精品解析：江西南昌大学附属学校2025-2026学年下学期八年级数学期末阶段性练习

八年级阶段性练习 数学 说明：本卷分为试题卷和答题卡，答案请涂写在答题卡上，不要在试题卷上作答，否则不给分． 一．选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）． 1. 下列各式中属于最简二次根式的是（   ） A. B. C. D. 2. 下列点在直线上的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据26，36，36，3◼，41，42，其中一个数的个位数字被墨水涂污，则仍能准确计算的统计量是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 6. 已知点，都在一次函数（，k，b为常数）的图象上，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）． 7. 如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是：_____． 8. 某物理学习小组探究甲，乙，丙，丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度按照从小到大的顺序为________． 9. 按照“组内离差平方和最小”的方法将个数据分成了两组，第一组是，第二组是，则该分组情况下的组内离差平方和是________． 10. 一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是________． 11. 如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为______． 12. 在矩形中，，，边上有一点（点不与、重合），边上有一点（点不与、重合），且，当的长为整数时，的长为________． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）． 13. 计算： （1）； （2）． 14. 已知关于的函数，且该函数是正比例函数． （1）求的值； （2）若点，在该函数的图象上，请比较，的大小关系． 15. 如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，平分交于点F，求证：． 16. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，，，，是格点，是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图，保留作图痕迹． （1）在图（1）中，在上画点，使； （2）在图（2）中，在上画点，使． 17. 如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当点恰好在边的垂直平分线上时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）． 18. 【数据收集】信阳市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． （1）【数据分析】 通过计算平均数，环，________环，通过计算方差，，________． （2）小颖利用四分位数、箱线图进行分析．①处应填________环，②处应填________环，③处应填________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数________选手B射击成绩的中位数（填>，<或=） 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 （3）【作出决策】请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 19. 在正方形中，为上的任意一点，于点． （1）如图，作于点，请写出，与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图，连接，若，，求的面积． 20. 年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； （2）该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ （3）实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 五．解答题（本大题共10分）． 21. 【模型呈现】如图1，在中，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作线段且，直线交x轴于点D． ①点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； ②求直线的函数表达式． 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级阶段性练习 数学 说明：本卷分为试题卷和答题卡，答案请涂写在答题卡上，不要在试题卷上作答，否则不给分． 一．选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）． 1. 下列各式中属于最简二次根式的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，选项错误； B、是最简二次根式，选项正确； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，选项错误； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，选项错误． 2. 下列点在直线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将各点横坐标代入直线解析式，计算对应值并与点的纵坐标比对，即可判断点是否在直线上． 【详解】解：∵当时，， ∴点不在直线上，故A不符合题意； ∵当时，， ∴点不在直线上，故B不符合题意； ∵当时，， ∴点在直线上，故C符合题意； ∵当时，， ∴点不在直线上，故D不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质依次计算各选项即可判断． 【详解】解：A、∵，，∴A错误， B、∵，，∴B错误， C、∵，，∴C错误， D、∵，∴D正确， 4. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查函数的定义，判断方法是垂直于 x 轴的直线检验法：任意一个 x 值，只能对应唯一的 y 值；易错点是混淆函数的 “多对一” 和 “一对多” 关系． 【详解】选项 A：任意作垂直于 x 轴的直线，与图像只有 1 个交点，满足 “一个 x 对应唯一 y”，是函数． 选项 B、C、D：存在 x 值对应多个 y 值，不满足函数定义． 故选：A． 5. 已知一组数据26，36，36，3◼，41，42，其中一个数的个位数字被墨水涂污，则仍能准确计算的统计量是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、方差、中位数、众数的概念，判断哪个统计量的结果与被涂污数字无关，即可得到答案． 【详解】解：∵ 平均数、方差的计算都需要用到被涂污数字的具体值，结果随被涂污数字改变， 因此A、B无法准确计算，排除A、B； ∵ 被涂污的数为，取值范围是，这组数据共6个，中位数为从小到大排序后第3个和第4个数的平均数， 分情况讨论： 若，排序为，第3、4个数都是36；中位数是36；众数是36； 若，排序为，第3、4个数都是36；中位数是36；众数是36； 若，排序为，第3、4个数是；中位数是；众数是36； 故仍能准确计算的统计量是众数． 6. 已知点，都在一次函数（，k，b为常数）的图象上，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据点、的坐标关系，可求解出，即可排除C、D，结合当时，的值越小，一次函数所表示的直线越陡，可判断出正确选项． 【详解】解：将点，代入一次函数表达式， 得，解得， 即，且， 观察各选项图象，选项、满足， ∵当时，的值越小，一次函数所表示的直线越陡， 选项A中满足，选项B满足， 故判断出选项满足题意要求， 故选：A． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）． 7. 如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件及解不等式，熟记二次根式有意义的条件、分式有意义的条件是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数必须是非负数、分式的分母不能为零，列不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：对于代数式在实数范围内有意义，需要被开方数，且分母 ， 解得； 要使，需要，解得； 故答案为：． 8. 某物理学习小组探究甲，乙，丙，丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度按照从小到大的顺序为________． 【答案】丁乙丙甲 【解析】 【详解】解：甲物质的密度为（千克/立方米）； 乙物质的密度为（千克/立方米）； 丙物质的密度为（千克/立方米）； 丁物质的密度为（千克/立方米）； ， 四种物质中密度按照从小到大的顺序为丁乙丙甲． 9. 按照“组内离差平方和最小”的方法将个数据分成了两组，第一组是，第二组是，则该分组情况下的组内离差平方和是________． 【答案】8 【解析】 【分析】分别计算两组数据的平均数，再分别计算每组的组内离差平方和，将两组结果相加得到最终答案． 【详解】解：第一组数据为，平均数为，离差平方和为， 第二组数据为，平均数为，离差平方和为， ∴组内离差平方和为． 10. 一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图象可得，当时，一次函数的图象在的图象上方， ∴当时，， ∴，即， ∴当时，的取值范围是． 11. 如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰直角三角形的性质．二次根式，根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出． 【详解】解：在中，，， 则， 在中，，，是斜边的中点， 则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 在矩形中，，，边上有一点（点不与、重合），边上有一点（点不与、重合），且，当的长为整数时，的长为________． 【答案】2或或 【解析】 【分析】设的长为，利用矩形性质构造直角三角形，结合勾股定理表示出的长度，根据为整数得到对应方程，求解后验证取值范围即可． 【详解】解：设，则， ∵点，不与端点重合， ∴， 如图所示，过作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，得， ∴，即， ∵的长为整数， ∴或， 当时，，解得，符合， ∴； 当时，，整理得，解得，两个解都满足，符合条件， ∴或； 综上，的长为或或． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）． 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 已知关于的函数，且该函数是正比例函数． （1）求的值； （2）若点，在该函数的图象上，请比较，的大小关系． 【答案】（1）的值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正比例函数定义建立等式与不等式求解，即可解题； （2）根据（1）得到正比例函数解析式，再根据正比例函数性质分析求解，即可解题． 【小问1详解】 解：∵函数是正比例函数， ， 解得， 的值为； 【小问2详解】 解：由（1）中，得， ， 随的增加而减少， ， ． 15. 如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，平分交于点F，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得出，结合平行线的性质与判定、角平分线的定义，推出，根据“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”判定四边形是平行四边 形，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∵平分交于点E，平分交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 16. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，，，，是格点，是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图，保留作图痕迹． （1）在图（1）中，在上画点，使； （2）在图（2）中，在上画点，使． 【答案】（1）解：如图所示点即为所求， （2）解：如图所示点即为所求， 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，可得，,利用勾股定理可知为菱形，则，即；点为所求； （2）连接，交于点，连接并延长交于点，由“”可得，得到，进而可得，再由“”可得，得到，然后由“”可得，则，点为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当点恰好在边的垂直平分线上时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】（1） （2）这架无人机向下飞行的距离的长为米 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 是直角三角形，． 【小问2详解】 解：设米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米，米， 在中，， ， 解得， 答：这架无人机向下飞行的距离的长为米． 四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）． 18. 【数据收集】信阳市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． （1）【数据分析】 通过计算平均数，环，________环，通过计算方差，，________． （2）小颖利用四分位数、箱线图进行分析．①处应填________环，②处应填________环，③处应填________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数________选手B射击成绩的中位数（填>，<或=） 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 （3）【作出决策】请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）， （2），，， （3）选择选手参加青少年射击比赛 理由如下：因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差公式计算B运动员的平均成绩和方差； （2）根据四分位数定义计算所求数据并进行比较； （3）根据中位数、平均数和方差作出决策即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：A运动员8次成绩由小到大排列为， 将数据平均分为两组，前一组的中位数即为下四分位数，即， 中位数是第4，第5个数的平均数即； B运动员8次成绩由小到大排列为， 将数据平均分为两组，后一组的中位数即为上四分位数，即， A运动员的中位数和B运动员的中位数都是9，故二者相等； 【小问3详解】 解：略． 19. 在正方形中，为上的任意一点，于点． （1）如图，作于点，请写出，与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图，连接，若，，求的面积． 【答案】（1） 解：， 理由如下：四边形是正方形， ，， ， 由条件可知． ， ． ， ， ． ． ； （2）24 【解析】 【分析】（1）结合正方形性质证明，得到，进而即可推出，与之间的数量关系； （2）作于点，根据直角三角形性质推出，再利用勾股定理求出，结合（1）中结论推出，，最后根据三角形面积公式求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点， 在中，，， ， ． 由（1）得，， ． 20. 年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； （2）该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ （3）实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 【答案】（1）元，元 （2）购进“神舟”模型个、“天宫”模型个，利润最大，最大利润元； （3） 【解析】 【分析】（1）设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个，列不等式组求出的取值范围，再根据利润单个利润模型数量，可得关于的一次函数，利用一次函数的性质求出最大利润； （3）根据利润单个利润模型数量，可得，根据一次函数的性质求出． 【小问1详解】 解：设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元． 【小问2详解】 解：设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个， 根据题意得：， 解得：， ， ， 随的减小而增大， ， 当时值最大，， （个）， 答：购进“神舟”模型个、“天宫”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元； 【小问3详解】 解：， ， 若，则，即， 随的增大而增大， 当时值最大，得， 解得：， 为让航模店最终获得的最大利润是元，的值为． 五．解答题（本大题共10分）． 21. 【模型呈现】如图1，在中，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作线段且，直线交x轴于点D． ①点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； ②求直线的函数表达式． 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标． 【答案】【模型呈现】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【模型应用】①，；② 【模型迁移】点Q的坐标为或 【解析】 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，全等三角形判定与性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质； 【模型呈现】利用证明即可 【模型应用】过C作轴于K，求出，，得到，，同理，所以，，即得，然后利用待定系数法解答即可； 【模型迁移】过点作轴于点N，过点P作于点M，设，，分两种情况，结合模型呈现，利用全等三角形对应边相等列方程组即可求解． 【详解】【模型呈现】略 【模型应用】①过C作轴于K，如图2： 一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，即，解得：， 当时，即， ∴，， ∴，， 由【模型呈现】可得：， ∴，， ∴， ∴， ②设直线解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为． 【模型迁移】如图，过点作轴于点N，过点P作于点M，设，，分两种情况： ①如图，当在点左侧时， ∵点是点C关于y轴的对称点， ∴， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， 由【模型呈现】可得， ∴， ∴，解得：， ∴， ②如图，当在右侧时， ，解得：， ∴， 综上：点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $