抛物线，以门的底部AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐 标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为y= 。x2+200,则下列说法错误的是() 8 图1 图2 A.门的最大高度为200m B.门的底部宽度AB为80m C.离地面150m处的门的水平宽度为50m D.当门的水平宽度为8V10m时，门的高度为l80m 9.(2026山西长治一模)某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部AB的中点O为原 点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点 M.己知AB=6m,现要在距离底部3m高处安装一根与AB平行的通风管CD,通风管CD的长度为3m, 则拱架最高点M距底部AB的高度为 _m. 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 0 B 图1 图2 10.(2026广东东莞·三模)如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊， 享有“中华第一牌坊”的美誉，已知中间主跨地面宽度AB为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图 形：上部为抛物线形，下部为矩形ABCD.某测量小组测得AD为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧 走2米到达点E,测得E点处对应的高度EF(即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离)为6.3米，请你结合 数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离），（精确到0.1m) AE B 图1 图2 11.(2026河南开封模拟预测)开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线 形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面CPD可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼. y/米 M P E C D A Bx米 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形： 素材2：跨度AB=24米，竖直支撑AC=BD=1米，最高点P到AB的距离为5米： 素材3：两灯笼ME,NF之间的水平距离为4米，点MN均在抛物线上且关于抛 物线的对称轴对称. 现以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线（直线OP)为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式：（不必写出自变量取值范围） (2)若ME=F=25 8米，求灯笼底端（点B或P)到4B的距离. 12.(2026·河南新乡·三模)如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB的宽为l6m,如果水位上升3m,就达到警戒水位CD,此时水面CD的宽为8m. C D B 图① 图② (I)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式： (2)在(1)的条件下，现有一棱长为4m的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集 装箱漫在水下的部分)为3.2m,集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行. ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位CD,若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，可以通过往集装箱 内注入水增加吃水深度，已知增加的浮力等于新注水的重力，求应往集装箱内至少注入水的质量为多少千 克？（参考数据：g取10Nkg,P*=1×10kgm,F群=Pkg'维，G=mg) 题型三：二次函数应用之投球问题 13.(2026陕西咸阳·模拟预测)如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压 缩弹簧.己知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度(cm/s)与弹簧被压缩的长度 m)之间的函数关系式为"=子+x+3,则这个过程中，小球速度的最大值为() 10000D 77777777T777757777 A.3.5cm/s B.4cm/s C.4.5cm/s D.5cm/s 14.(2026·天津北辰·二模)如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数 y=a2+bx（a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y=2x刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的 2 高度y（米)的变化规律如下表： 0 1 仙 6 7 15 15 0 2 6 2 2 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y/米 小球 斜坡 0 /米 有下列结论： ①m=3,n=6; ②当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为6米； ③小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米： ④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为6.5米」 其中，正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 15.(2026山东临沂·一模)如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位： 25 m)之间的关系式为：y三二2x2+。 +3x+3·有下列结论： ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6m; ②铅球飞行至水平距离4m时，达到最大高度，最大高度为3m: ③铅球落地时的水平距离为l0m. 其中，正确结论的序号是」 Ay/m 0 x/m 16.(2026广东惠州·二模)粤BA正在广东全省21个市火热进行，惠州主场气氛爆棚，全民观赛氛围十 分浓厚，如图是篮球运动员小帅在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为x轴，出手 点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.篮球运行的路线可看成抛物线，小帅投出的篮球在距原点水平距 离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4 米，求此抛物线的解析式.（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计）· 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.5 2.5 17.(2026河南平项山·二模)马年央视春晚上，一款表演机器人在舞台中央完成腾空跃起动作，其运动 轨迹可近似看作抛物线.机器人从地面起跳点腾空，最高点距地面3米，落地点与起跳点水平距离为6米， 如图，以起跳点为坐标原点O,水平向右为x轴正方向，竖直向上为'轴正方向，建立平面直角坐标系 5 4 3 2 1 5-4-3-2-1012345C 4 -5h (1)求该抛物线的函数解析式。 (②)若舞台上一处灯光装置的坐标为(4,1.5)，判断机器人在运动过程中是否会经过该灯光装置所在位置？ (3)若机器人在竖直高度不低于2米的区域完成旋转表演，求机器人进行旋转表演的水平距离。 18.(2026广东深圳模拟预测)体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从 出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同 学训练时实心球在空中运动时的水平距离m与竖直高度y/m的数据如下表.随后，黎老师根据表中的数 据建立如下图所示的平面直角坐标系.根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根 据所给信息回答下列问题： 水平距离m 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.5 3.2 1.1 y/m 7777777777777 x/m 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是m,实心球在空中的最大高度是m; (2)求图中抛物线的解析式y=a(x-h)+k: (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或 等于9.4米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由： (④)已知图中抛物线经过M(m,乃)，N(m+2,)两点，且M,N分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的 部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为5，则m的值为 题型四：二次函数应用之喷水问题 19.(25-26九年级上河南周口·期末)如图为喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线，右 衡木流的g直商度yo与施水街的水半免高m之满足=子+x+片>0).则6的长为() A.2m B.3m C.4m D.6m 20.(25-26九年级上山东烟台·期末)公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一 个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下.安装师傅调试发现，喷 头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面.如图②.喷头高5m时， 水柱落点距O点5m;喷头高8m时，水柱落点距O点6m,现要使水柱落点距O点&m,则喷头高应调整 为 m ◆高度(m) 56 8落点(m) 图① 图② 21.(2026甘肃白银·二模)儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图1）.以出水点O为坐标原点，OP 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示.喷出的水的竖直高度y(单位：米)与距出水口的水平 8/15 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 距离x(单位：米)近似满足函数关系y= ):-3+4.为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正 下方搭建矩形EFGH透明隧道，其截面图如图3所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部EH到水 柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽FG为1米. 则隧道顶端到地面的最大高度为 米 Ay/米 Ay/米 E H P米OFGP/米 图1 图2 图3 22.(2026陕西西安·模拟预测)某村响应国家高效节水灌溉的号召，引入了现代化喷灌设备.喷灌机从 喷水口A点向四周旋转喷洒，喷出的水流轨迹可近似看作形状相同的抛物线.如图，以地面为x轴，喷灌 机所在的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知喷水口A距离地面的高度为1m,水流在离喷灌机 的水平距离3m处达到最高点，此时喷洒高度为6m (1)求这条水流所在抛物线的函数表达式： (2)若在距离喷灌机水平距离5m处，有一棵高4m的果树为了让水流能喷洒到果树右侧的土地，需要将喷 水口A沿竖直方向向上平移.已知平移后水流的速度、压力不变（抛物线的形状、大小保持不变），求喷 水口至少需要向上平移多少米。 23.(2026河南平顶山二模)射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击 中2以内的昆虫.如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）. 在一次捕食时，射水鱼射出的水流向上运动的高度y(单位：cm)与向前运动的水平距离x(单位：cm )的关系可以近似地表示为y=0.1x2+4x 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 )昆虫 射水鱼 (1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离x的范围是 它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离x的范围是一： (2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离20m,高度50cm处，那么这次射出的水流能否击中这只 昆虫？ (3)假设捕食的昆虫位于射水鱼正前方30©m高度，并沿水平直线飞行，那么这次射出的水流要击中这只昆 虫，可能在射水鱼正前方多远处？ 24.(2026广东茂名·二模)【背景介绍】某公园准备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池 中心点设为点O,其正上方05米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图）·在忽略空气阻力的情况下，假设 喷头喷出的水流运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内. 【数学建模】以水池中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系(x轴在水面水平方向，轴竖直向 上)，其中A为喷泉的喷头位置.在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点B时的坐标为 (2,2.5),随后水流落回水面上的点C· (1)【建立模型】求该抛物线的函数表达式： (2)【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径OC的长（结果保留根号）： (3)【优化设计】公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为5米时，视觉效果最好.在不改变抛物 线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？ 题型五：二次函数应用之图形问题 25.(2026广东河源·模拟预测)如图，小明的爸爸用一段长20m的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为12m)的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为lm的门（由其他材料制成）·已知矩形的宽 DC为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长BC为() LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL B A.9.5m B.10m c.10.5m D.11m 26.(25-26九年级上·安徽阜阳·期末)如图，某校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边 利用教学楼的后墙（可利用墙长为36m),其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个 1m的出口.若要使车棚的面积最大，则AB的长为 m 36m A B 27.(25-26九年级上·江苏宿迁阶段检测)如图，矩形ABCD的四个顶点在等腰直角三角形EFG的边上」 ∠FEG=90°，已知EF长为3V2,设边长AB为x,矩形ABCD的面积为S最大值为 E 28.(2026陕西咸阳·三模)如图，某公园打造的花海由线段OB和抛物线OAB围成，抛物线的顶点A到 OB的距离为80m,OB=60m,以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，经过点O且与OB垂直的直线为 y轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的对称轴与x轴垂直. DB末 (1)求抛物线的函数表达式： (2)该花海被分成四部分，其中矩形CDEF区域内种植向日葵，已知点C、D在OB上，点E、F在抛物线 上（点E在抛物线对称轴的右侧），且DE=60m,求该花海中种植向日葵的面积（即矩形CDEF的面积）. 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29.(2026四川成都·模拟预测)如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩 形实验田，墙长为42m,栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位： m),与墙平行的一边长为y(单位：m),面积为S(单位：m2). 42m 墙 实验田 (1)直接写出'与x,S与x之间的函数解析式（要求写出x的取值范围）； (②)当x的值是多少时，矩形实验田的面积$最大？最大面积是多少？ 30.(2026内蒙古通辽·模拟预测)小明准备一条绳子晾晒衣被，他在两棵与地面垂直的树AB、CD之间 悬挂一条绳子，绳子下垂近似成抛物线y=x2-x+3,建立如图1所示的平面直角坐标系.已知树AB与 CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为5米， B (O) D 图1 图2 (1)求树AB的高度及抛物线的顶点坐标： (2)如图2，为了更好地晾晒衣被，嘉嘉把绳子从点M处用一根木棍撑起，将抛物线分成抛物线F和F两部 分，并使得点M到树AB的距离为2米，使抛物线的最低点距树AB的距离为l.5米，且距离地面2米， 求点M到地面的距离. 题型六：二次函数应用之图形运动问题 31.(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6,点E是△ABC边 上一动点，沿A→C→B的路径移动，过点E作EF⊥AB于点F,设AF=m,△AEF的面积为S,则下列 能大致反映S与m函数关系的图象是() 12/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 32.(2026湖北襄阳·一模)为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方. 图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为x(单 位：km)(0≤x≤n),Pg为y(单位：km).如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C,最低点 D(m,81),且经过E(1,225)和F(m,225)两点. 225 81-- D m n 图1 图2 请回答下列问题： (1)m= (2)当A0=16km时，则P2的长度为km. 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33.(2026湖北十堰一模)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，CD=V2.动点P在 Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作 正方形DPEF,设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S,当点P由点B运动到点A时，如图 2,S是关于t的二次函数.则①当t=1时，S= ②m= S 18 6 047 图1 图2 34.(25-26九年级下重庆期中)如图，在平行四边形ABCD中，∠B=30°，AB=8,BC=16,动点P 以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B一A方向运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出 发，沿B一→C方向运动，动点M以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D→A方向运动.点P、 O、M三点同时出发，当点P到达点A时，点P,Q和M均停止运动，设动点P运动的时间为x秒 (0<x<8),△CPQ的面积为y,点M与点D之间的距离为， 珠 10 9 8 7 6 A D 5 M 4 3 2 012345678x (1)请直接写出，2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出，2的图象，并写出函数2的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出≤2时x的取值范围.（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.3） 1 2 3 4 5 6 7 3.5 6 7.5 8 7.5 3.5 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 2 0 2 6 35. (25-26八年级下·浙江杭州：阶段检测)已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm, BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以lcm/S的速度移动，点O从点B开始沿BC边向点C以 2Cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动 A→P B (1)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，PO的长度等于5cm? (②)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，△PBO的面积等于4cm2? (3)△PQB面积的最大值能否等于7cm2?如果能，求出对应的时间；如果不能，请通过计算求出△PQB面积 的最大值，并求出此时的时间 36.(2026河南焦作·一模)如图1，△ABC是边长为2的等边三角形，动点P以每秒一个单位长度的速度 从点A出发，沿折线AB-BC运动，到点C停止运动，运动时间记为t(秒)·以AP为边作正方形APQT 面积记为S.图2中给出点P在BC上运动时S和t的函数图象和部分点对应的坐标，该图象是抛物线的一 部分 SA 012341 图1 图2 (I)求出点P在BC上运动时S和t的函数关系式，并直接写出此函数取最小值时AP和BC的位置关系。 (2)请在图2中画出点P在AB上运动时S和t的函数图象， (3)设4=a,专=a+1时对应的函数值分别为S,S2,当a取何值时总有S,-S,21,直接写出a的取值范 围 15/15 专题02 二次函数应用的六种模型 题型一 二次函数的应用之增长率、销售问题 题型二 二次函数的应用之拱桥问题 题型三 二次函数的应用之投球问题 题型四 二次函数的应用之喷水问题 题型五 二次函数的应用之图形问题 题型六 二次函数的应用之图形运动问题 题型一：二次函数应用之增长率、销售问题 1．（25-26九年级上·吉林松原·阶段检测）据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度总值约为千亿元，第三季度总值为千亿元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数表达式是：， 故选：C． 2．（2026·黑龙江佳木斯·一模）某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用总利润等于每件利润乘以销售量的关系，分别求出每件利润和实际销售量，即可推导得到函数关系式． 【详解】解：每件利润为元， 实际每天销售量为：， ∴． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为_____（直观关系式无需化简） 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出二次函数关系式，掌握平均增长率是解决问题的关键；注意本题的等量关系为3个月的营业额之和． 可先表示出二月份、三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：二月份的营业额为，三月份的营业额为， 则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为：． 故答案为：． 4．（2022·浙江宁波·模拟预测）某商场销售人员在销售中发现：“南极人”牌童装进价为60元，售价定为100元时平均每天可售出20件．为了迎接六•一儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价5元，那么平均每天可多售出10件． (1)要想平均每天盈利1200元，那么每件童装的售价应定为多少元？ (2)每件童装的售价为多少元时，该商场每天销售此童装的盈利最多？ 【答案】(1)80元 (2)每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元 【分析】（1）设每件应降价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设总利润为W元，建立起关于的函数解析式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件应降价x元，由题意得 ， 解得：，， ∵为增大销量，减少库存， ∴每件童装应降价20元， 则售价为（元）； （2）解：设总利润为W元，由题意，得 ， ∴， ∴抛物线的开口向下，W有最大值， ∴当时，，元． 即每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元． 5．（25-26八年级下·河南开封·期末）某义乌玩具厂赶制2026年马年春节吉祥物笑笑马（设计为上扬微笑、喜庆吉祥），缝纫工人赶工时操作失误，把原本向上弯的嘴角反向缝制，笑笑马变成满脸委屈丧萌的“哭哭马”，引起年轻人的情绪共鸣，更被网友解读为“不完美也值得被喜欢”，一跃成为2026年顶流网红马． (1)某网店“哭哭马”今年1月份的销售量为1200件，3月份的销售量为1728件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)若该“哭哭马”的进价为每件15元，售价为每件25元，每天能销售40件；若售价每降价1元，每天可多售出10件．该店决定降价促销，若使销售“哭哭马”每天获利480元，为了尽快清理库存，则售价应降低多少元？ (3)当“哭哭马”售价降低多少元时，该网店每天获利最大，最大利润多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低元 (3)当售价降低元时，每天获利最大，最大利润为元 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设售价应降低y元，根据题意列一元二次方程求解即可； （3）设每天的利润为w，表示出，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴月平均增长率为； （2）解：设售价应降低y元 根据题意得， 解得， ∵为了尽快清理库存 ∴要尽可能大 ∴售价应降低元； （3）解：设每天的利润为w 根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，w取得最大值490 ∴当售价降低元时，每天获利最大，最大利润为元． 6．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)①每件应降价10元；②当降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于日总利润建立方程求解； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 题型二：二次函数应用之拱桥问题 7．（25-26九年级下·黑龙江·期中）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降2米后，水面的宽度为（    ）米 A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】建立适当坐标系，设出函数解析式，把代入解析式求出a，然后把代入解析式即可． 【详解】解：以水面所在直线为x轴，以过拱顶垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图， 根据题意设二次函数解析式为：， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴水面的宽度为（米）． 8．（2026·陕西延安·一模）图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”．如图2，门的内侧曲线为抛物线，以门的底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为，则下列说法错误的是（     ） A．门的最大高度为 B．门的底部宽度为 C．离地面处的门的水平宽度为 D．当门的水平宽度为时，门的高度为 【答案】C 【分析】以抛物线的解析式为基础，通过代入或解方程，分别验证每个选项里门的高度和水平宽度是否符合计算结果，从而找出错误选项． 【详解】解：选项：当，，即门的最大高度为，正确； 选项：，令可得，解得或，即点的坐标为，点的坐标为，故，正确； 选项：，令可得，解得或，故离地面处的门的水平宽度为，错误； 选项：当门的水平宽度为，此时，当，，即门的高度为，正确． 9．（2026·山西长治·一模）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 【答案】 【分析】由题意得，，求出抛物线解析式为，得，从而求出拱架最高点距底部的高度． 【详解】解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴拱架最高点距底部的高度为米． 10．（2026·广东东莞·三模）如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 【答案】主跨的高度约为． 【分析】以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得，，设该抛物线的表达式为，求出抛物线的解析式即可解答． 【详解】解：以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示． ， ，， ，． 设该抛物线的表达式为， 将，代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． 当时，． 答：主跨的高度约为． 11．（2026·河南开封·模拟预测）开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． 12．（2026·河南新乡·三模）如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱漫在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，可以通过往集装箱内注入水增加吃水深度，已知增加的浮力等于新注水的重力，求应往集装箱内至少注入水的质量为多少千克？（参考数据：取，，，） 【答案】(1) (2)解：①在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥，理由如下： ， 在中，当时，， ∵， ∴在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥； ②应往集装箱内至少注入水的质量为800千克 【分析】（1）以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设此抛物线的函数表达式为，根据题意可得点A和点C的坐标，据此利用待定系数法求解即可； （2）①求出时，y的值，再与此时集装箱在水上的高度比较即可得到答案；②可求出集装箱在水上的部分最高为，那么需要增加的吃水深度最少为，再根据浮力等于重力和浮力计算公式建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 设此抛物线的函数表达式为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴此抛物线的函数表达式为； （2）解：①略； ②在中，当时，， 当水面上涨到警戒水位时，集装箱在水上的部分最高为， 设应往集装箱内注入水的质量为t千克， 由题意得，， 解得， ∴t的最小值为800， 答：应往集装箱内至少注入水的质量为800千克． 题型三：二次函数应用之投球问题 13．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：函数， ， 该函数图象开口向下，有最大值， 对称轴为， 将代入得：， 即小球速度的最大值为． 14．（2026·天津北辰·二模）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数（）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 … y 0 6 8 n … 有下列结论： ①； ②当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为6米； ③小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米； ④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用待定系数法可求出二次函数解析式为，可判断①；②分别求出当时，两函数对应函数值，可判断②；联立得两函数解析式，求出x的值，可判断③；求出小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差与x的函数关系，再利用二次函数的性质，可判断④． 【详解】解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线过点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，，故①正确； ②对于，当时，， 对于，当时，， ∴当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为米，故②错误； 联立得：， 解得：， ∴小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米，故③正确； 小球在飞行的过程中与斜坡的高度差， ∵， ∴当时，h的值最大，最大值为， 即小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米，故④错误； 综上所述，正确的有①③． 15．（2026·山东临沂·一模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系式为：．有下列结论： ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离时，达到最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的序号是____________． 【答案】②③/③② 【分析】对于①，计算时，的值即可判断；对于②，将一般式化为顶点式，根据顶点坐标即可判断；对于③，计算时，的值即可判断． 【详解】解：对于①：将代入，得， ∴出手高度为，故①错误； 对于②：， ∴顶点坐标为，故②正确； 对于③：将代入，得 ， 整理，得， 解得或（负值，舍去）， ∴铅球落地时的水平距离为，故③正确． 16．（2026·广东惠州·二模）粤正在广东全省21个市火热进行，惠州主场气氛爆棚，全民观赛氛围十分浓厚，如图是篮球运动员小帅在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时，分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．篮球运行的路线可看成抛物线，小帅投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米，求此抛物线的解析式．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计）．          【答案】抛物线解析式为． 【分析】设抛物线解析式为，把代入解析式即可得解． 【详解】解：由题意得抛物线图象的顶点坐标为，且过点， 设抛物线解析式为， 把代入解析式得， 解得． 答：抛物线解析式为． 17．（2026·河南平顶山·二模）马年央视春晚上，一款表演机器人在舞台中央完成腾空跃起动作，其运动轨迹可近似看作抛物线．机器人从地面起跳点腾空，最高点距地面米，落地点与起跳点水平距离为米．如图，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)若舞台上一处灯光装置的坐标为，判断机器人在运动过程中是否会经过该灯光装置所在位置？ (3)若机器人在竖直高度不低于米的区域完成旋转表演，求机器人进行旋转表演的水平距离． 【答案】(1)； (2)不会； (3)． 【分析】由题意得抛物线的顶点坐标为，且点在抛物线上，设该抛物线的函数解析式为，然后把代入即可求解； 将代入抛物线解析式，然后比较即可； 令，则，解得，从而求出机器人进行旋转表演的水平距离． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，且点在抛物线上， 设该抛物线的函数解析式为， 把点代入得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：不会， 将代入抛物线解析式，得， ∴机器人不会经过该灯光装置所在位置； （3）解：令，则，解得， ∴水平距离为（米）， ∴机器人进行旋转表演的水平距离为米． 18．（2026·广东深圳·模拟预测）体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． 【答案】(1)2， (2) (3)邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴邓同学在此次训练中能得到满分； (4)m的值为或 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据题意得到出手时实心球的竖直高度即为时y的值，再通过观察表格数据，利用二次函数的对称性确定对称轴和顶点坐标； （2）由（1）知顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）令得到一元二次方程，解方程与米比较即可； （4）根据，分别位于对称轴两侧求出的取值范围，再分情况讨论：求出当M为最低点，或N为最低点时的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得：当时，， 则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，可得： 对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得：当时，， 则实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 抛物线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （3）略； （4）解：由（1）知，抛物线对称轴为直线， ，分别位于对称轴两侧， 解得： ①如图，当时，， 即， 解得：或； 与相矛盾，故舍去， ； ②如右图，当时，， 即， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，m的值为或． 题型四：二次函数应用之喷水问题 19．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图为喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，令，求出对应的x的值，则可求出的长度，然后根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴， ∵喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线， ∴， ∴， 即的长为， 故选：A． 20．（25-26九年级上·山东烟台·期末）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②．喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m．现要使水柱落点距O点8m，则喷头高应调整为______m． 【答案】16 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设，将代入解析式得出；喷头高时，可设；将代入解析式得，联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为，将代入可求出． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，即抛物线的二次项系数和一次项系数不会发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出， 整理得①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得②， 联立①②可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， 此时的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴喷头高应调整为。 故答案为：． 21．（2026·甘肃白银·二模）儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图1）．以出水点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示．喷出的水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系．为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道，其截面图如图3所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽为1米．则隧道顶端到地面的最大高度为________米． 【答案】 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当隧道顶部到水柱的竖直距离均等于1.5米时，隧道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵隧道宽为1米， ∴，即， ∵隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米， ∴，即， 即当隧道顶部到水柱的竖直距离均等于1.5米时，隧道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴隧道顶端到地面的最大高度为（米）． 22．（2026·陕西西安·模拟预测）某村响应国家高效节水灌溉的号召，引入了现代化喷灌设备．喷灌机从喷水口点向四周旋转喷洒，喷出的水流轨迹可近似看作形状相同的抛物线．如图，以地面为轴，喷灌机所在的竖直直线为轴，建立平面直角坐标系．已知喷水口距离地面的高度为，水流在离喷灌机的水平距离处达到最高点，此时喷洒高度为． (1)求这条水流所在抛物线的函数表达式； (2)若在距离喷灌机水平距离处，有一棵高的果树为了让水流能喷洒到果树右侧的土地，需要将喷水口沿竖直方向向上平移．已知平移后水流的速度、压力不变（抛物线的形状、大小保持不变），求喷水口至少需要向上平移多少米． 【答案】(1)； (2)． 【分析】由题意可得，顶点，然后利用待定系数法即可求解； 当时，，然后计算，则可得出喷水口至少需要向上平移的距离． 【详解】（1）解：由题意可得，顶点， 设这条水流所在抛物线的函数表达式为， 将代入得，解得， ∴这条水流所在抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， 则（米）， ∴喷水口至少需要向上平移米． 23．（2026·河南平顶山·二模）射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水流向上运动的高度（单位：）与向前运动的水平距离（单位：）的关系可以近似地表示为． (1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离的范围是______，它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离的范围是______； (2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离，高度处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？ (3)假设捕食的昆虫位于射水鱼正前方高度，并沿水平直线飞行，那么这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方多远处？ 【答案】(1)； (2)这次射出的水流不能击中这只昆虫 (3)这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方或处 【分析】（1）根据函数解析式可得对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向下，进而可得在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大，在对称轴的右侧即时，随的增大而减小，即可求解； （2）将代入得出，即可求解； （3）将代入求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，，过原点， 在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大，在对称轴的右侧即时，随的增大而减小， ∴它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离的范围是，它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离的范围是 （2）当时，， ∴这次射出的水流不能击中这只昆虫； （3）当时，， 解得， ∴这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方10cm或30cm处． 24．（2026·广东茂名·二模）【背景介绍】某公园准备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池中心点设为点，其正上方米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图）．在忽略空气阻力的情况下，假设喷头喷出的水流运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内． 【数学建模】以水池中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（轴在水面水平方向，轴竖直向上），其中为喷泉的喷头位置．在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点时的坐标为，随后水流落回水面上的点． (1)【建立模型】求该抛物线的函数表达式； (2)【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径的长（结果保留根号）； (3)【优化设计】公园设计师认为，当水流落点距离中心恰好为5米时，视觉效果最好．在不改变抛物线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？ 【答案】(1) (2)米 (3)要把喷泉喷头升高2米． 【分析】（1）理解题意，先设该抛物线的函数表达式为，再运用待定系数法求出解析式，即可作答． （2）理解题意，把代入计算，再结合在轴的正半轴，故半径的长为米． （3）理解题意，设要把喷泉喷头升高米，得出升高后的抛物线的解析式为，把整理得出的代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∵最高点时的坐标为， ∴设该抛物线的函数表达式为， 把代入，得 解得， ∴ （2）解：由（1）得， 依题意，把代入， 得 整理得 解得， ∵在轴的正半轴， ∴． ∴半径的长为米． （3）解：由（1）得， 设要把喷泉喷头升高米， 依题意，升高后的抛物线的解析式为 ∵水流落点距离中心恰好为5米， ∴ 把代入， 得 整理得 解得 ∴要把喷泉喷头升高2米． 题型五：二次函数应用之图形问题 25．（2026·广东河源·模拟预测）如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式构建S关于x的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S最大， 此时． 26．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，某校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口．若要使车棚的面积最大，则的长为___________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一元二次函数的应用及一元二次函数的最值，掌握一元二次函数的最值求法是解题的关键． 设车棚宽度的长为，则车棚长度为，列出一元二次函数，再求最值即可； 【详解】解：如图：设车棚宽度的长为，则车棚长度为， 则，， 所以车棚的面积 ， 所以，当，即，时，车棚的面积最大． 故答案为：12． 27．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，矩形的四个顶点在等腰直角三角形的边上．，已知长为，设边长为x，矩形的面积为S最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用等腰直角三角形和矩形的性质，求出矩形另一边的表达式，进而得到面积函数根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：是等腰直角三角形，，， ， 由勾股定理可得， 四边形是矩形， ， ， 则和都是等腰直角三角形， ，， 设，则， ，且， ， 解得， 矩形面积， ，， 解得， 当时，有最大值． 故答案为：． 28．（2026·陕西咸阳·三模）如图，某公园打造的花海由线段和抛物线围成，抛物线的顶点到的距离为，m，以点为坐标原点，所在直线为轴，经过点且与垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的对称轴与轴垂直． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该花海被分成四部分，其中矩形区域内种植向日葵，已知点、在上，点、在抛物线上（点在抛物线对称轴的右侧），且m，求该花海中种植向日葵的面积（即矩形的面积）． 【答案】(1) （或 ） (2) m2 【分析】（1）根据二次函数待定系数法可求出该抛物线的表达式； （2）根据长度可求出点坐标，又因为点、在抛物线上（点在抛物线对称轴的右侧）可求出的坐标，从而求出长度，以及矩形的面积 【详解】（1）由题意可得抛物线的顶点A的坐标为，点B的坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入上式，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为 （或 ）． （2）由题意可得点E的纵坐标为60， 令 ，解得，． ∵点E在抛物线对称轴的右侧， ∴点E的坐标为，点F的坐标为， ∴（米） ， ∴（平方米）， ∴该花海中种植向日葵的面积是平方米． 29．（2026·四川成都·模拟预测）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与，与之间的函数解析式（要求写出的取值范围）； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据栅栏总长为可得到与的函数解析式，再由矩形的面积公式得到与的函数解析式； （2）将与的函数解析式转化为顶点式，结合的取值范围求解最大值即可． 【详解】（1）解：设矩形实验田与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，面积为， ∵栅栏总长为， ∴，即， 其中， 由，可得， ∴与的函数解析式为； 由矩形的面积可知，； （2）解：∵， ∴ 当时，矩形实验田的面积最大，为800，且满足的取值范围， 答：当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是． 30．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）小明准备一条绳子晾晒衣被，他在两棵与地面垂直的树、之间悬挂一条绳子，绳子下垂近似成抛物线，建立如图1所示的平面直角坐标系．已知树与等高，且、之间的水平距离为5米． (1)求树的高度及抛物线的顶点坐标； (2)如图2，为了更好地晾晒衣被，嘉嘉把绳子从点M处用一根木棍撑起，将抛物线分成抛物线和两部分，并使得点M到树的距离为2米，使抛物线的最低点距树的距离为米，且距离地面2米，求点M到地面的距离． 【答案】(1)树的高度为3米，顶点坐标为 (2)点M到地面的距离为米 【分析】（1）当时，直接求树的高度，可求出，再代入可得出抛物线解析式，再用顶点公式求顶点坐标； （2）设抛物线的解析式为，先求出抛物线的解析式，代入点M的横坐标，计算对应的纵坐标即到地面的距离． 【详解】（1）解：已知抛物线，当时，， ∴树的高度为3米． 与等高，且米， ∴． 将代入抛物线解析式， 得， 化简，得，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为． （2）解：由题意得，点M的横坐标为2，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为． ∵抛物线过点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为， 将代入解析式， 得， 故点M到地面的距离为米． 题型六：二次函数应用之图形运动问题 31．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况分类讨论：当时，利用等腰直角三角形的性质得出与的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当时，利用三角形面积公式得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 过点C作与点H， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 故选项B符合题意． 32．（2026·湖北襄阳·一模）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点． 请回答下列问题： （1）________； （2）当时，则的长度为______． 【答案】 13 【分析】（1）如图1，作，在上取点H，使，连接，，，当时，动点Q运动到点H的位置，得到，当点Q运动到点G的时候，最小为81，，再由勾股定理求出m的值； （2）求抛物线的解析式，将代入即可解答． 【详解】解：（1）如图1，过点P作于G，在上取点H，使，连接，，， ∵， ∵当时，动点Q运动到点H的位置， 则由题意和图象可知， 当点Q运动到点G的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ； （2）由（1）得：， ∴，， ， 当时，点Q运动到点B，则， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴顶点坐标为， 当，即点Q在A点时， ∴， ∴点C的纵坐标为250， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， ， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴（负值舍去）． 33．（2026·湖北十堰·一模）如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 【答案】 3 11 【分析】先由函数图象可得当点运动到点时，，由此求出，当时，点的运动路程为1，即此时点在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出，当点在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出，当时，． 【详解】解：由函数图象可得当点运动到点时，，， ∵， ， ∴, ∴， 当时，，此时点在上， ∴， ∴； 当点在上时， 由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得, 解得，， ∴， 当时， ， 即． 34．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿B→C方向运动，动点M以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D→A方向运动．点P、Q、M三点同时出发，当点P到达点A时，点P，Q和M均停止运动，设动点P运动的时间为x秒，的面积为，点M与点D之间的距离为 (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围．(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.3) 【答案】(1)， (2)函数图象如图所示： 函数的性质：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）过点P作于点N，根据题意可得，则，结合30度直角三角形的性质表示出，然后利用三角形面积公式即可表示出，进而分点M在上和在上时，分别表示出即可； （2）根据（1）中所求表达式，利用描点法作图即可； （3）根据图象找出的图象在的图象下方时，x的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作于点N， ∵在平行四边形中，，，， ∴，， 根据题意可得，，则， ∵在中，， ∴， ∴； 当点M在上时，即时，， 当点M在上时，即时，； ∴综上可知：； （2）解：描点如下： x 1 2 3 4 5 6 7 3.5 6 7.5 8 7.5 6 3.5 6 4 2 0 2 4 6 所作函数图象（略）；性质略（答案不唯一）； （3）解：由函数图象，当时，x的取值范围是或． 35．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知：如图所示，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动 (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)面积的最大值能否等于？如果能，求出对应的时间；如果不能，请通过计算求出面积的最大值，并求出此时的时间． 【答案】(1)当或时，的长度等于 (2)当时，的面积等于 (3)不能等于，面积的最大值为，理由见详解 【分析】（1）根据题意得到点P移动的时间为，点Q移动的时间为，设运动时间为，则，，由勾股定理列式求解即可； （2）根据三角形面积，结合（1）中，列式求解即可； （3）根据面积公式列式，运用一元二次方程的判别式得到原方程无解，再根据非负性，不等式的性质得到面积的最大值． 【详解】（1）解：点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动， ∴点P移动的时间为，点Q移动的时间为， ∵其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动，设运动时间为， ∴， ∴，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，，， ∴当或时，的长度等于； （2）解：， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴当时，的面积等于； （3）解：不能等于，面积的最大值为，理由如下， 根据题意，， 整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴面积的最大值不能等于， ， ∴当时，面积的最值，最大值为， ∴面积的最大值不能等于，面积的最大值为． 36．（2026·河南焦作·一模）如图1，是边长为2的等边三角形，动点P以每秒一个单位长度的速度从点A出发，沿折线运动，到点C停止运动，运动时间记为t（秒）．以为边作正方形，面积记为S．图2中给出点P在上运动时S和t的函数图象和部分点对应的坐标，该图象是抛物线的一部分． (1)求出点P在上运动时S和t的函数关系式，并直接写出此函数取最小值时和的位置关系． (2)请在图2中画出点P在上运动时S和t的函数图象． (3)设，时对应的函数值分别为，，当a取何值时总有，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)； (2)点P在上运动时S和t的函数图象，如下： (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，再根据二次函数的性质和垂线段最短即可解答； （2）求得当点P在上运动时，S和t的函数解析式，再画出图象即可； （3）分类讨论，列出不等式，解不等式即可解答． 【详解】（1）解：根据图象可得点P在上运动时S和t的函数关系式的顶点为， 设S和t的函数关系式为， 把代入可得， 解得， 点P在上运动时S和t的函数关系式为； 当取最小时，即最小，此时； （2）解：当点P在上运动时，， 此时正方形的面积为， ， （3）解：当时，即时， ，， ， 则， 解得， ； 当时，即时， ，， ， 则， 解得， ； 当时，即时， ，， ， 则， 解得， ； 综上，可得或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数应用的六种模型 题型一 二次函数的应用之增长率、销售问题 题型二 二次函数的应用之拱桥问题 题型三 二次函数的应用之投球问题 题型四 二次函数的应用之喷水问题 题型五 二次函数的应用之图形问题 题型六 二次函数的应用之图形运动问题 题型一：二次函数应用之增长率、销售问题 1．C 2．B 3． 4．(1)80元 (2)每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元 【分析】（1）设每件应降价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设总利润为W元，建立起关于的函数解析式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件应降价x元，由题意得 ， 解得：，， ∵为增大销量，减少库存， ∴每件童装应降价20元， 则售价为（元）； （2）解：设总利润为W元，由题意，得 ， ∴， ∴抛物线的开口向下，W有最大值， ∴当时，，元． 即每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元． 5．(1)月平均增长率为 (2)售价应降低元 (3)当售价降低元时，每天获利最大，最大利润为元 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设售价应降低y元，根据题意列一元二次方程求解即可； （3）设每天的利润为w，表示出，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴月平均增长率为； （2）解：设售价应降低y元 根据题意得， 解得， ∵为了尽快清理库存 ∴要尽可能大 ∴售价应降低元； （3）解：设每天的利润为w 根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，w取得最大值490 ∴当售价降低元时，每天获利最大，最大利润为元． 6．(1)； (2)①每件应降价10元；②当降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于日总利润建立方程求解； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 题型二：二次函数的应用之拱桥问题 7．D 8．C 9． 10．主跨的高度约为． 【分析】以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得，，设该抛物线的表达式为，求出抛物线的解析式即可解答． 【详解】解：以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示． ， ，， ，． 设该抛物线的表达式为， 将，代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． 当时，． 答：主跨的高度约为． 11．(1) (2)米 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． 12．(1) (2)解：①在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥，理由如下： ， 在中，当时，， ∵， ∴在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥； ②应往集装箱内至少注入水的质量为800千克 【分析】（1）以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设此抛物线的函数表达式为，根据题意可得点A和点C的坐标，据此利用待定系数法求解即可； （2）①求出时，y的值，再与此时集装箱在水上的高度比较即可得到答案；②可求出集装箱在水上的部分最高为，那么需要增加的吃水深度最少为，再根据浮力等于重力和浮力计算公式建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 设此抛物线的函数表达式为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴此抛物线的函数表达式为； （2）解：①略； ②在中，当时，， 当水面上涨到警戒水位时，集装箱在水上的部分最高为， 设应往集装箱内注入水的质量为t千克， 由题意得，， 解得， ∴t的最小值为800， 答：应往集装箱内至少注入水的质量为800千克． 题型三：二次函数的应用之投球问题 13．B 14．B 15．②③/③② 16．抛物线解析式为． 【分析】设抛物线解析式为，把代入解析式即可得解． 【详解】解：由题意得抛物线图象的顶点坐标为，且过点， 设抛物线解析式为， 把代入解析式得， 解得． 答：抛物线解析式为． 17．(1)； (2)不会； (3)． 【分析】由题意得抛物线的顶点坐标为，且点在抛物线上，设该抛物线的函数解析式为，然后把代入即可求解； 将代入抛物线解析式，然后比较即可； 令，则，解得，从而求出机器人进行旋转表演的水平距离． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，且点在抛物线上， 设该抛物线的函数解析式为， 把点代入得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：不会， 将代入抛物线解析式，得， ∴机器人不会经过该灯光装置所在位置； （3）解：令，则，解得， ∴水平距离为（米）， ∴机器人进行旋转表演的水平距离为米． 18．(1)2， (2) (3)邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴邓同学在此次训练中能得到满分； (4)m的值为或 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据题意得到出手时实心球的竖直高度即为时y的值，再通过观察表格数据，利用二次函数的对称性确定对称轴和顶点坐标； （2）由（1）知顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）令得到一元二次方程，解方程与米比较即可； （4）根据，分别位于对称轴两侧求出的取值范围，再分情况讨论：求出当M为最低点，或N为最低点时的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得：当时，， 则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，可得： 对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得：当时，， 则实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 抛物线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （3）略； （4）解：由（1）知，抛物线对称轴为直线， ，分别位于对称轴两侧， 解得： ①如图，当时，， 即， 解得：或； 与相矛盾，故舍去， ； ②如右图，当时，， 即， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，m的值为或． 题型四：二次函数的应用之喷水问题 19．A 20．16 21． 22．(1)； (2)． 【分析】由题意可得，顶点，然后利用待定系数法即可求解； 当时，，然后计算，则可得出喷水口至少需要向上平移的距离． 【详解】（1）解：由题意可得，顶点， 设这条水流所在抛物线的函数表达式为， 将代入得，解得， ∴这条水流所在抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， 则（米）， ∴喷水口至少需要向上平移米． 23．(1)； (2)这次射出的水流不能击中这只昆虫 (3)这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方或处 【分析】（1）根据函数解析式可得对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向下，进而可得在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大，在对称轴的右侧即时，随的增大而减小，即可求解； （2）将代入得出，即可求解； （3）将代入求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，，过原点， 在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大，在对称轴的右侧即时，随的增大而减小， ∴它运动的高度逐步上升时，水流向前运动的水平距离的范围是，它运动的高度逐步下降时，水流向前运动的水平距离的范围是 （2）当时，， ∴这次射出的水流不能击中这只昆虫； （3）当时，， 解得， ∴这次射出的水流要击中这只昆虫，可能在射水鱼正前方10cm或30cm处． 24．(1) (2)米 (3)要把喷泉喷头升高2米． 【分析】（1）理解题意，先设该抛物线的函数表达式为，再运用待定系数法求出解析式，即可作答． （2）理解题意，把代入计算，再结合在轴的正半轴，故半径的长为米． （3）理解题意，设要把喷泉喷头升高米，得出升高后的抛物线的解析式为，把整理得出的代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∵最高点时的坐标为， ∴设该抛物线的函数表达式为， 把代入，得 解得， ∴ （2）解：由（1）得， 依题意，把代入， 得 整理得 解得， ∵在轴的正半轴， ∴． ∴半径的长为米． （3）解：由（1）得， 设要把喷泉喷头升高米， 依题意，升高后的抛物线的解析式为 ∵水流落点距离中心恰好为5米， ∴ 把代入， 得 整理得 解得 ∴要把喷泉喷头升高2米． 题型五：二次函数的应用之图形问题 25．C 26．12 27． 28．(1) （或 ） (2) m2 【分析】（1）根据二次函数待定系数法可求出该抛物线的表达式； （2）根据长度可求出点坐标，又因为点、在抛物线上（点在抛物线对称轴的右侧）可求出的坐标，从而求出长度，以及矩形的面积 【详解】（1）由题意可得抛物线的顶点A的坐标为，点B的坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入上式，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为 （或 ）． （2）由题意可得点E的纵坐标为60， 令 ，解得，． ∵点E在抛物线对称轴的右侧， ∴点E的坐标为，点F的坐标为， ∴（米） ， ∴（平方米）， ∴该花海中种植向日葵的面积是平方米． 29．(1)； (2)当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据栅栏总长为可得到与的函数解析式，再由矩形的面积公式得到与的函数解析式； （2）将与的函数解析式转化为顶点式，结合的取值范围求解最大值即可． 【详解】（1）解：设矩形实验田与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，面积为， ∵栅栏总长为， ∴，即， 其中， 由，可得， ∴与的函数解析式为； 由矩形的面积可知，； （2）解：∵， ∴ 当时，矩形实验田的面积最大，为800，且满足的取值范围， 答：当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是． 30．(1)树的高度为3米，顶点坐标为 (2)点M到地面的距离为米 【分析】（1）当时，直接求树的高度，可求出，再代入可得出抛物线解析式，再用顶点公式求顶点坐标； （2）设抛物线的解析式为，先求出抛物线的解析式，代入点M的横坐标，计算对应的纵坐标即到地面的距离． 【详解】（1）解：已知抛物线，当时，， ∴树的高度为3米． 与等高，且米， ∴． 将代入抛物线解析式， 得， 化简，得，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为． （2）解：由题意得，点M的横坐标为2，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为． ∵抛物线过点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为， 将代入解析式， 得， 故点M到地面的距离为米． 题型六：二次函数的应用之图形运动问题 31．B 32． 13 33． 3 11 34．(1)， (2)函数图象如图所示： 函数的性质：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）过点P作于点N，根据题意可得，则，结合30度直角三角形的性质表示出，然后利用三角形面积公式即可表示出，进而分点M在上和在上时，分别表示出即可； （2）根据（1）中所求表达式，利用描点法作图即可； （3）根据图象找出的图象在的图象下方时，x的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作于点N， ∵在平行四边形中，，，， ∴，， 根据题意可得，，则， ∵在中，， ∴， ∴； 当点M在上时，即时，， 当点M在上时，即时，； ∴综上可知：； （2）解：描点如下： x 1 2 3 4 5 6 7 3.5 6 7.5 8 7.5 6 3.5 6 4 2 0 2 4 6 所作函数图象（略）；性质略（答案不唯一）； （3）解：由函数图象，当时，x的取值范围是或． 35．(1)当或时，的长度等于 (2)当时，的面积等于 (3)不能等于，面积的最大值为，理由见详解 【分析】（1）根据题意得到点P移动的时间为，点Q移动的时间为，设运动时间为，则，，由勾股定理列式求解即可； （2）根据三角形面积，结合（1）中，列式求解即可； （3）根据面积公式列式，运用一元二次方程的判别式得到原方程无解，再根据非负性，不等式的性质得到面积的最大值． 【详解】（1）解：点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动， ∴点P移动的时间为，点Q移动的时间为， ∵其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动，设运动时间为， ∴， ∴，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，，， ∴当或时，的长度等于； （2）解：， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴当时，的面积等于； （3）解：不能等于，面积的最大值为，理由如下， 根据题意，， 整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴面积的最大值不能等于， ， ∴当时，面积的最值，最大值为， ∴面积的最大值不能等于，面积的最大值为． 36．(1)； (2)点P在上运动时S和t的函数图象，如下： (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，再根据二次函数的性质和垂线段最短即可解答； （2）求得当点P在上运动时，S和t的函数解析式，再画出图象即可； （3）分类讨论，列出不等式，解不等式即可解答． 【详解】（1）解：根据图象可得点P在上运动时S和t的函数关系式的顶点为， 设S和t的函数关系式为， 把代入可得， 解得， 点P在上运动时S和t的函数关系式为； 当取最小时，即最小，此时； （2）解：当点P在上运动时，， 此时正方形的面积为， ， （3）解：当时，即时， ，， ， 则， 解得， ； 当时，即时， ，， ， 则， 解得， ； 当时，即时， ，， ， 则， 解得， ； 综上，可得或． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $