4.3.1正比例函数的图象和性质 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦正比例函数的图象和性质，从函数图象定义及摩天轮实例导入，衔接前一节一次函数的直观认知，通过列表、描点、连线的操作探究，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以“操作-探究-归纳”为主线，引导学生画y=2x、y=-3x等函数图象，经历验证点在直线上的过程发展几何直观（数学眼光），对比k值正负分析增减性与象限关系培养推理意识（数学思维），规范画图步骤与性质总结提升应用意识（数学语言）。学生能主动参与探究加深理解，教师可依托结构化流程高效教学。

第1课时　 正比例函数的图象和性质 第四章　一次函数 3 学习目标 1.经历正比例函数的画图过程，初步了解画函数图象的一般步骤。 2.经历正比例函数图象变化情况的探索过程，发展数形结合的意识和能力。 3.能熟练画出正比例函数的图象，并掌握其简单性质。 导入新课 把一次函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象． 3 摩天轮上一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间函数关系的图象． 正比例函数y＝kx的图象是怎样的呢？它具有哪些性质呢？ 探究与应用 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点,所有这些点组成的图形叫作该函数的图象,本章教材图4-1就是摩天轮上某一点离地面的高度h(单位:m)与旋转时间t(单位:min)之间函数关系的图象,借助图象可以直观地认识函数.在前一节学习中,我们已经通过几个具体实例直观感受到一次函数的图象好像是一条直线,真是这样吗?我们先从简单的正比例函数图象开始探究吧! 探究1　正比例函数的图象 概念导入 画正比例函数y=2x的图象. (1)为了画出函数的图象,首先需要选取一些自变量的值,并将自变量的值及其对应的函数值用表格表示.那么,列表时选取自变量x的哪些值呢?观察这个函数表达式,x可以取0吗?可以取正数吗?可以取负数吗?将下面的表格补充完整. 解:(1)x可以取任意实数,可以是0,正数,负数;列表如下(不唯一): 操作思考 x … 　  　  　  　  　  … y … 　  　  　  　  　  … -2 -4 -1 -2 0 0 1 2 2 4 探究新知 【探究1】作正比例函数的图象 请画出正比例函数 y = 2x. 问1：这个函数的自变量取值范围是什么? 任意实数 问2：怎样获得组成图象的点? 先确定点的坐标 问3：怎样确定满足函数关系的点的坐标? 取一些自变量的值，计算出相应的函数值. 正比例函数的图象的画法 例1：画出正比例函数y=2x的图象. 解： 1.列表 x y 1 0 0 -1 2 -2 … … … … 2 4 -2 -4 2.描点 3.连线 y=2x 做一做 （1）画出正比例函数y=-3x的图象。 （2）在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系式y=-3x。 y=-3x y=-3x y=2x 正比例函数y=kx的图象有何相同的特点？ 议一议 正比例函数y=kx的图象是一条经过原点（0，0）的直线。 两点作图法 (2)以你所列表中各组对应值为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点. 图4-3-1 x … 　  　  　  　  　  … y … 　  　  　  　  　  … -2 -4 -1 -2 0 0 1 2 2 4 解:(2)描点,如图. (3)这些点真的在一条直线上吗?你能画出这条直线吗? 解:(3)在一条直线上,可以画出. 连线:把这些点依次连接起来,得到y=2x的图象,它是一条直线. (4)其他满足y=2x的点(x,y)也在上面画出的直线上吗? 解:(4)其他满足y=2x的点(x,y)也在上面画出的直线上. 描点 以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点. 连线 把这些点依次连接起来，得到 y = 2x 的图象，它是一条直线. y = 2x 思考：① 满足关系式 y = 2x 的 x，y 所对应的点(x，y)都在正比例函数 y = 2x 的图象上吗？ ② 正比例函数 y = 2x 的图象上的点 (x，y) 都满足关系式 y = 2x 吗？ x 0 1 y=x y=3x y=-0.5x y=-4x 解：1.列表 四个函数描点的坐标分别是： (0,0)与（1，1） (0,0)与（1，3） (0,0)与（1，-0.5） (0,0)与（1，-4） 2.描点 3.连线 做一做 0 1 0 3 0 -0.5 0 -4 在同一直角坐标系内画出函数y=x，y=3x，y=-0.5x和y=-4x的图象。 议一议 这四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？ 在y=x和y=3x中，y随x的增大而增大； 在y=-4x和y=-0.5x中，y随x的增大而减小。 画函数图象的一般步骤:　　　　、　　　　、　　　　.  列表 概括新知 描点 连线 (1)在图4-3-1中画正比例函数y=-3x的图象. 思考交流 图4-3-1 解:(1)如图所示. (2)正比例函数y=2x和y=-3x的图象有什么共同特点?一般地,正比例函数y=kx的图象有何特点?与同伴进行交流. 解:(2)正比例函数y=2x和y=-3x的图象都是过原点的一条直线,正比例函数y=kx的图象也是过原点的一条直线. 图4-3-1 y = 2x 都满足. 因为每个点都代表 x 的值与 y 的值的一种对应. 例如：点 (2，4) 表示当 x = 2 时，y = 4. 画函数图象的一般步骤： 根据这个步骤画出函数 y = -3x 的图象 归纳总结 ①列表 ②描点 ③连线 在正比例函数y=kx中， 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大，经过第一、三象限； 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小，经过第二、四象限. 在正比例函数y＝kx中，k与函数增减性有什么关系？与图象经过的象限有什么关系？你能说明其中的道理吗？ 议一议 想一想 （1）在y=x和y=3x中，y随x的增大而增大，其中哪一个增加得更快？ y=3x y=-4x （2）在y=-4x和y=-0.5x中，y都随x增大而减小，其中哪一个减小得更快？ k>0时，k越 直线越陡，函数值增大得越快 k<0时，k越 直线越陡，函数值减小得越快 大 小 想一想 （3）在y=3x和y=-3x中，函数的增减上有什么不同点和相同点？ 不同点： 在y=3x中，y随x的增大而增大； 在y=-3x中，y随x的增大而减小。 y=-3x 相同点： 在y=3x和y=-3x中，y随x的增大或减小的速度相同。 在画正比例函数图象时,我们通常过点(0,0)和点(1,k)画直线. 巧 画图 正比例函数y=kx的图象是一条经过　　　　　　　　的直线.因此,画正比例函数图象时,只要再确定一个点,过这个点与　　　　画直线就可以了.  概括新知 原点(0,0) 原点 (1) 画出正比例函数 y＝﹣3x 的图象. x … -2 -1 0 1 2 … y 0 -3 -6 6 3 ··· ··· y 1 2 -1 1 4 3 O 3 2 x -2 -3 -1 -2 -3 y =﹣3x 练一练 (2) 在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式 y＝﹣3x. 满足 在正比例函数y＝kx中，|k|对函数增减速度有什么影响呢？ 在正比例函数y＝kx中， |k|越大，直线越陡，相应的函数值增减的速度越快. 想一想 小 结 本节课你有哪些收获？ 1.正比例函数y=kx的图象是一条经过原点（0，0）的直线。 2.当k>0时，y的值随着x值的增大而增大，经过第一、三象限； 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小，经过第二、四象限. 3.|k|越大，直线越陡，相应的函数值增加或减小得越快. 一、画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线。 二、正比例函数的图象和性质 应用　利用正比例函数图象的性质解决问题 减小 (1)已知正比例函数y=kx(k是常数,k≠0), ①若图象经过第二、四象限,那么y的值随着x值的增大而　 (填 “增大”或“减小”);  ②若函数值y随着自变量x值的增大而减小,那么符合条件的正比例函数可以是　　　 　(只需写出一个).  (2)已知点P1(1,y1),P2(2,y2)在正比例函数y=-x的图象上,则y1　　 y2 (填“>”“<”或“=”).  例 1 y=-2x(答案不唯一) > 减小 已知正比例函数y=-x和y=-3x.它们的函数值y都随x的增大而　　　　,且函数y=-3x的y值比函数y=-x的y值　　　　得更快,即直线y=-3x比直线y=-x更　　　　(填“陡”或“平”).  例 2 减小 　陡 课堂小结 正比例函数的图象和性质 图象：经过原点的直线. 当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经过第二、四象限. 性质：当k>0时，y的值随x值的增大而增大； 当k<0时，y的值随x值的增大而减小. 画正比例函数图象的一般步骤：列表、描点、连线 $