2.3 第2课时 一元二次不等式解法的应用-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

数学·必修第一册 第2课时 一元二次不等式解法的应用 课程标准 素养解读 1.会解简单的分式不等式 通过求方程组解集，提升数学运 2.通过三个“二次间的关系”解简单一元二次不等式恒成立问题 3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以求解 算、数学抽象和逻辑推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P51 [情境引入] [预习自测] 不等式1>1与x<1等价吗？1>1的解集应是什么？ 1,不等式一<0的解集为 x十2 提示：不等价：{x0<x<1 A.{xx>1} [知识梳理] B.{xx<-2} [知识点一]一般的分式不等式的同解变形法则 C.{x-2<x<1》 1)f)>09f(x)·g(x)>0; D.{xx<-2,或x>1} g() 答案：C (2)f）≤0月 (f(x)·g(x)≤0， g(x) g(x)≠0： 2.若集合A={x-1≤2x+1≤3，B=《x|-2 (3)fx ≥u台fm)ag≥0. 0},则A∩B g(x g(z) A.{x|-1≤x<0》 B.{x0<x≤1} [知识点二]一元二次不等式恒成立的情况 C.{x|0≤x≤2} D.{.x|0≤x≤1} (1)a.x2十b.x十c>0(a≠0)恒成立台 a>0 答案：B 4、0 3(2025·上海卷)不等式二<0的解集为 (2)a.x2+b.x十c≤0(a≠0)恒成立台 ra<o x-3 答案：(1,3) 课堂。互动学案 对应学生用书P51 题型一 解简单的分式不等式 4 [例1]解不等式： 1)x-x-6>0:(2)21>1. ∴.原不等式的解集为x x-1 3-4.x [思路点拨](1)-T-6>0台(.x2-x-6)(x 规律方法 x-1 解分式不等式的策略 -1)>0. (2)2x1>1台3x-2<09(3x-2)4x-3)<0. 1)对于形如f>0(<0)的不等式可等价转化 g(x) 3-4x 4x-3 [解](1)原不等式等价于 为f(x)g(x)>0(<0)来解块；对于形如fx g(x) ≥0（≤0）的不等式可等价转化为 x-1<0 fx)·g(.x)≥0（≤0） 解得x>3或-2<x<1. ,来解决。 (g(x)≠0 .原不等式的解集为{xx>3,或-2<x<1. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等 2原不华式可化为品-0，即号0，等 3-4x 式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为 价于(3x-2)(4x-3)<0, 不等号右边为零，然后再用上述方法求解。 ·70· 第二章一元二次函数、方程和不等式 ⊙[变式训练] -60x2+20.x>0, 1.(1)若关于x的不等式a.x-b>0的解集为{x|x> {0<x<1, 1,则关于x的不等式女0的解集为（ ) 解不等式组，得0<<号 A.{xx<-2或x>1} 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投 B.{x|1<x<2} 入成本增加的比例x的范围 C.{x|x<-1或x>2} {0<<号} D.{x|-2<x<-1} 规律方法 (2)关于x的不等式千>0的解集为z<-1, 解不等式应用题的步骤 读 阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准 或x>4},则实数a= 不等关系 解析：(1)因为关于x的不等式ax一b>0的解集为 建 将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等 关系，建立相应的数学模型 >1,所以a=6>0,所以不等式梦0等 解 解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素 的实际意义 价于+>0，即(x十1)(x-2)>0,解得x<-1 答 回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果 x-21 或x>2.所以关于x的不等式“t+>0的解集为 ⊙[变式训练] x-2 2.如图所示，将一矩形花坛 {x|x<-1或x>2}. ABCD扩建成一个更大的矩 (2)>0台(x+1)x-a)>0. 形花坛AMPN,要求B在 又因为原不等式的解集为{xx<一1，或x>4}, AM上，D在AN上，且对角线MN过点C,已知 所以(x+1)(.x-4)>0,所以a=4. AB=3米，AD=2米， 答案：(1)C(2)4 (1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则 题型二 一元三次不等式的实际应用 DN的长应在什么范围？ (2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面 [例2]某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入 积最小？并求出最小值. 成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售 解：(1)设DN=x米(x>0),BM=y米(y>0),则 量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产 品档次，适度塔加投入成本，若每辆车投入成本增 由△NDC与△NAM相似得千2千y整理得 3 加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比 例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为 0.6x.已知年利润=（出厂价一投入成本）X年销 矩形AMPN的面积S=AN·AM=(x+2)· 售量 （+9)即s=3x+2+12. x (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的 比例x的关系式； 当S>32时，得3x+12+12>32 (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投 入成本增加的比例x应在什么范围内？ 整理得(3x-2)(x-6)>0,解得x>6或x< 3 汇思路点拨]年利润=（出厂价一投入成本）X年 又x>0,所以DN的长的范围为 销售量.所以y=-60x2+20.x十200(0<x<1)解 不等式 {<<号x} [解](1)由题意，得y=[1.2×(1十0.75.x)-1× 2>0时3x+>≥26…-12， (1+x)]×1000×(1十0.6x)(0<x<1),整理得y =-60x2+20x+200(0<x<1) 当且仅当3x=12,即x=2时等号成立， (2)要保证本年度的利涧比上年度有所增加，当且 所以S≥12+12=24， 仅当-1.2-1)X100>0, 所以当DN的长为2米时，矩形花坛AMPN的面 10<x<1, 积最小，最小值为24平方米。 ·71 数学·必修第一册 题型二元三次不等式的恒成立问题 [提醒]当不等式a.x2十b.x十c>0未说明为一元 [例3]已知函数y=m.x2+m.x+(m-1)的值恒为负 二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足 值，求m的取值范围， 的条件为 a=b=0, [思路点拨了讨论m=0和m≠0两种情况. c>0. (2)在给定区间上的恒成立问题， [解]函数y=m,x2十mx十(m一1)的值恒为负值， ①a>0时，a.x2+bx+c<0在x∈{.x|a≤x≤ 即不等式m.x2十mx+(m-1)<0对一切实数x都 成立，于是 B}上恒成立台y=ax2十b.x十c在x=a,x=B ①当m=0时，一1<0恒成立； 时的函数值同时小于0.②a<0时，a.x2十bx ②当m≠0时，要使其恒成立， 十c>0在x∈{x|a≤x≤B}上恒成立台y= m<0, ax2十bx十c在x=a,x=B时的函数值同时大 则有 解得m<0. △=m2-4m(m-1)<0, 于0. 综上，m的取值范围为{mm≤0}. ◇[变式训练] 规律方法 3.若H1≤x≤4，不等式x2-(a十2)x十4≥-a-1恒 成立，则实数a的取值范围为 一元二次不等式在R上的恒成立问题 解析：V1≤x≤4，不等式x2-(a+2)x十4≥-a-1 (1)①一元二次不等式a.x2+bx十c>0,对任意实 恒成立，即V1≤x≤4，a(x-1)≤x2-2.x十5恒 数x∈R恒成立的条件是 1a>0, 成立 (4<0 ①当x=1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R; ②一元二次不等式a.x2+b.x十c≥0，对任意实 /a>0, ②当1<≤4时，a≤t2红+5--1十4 x-1 x-11 数x∈R恒成立的条件是 △≤0； 1<x≤4，.0<x-1≤3， ③一元二次不等式a.x2十bx十c<0,对任意实 数x∈R恒成立的条件是C0, 1+气≥2-D高=4（当仅当 △<0； x一1 马即13时取等子》， ④一元二次不等式a.x2+b.x十c≤0，对任意实 .a≤4. 数x∈R恒成立的条件是 1a<0, 综上，实数a的取值范围为{aa≤4. △≤0. 答案：{aa≤4》 随堂。步步夯实 对应学生用书P53 1.(2025·全国二卷)不等式二4>≥2的解集是 章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章 1 的销售单价x(单位：元)的取值范围是 ( ( A.{x|10<x<20} B.{x|15≤x<20} A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} C.{x|16<x<20》 D.{x|15≤x<25} C.{x|-2≤x<1} D.(aa>1) 答案：B 答案：C 3.若关于x的不等式ax2-6x十a2<0的非空解集为 2.2026年12月20日，将迎来澳门回归祖国27周年， {x1<x<m},则m= 为了迎接这一历史性时刻，某商店购进一批澳门回 答案：2 归27周年纪念章，每枚的最低售价为15元，若每 4.若关于x的不等式是kx2-6k.x十k十8≥0在R上 枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每 恒成立，则实数k的取值范围是 提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念 答案：{k0≤k≤1} ·72· 第二章一元二次函数、方程和不等式 5.爱护环境，从点滴做起，让我们共 解：设花坛的宽度为xm, 同守护祖国美丽的蓝天绿水，某 则草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2.x)m, 施工单位在对一个长800m,宽600m的草坪进 根据题意得(80-2x)·(600-2x)≥号 ×800×600, 行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四 整理得x2-700.x十60000≥0， 解不等式得x≥600（舍去）或x≤100， 周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的 由题意知x>0,所以0<x≤100. 面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度 当x在(0,100]之间取值时，绿草坪的面积不小于 的取值范围. 总面积的二分之一 课后。素养提升 对应学生课时P273 基础过关 5.(多选)已知关于x的不等式a(x-1)(x十3)十2>0 》 的解集是{xx1<x<x2},其中x1<x2,则下列结 1.不等式>≥2的解集为 论中正确的是 A.x1十x2十2=0 B.-3<x1<x2<1 A{} B{0<≤号} C.x1-x2|>4 D.x1x2+3<0 解析：ACD[由题设，不等式a(x-1)(x十3)+2 C{o≤r≤} D{<0或>} >0,即a.x2+2ax-3a十2>0的解为x1<x<x2, 答案：B 〔x1十x2=-2, 2.已知关于x的不等式a.x十b>0的解集是{xx>1},则 .a<0,则 11x=2-3<0. .x1十x2十2=0， 关于x的不等式一之0的解集是 ) x1x,十3=二<0，则A,D正确；原不等式可化为 a A.{x|x<-1,或x>2} a(.x-1)(.x+3)>-2,令y=a(.x-1)(x十3)，由题 B.{x|-1<x<2} 意可知函数图象开口向下，与x轴两交点的横坐标 C.{xl1<x<2} 分别为一3和1，与直线y=一2两交点的横坐标分 D.{xx>2} 别为x1,x2,且x1<x2,作出大致图象如图所示， 答案：A .由图知x1<-3<1<x2,x1-x2>4,故B错 3.某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和 误，C正确 汽车刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关 y=a(x-1)(x+3) 系：=六十0，在一次交通事故中，测得一辆 这种汽车的刹车距离大于40m,则这辆汽车刹车 前的车速至少为（精确到1km/h) A.76 km/h B.77 km/h C.78 km/h D.80 km/h 答案：B 6.(多选)在R上定义运算： a b c d =ad一bc,若不等 4.已知命题p:Hx∈R,ax2+2x十3>0为真命题，则 实数a的取值范围是 ( 式十“≥1对任实数但成立，明实 A-0<a≤号} B{a0<a<号} 数a可以为 co≥} B.-2 D>} 答案：D c D是 ·73· 数学·必修第一册 ：ACD[询义知：不等式≥ 9.在如图所示的锐角三角形空地 中，欲建一个面积不小于300m 40 等价于x2-x-(a2-a-2)≥1，.x2-x+1≥a2 的内接矩形花园（阴影部分），则 a对任鸾实载x征成立，-x十1=（e一)十 其一边长x(单位：m)的取值范围 是 ≥是0-a≤解得-<≤选A C、D.] 解析：设矩彩的另一边长为y,由三角形相似得看 7.不等式+1)5-)x+2)≥0的解集为 =40义，且0<x<40,0<y<40,所以40=x十y. (x-1) 40 又矩形的面积xy≥300，所以x(40-x)≥300，解 解析：因为x+1)5-)x+2)≥0， 得10≤x≤30，所以其一边长x的取值范围是 (x-1)9 {x|10≤x≤30}. 所以x+1)(5-x)x+2y(x-1)≥0， 答案：{x10≤x≤30} (x-1)5≠0， 10.设函数f(x)=mx2-m.x-1. 即+1)'(-5)(x+2)(-1D≤0 (1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立，求m的 1(x-1)5≠0. 取值范围 令(.x+1)2(x-5)(.x+2)3(x-1)5=0,解得x1 (2)对于1≤x≤3，f(x)<-m十5恒成立，求m x2=x3=-2,x4=x5=-1,x6=x?=x8=xg=x10 的取值范围 =1,x11=5, 采用“穿针引线法”，如图所示， 解：1)由已知条件得m=0,或m0 m2+4m<0 解得：一4<m≤0.因此实数m的取值范围 2-1 是(-4,0]. 由图可得不等式的解集为{x|x≤一2或x=一1或 (2)当x∈[1,3]时，不等式等价于m.x2-m.x-1< 1<x≤5}. 6 6 一m十5，m-十，画数y=-十在当 答案：{xx≤-2或x=-1或1<x≤5》 1≤x≤3时，y随着x的增大而减小，则当x=3 8.若对任意实数x,关于x的不等式(a2-1)x2 (a一1)x-1<0恒成立，则实数a的取值范围为 时，函数取到最小值m=号，由巴知条件m< 解析：(1)若a2-1=0,则a=土1. 号，因此宾数m的取位范国是(-©，号) 当a=1时，原不等式为-1<0， 11.某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每 解集为R,满足题意； 100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计 当a=-1时，原不等式为2x一1<0，解集为 划收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这 {红<号}与题意不特. 种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点， 预测收购量可增加2x个百分点. (2)若a≠士1， 则当=a-1)2+4a2-1D<0, (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式： ，不等式的解 (2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税 {a2-1<0 收的83.2%，试确定x的取值范围. 条为R,解得-号<a<1 解：(1)降低税率后的税率为(10一x)%,农产品的 综上，安数a的取位范闲是{红一吾<a≤} 收购量为a(1十2.x%)万担，收购总金额为200a(1+ 2x%)万元.依题意：y=200a(1十2x%)(10-x)%= 答案：{al-号<a<} 50a(100+2x)(10-x)(0<x<10). ·74· 第二章一元二次函数、方程和不等式 (2)原计划税收为200a·10%=20a(万元). 由图知，当1<a<b时，不等式a≤子2-3x十4 依题意得：50a(100+2x)(10-x)≥20a×83. ≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}U{xxD≤x≤xB} 2%,化简得x2+40x一84≤0， 的形式，故B错误； ∴.-42≤x≤2. 当a<b=1时，不学式a≤是-3z十4<b的解 又.0<x<10,.0<x≤2. x的取值范围是{x0<x≤2. 集为(2，C正确：由不等式u≤2-3x十4长b的 能力提升 》 解集恰好为{xa≤x≤b},可得a≤ymn,即a≤l,且 2(多选)已知关于z的不等式a≤-3x+4≤ x=a,x=b时西教值均是，得6-3动十4=b, b,下列结论正确的是 ) 解得6=号或6=4，当6=号时，由子。2-30十4= 3 A当a<C1时，不等式a≤是-3x+4<b的 b号解野公=音或d=》不荡足1，不特合 解集为☑ 题意； B.当1<a<b时，不等式a≤是-3x十4<b的 当b=4时，由2。-3a十4=b=4,解得a=0成《 解集为{xd≤x≤f}的形式 =4,只有a=0满足a≤1，所以a=0,此时b一a= C.当a<b=1时，不等式a≤子2-3x十4<b的 4-0=4,故D正确.] 解集为{2} 13.设命题p:实数x满足x2-4a.x+3a2<0,其中a D.如果不等式a≤子：-3江十4<b的解集恰好 >0.命题q:实数x满足二3≥0. 2-x 为{xa≤x≤b},那么b-a=4 (1)若a=1,且p,q均为真命题，求实数x的取值 范围； 解析：ACD[由子2-3x+4<b,得3x2-12x十 (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的 16-4b≤0，当b<1时，△=48(b-1)<0, 取值范围 从而不等式a≤是-3x十4≤6的解条为，故 解：(1)由x2-4a.x十3a2<0(a>0),得a<x<3a. 当p为真命题时，a<x<3a. A正确；在同一平面直角坐标系中作出函数y= 二>0， (x-3)(2-x)≥0， 是-3十4=是x-2+1的图象及直线y=公 即2<x≤3. x≠2， 和y=b,如图所示 当q为真命题时，2<x≤3.a=1时，p:1<x<3. 由p9均为真命题，得1<3， 解得2<x<3, 2<x≤3， B y=b 所以实数x的取值范围为{x|2<x<3. Y=0 (2)设A={xa<x<3a},B={x2<x≤3}.由题 意知q是p的充分不必要条件，所以B手A,所以 0a2, 5元 解得1<a≤2，所以实数a的取值范围 (3a>3, 为{a1<a≤2}. ·75·