2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练- 2026年暑期预习新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练通过单选、填空、解答三级分层，以“概念理解-方法应用-综合探究”为主线，覆盖三个“二次”关系、不等式解法及应用，强化数学思维与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知（单选）|单一知识点（解集条件、判别式应用）|聚焦概念辨析，如解集充要条件题考查推理能力| |综合应用（填空）|跨知识点整合（恒成立、分式不等式）|强化易错点突破，如假命题求参数范围题训练数学语言表达| |拓展探究（解答）|复杂情境应用（实际利润、含参不等式）|突出模型建构，如销售利润题培养数学眼光与应用意识|

2.3二次函数与一元二次方程、不等式 本节内容是初高中数学衔接的关键内容，也是函数、方程、不等式“三位一体”思想的集中体现。核心是三个“二次”的关系与一元二次不等式的解法。 一、 三个“二次”的关系（核心思想） 设二次函数 ()，对应的一元二次方程，以及一元二次不等式（或）。三者之间的联系如下表： 判别式 方程的根 有两个不等实根 有两个相等实根 ​ 无实根 函数图像 与轴交于两点 与轴相切 （一个交点） 与 x 轴无交点 不等式的解集 不等式的解集 （空集） 口诀：大于取两边，小于取中间（前提是 ）。 二、 一元二次不等式的解法步骤 第一步：化为标准形式 将不等式整理成 （或 ≥,<,≤），且二次项系数 （若 ，两边同乘−1，不等号方向改变）。 第二步：算判别式 计算，判断根的情况。 第三步：求根（若有根） 若能因式分解：十字相乘求根；若不能分解：用求根公式 。 第四步：写出解集 结合图像（抛物线开口方向）和口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集。 三、 含参数的一元二次不等式 常见参数类型及处理思路： 二次项系数含参（需讨论 与） 例：解关于的不等式。 当 ：退化为一次不等式−x+1<0，解为x>1； 当 a≠0：因式分解得 (ax−1)(x−1)<0，再比较两根 与 1 的大小分类讨论。 根的大小不确定（需比较根） 如上述例子中，需讨论： ① （即 0<a<1） ② （即 ） ③ （即 a<0 或 a>1） 四、 三个“二次”的应用 1. 解不等式恒成立问题 常见模型（以a>0为例）： 在R上恒成立 在R上恒成立 若为 恒成立，则 Δ≤0。 2. 分式不等式（转化为整式不等式） 核心原则：移项→通分→化乘积→求解 3.简单高次不等式（穿针引线法/数轴标根法） 步骤： ① 因式分解，化为 ； ② 标出各根，从右上方开始穿线； ③ 奇次根穿过，偶次根弹回； ④ “>”取上方，“<”取下方。 五、 易错点提醒 1. 忽略的符号：未将二次项系数化为正数就直接写解集； 2. 漏掉等号：题目是 ≥ 或 ≤ 时，解集要包含端点； 3. 分母不为零：解分式不等式时，忘记排除使分母为零的值； 4. 恒成立漏讨论 ：二次项系数含参时，必须先讨论是否为一次函数。 六、 典型例题速览 例1：解不等式 化为 根为 解集： 例2：已知不等式 的解集为空集，求的范围。 等价于 恒成立 解得： 一、单选题 1．一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（   ） A． B．{1} C． D． 3．已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为（    ）． A． B． C．或 D． 4．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 5．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 7．若命题“，”为假命题，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 10．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 12．已知，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 14．若，，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 16．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 17．不等式的解集为______． 18．若命题“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为__________. 19．已知命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为_____. 20．若关于的不等式的解集为，则___________． 三、解答题 21．已知函数. (1)若的解集为，求实数，的值； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 22．已知全集，集合． (1)求； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 23．解答下列各题． (1)解不等式：； (2)已知，求的最小值； (3)已知都是正数，若，求的最大值． 24．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 25．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 本节内容是初高中数学衔接的关键内容，也是函数、方程、不等式“三位一体”思想的集中体现。核心是三个“二次”的关系与一元二次不等式的解法。 一、 三个“二次”的关系（核心思想） 设二次函数 ()，对应的一元二次方程，以及一元二次不等式（或）。三者之间的联系如下表： 判别式 方程的根 有两个不等实根 有两个相等实根 ​ 无实根 函数图像 与轴交于两点 与轴相切 （一个交点） 与 x 轴无交点 不等式的解集 不等式的解集 （空集） 口诀：大于取两边，小于取中间（前提是 ）。 二、 一元二次不等式的解法步骤 第一步：化为标准形式 将不等式整理成 （或 ≥,<,≤），且二次项系数 （若 ，两边同乘−1，不等号方向改变）。 第二步：算判别式 计算，判断根的情况。 第三步：求根（若有根） 若能因式分解：十字相乘求根；若不能分解：用求根公式 。 第四步：写出解集 结合图像（抛物线开口方向）和口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集。 三、 含参数的一元二次不等式 常见参数类型及处理思路： 二次项系数含参（需讨论 与） 例：解关于的不等式。 当 ：退化为一次不等式−x+1<0，解为x>1； 当 a≠0：因式分解得 (ax−1)(x−1)<0，再比较两根 与 1 的大小分类讨论。 根的大小不确定（需比较根） 如上述例子中，需讨论： ① （即 0<a<1） ② （即 ） ③ （即 a<0 或 a>1） 四、 三个“二次”的应用 1. 解不等式恒成立问题 常见模型（以a>0为例）： 在R上恒成立 在R上恒成立 若为 恒成立，则 Δ≤0。 2. 分式不等式（转化为整式不等式） 核心原则：移项→通分→化乘积→求解 3.简单高次不等式（穿针引线法/数轴标根法） 步骤： ① 因式分解，化为 ； ② 标出各根，从右上方开始穿线； ③ 奇次根穿过，偶次根弹回； ④ “>”取上方，“<”取下方。 五、 易错点提醒 1. 忽略的符号：未将二次项系数化为正数就直接写解集； 2. 漏掉等号：题目是 ≥ 或 ≤ 时，解集要包含端点； 3. 分母不为零：解分式不等式时，忘记排除使分母为零的值； 4. 恒成立漏讨论 ：二次项系数含参时，必须先讨论是否为一次函数。 六、 典型例题速览 例1：解不等式 化为 根为 解集： 例2：已知不等式 的解集为空集，求的范围。 等价于 恒成立 解得： 一、单选题 1．一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式解集，结合对应二次函数的性质列不等式组，即可得答案. 【详解】由的解集为空，结合对应二次函数性质有. 故选：B 2．已知集合，则（   ） A． B．{1} C． D． 【答案】C 【分析】由集合的交集运算求解. 【详解】， 得 3．已知关于x的不等式的解集为或，则的解集为（    ）． A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由关于x的不等式的解集为或，可得到，化简，解不等式，即可求得答案. 【详解】由关于x的不等式的解集为或， 可知，且-2和1是方程的两根， 故由根与系数的关系得，即得， 又，故不等式为，即，解得， 故选：B 4．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【分析】根据题意，利用韦达定理，得到的关系，代入不等式，转化为不含参的一元二次不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解． 【详解】由一元二次不等式的解集为， 可得，解得， 则不等式可转化为，即， 因为，则，不等式即为，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：D． 5．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可. 【详解】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 6．命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由存在命题、判别式以及充要条件的性质求解即可； 【详解】由题意可得，解得， 故选：D. 7．若命题“，”为假命题，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题该命题的否定为真命题，再根据命题的否定为真命题，结合一元二次不等式恒成立求解即可. 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 所以，解得， 所以实数k的取值范围为. 故选：A 8．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 9．已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合二次不等式能成立可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，成立； 当时，抛物线开口向上，成立； 当时，由，得或，所以． 综上所述，． 故选：A. 10．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，列出一元二次不等式，结合实际意义求出范围即可. 【详解】依题意，，即，解得， 因为，则，所以这批台灯的销售单价x的取值范围是. 故选：A 11．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 12．已知，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，再解一元二次不等式即可得答案. 【详解】解：因为，恒成立， 所以，即，解得. 所以，实数的取值范围是. 故选：B 13．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】由存在量词命题为真，结合一元二次不等式有解的条件列式求出的范围，再利用给定命题为假命题求解. 【详解】由，，得，解得或， 由命题“，”是假命题，得， 所以实数a的取值范围是. 故选：A 14．若，，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】运用二次函数的性质求解即可. 【详解】因为对于任意正数，不等式恒成立，则， 而，所以要使其恒成立，则. 故选：D. 15．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论、，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】当时，恒成立，满足； 当时，，可得， 综上，. 故选：A 二、填空题 16．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则 ，解得， 综上可得. 17．不等式的解集为______． 【答案】 【分析】利用因式分解解一元二次不等式. 【详解】∵，∴， ∴ 即不等式的解集为． 故答案为：. 18．若命题“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题知命题的否定为真命题，分离参数求分式的最值，再利用换元法和基本不等式求解即可. 【详解】由题得命题的否定“，不等式有解”为真命题， 所以，即在内有解. 令，则， 所以，当且仅当即，即时取等号， 所以. 故答案为：. 19．已知命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】由，不等式为真命题，结合和两类情况讨论即可. 【详解】由题意，不等式”为真命题， 当时，恒成立，不符合题意； 当时，若,显然符合题意； 若,则需使，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 20．若关于的不等式的解集为，则___________． 【答案】 【分析】分析可知，关于的方程的两根分别为、，结合韦达定理可得出、的值，即可得解. 【详解】由题意可知关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得，故. 故答案为：. 三、解答题 21．已知函数. (1)若的解集为，求实数，的值； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集与方程根的关系可求两个未知数； （2）根据恒成立可从开口方向和判别式得出限制条件，从而可求答案. 【详解】（1）因为的解集为， 所以， 解得，经检验知符合题意. （2）当时，显然不合题意； 当时，因为对一切实数恒成立， 所以， 解得. 22．已知全集，集合． (1)求； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出集合和，再根据交集运算求出结果. （2）根据 得到，然后分和两种情况讨论. 【详解】（1）或. . 或. （2）. 当时，，解得. 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是. 23．解答下列各题． (1)解不等式：； (2)已知，求的最小值； (3)已知都是正数，若，求的最大值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）解一元二次不等式的解集； （2）利用凑配法结合基本不等式计算最值； （3）根据基本不等式求解即可； 【详解】（1），， 不等式的解集为 （2）因为，所以， 所以 当且仅当，即时，等号成立． 的最小值为4 （3）（法一）都是正数， ，当且仅当，即时，等号成立 的最大值为 （法二）都是正数 当且仅当，即时，等号成立 的最大值为 24．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)； (2)的取值范围为； (3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【分析】（1）由题意知，增加的利润增加的产量售价追加投入投入的其他成本；（2）由题意知，追加的总成本追加投入投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 25．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)当时，不等式解集当时，不等式解集为当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 【分析】（1）直接解一元二次不等式可得； （2）分参数，，，，五种情况结合一元二次不等式的解法可得. 【详解】（1）当时，， 由得，即， 所以，解得或， 故不等式的解集为. （2）由，即， 当时，的解为 当时，的解为   当时，，，，无解； 当时，，的解为； 当时，，的解为. 综上所述： 当时，不等式解集 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $