精品解析：辽宁锦州市第四中学2025-2026学年八年级下学期期末测试数学试卷

2025-2026学年度第二学期八年级期末考试 数学试卷 考试时间120分钟 试卷总分120分 *考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为宣传科技创新与绿色发展理念，某科技馆设计了以下标识图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要使分式有意义，x必须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 且 5. 若一个正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形ABCD的周长为24cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（　　） A. 4cm B. 16cm C. 12cm D. 24cm 7. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 8. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知AB=8，∠B=30°，则DE的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 2 D. 4 9. 如图，点的坐标分别为，，将沿轴向右平移，得到，已知，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边中，点D，E分别是边，上的点，，，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解： =___． 12. 用不等式表示“与的差是非负数”___________． 13. 如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则的面积为______． 14. 如图，在中，．按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②作直线分别交于，连接．若，则________°． 15. 如图，在等腰梯形中，，对角线与互相垂直，，那么等腰梯形上下底之和为________． 三、计算题：本大题共2小题，每题8分共16分． 16. 因式分解、解不等式组 （1）因式分解； （2）解不等式组 17. 解方程、化简求值 （1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中． 四、解答题：本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）若和关于原点O成中心对称，请画出； （2）将绕点O逆时针旋转得到，请画出； （3）将进行平移得到，若点的坐标为，则点的坐标为________； （4）若以为顶点的四边形是平行四边形，请写出满足条件的所有点D的坐标________． 19. 如图，点，分别是的边，的中点，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长． 20. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 21. 在平面直角坐标系中，为原点，点，，． （1）如图①，则三角形的面积为______； （2）如图②，将点向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点坐标为（______， ______）． ①求的面积； ②点是一动点，若的面积等于的面积，直接写出点坐标． 22. 对定义一种新运算，规定，其中是非零常数，等式右边是通常的四则运算． 如：，． （1）填空：________；（用含的代数式表示） （2）已知且． ①求的值； ②若关于的不等式组恰好有三个整数解，求的取值范围． 23. 已知中，，点在边上，且，延长到点，使，连接，交于点，． （1）如图1所示，求的度数； （2）将线段绕着点，沿着逆时针方向旋转得到线段，连接． ①如图2所示，若，求线段的最小值； ②如图3所示，连接，求证：四边形是平行四边形； （3）如图4所示，将线段，绕着点，沿着逆时针方向旋转到线段，连接，点是线段的中点，连接，若，，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期八年级期末考试 数学试卷 考试时间120分钟 试卷总分120分 *考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为宣传科技创新与绿色发展理念，某科技馆设计了以下标识图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，， 故A成立，B不成立，D不成立． 取，，满足， 此时，， ∴， 故C不一定成立． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，提公因式法、公式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据因式分解的方法逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、不能因式分解，故此选项不符合题意； D、正确，符合题意， 故选：D． 4. 要使分式有意义，x必须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】要使分式有意义，分母必须不等于0. 【详解】解：要使分式有意义，则x-1≠0， 所以， 故选：A. 【点睛】考核知识点：分式有意义条件.理解分式有意义的条件是关键. 5. 若一个正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正多边形的外角和等于，内角和公式为． 【详解】解：正多边形的边数为， 则内角和为． 6. 如图，平行四边形ABCD的周长为24cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（　　） A. 4cm B. 16cm C. 12cm D. 24cm 【答案】C 【解析】 【分析】由▱ABCD的周长为16cm，即可求得AD+CD=8cm，又由OE⊥AC，可得DE是线段AC的垂直平分线，即可得AE=EC，继而可得△DCE的周长等于AD+CD的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AB=CD，OA=OC， ∵▱ABCD的周长为24cm， ∴AD+CD=12cm， ∵OA=OC，OE⊥AC， ∴EC=AE， ∴△DCE的周长为：DE+EC+CD=DE+AE+CD=AD+CD=12（cm）． 故选C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与转化思想的应用． 7. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点A的坐标代入y=2x，即可求得m的值，由图象可得解集． 【详解】解：将A（m，3）代入中， 解得， 由图象可知在A点左边的区域满足要求不等式， 即． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与不等式，掌握它们的关系并会正确识图是解题的关键． 8. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知AB=8，∠B=30°，则DE的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：∠C=90°， ∵∠B=30°， ∴∠CAB=60°，AC=AB=， ∴由折叠的性质可得：∠CAD=∠BAD=30°，DE=DC， 设DC=，则AD=，在Rt△ADC中，由勾股定理可得：，解得，即DE=4. 故选A. 9. 如图，点的坐标分别为，，将沿轴向右平移，得到，已知，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用DB=1，B（4，0），得出△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，再利用平移问题点的坐标变化规律求解即可． 【详解】解：∵点B的坐标为（4，0）， ∴OB=4， ∵DB=1， ∴OD=3， ∴△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度， ∴点C的坐标为：（1+3，2）即（4，2）． 故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 10. 如图，在等边中，点D，E分别是边，上的点，，，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作于点Q，先证明，得到，再利用直角三角形的性质，计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作于点Q，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，（负值舍去） ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质和等边三角形性质是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解： =___． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 12. 用不等式表示“与的差是非负数”___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，解题的关键是理解“非负数”的含义以及正确表示出“与的差”． 先表示出“与的差”再根据“非负数即大于等于0”列出不等式． 【详解】解：“与的差”用代数式表示为， 非负数是指大于等于0的数， 因为“与的差是非负数”， 所以可列不等式为． 故答案为：． 13. 如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则的面积为______． 【答案】8 【解析】 【详解】在△ABD中，当BD为底时，设高为h，在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，因为AE∥BD，所以h=h′，因为△ABD的面积为16，BD=8，所以h=4．则△ACB的面积==8． 14. 如图，在中，．按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②作直线分别交于，连接．若，则________°． 【答案】76 【解析】 【分析】根据作图步骤，判断是线段的垂直平分线，得到进一步可得，再由是直角三角形，和的度数，即可利用直角三角形两锐角互余求出的度数，最后由三角形外角性质，计算的度数． 【详解】解：根据题目中的作图步骤可知，直线是线段的垂直平分线， 点在直线上， ∴， ∴是一个等腰三角形， 在中， ，， ， 是等腰三角形， ， ∵是的一个外角， ∴ 15. 如图，在等腰梯形中，，对角线与互相垂直，，那么等腰梯形上下底之和为________． 【答案】4 【解析】 【分析】过点A作交的延长线于点E，得出四边形是平行四边形，则，求出，在中，求出，即可求出结论． 【详解】解：过点A作交的延长线于点E， ， ∴四边形是平行四边形， ， 在等腰梯形中，， ， ， ， 在中，， ． 三、计算题：本大题共2小题，每题8分共16分． 16. 因式分解、解不等式组 （1）因式分解； （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得： ， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 17. 解方程、化简求值 （1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）无解 （2），1 【解析】 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 四、解答题：本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）若和关于原点O成中心对称，请画出； （2）将绕点O逆时针旋转得到，请画出； （3）将进行平移得到，若点的坐标为，则点的坐标为________； （4）若以为顶点的四边形是平行四边形，请写出满足条件的所有点D的坐标________． 【答案】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，则可得点的坐标，据此作图即可； （2）根据旋转的特点作图即可； （3）根据点A和点的坐标可得平移方式，再根据平移方式可得点的坐标； （4）设出点D的坐标，分三种情况：为对角线、为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵将进行平移得到，，点的坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即； 【小问4详解】 解：设点D的坐标为， 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 19. 如图，点，分别是的边，的中点，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】先证明为的中位线，得到四边形为平行四边形，求出，根据中位线定理即可求解． 【详解】解：、分别是的边、的中点， 为的中位线， ∴，， ∴， ∵， 四边形为平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形判定与性质，熟知三角形中位线定理是解题关键． 20. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【答案】（1）每个A种挂件的价格为25元 （2）该游客最多购买11个A种挂件 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元． 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元； 【小问2详解】 解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件， 由（1）得每个B种挂件的价格为（元）， 根据题意，得， 解得， 由于y为正整数， 故该游客最多购买11个A种挂件． 21. 在平面直角坐标系中，为原点，点，，． （1）如图①，则三角形的面积为______； （2）如图②，将点向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点坐标为（______， ______）． ①求的面积； ②点是一动点，若的面积等于的面积，直接写出点坐标． 【答案】（1）6 （2）5，4；①9；②或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、点的平移、绝对值方程等知识，掌握运用数形结合的思想分析解决问题是解题关键． （1）根据题意得出，，，然后根据三角形面积公式直接计算即可； （2）由平移的性质可得点坐标；①连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据进行计算即可得到答案；②根据的面积等于的面积，求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：6； 【小问2详解】 将点向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点坐标为 故答案为：5，4； ①连接，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∴ ； ②如下图， 根据题意，点，且， 即有， 解得， ∴点坐标为或． 22. 对定义一种新运算，规定，其中是非零常数，等式右边是通常的四则运算． 如：，． （1）填空：________；（用含的代数式表示） （2）已知且． ①求的值； ②若关于的不等式组恰好有三个整数解，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）①根据新定义可得，解之即可得到答案； ②先求出，，进而解不等式组，再根据不等式组只有三个整数解进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 又∵， 联立， 解得：； ②∵， ， ∴原不等式组可化为， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的不等式组恰好有三个整数解， ∴； 解得：． 23. 已知中，，点在边上，且，延长到点，使，连接，交于点，． （1）如图1所示，求的度数； （2）将线段绕着点，沿着逆时针方向旋转得到线段，连接． ①如图2所示，若，求线段的最小值； ②如图3所示，连接，求证：四边形是平行四边形； （3）如图4所示，将线段，绕着点，沿着逆时针方向旋转到线段，连接，点是线段的中点，连接，若，，求线段的长度． 【答案】（1） （2）①； ②如图，连接， 由（1）可得， ∴， ∵将线段绕着点，沿着逆时针方向旋转得到线段，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，最后利用三角形外角的定义及性质计算即可得出结果； （2）①连接，由（1）可得为等边三角形，则，由旋转的性质得出，，即为等边三角形，从而可得，由垂线段最短得，当时，取得最小值，此时也最小；②连接，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，从而得出，再证明，即可得证； （3）由（1）可得为等边三角形，则，由旋转的性质可得，，从而得出，延长至点，使得，证明为等边三角形，得出，，证明点、、、四点共圆，延长至点，使得，连接，则，再证明，得出，，证明为等边三角形，得出，证明为的中位线，由三角形中位线定理计算即可得出结果 【小问1详解】 解：如图：连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图：连接， 由（1）可得为等边三角形， ∴， ∵将线段绕着点，沿着逆时针方向旋转得到线段，连接， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴由垂线段最短得，当时，取得最小值，此时也最小， ∵， ∴线段的最小值为； ②略； 【小问3详解】 解：由（1）可得为等边三角形， ∴， ∵将线段，绕着点，沿着逆时针方向旋转到线段， ∴，， ∴， 如图，延长至点，使得， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴， 延长至点，使得，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵点是线段的中点，， ∴为的中位线， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $