第五周 第2天 函数的最大（小）值 暑假自学配套同步分层练习 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 2026年新高一暑假自学同步分层练习（函数的最大（小）值），以青铜局、黄金局、王者局三级分层设计，实现从基础概念到综合应用再到挑战创新的知识巩固路径，适配分层自学需求，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|一次、二次、分段函数最值计算，简单应用|以选择、填空为主，夯实概念（如单一函数最值），培养运算能力| |黄金局|新定义（L条件）、区间动态最值、实际应用|含多选和综合解答（如商场日收入），发展推理意识与模型观念| |王者局|函数值域关系、动区间二次函数最值|聚焦存在性问题与动态分析（如动区间最值），提升创新意识|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第五周 第 2天 函数的最大（小）值 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.下列函数在区间[1，4]上的最大值为3的是(　　) A.y=+2 B.y=3x-2 C.y=x2 D.y=1-x 答案　A 解析　选项B，C在[1，4]上均单调递增，选项A，D在[1，4]上均单调递减，代入端点值，可知A正确. 2.函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为(　　) A.10，5 B.10，6 C.7，6 D.7，5 答案　A 解析　当1≤x≤3时，6≤2x+4≤10，当-1≤x<1时，5≤x+6<7. ∴f(x)min=f(-1)=5，f(x)max=f(3)=10. 3.已知f(x)=2x+3，g(x)=则函数y=f(x)·g(x)的最大值为(　　) A.-3 B.0 C.3 D.不存在 答案　D 解析　由题意得y=f(x)·g(x)= 其图象如图所示. 由图象知，函数y=f(x)·g(x)的最大值不存在. 4.设函数f(x)=在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为a和b，则a2+b2等于(　　) A.50 B.52 C.36 D.80 答案　B 解析　易知f(x)==2+ 所以函数f(x)在[3，4]上单调递减， 所以a=f(3)=2+=6，b=f(4)=2+=4， 所以a2+b2=36+16=52. 5.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中x为销售量，单位：辆).若该公司在两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　) A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元 答案　C 解析　设公司在甲地销售x(x∈N)辆车，公司获得的总利润为L万元， 则在乙地销售(15-x)辆车， ∴L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30 =-+30+又x∈N， ∴当x=9或10时，L取得最大值，最大值为120万元. 6.函数f(x)=x2-2x-1，当x∈(-2，4]时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，-2) B.(-∞，7) C.(-∞，7] D.(-∞，-2] 答案　D 解析　f(x)=(x-1)2-2的图象开口向上，对称轴为直线x=1，函数f(x)在区间(-2，1]上单调递减，在区间(1，4]上单调递增，所以函数f(x)在(-2，4]上的最小值为f(1)=-2.又因为当x∈(-2，4]时，f(x)≥m恒成立，所以实数m的取值范围是(-∞，-2]. 7.若函数y=f(x)的值域为[1，3]，则函数F(x)=1-2f(x+2)的值域是(　　) A.[-9，-5] B.[-5，-1] C.[-1，3] D.[1，3] 答案　B 解析　由于函数y=f(x)的值域为[1，3]， 则1≤f(x+2)≤3，-6≤-2f(x+2)≤-2， 所以-5≤1-2f(x+2)≤-1. 8.(5分)函数y=x∈[3，5]的最小值是　　　　. 答案　 解析　易知y==2- 由y=在[3，5]上单调递减， 得y=2-在[3，5]上单调递增， 故函数的最小值为2-. 9.(5分)设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是　　　　. 答案　(-∞，2] 解析　当x≤0时，f(x)的最小值为f(0)=a； 当x>0时，x+≥2，f(x)的最小值为f(1)=2. ∵f(0)是f(x)的最小值， ∴f(0)=a≤2. 10.(10分)画出函数y=-x(|x-2|-2)，x∈[-1，5]的图象，并根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值. 解　原函数化为y=在平面直角坐标系内作出其图象，如图.观察图象得， 函数y=-x(|x-2|-2)的单调递减区间是[-1，0]，[2，5]，单调递增区间是(0，2)， 当x=2时，ymax=4，当x=5时，ymin=-5， 所以原函数最大值为4，最小值为-5. 黄金局 提能力·融会贯通 11.(多选)设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，都有|f(x1)-f(x2)|≤1，则称f(x)满足“L条件”，则下列函数满足“L条件”的是(　　) A.f(x)=-x，x∈(-1，1) B.f(x)=x+1，x∈[1，2] C.f(x)=x2-x∈ D.f(x)=x∈(1，2) 答案　BCD 解析　对于A，取x1=x2=- 则|f(x1)-f(x2)|=>1，故A不满足“L条件”； 对于B，f(x)=x+1在[1，2]上单调递增， 则f(x)的最小值为f(1)=2，最大值为f(2)=3， 所以对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤3-2=1，故B满足“L条件”； 对于C，f(x)=x2-上单调递减，在(0，1]上单调递增，f(0)=- f(1)=1-=- f=- 所以f(x)的最大值为-最小值为- 所以对任意的x1，x2∈都有|f(x1)-f(x2)|≤=1，故C满足“L条件”； 对于D，函数f(x)=在(1，2)上单调递减，值域为 所以对任意的x1，x2∈(1，2)，|f(x1)-f(x2)|<1-故D满足“L条件”. 12.若函数f(x)=x2-4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围为(　　) A.[1，2] B.[2，3] C.[1，3] D.[2，4] 答案　D 解析　f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1，x∈[0，m].由函数f(x)的最小值为1，f(2)=1，知m≥2.又函数f(x)的最大值为5，f(0)=5，f(4)=5，所以2≤m≤4. 13.(5分)已知函数f(x)=在区间[0，1]上的最大值为则实数m的值为　　　　. 答案　 解析　函数f(x)= 即f(x)=2+ 当m=2时，f(x)=2，不成立； 当m-2>0，即m>2时，f(x)在[0，1]上单调递减，可得f(0)为最大值， 即f(0)=解得m=成立； 当m-2<0，即m<2时，f(x)在[0，1]上单调递增，可得f(1)为最大值， 即f(1)=解得m=3，不成立； 综上可得m=. 14.(12分) 经市场调查，某商场过去18天内，顾客人数f(t)(单位：千人)与时间t(单位：天)的函数关系近似满足f(t)=1+(0<t≤18，t∈N*)，人均消费g(t)(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系近似满足g(t)= (1)求该商场的日收入w(t)(单位：千元)与时间t(单位：天)(1≤t≤18，t∈N*)的函数关系式；(6分) (2)求该商场日收入的最小值.(6分) 解　(1)由题意可得，该商场日收入的函数关系式为w(t)=f(t)·g(t) = 所以w(t)= (2)由(1)可得 w(t)= ①当1≤t≤9时，t++10≥16，当且仅当t= 即t=3时取等号，此时取得最小值16； ②当9<t≤18时当且仅当 即t=18时，取得最小值. 综合①②可得，该商场日收入的最小值为千元. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(5分)已知函数f(x)=x2-2x，g(x)=ax+2(a>0)，若对任意的x1∈[-1，2]，都存在x0∈[-1，2]，使得g(x1)=f(x0)，则实数a的取值范围是　　　　. 答案　 解析　∵函数f(x)=x2-2x的图象开口向上，其对称轴方程为x=1， ∴当x∈[-1，2]时，f(x)的最小值为f(1)=-1，最大值为f(-1)=3， 则此时f(x)的取值范围为[-1，3]. ∵g(x)=ax+2(a>0)在[-1，2]上单调递增， ∴当x∈[-1，2]时，g(x)的最小值为g(-1)=-a+2，最大值为g(2)=2a+2， 此时g(x)的取值范围为[-a+2，2a+2]. ∵对任意的x1∈[-1，2]，都存在x0∈[-1，2]，使得g(x1)=f(x0)， ∴解得0<a≤. 16.(12分)已知二次函数f(x)=x2-2x+3. (1)当x∈[-2，3]时，求f(x)的最值；(5分) (2)当x∈[t，t+1]时，求f(x)的最小值g(t).(7分) 解　f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2. 则f(x)的图象开口向上，其对称轴方程为x=1， (1)f(x)在[-2，1]上单调递减，在(1，3]上单调递增， 所以f(x)min=f(1)=2. 又因为f(-2)>f(3)， 所以f(x)max=f(-2)=11. (2)①当t>1时，f(x)在[t，t+1]上单调递增， 所以g(t)=f(t)=t2-2t+3. ②当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g(t)=f(1)=2. ③当t+1<1，即t<0时，f(x)在[t，t+1]上单调递减， 所以g(t)=f(t+1)=t2+2， 综上可得g(t)= 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第五周 第 2天 函数的最大（小）值 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.下列函数在区间[1，4]上的最大值为3的是(　　) A.y=+2 B.y=3x-2 C.y=x2 D.y=1-x 2.函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为(　　) A.10，5 B.10，6 C.7，6 D.7，5 3.已知f(x)=2x+3，g(x)=则函数y=f(x)·g(x)的最大值为(　　) A.-3 B.0 C.3 D.不存在 4.设函数f(x)=在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为a和b，则a2+b2等于(　　) A.50 B.52 C.36 D.80 5.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中x为销售量，单位：辆).若该公司在两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　) A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元 6.函数f(x)=x2-2x-1，当x∈(-2，4]时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，-2) B.(-∞，7) C.(-∞，7] D.(-∞，-2] 7.若函数y=f(x)的值域为[1，3]，则函数F(x)=1-2f(x+2)的值域是(　　) A.[-9，-5] B.[-5，-1] C.[-1，3] D.[1，3] 8.(5分)函数y=x∈[3，5]的最小值是　　　　. 9.(5分)设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是　　　　. 10.(10分)画出函数y=-x(|x-2|-2)，x∈[-1，5]的图象，并根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值. 黄金局 提能力·融会贯通 11.(多选)设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，都有|f(x1)-f(x2)|≤1，则称f(x)满足“L条件”，则下列函数满足“L条件”的是(　　) A.f(x)=-x，x∈(-1，1) B.f(x)=x+1，x∈[1，2] C.f(x)=x2-x∈ D.f(x)=x∈(1，2) 12.若函数f(x)=x2-4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围为(　　) A.[1，2] B.[2，3] C.[1，3] D.[2，4] 13.(5分)已知函数f(x)=在区间[0，1]上的最大值为则实数m的值为　　　　. 14.(12分) 经市场调查，某商场过去18天内，顾客人数f(t)(单位：千人)与时间t(单位：天)的函数关系近似满足f(t)=1+(0<t≤18，t∈N*)，人均消费g(t)(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系近似满足g(t)= (1)求该商场的日收入w(t)(单位：千元)与时间t(单位：天)(1≤t≤18，t∈N*)的函数关系式；(6分) (2)求该商场日收入的最小值.(6分) 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(5分)已知函数f(x)=x2-2x，g(x)=ax+2(a>0)，若对任意的x1∈[-1，2]，都存在x0∈[-1，2]，使得g(x1)=f(x0)，则实数a的取值范围是　　　　. 16.(12分)已知二次函数f(x)=x2-2x+3. (1)当x∈[-2，3]时，求f(x)的最值；(5分) (2)当x∈[t，t+1]时，求f(x)的最小值g(t).(7分) 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $