精品解析：辽宁省阜新市海州区实验中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度（下）期末教学质量检测 八年级数学试卷 考试时间120分钟 试卷满分120分 Hi，各位同学请注意：务必将试题答案写在答题卡对应的位置上，否则不得分。千万记住哟！ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在代数式中，属于分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，为了测量一个池塘的宽，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段、的中点D，E，若小明测得的长是25米，则池塘的宽为（ ）米． A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 5. 如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A B. C. D. 7. 某个正多边形一个内角是它的外角的3倍，则该正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正九边形 8. 命题“如果，那么”逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ） A B. C. 1 D. 5 10. 如图，在中，点D是的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线交于点E，连接，若，的周长为9，则的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若式子有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 13. 分解因式：______． 14. 如图，将沿着点B到C的方向平移到的位置，，平移距离为5，则阴影部分面积为______． 15. 如图，的对角线，相交于点O，的周长为7，则______． 16. 如图，在长方形中，，将绕点C逆时针旋转度，得到，作的平分线，交直线于点E，当点F落在直线上时，的长为______． 三、解答题（本题共7道小题，共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17. （1）解不等式：． （2）分解因式：． （3）先化简，再求值：，其中． 18. 解方程与不等式组： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，． （1）画出绕原点旋转后的图形； （2）是边上一点，将平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的； （3）将平移，若（2）小题中，点的对应点的坐标为，平移后的和关于点成中心对称，则的坐标为______．（用含，的式子表示） 20. 某福利院组织部分小朋友去旅游，由两位职工带队．联系了甲、乙两家服务质量相同且报价相同的旅行社，经过协商，甲旅行社表示可以两位大人全额付款，其余人七五折优惠：乙旅行社表示可以所有人八折优惠，该福利院选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 21. 在中，相交于点，分别过点A作于点E，在上取点F，连接，使．连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的面积． 22. 某学校为筹备初三同学们的毕业活动，准备为该校300名毕业生购进A，B两款衬衫，每件A款衬衫比每件B款衬衫多5元，用360元购进A款衬衫和用320元购进B款衬衫的数量相同． （1）求A款衬衫和B款衬衫每件各多少元？ （2）学校计划用不多于13000元购买衬衫，那么最多可以购买A款衬衫多少件？ （3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款八折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现无论怎样购买，所需资金都相同，求m值． 23. 下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 【问题探究】 （1）如图1，在中，，点D在上，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，请猜想和数量关系与位置关系，并说明理由． 【问题再探】 （2）在（1）的条件下，连接AE．兴趣小组的同学们在电脑中用几何画板软件测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，甲组同学延长线段AC至F点，使，连接EF，从而得以证明（如图2）；乙组同学过点D作于点M，过点E作于点N，从而得以证明（如图3），请你选取甲组或乙组中的一种方法完成证明过程． 【问题解决】 （3）如图4，已知，，点D在AB上，，若在射线上存在点E，使，请直接写出相应的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度（下）期末教学质量检测 八年级数学试卷 考试时间120分钟 试卷满分120分 Hi，各位同学请注意：务必将试题答案写在答题卡对应的位置上，否则不得分。千万记住哟！ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，属基础题，严格按照三条基本性质进行判断即可得到正确答案．根据不等式的基本性质进行判断即可得解． 【详解】A．不等式两边同时减2，不等号方向不变，即，故本选项错误； B．不等式两边同时乘以5，不等号方向不变，即，故本选项错误； C．不等式两边同时乘以，不等号方向改变，即，故本选项错误； D．不等式两边同时乘以，不等号方向不变，即，故本选项正确． 故选：D． 2. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知二者的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 在代数式中，属于分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母逐一判断即可． 【详解】解：在代数式中，属于分式的有， 故选A． 4. 如图，为了测量一个池塘的宽，小明在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段、的中点D，E，若小明测得的长是25米，则池塘的宽为（ ）米． A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵、的中点分别为D、E， ∴是的中位线， ∴（米）， 故选：C． 5. 如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 6. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了公因式的定义，一个多项式各项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式．公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：多项式的公因式为． 故选：D． 7. 某个正多边形的一个内角是它的外角的3倍，则该正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正九边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的问题．设这个多边形的边数是n，根据一个内角是它的外角的3倍，可得该正多边形内角和是其外角和的3倍，据此列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， ∵一个内角是它的外角的3倍， ∴该正多边形内角和是其外角和的3倍， ∴， 解得：， 即这个正多边形是正八边形． 故选：C． 8. 命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查逆命题，假命题，反例等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 先写出逆命题，再举反例说明即可 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”是假命题， 可以取，说明． 故选：B． 9. 若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：A． 10. 如图，在中，点D是的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线交于点E，连接，若，的周长为9，则的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段中点的定义可得，根据题意可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为9，可得，从而求出的周长，即可解答． 【详解】∵点D是的中点， ∴， 由题意得：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为9， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若式子有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件列不等式解答即可． 【详解】解：∵式子有意义 ∴，解得：． 故答案为：． 12. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此应假设． 故答案为：． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】首先提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可． 【详解】解： = =． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键． 14. 如图，将沿着点B到C方向平移到的位置，，平移距离为5，则阴影部分面积为______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．先判断出阴影部分面积等于梯形的面积，再根据平移的性质可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵沿着点B到点C的方向平移到的位置， ∴， ， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 15. 如图，的对角线，相交于点O，的周长为7，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，先证明，，由的周长为7，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵的周长为7， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：8． 16. 如图，在长方形中，，将绕点C逆时针旋转度，得到，作的平分线，交直线于点E，当点F落在直线上时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是长方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 由矩形得到，，，由旋转可得：，由勾股定理求解，可得或，证明，可得，同理可得：，可得，再进一步利用勾股定理可得答案； 【详解】解：如图，连接， 当点在上时， ∵长方形中，， ∴，，， 由旋转可得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当E在延长线上，同理可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵ ∴， ∴； 综上或； 故答案为：或． 三、解答题（本题共7道小题，共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17. （1）解不等式：． （2）分解因式：． （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式、因式分解，分式的化简求值． （1）根据不等式的性质，先去分母，在去括号，合并同类项，系数化为1即可； （2）先提公因式3，利用完全平方公式整理后，在利用完全平方公式因式分解即可； （3）先利用分式混合运算法则化简，在将代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ， 当时，原式． 18. 解方程与不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解不等式组，解题的关键是熟练掌握解方程和不等式组的方法，准确计算． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 19. 如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，． （1）画出绕原点旋转后的图形； （2）是边上一点，将平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的； （3）将平移，若（2）小题中，点的对应点的坐标为，平移后的和关于点成中心对称，则的坐标为______．（用含，的式子表示） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质可得到、、关于原点中心对称点、、的坐标，然后依次连接即可； （2）利用点与的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点、、的对应点、、的坐标，然后依次连接即可； （3）同（2）得到点、、的坐标，再由中心对称的性质，知道点点为和的中点，即可得到的坐标． 【小问1详解】 解：根据题意可知和关于原点中心对称， 则可得到，， 关于原点中心对称的对应点分别为、、，描点依次连接， 如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：根据题意可知，点向右平移4个单位，向上平移2个单位得到点，则向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ， 分别将，，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到对应点、、，描点依次连接， 如图所示，即为所求： 【小问3详解】 解：根据题意可知，点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，则向右平移个单位，向上平移个单位得到 ， 分别将，，向右平移个单位，向上平移个单位得到对应点、、， 平移后的和关于点成中心对称，且、、， 设对称中心，由题意可知，点为和的中点 那么， ， ． 故答案为：． 20. 某福利院组织部分小朋友去旅游，由两位职工带队．联系了甲、乙两家服务质量相同且报价相同的旅行社，经过协商，甲旅行社表示可以两位大人全额付款，其余人七五折优惠：乙旅行社表示可以所有人八折优惠，该福利院选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 【答案】当旅游人数少于10人时，乙旅行社收费较少；人数恰好为10人时，两家旅行社收费相同；人数多以10人时，甲旅行社收费较少 【解析】 【分析】此题考查的是一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．设该公司有x人参加旅游，票价为a元每张，甲旅行社费用为，乙旅行社的费用为，根据题意即可分别写出、与x的函数关系式，然后根据和的大小关系分类讨论，求出每一种情况下x的取值范围即可得出结论． 【详解】解：设该公司有x人参加旅游，票价为a元每张，甲旅行社费用为，乙旅行社的费用为，则： 当=时，两家旅行社收费一样： 则 解得：； 当时，乙旅行社收费较少： 则 解得： 当时，甲旅行社收费较少： 则 解得： 答：当旅游人数少于10人时，乙旅行社收费较少；人数恰好为10人时，两家旅行社收费相同；人数多以10人时，甲旅行社收费较少． 21. 在中，相交于点，分别过点A作于点E，在上取点F，连接，使．连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各性质与判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）根据勾股定理求出，然后结合图形求面积即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 又， 四边形是平行四边形； 小问2详解】 ∵， ∴， 由（1）得， 在中，由勾股定理得，，即 ， ． 22. 某学校为筹备初三同学们的毕业活动，准备为该校300名毕业生购进A，B两款衬衫，每件A款衬衫比每件B款衬衫多5元，用360元购进A款衬衫和用320元购进B款衬衫的数量相同． （1）求A款衬衫和B款衬衫每件各多少元？ （2）学校计划用不多于13000元购买衬衫，那么最多可以购买A款衬衫多少件？ （3）实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款八折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现无论怎样购买，所需资金都相同，求m值． 【答案】（1）A款衬衫每件45元，则B款衬衫每件40元； （2）最多可以购买A款衬衫200件； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，整式加减的应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设A款衬衫每件x元，则B款衬衫每件元，然后根据用360元购进A款衬衫和用320元购进B款衬衫的数量相同列出方程求解即可； （2）设购买A款衬衫a件，则购买B款衬衫件，然后根据“学校计划不多于13000元购买衬衫”，列出不等式求解即可； （3）设购买资金为W元，购买A款衬衫a件，则购买B款衬衫件，求出，根据题中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出结果． 【小问1详解】 解：设A款衬衫每件x元，则B款衬衫每件元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴， ∴A款衬衫每件45元，则B款衬衫每件40元； 【小问2详解】 设购买A款衬衫a件，则购买B款衬衫件， 由题意得，， 解得， ∴最多可以购买A款衬衫200件； 【小问3详解】 设购买资金为W元，购买A款衬衫a件，则购买B款衬衫件， 由题意得， ， ∵购人员发现无论怎样购买，所需资金都相同，， ∴W的取值与a的值无关， ∴， ∴． 23. 下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 【问题探究】 （1）如图1，在中，，点D在上，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，请猜想和数量关系与位置关系，并说明理由． 【问题再探】 （2）在（1）的条件下，连接AE．兴趣小组的同学们在电脑中用几何画板软件测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，甲组同学延长线段AC至F点，使，连接EF，从而得以证明（如图2）；乙组同学过点D作于点M，过点E作于点N，从而得以证明（如图3），请你选取甲组或乙组中的一种方法完成证明过程． 【问题解决】 （3）如图4，已知，，点D在AB上，，若在射线上存在点E，使，请直接写出相应的的长． 【答案】（1），证明见解析；（2）见解析；（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，再由全等三角形的判定和性质证明确定，利用等量代换即可证明垂直； （2）选甲组同学，延长线段至F点，使，连接，则是的中线，证明，由全等三角形的性质得出， 选乙组同学，过点D作于点M，过点E作于点N，证明≌，得出，则可得出结论； （3）过点C作交于E，于H，连接并延长交于F，由（2）可知：，求出，求出的长，根据三角形面积公式求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 根据题意得，， ∵， ， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）选甲组同学证明如下：延长线段至F点，使，连接，则是的中线， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ； 选乙组同学的则证明如下：过点D作于点M，过点E作于点N， ， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ，， 又， ； （3）解：过点C作交于E，于H，连接并延长交于F， 由（2）可知：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， 此时，， ， 综上所述，的长为或 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $