4.4 一次函数的应用 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

null两个一次函数图象的应用 4.4 一次函数的应用 北师版·八年级(上册) 第3课时 《学习目标》 会用一次函数解决复杂的实际问题。(重点) 会根据两个一次函数图象去分析解决问题。(难点) “复习回顾” 01 上节课我们学习了应用一个一次函数的去解决实际问题。 一次函数与一元一次方程有什么关系？ 如果问题中涉及两个或两个以上的一次函数， 我们该怎么去分析并解决问题？ “探索新知” 02 如图，l1 表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2 表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系。 知识点 两个一次函数图象的应用 根据图象填空: （2）当销售量为 6 t 时， 销售收入为_____元， 销售成本为_____元。 （1）当销售量为 2 t 时， 销售收入为______元， 销售成本为______元。 2000 3000 6000 5000 销售收入 销售成本 （3）当销售量________时， 销售收入等于销售成本。 等于4 t （4）当销售量_________时， 销售收入大于销售成本， 该公司赢利； 当销售量__________时， 销售收入小于销售成本， 该公司亏损。 大于4 t 小于4 t 销售收入 销售成本 （5）当销售量为______t时， 该公司赢利 1000 元。 6 销售收入 销售成本 l1对应的函数表达式 是 ， （6） l2对应的函数表达式 是 。 y＝1000x y＝500x＋2000 销售收入 销售成本 y＝1000x y＝500x＋2000 解：由（5）题意，得 1000x－(500x＋2000)=1000。 解这个方程得，x=6。 所以当销售量为 6 t时， 该公司赢利 1000 元。 （7）你能借助（6）的结论求解（5）吗？ 设l1对应的一次函数为 y＝k1x ＋b1，k1和b1的实际意义各是什么？ 销售收入 y＝1000x k1表示每销售1吨产品，可收入1000元； b1表示未销售时，销售收入为0元。 思考·交流 设l2对应的一次函数为 y＝k2x ＋b2，k2和b2的实际意义各是什么？ 销售成本 y＝500x＋2000 k2表示每销售1 吨产品的成本为500元； b2表示未销售时，为销售所花的成本为2000元。 【例3】下图是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。 图中 l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系。 (1) 哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？ 当t = 0时，甲到观景台1的路程为0m，即s=0，故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系。 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： 解 甲 乙 （2）甲和乙哪个人的速度快？ t 从 0 增加到 20 时，l1 上点的纵坐标增加了1000， l2 上点的纵坐标增加了 600，即 20 min内，甲行走了1000m，乙行走了600m，所以甲的速度快。 解 甲 乙 （3）30 min 内甲能否追上乙？ 延长 l1，l2，可以看出， 当t＝30时，l1 上的对应点在 l2 上对应点的下方，这表明，30 min时甲尚未追上乙。 解 P 甲 乙 （4）到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？ 如图，l1 与 l2 的交点 P 的纵坐标 小于（800＋1300=）2100，这说明，甲能在到达观景台3前追上乙。 P 甲 乙 2000 （5）设l1与l2对应的两个一次函数分别为s＝k1t＋b1与s＝k2t＋b2，k1，k2的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？ 甲的速度是50 m/min， 乙的速度是30 m/min。 k1 表示甲的速度， k2 表示乙的速度。 解 甲 乙 思考：你能用其他方法解决例3（1）~（4）吗？ 依据“速度＝路程÷时间”，求出甲的速度是 50 m/min， 乙的速度是 30 m/min。 问题即可依据行程问题解决。 方法2 求出l1和l2对应的函数表达式，y＝50x，y＝30x＋800，再依据实际意义解决。 方法3 某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一租车公司签订月租车合同.设汽车每月行驶x km,应付给个体车主的月费用为y1元,应付给租车公司的月费用是y2元, y1 , y2与x 之间的函数关系图象如图所示. 观察图象回答下列问题: (1)每月行驶的路程在什么范围内时,选择租车公司更合算? 例 1 解:每月行驶的路程小于1500 km 时, y1＞y2, 选择租车公司更合算。 (2)每月行驶的路程等于多少时,租车的费用相同? (3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2600 km,那么这个单位和谁签订合同比较合算? 每月行驶的路程为1500 km时, y1=y2，租车的费用相同。 如果每月行驶的路程为2600 km，那么y1＜ y2，所以这个单位和个体车主签订合同比较合算。 举一反三训练 D.10 s 时,甲无人机距离地面的高度是60 m 1-1 甲无人机从地面起飞,乙无人机从距离地面20 m高的楼顶起飞,两架无人机同时匀速上升10 s.甲 、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y (m)与无人机上升的时间 x ( s)之间的关系如图所示.下列说法正确的是 ( ) A.5 s时,两架无人机都上升了40 m B.10 s时,两架无人机的高度差为20 m C.乙无人机上升的速度为8 m/s B 1-2 如图, y甲 , y乙分别表示某工厂甲、乙两车间相同产 品的库存总量 y(t)与生产天数x之间的函数关系,根据图象回答： (1)第____天结束时,两车间的库存总量相同; (3)甲、乙两车间的库存总量 y与x 之间的关系式分别为y甲 =_________, y乙=_________； (4)第30天结束时,甲、乙两车间的库存总量分别是____ t和____ t。 (2)甲车间每天生产____ t ,乙车间每天生产____ t ; 20 10 20 10x+400 20x+200 700 800 回顾·反思 回顾应用一次函数解决问题的过程，你对不同解决方法有什么体会？ “随堂练习” 03 如图，射线OA，BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数图象，图中 s，t 分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h。 4 1. 甲乙两队举行一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛 时的路程 s（米）与时间 t（分钟）之间的函数关系式如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（ ） C 2. A.甲队率先到达终点 B.甲队比乙队多走了200米 C.乙队比甲队少用0.2分钟 D.比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度大 （1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是_____________， 从点燃到燃尽所用的时间分别是_____________。 30厘米、25厘米 2小时，2.5小时 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩 余部分的高度y（厘米）与燃烧时间 x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题。 3. （2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式。 解 甲：设y＝k1x＋b1。 将（0，30）代入 y＝k1x＋b1中得 b1＝30, 再将点（2，0）和 b1的值代入y＝k1x＋b1中， 可得 k1＝ -15，所以 y＝ -15x＋30。 乙：设y＝k2x＋b2。 把（0，25）代入y＝k2x＋b2可知b2＝25， 再将（2.5，0）和b2的值代入y＝k2x＋b2中, 得k2＝ -10，所以y＝ -10x＋25。 （3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等？ 当0 ≤ x ＜1时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高； 在1＜ x ＜2.5时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低。 在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？ 在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？ (不考虑都燃尽的情况) 令 -15x＋30＝ -10x＋25， 解得 x＝1。 所以燃烧1小时时，甲、乙两根蜡烛的高度相等； 解 某服装厂现有A种布料70m，B种布料52m，现计划 用这两种布料生产M、N两种型号的时装80套。已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6m，B种布料0.9m，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料1.1m，B种布料0.4m，可获利润50元。若设生产N型号的时装套数x，用这批布料生产这两种型号的时装所获得总利润为y元。 4. （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）该服装厂在生产这批时装中，当生产N型号的时装多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？ 解 （2） 由y＝5x＋3600可知， x 最大为44时，即 N 型号的时装为44套时，所获利润最大； 利润最大为：5×44＋3600＝3820（元）。 若 N 型时装为 x套，则M型时装为（80－x）套。 则 y＝50x＋45（80－x） y＝5x＋3600 因为A种布料70m，B种布料52m，则有 1.1x＋0.6（80－x）≤70 ① 0.4x＋0.9（80－x）≤52 ② 解得：40≤ x ≤44 所以x的取值范围为：40≤ x ≤44。 （1） “课堂小结” 04 01获取 02解决 两个一次函数的应用 观察图象 获取关键信息 建立 一次函数模型 解决实际问题 $这个视频我来给你讲讲如何用待定系数法求一次函数的解析式。有一个一次函数经过点12和34，要求这个函数的解析式。你已经知道一次函数的一般形式是Y等于KX加B你又知道如果一个点在这个函数图像上，那它的坐标就一定得满足这个式子。所以把X等于一代进去，Y就等于等于2，把X等于三代进去，Y就得等于4。也就是说二等于K乘1加B4等于K乘3加B不难看出，只要你去解这个方程组，就可以把K和B都给算出来。那解一下这个方程组，两式相减，左边4减2等于2，右边3K减K等于2KB减B抵消了，结果就是二等于2K于是K就等于1K求出来了，那就再求B把K等于一代入第一个方程就得到了二等于一加B所以B也是一，K等于一，B等于一，所以最后的解析式就是Y等于X加1。由上面这个例子不难看出，求一次函数的解析式其实就是要求K和B因此你只要设一次函数的解析式为KX加B然后想法子把K和B算出来就行。这种方法有一个专门的名字叫待定系数法。好，怎么用待定系数法求解析式，相信你已经大致有数了，那咱再一起看道题巩固一下。已知一次函数Y等于KX加B的图像经过点A3-5和点B-1 3，求一次函数的解析式。和前面一样，直接把X等于三代进去，Y就等于-5，把X等于负一代进去，Y就得等于3。也就是说负五等于K乘3加B3等于K乘负一加B解这个方程组，两式相减，左边三减-5对吧，右边负K减3，K等于-4KB减B又抵消了，所以八等于-4K于是K就等于-2K求出来了。接下来求B把K等于负二代入第一个方程就得到了负五等于-2乘3，再加B算一算B等于一好了，现在开始和B都有了，那最后的解析式就是Y等于-2，X加一搞定。怎么样？知道咋用待定系数法求解析式的吗？如果知道就赶紧刷题去吧。 单个一次函数图象的应用 4.4 一次函数的应用 北师版·八年级(上册) 第2课时 《学习目标》 掌握单个一次函数图象的应用。（重点） 了解一次函数与一元一次方程的关系。（难点） “复习回顾” 01 同学们，讨论在一次函数图象中，你能读出哪些信息? ①可确定k和b的符号; ②可根据图象估计函数变化的趋势; ③可直接观察出x与y的对应值; ④由直线与y轴的交点可以得出b值，只要能读出直线上另一其他点，就可用“待定系数法”求出函数表达式。 “新课导入” 02 某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量 y（单位：L）与该摩托车行驶路程 x（单位：km）之间的关系如图所示。 你能根据图象回答下列问题？ “探索新知” 03 （1）油箱最多可储油多少升？ 观察图象，得: 当x＝0时，y＝10。 因此，油箱最多可储油10L。 储油最多 行驶路程为0，即 x = 0 解 知识点一 单个一次函数图象的应用 当 y＝0 时，x＝500。 因此，一箱汽油最多 可供摩托车行驶 500 km。 （2）一箱油可供该摩托车行驶多少千米？ 最长行驶路程 油用完，即 y = 0 解 （3）该摩托车每行驶 100 km消耗多少升油？ 解 x 从 0 增加到 100 时，y 从10 减小到 8，减小了 2，因此摩托车每行驶 100 km消耗 2 L 油。 （4）油箱中的剩余油量小于 1 L时，该摩托车将自动报警。加满油行驶多少千米后，该摩托车将自动报警？ 解 当 y ＝1时，x ＝450， 因此，行驶450 km后，摩托车将自动报警。 知识点一 单个一次函数图象的应用 解：当t=0时，V=1200。因此，干旱开始时该水库的蓄水量为 1200 万m3。 例2 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少，蓄水量V（单位：万m3）与干旱持续时间 t（单位：天）之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题： （1）干旱开始时该水库的蓄水量是多少？ (2) 干旱持续10天，该水库的蓄水量是多少？ 23 （23，750） 干旱持续23天呢？ 当t=10时，V=1000。因此，干旱持续 10 天，该水库的蓄水量为 1000 万m3。 当t=23时，V≈750。因此，干旱持续23天，该水库的蓄水量约为 750 万m3。 (3) 该水库蓄水量小于400万m3时，将发出严重干旱警报。干旱持续约多少天将发出严重干旱警报？ 当V=400时，t≈40。因此，干旱持续约40天将发出严重干旱警报。 按照例 2 呈现的规律，预计干旱持续多少天该水库将干涸？你是怎么做的？ 60 预计干旱持续 60 天水库将干涸。 尝试·思考 在实际情境问题中， 如何通过函数图象获取信息？ 理解横、纵坐标分别表示的实际意义； 分析已知条件，通过作 x 轴或 y 轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值； 利用数形结合的思想。 将“数”转化为“形” 由“形”定“数” 1. 2. 3. 如图，某植物 栽种后经过 t 天的高度为 y cm，l 表示 y 与 t 之间的关系。根据图象回答下列问题： 【教材P98 随堂练习】 该植物刚栽种时有 3 cm高。 (1) 该植物刚栽种时有多高？ 解 例 1 （2）该植物栽种后经过10天的高度为多少？经过4天呢？ 该植物栽种后经过10天的高度为10cm，经过4天的高度为5.8 cm。 解 （3）写出 l 对应的函数表达式 y＝kt＋b，其中 k 和b 的实际意义分别是什么? 表达式：y＝0.7t＋3。 k表示该植物每天生长的高度为0.7cm，b表示该植物刚栽种时的高度为3cm。 解 (5) 按照图中呈现的规律，预计该植物栽种后经过几天长到17cm? (4) 该植物何时长到 8 cm ? （4）当y=8时，由8=0.7t +3，解这个方程，得t=,所以第天时，该植物长到8cm。 解 (5) 按照图中呈现的规律，预计该植物栽种后经过几天长到17cm? (4) 该植物何时长到 8 cm ? （5）当 y=17 时，由17=0.7t +3，解这个方程，得 t=20，所以预计该植物栽种后经过 20 天长到 17 cm。 解 举一反三训练 1-1 下列图象能表示等腰三角形顶角y(度)与底角x(度)之间的关系的是( ) C 1-2 小华为班上购买某种奖品,所剩钱数y(元)与所买奖品数量x(个)之间的关系如图所示. (1)小华带了_______元,每个奖品_______元; (2)若买20个奖品,还剩_______元. 100 2.5 50 知识点二 一次函数与一元一次方程的关系 结合例 2 想一想，一元一次方程 -20x+1200=0 与一次函数 y=-20x+1200 有什么联系？ 思考·交流 （1）从“数”的方面看 当一次函数 y=-20x+1200 的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程 -20x+1200＝0 的解。 函数 y=-20x+1200 的图象与 x 轴 交点的横坐标就是方程 -20x+1200 ＝0 的解。 （2）从“形”的方面看 一般地，当一次函数 y=kx+b 的函数值为 0 时，相应的自变量的值就是方程 kx+b=0 的解。从图象上看，一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx+b=0 的解。 一般地，一元一次方程 kx + b =0 与一次函数 y = kx ＋b 有什么联系？ 一元一次方程与一次函数的关系： 求一元一次方程 kx+b=0 的解 求一元一次方程 kx+b=0 的解 一次函数y=kx+b中y=0时x的值 求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标 数 形 数形结合 (x，0) (1)如图,直线y = ax+b 经过点A(0,2)和点B(－3,0),则方程ax+b=0的解是( ) A. x =2 B . x =0 C. x =－1 D. x =－3 D (2)已知一元一次方程 ax+b=0(a≠0)的解为x=－7.若一次函数y=ax+b(a≠0) 的图象与x 轴的交点坐标为(k ,0),则k+8=_______. 1 例 2 举一反三训练 2-1 若关于x的方程 kx+b=3的解为x = 7,则函数y =k x+ b的图象一定经过点( ) A.( 3,0) B.( 7,0) C.( 3,7) D.(7,3) D 2-2 如图是一次函数y=kx+b的图象,则关于x的方程kx+ b=9的解为____________. x =﹣6 “随堂练习” 04 1.直线 y=3x＋9 与 x 轴的交点是（  ） A.（0，-3）    B.（-3，0）     C.（0，3）    D.（0，-3） 2.方程 3x＋2=8 的解是 ，则函数 y=3x＋2 在自变量 x 等于 时的函数值是8。 B x=2 2 3. 直线 y=ax＋b 在坐标系中的位置如图，则 方程 ax＋b=0 的解是x=_______。 -2 2 x y 0 -2 0 4.根据图象，你能直接说出一元一次方程x＋3=0 的解吗？ 解：由图象可知 x+3=0 的解为 x= −3。 3 x y 0 -3 从“形”上看 直线y=x+3的图象与x轴交点坐标为（-3,0），这说明方程x＋3＝0的解是x=-3。 0 5.已知直线 y=-2x+4 与 x 轴交于点A，与y轴交于点B，求 △AOB 的面积。 A B x y O 解：由已知可得： 当x=0时，y=4，即B（0，4） 当y=0时，x=2，即A（2，0） 则 S△AOB=OA × OB÷2 =2 × 4÷2 =4 解：由题意可得：当直线 y=3x + 6 与 x 轴相交时，y = 0。 则 3x + 6 = 0, 解得：x = -2。 当 x = -2 时，2 × (-2) + a =0， 解得：a = 4。 6.直线 y=3x＋6 与 x 轴的交点的横坐标的值是方程 2x+a=0 的解，求 a 的值。 “课堂小结” 05 一次函数的应用 解决实际问题 数学思想“数形结合” 与一元一次 方程的关系 应用信息，解决实际问题 数的角度 形的角度 观察图象，获取关键信息 $借助表达式解 决一些简单问题 4.4 一次函数的应用 北师版·八年级(上册) 第1课时 《学习目标》 学会运用待定系数法和数形结合思想求一次函数解析式。 能利用一次函数解决简单的实际问题。 “新课导入” 01 前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？ 如何画出它们的图象？ y = 3x+1 y = -2x+3 两点法：两点确定 一条直线. 反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？ 一次函数解析式 两个点的坐标 一次函数图象 ？ “探索新知” 02 解 知识点一 确定一次函数的表达式 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v（单位：m/s）与其下滑时间 t（单位：s）之间的关系如图所示。 （1）写出 v 与 t 之间的关系式； （2）物体下滑 3s 时速度是多少？ （1）设 v＝kt，点（2，5）在函数图象上， 当t＝2时，v＝5，即2k＝5 ，解得 k＝2.5； 所以v 与t 的关系式为 v＝2.5t。 （2）当t＝3时，v＝2.5×3＝7.5 （m/s）。 如图,直线l是某正比例函数的图象,点A( 4,6 ), B (－3,－2)是否在该函数的图象上? 例 1 解:设该正比例函数的表达式为y = kx(k为常数，k≠0). 将点(2,3)代入y=kx ,得 2k=3,所以k= . 所以该正比例函数的表达式为y= x . 当x=4时，y= ×4=6，所以点A(4,6)在该函数的图象上; 当x =－3时，y= ×(3)=－ ≠－2. 所以点B(－3,－2)不在该函数的图象上. 举一反三训练 1-1 已知正比例函数 y = kx ，当x=2时，y=4，若这个正比例函数的图象经过点( 3 , m),则 m=________. 6 1-2 某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(m/s) 与其下滑时间t(s)的关系如图所示,则v与t之间的函数表达式是__________. 观察下面的图象，你能得到什么信息？ 你能否利用这个信息求函数关系式？ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 －1 －2 －3 －4 －5 －2 －1 －3 知识点二 确定一次函数的表达式 已知一次函数的图象过点(0,5)、(2,﹣5)，求一次函数的表达式。 解： 设一次函数的表达式 y = kx+b， 根据题意，得 5=b，－5=2k+b, 解得，k=－5，b=5。 即一次函数的表达式为 y=－5x+5。 ①设一次函数的表达式； ②列方程，将已知坐标代入表达式； ③解方程，求出k和b的值； ④写出表达式。 待定系数法 ④“写” 用待定系数法确定一次函数表达式的步骤: ①“设” ②“代” ③“求” 设一次函数的表达式为y = kx+b ( k ≠ 0 )(正比例函数设 y = kx) 把图象上的两点的坐标代入表达式，建立关于 k、b的两个方程； 解这两个方程，求出k、b的值； 将所求得的系数k，b代回所设表达式，写出一次函数的表达式。 确定一次函数的表达式呢？ 确定正比例函数的表达式需要几个条件？ 一个 （求出 k 的值） 两个 （求出 k 和 b 的值） 思考·交流 例1 在弹性限度内，弹簧的长度 y（单位：cm）是所挂 物体质量 x（单位：kg）的一次函数。某弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm。写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度？ 设 y＝kx＋b，根据题意，得 14.5＝b， ① 16＝3k＋b。 ② 将①代入②，得 k＝0.5 。所以在弹性限度内，y＝0.5x＋14.5。 当 x＝4 时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5。 因此，当所挂物体的质量为 4 kg 时，弹簧长度为 16.5 cm。 解 尝试·思考 某根蜡烛燃烧前长 30 cm；燃烧时，剩下的长度 y（单位：cm）是燃烧时间 x（单位：h）的一次函数。 当这根蜡烛燃烧2 h 时，剩下的长度为 18 cm。 (1) 写出 y 与 x 之间的关系式； (2) 这根蜡烛最多能燃烧多长时间？ 解：（1）设 y＝kx＋b，根据题意，得 30＝b， ① 18＝2k＋b。 ② 将①代入②，得 k＝-6 ，所以 y＝ -6x＋30。 （2）由（1）得 y＝ -6x＋30。 当 y＝0 时，-6x＋30＝0，解得 x=5。因此这根蜡烛最多能燃烧 5 h。 尝试·思考 某根蜡烛燃烧前长 30 cm；燃烧时，剩下的长度 y（单位：cm）是燃烧时间 x（单位：h）的一次函数. 当这根蜡烛燃烧2 h 时，剩下的长度为 18 cm. (1) 写出 y 与 x 之间的关系式； (2) 这根蜡烛最多能燃烧多长时间？ 已知金属棒的长度 l(cm)是温度 t(℃)的一次函数.现有一根金属棒,在 0℃时的长度是 200 cm，温度每升高1℃,它就伸长0.002 cm. 例 2 (1) 求l 与t 之间的关系式; (2) 当温度为100 ℃时,求这根金属棒的长度; (3) 当这根金属棒加热后长度伸长到201.6 cm 时,求金属棒的温度. 解 (1) 设l 与 t之间的关系为l=kt+b(k≠0). 将 t=0，l=200 代入，得b=200. 因为温度每升高1℃，它就伸长0.002cm，所以 k=0.002. 所以l与t之间得关系式为l=0.002t+200. (2) 将t=100代入l=0.002t+200，得l=0.002×100+200=200.2 所以这根金属棒的长度为200.2 cm. (3) 将 l=201.6 代入l=0.002t+200，得 0.002t+200=201.6 ， 解得t=800. 所以金属棒的温度为800℃. 举一反三训练 2-1 若一次函数y =kx－3的图象经过点(－1,3),( 1, a ) ,则 a=_________. －9 2-2 汽车行驶时油箱中的燃油量y(L)与汽车行驶时间t(h)之间的函数图象如图所示,汽车开始行驶时油箱中有燃油_______L,经过_______h耗尽燃油,则y与t之间的函数表达式是____________________. 50 5 y =－10t +50（0 ≤ t ≤5） “随堂练习” 03 如图，直线 l 是某正比例函数的图象，点 A （-4，12），B（3，-9）是否在该函数的图象上？为什么？ 【教材P96 随堂练习 第1题】 解:点A，B均在该函数的图象上。理由: 设正比例函数的表达式为y=kx(k≠0)。 将(-1，3)代入y=kx，得3=-k，解得k=-3。所以y=-3x。 当x=-4时，y=-3×(-4)=-12； 当x=3时，y=-3×3=-9。 所以点A(-4，12)，B(3，-9)在该函数的图象上。 若一次函数 y＝2x＋b 的图象经过点 A（-1，1），则点 B（1，5），C（-10，-17），D （10，17）是否在该函数的图象上？为什么？ 2. 【教材P96 随堂练习 第2题】 解：把点 A（-1，1）代入 y＝2x＋b，得 2×(-1)＋b＝1， 解得 b＝3。所以一次函数的表达式为 y＝2x＋3。 当 x＝1 时，y＝2×1＋3＝5； 当 x＝ -10 时，y＝2×(-10)＋3 ＝ -17； 当 x＝10 时，y＝2×10＋3＝23≠17。 所以点 B（1，5），C（-10，-17）在该函数的图象上， 点 D（10，17）不在该函数的图象上。 3. 如图，直线 l 是一次函数 y＝kx＋b 的图象。 （1）当 x＝30 时，y＝______; （2）当 y＝30 时，x＝______。 【教材P96 随堂练习 第3题】 -18 -42 解：设一次函数 y＝kx＋b, 2＝0＋b ① 0＝3k＋b ② 解得 b＝2，k＝ ， 所以一次函数的表达式为 。 “课堂小结” 04 函数解析式 y = kx+b 满足条件的两定点 与 一次函数的 图象 从数到形 从形到数 选取 连接 解出 选取 数学的基本思想方法：数形结合 待定系数法： 1.设 2.代 3.求 4.写 $习题 4.4 4.4 一次函数的应用 北师版·八年级(上册) 一个正比例函数的图象经过点A（-2，3）， B（a，-3），求 a 的值。 1. 【教材P101 习题4.4 第1题】 解：设这个正比例函数的表达式为y＝kx（k≠0）。 依题意，得 3＝-2k，解得k＝ ， 所以这个正比例函数的表达式为 y＝ x 。 将B（a，-3）代入，得 -3= a，解得a＝2。 知识技能 如图，直线 l 是一次函数y＝kx＋b 的图象，求 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积。 2. 解：由图可知直线y＝kx＋b过点（0，1）， （3，-3），可求得b＝1， k＝ ， 即 y ＝ x+1。令y=0，则x = 。 所以 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 。 【教材P101 习题4.4 第2题】 为了提高某种农作物的产量，农场通常采用喷施药物的方法控制其高度。已知该种农作物的平均高度 y（单位：m）与每公顷所喷施药物的质量 x（单位：kg）之间的关系如图所示。经验表明，该种农作物高度在 1.25 m 左右时，它的产量最高，此时每公顷应喷施药物多少千克? 3. 【教材P101 习题4.4 第3题】 解：设函数关系式为y＝kx＋b （k≠0）， 因为其图象经过（0，1.5），（10，0.5）两点， 所以b＝1.5，10k＋b＝0.5， 解得k＝ -0.1。 所以y＝ -0.1x＋1.5。 当y＝1.25时，-0.1x＋1.5＝1.25， 解得x＝2.5。 所以每公顷应喷施药物2.5 kg。 小明说：“在式子y＝kx+b 中，x每增加1，kx增加k； b没变，因此y也增加k。在如图所示的一次函数图象中，当x由1变成2时，函数值由3变为5，增加了2，因此该一次函数中k的值是2。”小明这种确定 k 的方法有道理吗？说说你的认识。 4. 解：有道理。可以将x=1，y=3和x=2，y=5代入函数表达式 y=kx+b，得到3=k+b，5=2k+b，不难得出k=2。 【教材P101 习题4.4 第4题】 数学理解 某汽车离开某地的距离 y（单位：km）与行驶时间 t（单位：h）之间的关系式为 y＝kt ＋30，其图象如图所示。 5. 解：（1）在1h至3h之间，汽车行驶的路程是120km。 （2）可以确定k的值，y=kt+30，由图可知t=1时，y=90，故k=60。 k的实际意义是汽车的行驶速度。 210 （1）在 1h 至 3h 之间，该汽车行驶的路程是多少？ （2）k 的值是多少？它的实际意义是什么? 【教材P102 习题4.4 第5题】 （1）上图可以用来反映这样一个实际情境：一艘船从 甲地航行到乙地，到达乙地后立即返回。这里横轴表示航行时间，纵轴表示该船与甲地的距离。你认为该船从甲地到乙地航行的速度与返航的速度是否相同？说说你的理由。 6. 【教材P102 习题4.4 第6题】 解：不相同。 理由：可以从图象上观察出，从甲地到乙地航行的时间与返航所用时间不同，而总的行程相同，因而，船只从甲地到乙地航行的速度与返航的速度不相同。 （2）请再给该图赋予一个实际背景，提出一个具体问题。指出实际背景中横轴、纵轴所表示的意义，写出A，B两点的坐标，并解决你所提出的实际问题。 6. 【教材P102 习题4.4 第6题】 从地面竖直向上抛射一个物体，在落地之前，物体向 上的速度 v（单位：m/s）是运动时间 t（单位：s）的一次函数。经测量，该物体的初始速度（t＝0时物体的速度）为25 m/s，2s时物体的速度为 5 m/s。 7. 【教材P102 习题4.4 第7题】 （1）写出v与t之间的关系式; 解：设v＝kt＋b（k≠0），由t＝0，v＝25 和 t＝2，v＝5 可求得 b＝25，k＝ -10，所以 v 与 t 之间的关系式为 v＝ -10t＋25。 问题解决 【教材P102 习题4.4 第7题】 （2）经过多长时间，物体到达最高点（此时物体的速度为0）？ 从地面竖直向上抛射一个物体，在落地之前，物体向 上的速度 v（单位：m/s）是运动时间 t（单位：s）的一次函数．经测量，该物体的初始速度（t＝0时物体的速度）为25 m/s，2s时物体的速度为 5 m/s. 7. 当物体达到最高点时，v＝0， -10t＋25＝0，所以t＝2.5， 故经过2.5s，物体将达到最高点。 电热水器工作时，水温可以近似地看成加热时间的一次函数。小明回家后准备洗澡，打开电热水器，看到热水器显示的内部水温是 28 ℃；过了 5 min 热水器显示的内部水温是 38 ℃。根据他以往的经验，热水器内部水温达到 50 ℃，洗澡热水较为充足，他再等多长时间洗澡比较合适？ 8. 【教材P102 习题4.4 第8题】 解：设热水器显示的内部水温 y 与加热时间 x 之间的关系式为 y=kx+28。由题意知，当 x=5 时，y=38，所以 38=5k+28，解得 k=2，所以 y=2x+28。当 y=50 时，50=2x+28，解得 x=11，11－5=6(min)，所以他再等 6 min 洗澡比较合适。 （1）全世界大部分国家都采用摄氏温标表示温度，但也有部分国家采用华氏温标。因此，一般温度计上都同时标注了摄氏温度和华氏温度（如图）。观察温 度计上对应的摄氏温度和华氏温度数值， 尝试写出华氏温度 y（单位：℉）与摄 氏温度x（单位：℃）之间的关系式， 并说明你的研究过程。 9. 【教材P103 习题4.4 第9题】 （2）现实生活中的一些量有不同的计量单位，如对于长度，既有法定计量单位 m，cm等，又有传统的尺、寸等。找出几种测量工具，观察并设法求出同一个量不同计量单位之间的关系。 9. 【教材P103 习题4.4 第9题】 A，B两地相距80 km，甲、乙两人沿同一条路从A地 到B地。l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离与乙出发后的时间之间的关系。根据图象填空: （1）乙比甲先出发_____h; （2）乙出发_____h时，两人相遇， 这时他们离开A地_____km; （3）甲的速度是______km/h， 乙的速度是______km/h。 10. 【教材P103 习题4.4 第10题】 1 1.5 20 40 11. 某公司要印制产品宣传材料。 甲印刷厂提出：制版费为1500元，每份材料收1元印制费。 乙印刷厂提出：不收制版费，每份材料收2.5元印制费。 解：设甲、乙两印刷厂的收费分别为y甲元、y乙元，印刷数量为x份。 甲印刷厂的收费与印制数量之间的关系式为y甲＝ x＋1500； 乙印刷厂的收费与印制数量之间的关系式为y乙＝2.5x。 （1）分别写出两印刷厂的收费（单位：元）与印制数量（单位：份）之间的关系式。 【教材P103 习题4.4 第11题】 （2）在同一平面直角坐标系中画出它们的图象。 ①列表； x 0 1000 y＝ x＋1500 1500 2500 y＝2.5x 0 2500 ②描点； ③连线，图象如图所示。 （3）根据图象回答问题：印制800份宣传材料时，选择 哪家印刷厂比较合算？该公司拟拿出3000元用于印制宣 传材料，找哪家印刷厂能多印一些? 由图可知，印制800份宣传材料时，选择乙印刷厂比较合算；该公司拟拿出3000元用于印制宣传材料时，找甲印刷厂印制宣传材料能多印一些。 12. 请给下图赋予一个实际背景，提出一个具体问题，并加以解决。 【教材P104 习题4.4 第12题】 解：实际背景：A，B两艘轮船从甲码头开往乙码头，B轮船比A轮船先出发，A，B两艘轮船离甲码头的距离s与A轮船行驶的时间t之间的关系分别如图中l1，l2所示。（答案不唯一） 问题：求l1，l2对应的函数表达式。 解答：设l1，l2对应的函数表达式分别为s1=k1t，s2=k2t+b。由图可知当t=10时，s1=5， 所以 5=10k1，解得k1=； 当t=0时，s2=5；当t=10时，s2=7， 所以b=5，7=10k2+b，所以k2=。 所以 l1，l2 对应的函数表达式 分别为s1= t，s2=t+5。 $这个视频我来给你讲讲一次函数与坐标轴围成的面积。比如直线Y等于负，X加K与两坐标轴所围成的三角形面积是2，求K的值。咱先画个示意图，直线和X轴的交点是A和Y轴的交点是B那直线与坐标轴围成的三角形就是三角形AOB了。要求它的面积，咱得先求点A和点B的坐标。那A在X轴上就是纵坐标为零，把Y等于零代进去，零等于负，X加KX就是K所以点A的坐标就是K0点A的坐标有了，咱接着求点BB在Y轴上那就是横坐标为零，把X等于零带进去，Y就是K所以点B的坐标就是0K求完A和B的坐标，那根据面积等于2分之1倍OA乘OB那OA的长度就是KOB的长也是KS就是2分之1乘K的平方，它等于2，那K方就等于4，K就是正-2。哎，算到这儿发现K可以等于负的。想想看咱之前的做法，好像忽略了些事情。从一开始画图的时候，图像也可以这样，就有多种情况。虽然两种情况求出的AB坐标都是K0与0K但它们都是可正可负的。因此你要特别注意，在写线段长度的时候一定要带上绝对值，就不用担心正负了。那后面计算面积的式子就应该是2分之1乘K的绝对值的平方算出来虽然还是K等于正-2，但这时你的过程就是严谨的，自己也不会有任何疑问了。好，总结一下，求一次函数与坐标轴围成的面积，你就先求出它与坐标轴的两个交点，再带入面积公式中计算。而需要特别注意的是，由于坐标可正可负，所以表示线段长度的时候一定要加上绝对值。好，内容都讲完了，赶紧刷题去吧。