3.1.1 函数的概念-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

数学·必修第一册 第三章 函数的概念与性质 3.1岛数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 课程标准 素养解读 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和 1.通过对函数概念的理解，提升数学 对应关系刻画函数，建立完整的函数概念 抽象素养 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 2.通过求简单函数的定义域，提升数 3.了解构成函数的要素及同一个函数的概念，能求简单函数的定义 学运算素养 域和值域 课前。预习学案 对应学生用书P57 [情境引入] x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 比萨斜塔是意大利的标志性建 那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函 筑，更是世界建筑史上的一大奇迹.比 数，记作y=f(x),x∈A. 萨斜塔位于比萨城北面的一个名字叫 2.函数的定义域：函数y=f(x)中，x是自变量，x的 奇迹广场上.奇迹广场的大片草坪上 取值范围A叫做函数的定义域. 有一组宗教建筑，它们是比萨大教堂、 3.函数的值域：函数y=f(x)中，与x的值相对应的 洗礼堂、比萨斜塔和墓园.它们的外墙 y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做 面均为乳白色大理石砌成，各自相对 函数的值域.显然，值域是集合B的子集。 独立但又形成统一的罗马式建筑风 万分 ?思考1.对于函数f:A→B,值域一定是集合B 格.1987年12月，奇迹广场（包括大教堂、洗礼堂、比 吗？为什么？ 萨斜塔和墓园)被联合国教科文组织列入《世界文化 提示：不一定，值域是集合B的子集，即{f(x)|x 遗产》.比萨斜塔位于大教堂后面右侧，它从地面到塔 ∈A}∈B. 顶高55米，直径16米，总重约14453吨.塔身向东南 2.对应关系f必须是一个解析式的形式吗？为 方向倾斜，倾斜角度3.99度. 什么？ 某物体从比萨斜塔的塔顶自由下落，物体下落的 提示：不一定，可以是数表，也可以是图象。 高度h(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律 3.有人认为“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的 用数学式子可以描选为h=号g,其中g 乘积”，这种看法对吗？ 提示：这种看法不对.符号y=f(x)是“y是x的 取9.8m/s2. 函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关 [问题]物体下落的高度h(m)是所用时间t(s)的函 系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或 数吗？ 几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描 提示：物体下落的高度h(m)是所用时间t(s)的函数. 述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值 [知识梳理] 时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y [知识点一]函数的概念 =f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x 1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种 的乘积”.在研究函数时，除用符号f(x)外，还常 确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数 用g(x),F(x),G(x)等来表示函数 ·80… 第三章函数的概念与性质 4.f(x)与f(a)有何区别与联系？ [知识点三]函数三要素及函数相等 提示：f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x 1.函数三要素：定义域、对应关系和值域 =a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是 2.函数相等：由于函数的值域是由定义域和对应关系 确定的，如果两个函数的定义域相同，并且对应关 自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量， 系完全一致，就称这两个函数相等， f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x) 3x十4，当x=8时，f(8)=3×8+4=28是一个 ?思考7.函数有定义域、对应关系和值域三要素， 常数. 为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定 义域和对应关系？ [知识点二]区间的概念 提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数 1.区间的概念：设a,b是两个实数，而且a<b. 的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只 定义 名称 符号 数轴表示 看定义域和对应关系即可 闭区间 [a,b] 8.定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函 (r a<r<b 数吗？ (xa<x<b 开区间 (a,b) 提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数 a 定不是同一个函数 {xa≤x<b} 左闭右开区间 La,b) 。x [预习自测] 1.已知集合M={x0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那 x a<x<b 左开右闭区间 (a,b] a 么下面的4个图形中，能表示从集合M到集合N 2.无穷区间表示 的函数图象的个数为 定义 {xlx≥a} (rr>a (r x<a rx<a 2 符号 0,十0∞) [a,+∞) (a,+o∞) (-o,a] oo,a） 012x 012x 3.特殊区间的表示 图① 图② 定义 区间 数轴表示 3--- 2- {xx≥a》 [a,+o∞) 012x 012x (xlx>a) (a,十o∞) 图③ 图④ A.1 B.2 C.3 D.4 {xx≤b} （-∞，b] 6 答案：A 2.函数f(x)= 2.x +(2x-1)°的定义域为( (ax<b) (-∞，b) 6 √1-x (合 配思考5.区间是数集的另一种表示方法，那么任 何数集都能用区间表示吗？ c() D(-,)(合 提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0} 答案：D 就不能用区间表示 3.给出下列三组函数，其中表示同一个函数的是 6.“∞”是数吗？以“一∞”或“十∞”作为区间一端 (填序号). 时，这一端可以是中括号吗？ ①fx)=,gr)=: 提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以 ②f(x)=2x十1，g(x)=2.x-1; “一©∞”或“十o∞”作为区间一端时，这一端必须是 ③f(x)=x,g(.x)=r. 小括号 答案：③ ·81 数学·必修第一册 课堂。互动学案 对应学生用书P59 题型一 函数概念的理解 (4)A=R,B=R,f:x→2x+1; [例1]下列对应关系是否为A到B的函数？ (5)A={(x,y)|x,y∈R},B=R,f:(x,y)→x+y. (1)A=R,B={xx≥0}，f:x→y=|x|； 其中能构成从集合A到集合B的函数的有 (2)A=R,B=R,f:x→y=文 (填序号) 1 解析：(1)由函数的定义知，满足题意； (3)A=R,B=Z,f:x→y=√x; (2)当x=0时，B中不存在元素与之对应，不满足 (4)A=[-2,2],B=(1},f:x→y=1. 题意； 汇思路点拔]依据函数的概念判断， (3③)当=0时，没有意又，不满足题意： [解](1)A中的任一元素按照对应关系y=|x|, (4)由函数的定义知，满足题意； 在B中都有唯一确定的元素与之对应，故是集合A (5)集合A不是数集，故不满足题意. 到集合B的函数 答案：(1)(4) (2)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集 合A到集合B的函数. 题型二 判定函数相等 (3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应 [例2]下列各组函数： 的元素，且√无不一定是整数，故此对应关系不是集 ①fx)=x2-x g(x)=x-1; 合A到集合B的函数， (4)对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系 ②fx)=E,g(x)=÷； f:x→y=1,在集合B中都有唯一一个确定的数1 与它对应，故是集合A到集合B的函数. ③f(x)=√x+1·√1-x,g(x)=1-x; 规律方法 ④f(x)=√(x+3)7,g(.x)=x+3; 1.判断对应关系是否为函数的2个条件 ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t) (1)A,B必须是非空数集. 80t(0≤t≤5)与一次函数g(.x)=80.x(0≤x≤5). (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与 其中表示相等函数的是 (填上所有正 之对应. 确的序号)， 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关 汇思路点拨]判断是否为相等函数，关键是看对 系，“一对多”的不是函数关系. 应关系和定义域是否一致 2.根据图形判断是否为函数的方法 [解析] (1)任取一条垂直于x轴的直线1. 序号 是否相等 原因 (2)在定义域内平行移动直线 (3)若【与图形有且只有一个交点，则是函数；若 定义域不同，f(x)定义域为 ① 不等 在定义域内没有交点或有两个或两个以上的 {xx≠0}，g(x)定义域为R. 交点，则不是函数 对应法则不同，f(x)= 1 如图所示： ② 不等 g(x)=元. ③ 不是函数图象不是函数图象 是函数图象 相等 定义域、对应关系都相同 1.有如下对应关系： 值域不同，f(x)≥0，g(x) ④ 不等 1)A=0,2,B=0,1fx→： ∈R. (2)A={-2,0,2},B={4},f:x→x2; ⑤ 相等 定义域、对应关系都相同. (3)A=R,B={ly>0},f:x7 [答案] ③⑤ ·82… 第三章函数的概念与性质 规律方法 规律方法 (1)如何判断两个函数是否相等？ 定义域的求法 ①判断定义域是否相等； (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数 ②判断对应关系是否相等； 集R; ③结论：如果①和②都肯定，则两个函数相等； (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分 母不为0的实数的集合： 如果①和②中有一个否定，则两个函数不等. (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是 (2)判断两个函数是否相等的注意事项： 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； ①如果两个函数的定义域和值域分别相同，那 (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的， 么这两个函数不一定相等，如f(x)=x2十1 那么函数的定义域是使各部分式子都有意义 与g(x)=|x十1，两个函数的定义域、值域分 的实数的集合. 别相同，但它们的对应法则不同，因此它们不 (5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求 是相等函数 外，还要符合实际情况. ②因为函数是两个数集之间的对应关系，所以 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点 至于用什么字母表示自变量、因变量和对应关 初学者易忽视. 系是无关紧要的，如f(x)=3x十4与f(t)= ⊙[变式训练] 3t十4表示相等的函数。 3.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3]，则函数y ⊙[变式训练] =f2x十1D的定义域为 x十1 2.判断下列各组函数是否是相等函数. (1)f(.x)=x2-x+1,g(t)=t2-t+1; A.[ -.-1(-1 (2)f(x)=√x-I·x十1，g(x)=√x2-1 C.[-3,7] D.[-3,-1)U(-1,7] 解：(1)虽然表示自变量的字母不同，但定义域、对 解析：B[由题莺得-2≤2x十1≤3，解得一2≤ 应关系均相同，因而是相等函数。 ≤1， (2)f(x)的定义域为{x|x≥1}，而g(x)的定义 由x+1≠0，解得x≠-1，所以函数y=f2红十1) 域为{xx≤-1，或x≥1}，两函数的定义域不同， x+1 .f(x)与g(x)不是相等函数， 的定义域是[-号-0(-1.] 题型写 求函数的定艾域 题型四 函数值和函数的值域 [例3]求下列函数的定义域 [例4]已知函数f(x)=十1 (1)f(x)=Wx-1·√4-x+2; x+21 (1)求f(2): 2f)=+++2 (2)求函数f(x)的值域. 思路点拨了求函数的定义域，就是求使函数解 汇思路点拔] 形如f(x)= x十d的函数在求值 ax+b, 析式有意义的自变量的取值范围 域时，一般利用分离常数的方法，即在分式的分子 [解] (1)要使此函数有意义，应满足 上构造出分母的形式以便分离出常数来求值域. 1≥0， 即1≤x≤4，所以此函数的定义域是 4-x≥0， [解] (1)f(2) 2+1_3 2+2-4 {.x|1≤x≤4}. (2)fx)=,+2,1-1- x+2 x+2 x十2 (2)要使此函数有意义，则 x≥一3， 千2≠0,1- 又1 1 →x≥-3，且x≠-2 f(x)≠1， 所以f(x)的定义域为{xx≥-3，且x≠一2} 即函数值域是{yy∈R,且y≠1. ·83· 数学·必修第一册 规律方法 ◇[变式训练] 求函数值域的原则及常用方法 4.求下列函数的值域： (1)原则：①先确定相应的定义域； (1)y=2x+1; ②再根据函数的具体形式及运算确定其值域， (2)y=x2-4x+6,x∈[1,5). 解：(1)因为x∈R,所以2x十1∈R,即函数的值域 (2)常用方法： ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域 为R 可通过观察法得到. (2)配方：y=x2-4x十6=(x-2)2+2, ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本 因为x∈[1,5)，由图所示. 方法. 113 10 ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值 9 域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对 6 于f(x)=ax十b+√cx十d(其中a,b,c,d为常 5 数，且a≠0)型的函数常用换元法. 2 ④分离常数法.此方法主要是针对有理分式， 1 012345 即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式， 便于求值域： 所以所求函数的值域为[2,11). 随堂。步步夯实 对应学生用书P61 1.区间(-3,2]用集合可表示为 A.{-2,-1,0,1,2} B.{x-3<x<2} C.{x-3<x≤2} BV 0123456x D.{x|-3≤x≤2} 答案：0(1,4) 答案：C 4.已知函数f(x)=2x-3,x∈{x∈N|1≤x≤5}，则 2.下列各组函数中，表示同一个函数的是 函数f(x)的值域为 答案：{-1,1,3,5,7}》 Ay=x-2和y=-A x十2 5已知)年✉∈R,且x-Dg)=- B.y=x-1和y=√x-2.x+1 (x∈R) C.f(x)=(.x-2026)2和g(x)=(x+2026) (1)求f(2),g(3)的值； (2)求f(g(3)的值及f(g(x). D.f)=)和g(x)= )3 解：0)因为f) 答案：D 所以2)-=- 3.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B, 因为g(x)=x2-1,所以g(3)=32-1=8. C三点的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 (2)旅随客，知x3》=f8)=卡号 9， f(f(4))= ；不等式f(x)<2的解集 为 g》+8-g》20. 1+g(x)1+(x2-1)x2 ·84… 第三章函数的概念与性质 课后。素养提升 对应学生课时P275 基础过关 C.A=Z,B=Q,f:A中的数的倒数 》 D.A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},f:A中的数的 1.下列四个函数中，与y=2x表示同一个函数的是 2倍 ( ) 解析：AD[A中，可构成函数关系；B中，对于集 A.y=2a B.y=√4x 合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应， C.y=2z D.y=/8x 因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有 x 答案：D 意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函 2.已知函数f(x)=的定义城为M,g(x) 数关系；D中，可构成函数关系.] √2-x 6.(多选)若函数y=x2-4x-4的定义域为[0，m], wx+2的定义域为N,则M∩N= 值域为[一8，一4]，则实数m的值可能是() A.[-2,2) B.(-2,2) A.2 B.3 C.[-2,+o∞) D.(-o∞，2] C.4 D.5 答案：A 解析：ABC[函数y=x2-4x-4的图象如图 3.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2}， f(0)=f(4)=-4,f(2)=-8.因为函数y=x2- 值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f(x)的图象 4x一4的定义域为[0，m],值域为[一8，-4]，所以 可能是 ( ) 实数m的取值范围是[2,4]，故选A、B、C.] 8x=2 x2-4x-4 -8-4 2-10 12 -2-1012x 2 B 7.将函数y= 3 的定义域用区间表示 y y 1-V1-x 为 1-x≥0， 2 解析：由 解得x≤1且x≠0，用区间 1-√1-x≠0 表示为(-∞，0)U(0,1]. C D 答案：(-o∞，0)U(0,1] 答案：C 8设f)=亡则f》= 4.下列函数中，值域为[0,4]的是 A.f(x)=x-1,x∈1,2,3,4,5} 解析：f(f(x)=1, 1 =x-1 1-x-1x B.f(x)=-x2+4 1-x C.f(x)=√16-x 答案：(x≠0，且x≠1) Df)=x+-2x>≥0) 9.已知函数f(x)满足f(x十y)=f(x)十f(y)-3, 答案：C 且f(4)=5,则f(2)= 5.(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函 解析：·函数f(x)满足f(x十y)=f(x)+f(y)-3, 数的有 ( 令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)-3,又：f(4) A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中数的平方 =5,.f(2)=4. B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数的开方 答案：4 ·85· 数学·必修第一册 10.试求下列函数的定义域与值域： A.y=√1-x (1)y=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3}； B.y=2√元-x (2)y=(x-1)2+1; 1 (3)y=5x+4 x19 C.y=x2-2x+2 (4)y=x-√x+1. D.y=√1-x-|x 解：(1)函数的定义域为{一1,0,1,2,3}，当x=-1 解析：AB[由[a,b]交汇函数的定义可知[0,1] 时，y=[(-1)-1]+1=5,同理可得f(0)=2, 交汇函数表示函数的定义域与值域交集为[0,1]. f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,所以函数的值域为 对于选项A,y=√1一x的定义域A=(一∞，1]， {1,2,5}. 值域B-[0,十∞)，则A∩B=[0,1],A正确；对 (2)函数的定义域为R,因为(x一1)2+1≥1，所以 于选项B,y=2√(-x的定义域A=[0,十∞)，令 函数的值域为{yy≥1}. t=√≥0，则y=2t-t2=-(t-1)2+1≤1，值域 (3)函数的定义战是{xlx≠1}，y=5x+4=5十 x一1 B=(一o∞，1]，则A∩B=[0,1],B正确；对于选 吕所以函数的猴线为≠5。 1 1 项C,y2-2x+2红-+T(x-1)> (4)要使函数式有意义，需x十1≥0，即x≥-1，故 1 函数的定义域是{x|x≥-1}.设t=√x十1，则x 0(x-10+1≥10<x-D+<1,定义 =-1≥0.子是f0=F-1-=(-)》 域A=R,值域B=(0,1],则A∩B=(0,1],C错 误；对于选项D,y=√1-x一|x的定义域A= -是.又≥0，故f()≥-是.所以画数的值城 [-1,1],y2=1-x2+x2-2x√1-x2=1 是{2-} 2Wx2(1-x2),-1≤x≤1，.0≤x2(1-x2)≤ 11.已知函数f(x)= 子，即0≤y<1-1≤y<1,值城B=[-11, 1+x 则A∩B=[-1,1],D错误.] )求证：1)+)2x≠-1且x≠0： 13.已知函数f(x)=√a(x2十1)-4x+3, (2)求f(2026)+f(2025)+…+f(2)+f(1)+ (1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值 ()…+f(202s的值 范围； (2)若函数f(x)的值域为[0，十∞)，求实数a的 取值范围， 解：(1)因为函数f(.x)的定义域为R,所以a(x2+ 2x x+1 1)-4.x十3≥0在R上恒成立.当a=0时，-4x十 )+/)--2，共中x-1且x0 3≥0Px≤子，不符合题意： 当a≠0时，要使a(x2十1)-4x十3≥0在R上恒 (2)由题得f1)=1千=1，f(2026)+f(2025) 成立，即ax2-4x十3十a≥0在R上恒成立，只需 +…+f2)+f1)+f(合)十+f(26) /a>0, 解得a≥1，所以实数 4=(-4)2-4a(3+a)≤0， a的取值范围为[1，十o∞). =2025×2+1=4051. (2)当a-0时，f(x)-√一4.x十3≥0，符合题意； 能力提升 -》 当a≠0时，要使函数f(x)值域为[0，十∞)，只需 12.(多选)若某函数的定义域与其值域的交集是[a, a>0, 解得0<a≤1. b],则称该函数为“[a,b]交汇函数”.下列函数是 4=(-4)2-4a(3+a)≥0， “[0,1门交汇函数”的是 ) 综上所述，实数a的取值范围为[0,1]. ·86…