1.3 第2课时 补集-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

数学·必修第一册 第2课时补集 课程标准 素养解读 1.理解全集、补集的含义，会求给定集合的补集 能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补集等数学对 2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题 象的一般特征，并学会用三种语言（自然语言、图形语言、符 3.能借助Venn图，利用集合运算解决有关的 号语言)表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养 实际应用问题 课前。预习学案 对应学生用书P13 [情境引入] 2.本质：补集既是集合之间的一种关系，又是集合的 某学习小组学生的集合 基本运算之一，补集是一个相对的概念，只相对于 为U={王明，曹勇，王亮，李 相应的全集而言. 冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹， 3.作用： 钱忠良，何晓慧}，其中在学校 ①依据定义求集合的补集；②求参数的值或范围； 应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集 合为P={王明，曹勇，王亮，李冰，张军} ③补集思想的应用. [问题]没有获得金奖的学生有哪些？ 4.补集的性质 提示没有获得金奖的学生的集合为Q={赵云，冯 (1)AU(CoA)=U. 佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧 (2)A∩(CA)= [知识梳理] (3)CuU=,Co=U,Cu(CA)=A. [知识点一]全集 (4)(CoA)(CoB)=Co(AUB) 1.概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有 (5)(CA)U(CuB)=Cu(AnB). 元素，那么就称这个集合为全集 2.记法：通常记作U. 2思考2.CA,A,U三者之间有什么关系？ 。思考1.在集合运算问题中，全集一定是实数 提示：A三U,CAU,AU(CA)=U,A∩ 集吗？ (CA)=0 提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题 [预习自测 中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而 1.已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3, 异.所以全集不一定是实数集 4,6,7},则集合CyA [知识点二】补集 1.补集的概念 A.{2,5,8》 B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8} 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A 答案：A 文字 的所有元素组成的集合称为集合A相对于 2.设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6}, 语言 全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 CoA N={0,1,6},则MU(CuN)= A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} 符号 CuA={x|x∈U,且xEA} C.{1,2,4,6,8} D.U 语言 答案：A 3.已知集合A={3,4,m},集合B={3,4},若CB= 图形 {5},则实数m= 语言 答案：5 16· 第一章集合与常用逻辑用语 课堂。互动学案 对应学生用书P14 题型 补集的运算 [解] (1)如图所示 [例1]已知全集U,集合A={1,3,5,7,9},CA= {2,4,6,8},CB={1,4,6,8,9},求集合B. -3-2-1012343 思路点拔了先求出全集U,再由CuB求出B. :A={x|-2<x<3},B={x-3≤x≤2}， 解]借助Venn图，如图所示， .CA={xx≤-2，或3≤x≤4}， 02 1356 CB={xx<-3,或2<x≤4}. 4 79 .A∩B=《x|-2<x≤2}， 得U=1,2,3,4,5,6,7,8,9}, (CA)UB={xx≤2，或3≤x≤4}， CuB=1,4,6,8,9}, A∩(C,B)={x|2<x<3}. .B={2,3,5,7}. (2)解法一：A∩B={4},AUB={3,4,5,7,8 规律方法 CA={1,2,6,7,8},CB={1,2,3,5,6}, (1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出 .(A)∩(CB)={1,2,6},A∩(CB)={3,5}, 全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可 (0A)UB=(1,2,4,6,7,8. 借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助 解法二：A∩B,AUB,A∩(CB)求法同解法一 数轴，利用数轴分析法求解. (CA)∩(CB)=Cu(AUB)={1,2,6}, (2)补集的几个性质：CU=⑦，Cu心=U, (CA)UB=C(A∩(CuB)={1,2,4,6,7,8. AU(CuA)=U,解题时要注意使用. 解法三：画出Venn图，如图所示，观察此图可得， ⊙[变式训练] A∩B={4},AUB=(3,4,5,7,8}, 1.(2025·全国一卷)已知全集U={xx是小于9的 正整数}，集合A={1,3,5},则CA中元素的个 3,5 77,8 数为 1,2,6 A.0 B.3 A∩(CB)={3,5},(CA)UB={1,2,4,6,7,8. C.5 D.8 解析：C[因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},共有8个 规律方法 元素，集合A中有3个元素，所以CA中元素的个 解决集合交、并、补运算的技巧 数为8-3=5，选C.] 1.如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素 题型集合交、并、补的综合运算 一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定 [例2](1)已知全集U={x|x≤4}，集合A={x|-2 义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图 <x<3},B={x|-3≤x≤2}，求A∩B,(CA)U 来求解. B,A∩(CB). 2.如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把 (2)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5}, 已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进 B={4,7,8},求：A∩B,AUB,(CA)∩(CB), 行交、并、补集的运算，解答过程中要注意边 A∩(CB),(CA)UB. 界问题. [思路点拨](1)利用数轴，分别表示出全集U ◇[变式训练] 及集合A,B,求出CuA及CB,然后求解. 2.(1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A (2)可以依据交集、并集、补集的定义依次求解；在 {2,3,5,6),集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩ 求(CA)∩(CuB)时可以利用性质(CuA)∩(CvB) (CB)= =Cu(AUB)简化运算；利用Venn图更直观 A.{2,5} B.{3,6} 简洁 C.{2,5,6》 D.{2,3,5,6,8) ·17 数学·必修第一册 (2)已知全集U=R,A={x|-4≤x<2},B={x 题型】 补集的综合应甬 -1<x≤3，P={≤0，或x≥}求AnB, [例3]已知集合A={.x2a-2<x<a},B={x1< x<2},且A手CRB,求实数a的取值范围、 (CB)UP,(A∩B)∩(CP). 汇思路点拨]“解答本题可先求出CRB,然后利用 解析：(1)因为U=1,2,3,4,5,6,7,8}, A军CRB求出a的取值范围 B=(1,3,4,6,7) [解]CRB={x|x≤1，或x≥2}≠财， 所以CB={2,5,8}. :A军CRB, 又A={2,3,5,6},所以A∩(CB)={2,5}. .分A=⑦和A≠⑦两种情况讨论， (2)将集合A,B,P分别表示在数轴上，如图所示. ①若A=0,此时有2a-2>a, B .a≥2. ②若A≠心，则有 2a-2<a 或 12a-2<a a] 2a-2≥2 因为A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3}， .a≤1. 所以A∩B={x|-1<x<2}. 综上所述，a≤1，或a≥2. CB={x|x≤-1，或x>3. 规律方法 又p=<0,成≥受 解答本题的关键是利用A乒CRB,对A=心与A ≠⑦进行分类讨论，转化为等价不等式（组）求解， 所以(，B)UP=x≤0，或x≥. 同时要注意区域端点的问题. ⊙[变式训练] 又P=xlo<r<, 3.已知U为全集，集合M、N是U的子集，若M∩N =N,则 所以(A∩B)∩(CP) A.CM2CN B.M∈CuN =-1<x<2n{0Kx<} C.CM∈CuN D.M2N 解析：C[,M∩N=N, U ={x|0<x<2}. .N≤M,如图所示， 答案：(1)A(2)见解析 .CM∈CuN.] ● 随堂。步步夯实 对应学生用书P15 1.设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2, 4.设U=R,A={xa≤x≤b},若CA={x|x<3,或 5},则NU(CM)= x>4},则a十b= A.{2,3,5} B.{1,3,4 答案：7 C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5} 5.设全集U={3,6,m2-m-1},A=(|3-2m,6}, 答案：A CuA={5},求实数m. 2.已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x<1),则 解析：因为CuA={5},所以5∈U但5任A, A∩(CRB)= ) 所以m2-m-1=5, A.(ala>1) B.{x|x≥1} 解得m=3或m=一2. C.{x|1<x≤2} D.{x|1≤x≤2) 答案：D 当m=3时，|3-2m=3≠5， 3.（2025·上海卷)已知全集U={x2≤x≤5， 此时U=(3,5,6},A={3,6},满足uA={5}: x∈R},集合A={x|2≤x<4,x∈R},则CuA= 当m=-2时，|3-2m=7≠5， 此时U={3,5,6},A={6,7},不符合题意舍去. 答案：{x4≤x≤5，x∈R 综上，可知m=3. ·18· 第一章集合与常用逻辑用语 课后。素养提升 对应学生课时P253 基础过关 解析：CD[集合P中1庄Q,故A错误；P∩Q {2,3},故B错误，C正确；CQ={xx<2或x> 1.设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A 3},(CQ)∩P={1},故D正确.故选C、D.] {-1,0,1,2},B={-3,0,2,3},则A∩(CB)= 7.已知全集U,集合A={3,5,7},CuA={2,4,6,8}, CB={4,6,8},则集合B= A.{-3,3} B.{0,2} 解析：由题意知U=AU(CA)={2,3,4,5,6,7, C.{-1,1} D.{-3,-2,-1,1,3} 8},则B={2,3,5,7}. 答案：C 答案：{2,3,5,7} 2.设集合S={x|x>-2},T={x|一4≤x≤1}，则 8.设全集U={1,3,5,7},集合M={1,a-5,MS (CRS)UT= ( U,CM={5,7},则实数a= A.{xlx≤1》 B.{xx≤-4} 解析：由题意得M={1,3},所以|a-5|=3,即a= C.{x-2<x≤1} D.{.xx≥1} 2或8. 答案：A 答案：2或8 3.已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0, 9.(-题两空)全集U={x|x<10,x∈N*},A三U,B 1},B={1,2},则Cy(AUB)= 三U,(CB)∩A=1,9},A∩B={3},(CA)∩ A.{-2,3} B.{-2,2,3} (CB)={4,6,7},则A= ,B= C.{-2,-1,0,3} D.{-2,-1,0,2,3} 解析：法一：根据题意作出 U A B 答案：A Venn图如图所示： 258 4.全集U=R,集合M={x|0<x≤3}，N={y|y=x2 由图可知A={1,3,9},B={2, +1},则图中阴影部分表示的集合为 ( ) 3,5,8}. 法二：(CB)∩A={1,9},(CA)∩(CB)= {4,6,7}, .CB={1,4,6,7,9 又U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} A.{xl0<x<1》 B.{x|0≤x<1 .B={2,3,5,8}. C.{x0<x≤1} D.{xl0≤x≤1} (CB)∩A={1,9},A∩B={3}, 答案：A .A=(1,3,9}. 5.已知M={xx<-2或x≥3}，N={x|x-a≤0}， 答案：{1,3,9}{2,3,5,8} 若N∩(CRM)≠必(R为实数集)，则a的取值范 10.设集合U={x∈N|x<10},A={1,5,7,8},B 围是 {3,4,5,6,9},求A∩B,AUB,(CA)∩(CB), A.{aa≤3} B.{aa>-2 (CA)U(CB). C.{aa≥-2 D.{a-2≤a≤2} 解析：U={x∈Nx<10}={0,1,2,3,4,5,6,7, 解析：C[由题意知CRM={x|一2≤x<3},N= 8,9},A={1,5,7,8},B={3,4,5,6,9}, {xx≤a}.,N∩(C.M)≠，.a≥-2.] .A∩B=(1,5,7,8}∩3,4,5,6,9}=(5}， 6.(多选)设集合P={1,2,3},Q={x|2≤x≤3}，则 AUB={1,5,7,8}U{3,4,5,6,9} 下列结论中正确的有 ={1,3,4,5,6,7,8,9}, ( A.P三Q B.P∩Q=P CA={0,2,3,4,6,9},CB={0,1,2,7,8}, D.(CQ)∩P≠必 (CA)∩(CB)={0,2},(CA)U(CB)= C.(P∩Q)三P {0,1,2,3,4,6,7,8,9}. ·19 数学·必修第一册 11.已知集合A={x|x2+a.x+12b=0}和B={x|x2 部分的并集，C正确；D选项，通过推理得到MU -ax+b=0}满足(CuA)∩B={2},A∩(CB)= (N△P)表示①②③④⑤⑥部分的并集， {4},U=R,求实数a,b的值. MUN表示①②④⑤⑥⑦部分的并集，MUP表 解：(CA)∩B={2}, 示①③④⑤⑥⑦部分的并集，(MUN)△(MUP) .2∈B,∴.4-2a+b=0.① 表示①②④⑤⑥⑦与①③④⑤⑥⑦的并集去掉两 又.A∩(CuB)={4},.4∈A, 者的交集，即②③部分的并集，D错误.] .16+4a+12b=0.② 13.定义两种新运算“⊕”与“☒”，满足如下运算法则： 8 a=7' 对任意的a,b∈R,有a⊕b=ab,a☒b= 联立①②，解得 12 b a+7已知全第U=u=uE61+a 7 b),-2<a≤b<1且a∈Z,b∈Z},集合A={xx 能力提升 》 =2a©o)+a,-1<a<b<2且aez,b∈z, 12.(多选)定义集合运算M-N={x|x∈M且x b N},称为集合M与集合N的差集；定义集合运算 B={xlx2-3.x十m=0}. MAN=(M-N)U(N-M),称为集合M与集合 (1)求全集U和集合A. N的对称差.有以下四个等式，其中正确的是 (2)集合A,B是否能满足(CuA)∩B=必？若 ( 能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明 A.MAN=N△M 理由. B.(M△N)△P-M△(N△P) 解：(1)全集U中x=(a⊕b)+(a☒b)=ab+ C.M∩(N△P)=(M∩N)△(M∩P) a-b D.MU(N△P)=(MUN)△(MUP) (a+b)+)当a=-1时，b=0或6=-1，此时x 解析：ABC[A选项，假设全集为U,由题意得M 或r=1, -N=M∩(CN),N-M=N∩(CM),所以 当a=0时，b=0,此时x=0. MAN=(M∩(CuN))U(N∩(CM),NAM= (N∩(CM)U(M∩(CN),所以M△N= 所以U={合0} N△M,A正确； 集合A中x=2(a田b)+a b =2ab+ 由题意，M△N表示的运算为集合M与N的并集 中去掉M与N的交集部分， a-b 不妨设M,N,P均有交集，如图所示. (a十b}2+万：当a=0时，6=1，此时x=-之 M N 所以A={} ①⑤ (2)因为CA={0,1},所以当(CA)∩B= ③ 时，B=心或B=A. P 当B=心时，方程无实根，△=(-3)2-4m<0,解 B选项，M△N表示①②⑥⑦部分的并集，(M△N) △P表示①②⑥⑦与③④⑥⑦的并集去掉两者的 得m>是： 交集， 当B=A时，方程有两个相等的实根，为一之，所 即(M△N)△P表示①②③④部分的并集，N△P表 示②③⑤⑥部分的并集，M△(N△P)表示②③⑤ 以()-3×()十m=0, ⑥与①④⑤⑥的并集去掉两者的交集， (-3)2-4m=0, 即MA(N△P)表示①②③④部分的并集，故 此时m的值不存在. (M△N)△P=MA(N△P),B正确；C选项，通过推 理知M∩(N△P),(M∩N)△(M∩P)均表示⑤⑥ 综上，实数m的取值范国是{mm>是} ·20·