2.1 第1课时 不等关系与不等式-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第二章一元二次函数、方程和不等式 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 第1课时不等关系与不等式 课程标准 素养解读 1.用不等式（组）表示不等关系及两个 1.通过运用不等式（组）表示实际问题的不等关系及比较两个实数的 实数大小的关系 大小提升数学抽象及数学运算素养 2.实际问题中不等关系的确定 2.通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升逻辑 3.作差法比较两个数的大小 推理及数学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P34 [情境引入] [知识点二] 比较两个实数a,b大小的依据 在日常生活中，糖水中加些糖后 文字语言 符号表示 就会变的更甜，你能根据这一事实表 示出糖水浓度不等式吗？ 如果a>b,那么a-b是 a>b台a-b>0 提示糖水变甜这一现象对应的不 正数，反之亦然 等式为号<8+关中a<6>0 如果a<b,那么a-b是 a<b台a-b<0 负数，反之亦然 [知识梳理] [知识点一]不等式与不等关系 如果a=b,那么a一b等 a=b台a-b=0 1.不等式的概念 于0，反之亦然 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个 2思考2.在比较两实数a,b大小的依据中，a,b两 数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这 数是任意实数吗？ 些不等号的式子叫做不等式. 提示：是 2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换， 3.台q的含义是什么？ 大于或 小于或等 提示：p白g的含义是：力可以推出q,q也可以推 文字 大于，高 小于，低 等于，至 于，至多，不 出p,即p与q可以互推 语言 于，超过 于，少于 少，不 多于，不 [预习自测] 低于 超过 1.完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500 符号 元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资 语言 ≥ 预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满 足的关系式是 3.本质：现实世界和日常生活中的不等关系在数量关 A.5.x+4y<200 B.5x+4y≥200 系上的反映，这种不等关系可以用不等式来表示 C.5x+4y=200 D.5.x+4y≤200 应用：描述现实世界和日常生活中的不等关系， 答案：D 2思考1.3≤3成立吗？ 2.在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班 提示：成立.不等式“a≤b”的含义是：或者“a<b” 的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大 或者“a=b”,即当“a<b”与“a=b”一个成立时，该 于190.设甲班和乙班的分数分别为xy,则用不等 不等式就成立. 式组表示为 ( ) ·43… 数学·必修第一册 170≤x+y≤190， 170≤x+y≤190， 3.雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的 A. B lx<y a>y 4.5倍还要高.设太阳表面温度为t℃，那么t应满 170<x+y≤190， 170<x+y≤190， 足的关系式是 C. x<y r>y 答案：4.5t<28000 答案：D 课堂。互动学亲 对应学生用书P35 ● 题型一用不等式（组）表示不等关系 题型二 作差法比较大小 [例1]某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 [例2]设x<y<0,试比较(x2十y)(x-y)与(x 500mm和600mm两种.按照生产的要求600mm y2)·(x十y)的大小 钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍，写 思路点拨了作差，判断差与0的大小关系 出满足所有上述不等关系的不等式（组）. [解](x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) 汇思路点拔]读懂题意，把实际问题转化为数学 =(x-y)(x2+y2)-(x-y)(x+y) 不等式关系 =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2] [解]设截得500mm的钢管x根.截得600mm =(x-y)(-2xy). 的钢管y根. 由于x<y<0,所以x-y<0,-2xy<0, 500x+600y≤4000， 所以(x-y)(-2xy)>0, 根据题意得： 3.x≥y, 即(x2+y2)(x-y)>(.x2-y2)(x+y). x≥0且x∈N. 规律方法 y≥0且y∈N. 比较大小最常用的是作差法，其步骤为： 规律方法 第一步：作差并变形，其目的是应容易判断差的 将不等关系表示成不等式（组）的思路 符号. (1)读懂题意，找准不等式所联系的量. 变形有两种情形： (2)用适当的不等号连接 ①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘， (3)多个不等关系用不等式组表示： ②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断. ⊙[变式训练] 第二步：判断差值与零的大小关系. 1.某蔬菜收购点租用车辆，将100t新鲜辣椒运往某 第三步：得出结论 市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和 ◇[变式训练] 20辆.若每辆大卡车载重8t,运费960元，每辆农 2.已知a,b均为正实数，试利用作差法比较a3十b与 用车载重2.5t,运费360元，运输成本之和不能超 a2b十ab2的大小. 过10000元，据此安排两种车型，应满足哪些不等 解：，a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(3-ab2) 关系？请列出来 =a2(a-b)+b2(b-a) 解：设租用大卡车x辆，农用车y辆， =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). 根据题意，应满足如下的不等关系： 当a-b=0,即a=b时，a3+b3=a2b+ab2; ①两种车辆的总载重量应该不少于100t; 当a-b≠0，即a≠b时， ②运输成本之和不超过10000元； (a-b)2>0,a+b>0,a3+b3>a2b+ab2. ③大卡车不能超过10辆； 综上所述，a3+b3≥a2b十ab2. ④农用车不能超过20辆； 题型 比较天小的其它方法 ⑤x∈N,y∈N. [例3]比较ab与a%(a>0且a≠1，b>0且b≠1) 要同时满足以上不等关系，可以用下面的不等式组 的大小 来表示： 汇思路点拔]作商，判断商与1的大小： r8.x+2.5y≥100， 16.x+5y≥200， 960.x+360y≤10000， 24x十9y≤250， [解] ab 即 a"ha 0≤x≤10，x∈N, 0≤x≤10，x∈N, l0≤x20,y∈N, 0≤x≤20，y∈N. 当a>b>0时，分>1a-b>0, ·44· 第二章一元二次函数、方程和不等式 则() >1,所以ab>ab; ◇[变式训练] 3.已知a>06>0,试比较元+ 么与后+万的大小 当b>a>0时，0<4<1，a-b<0, b 解：方法一（作差法） (a+b)= >1,所以ab>ab; 偏+ 当a=>0时（） b-a =1,所以ab=ab, 综上可知，ab≥ab(当且仅当a=b时取等号) (a-b)(Ja-B)(va-18)2(Ja+B) 规律方法 √ab Vab 作商法比较大小 .a>0,b>0,.a+√b>0,√ab>0,(√a-√b)2 如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商 ≥0， 后看商是大于1，等于1，还是小于1.方法图示如下： :a-b)a+历≥0，：g+么>≥a+6. a>0,b>0 a<0,b<0 √ab 6√a 方法二（作商法） >1台a>b b 分>1a<b 依据 =19a=b a _(b)3+(a)3_(a+b)(a+b-ab) b =1台a=b wa+√b √ab(a+√b) √ab(wa+√b) <1台a<b b <1台a>b b -a+b-画-6-)+V西=1+i-6 √ab ab √ab 应用 同号两数比较大小或分式、积、幂之间比 ≥1. 范围 较大小 :a>0,b>02+2>0后+6>0， (1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的 步骤 大小；(4)下结论 .么+g>a+6. 随堂。步步夯实 对应学生用书P36 1.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为 3.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中 120km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不 经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小 得小于10m,用不等式表示 李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用.若 A.v≤120(km/h)或d≥10(m) 每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担 (v≤120(km/h) 10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以 B. d≥10(m) 上.设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共 C.v≤120(km/h) y元，则x,y应满足的不等式组为 D.d≥10(m) 12x-y=84, 答案：B 10.x<y 2.(多选)下列关于不等关系的说法正确的是() 答案： 11x-y>40, A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是 x∈N 指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h 4.设a=√2，b=√7-5，c=√6-√2，则a,b,c的大小 (米)满足0<h≤4.5 关系是 B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为a-b>0 答案：a>c>b C.不等式x≥2的含义是指x不小于2 5.试比较下列各组式子的大小： D.若a<b或a=b之中有一个成立，则a≤b成立 (1)Wx十I-√G与G-√x-I,其中x>1; 答案：ACD (2)x3-2y3与xy2-2x2y,其中x>y>0. ·45· 数学·必修第一册 解：(1)√x+1-√= ,√(-√x-1 (2)(x3-2y3)-(.xy2-2.x2y)=x3-xy2+2x2y-2y √x+1+ =x(x2-y2)+2y(x2-y2)=(.x2-y2)(x+2y) 1 =(x-y)(.x+y)(x+2y). W元+√x-1 x>y>0,x-y>0,x+y>0,x+2y>0, x+I+√>WE+√x-I>0, .(x3-2y3)-(xy2-2x2y)>0, √Wx+I-√<WE-√x-I. 即x3-2y3>xy2-2x2y. 课后。素养提升 对应学生课时P263 基础过关 》 立；x-1-(y-1)=x-y>0,故选项B中不等式 成立；x-y-(1-y)=x-1>0,故选项C中不等 1.下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是 式成立；1-x-(y-x)=1-y>0,故选项D中不 A.a-6>0 B.a-b<0 等式成立.故选B、C、D.] C.a-b≥0 D.a-b≤0 6.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖 答案：C (m>0),则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个 2.已知a、b分别对应数轴上的A、B两点，且A在原 不等式为 ( 点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是 A<号 B.a十m>a b+m b ( A.a-b≤0 B.a+b<0 c阳号 D阳>分 C.lal> D.a2+b2≥-2ab 解析：B[变甜了，意味着含糖量大了，即浓度 答案：D 高了.] 3.已知a>0,b>0,M=√a+√b,N=√a+b,则( 7.(x十5)(x十7)与(x十6)2的大小关系为 A.M>N B.M=N 解析：(.x+5)(x+7)-(x+6)2=x2+12x+35 C.M<N D.不能确定 (.x2十12x+36)=-1<0,所以(x+5)(x+7) 答案：A <(x+6)2 4.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请 答案：(x+5)(.x+7)<(x+6) 瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2000 b 元，设请木工x人，瓦工y人，则工人数需满足的关 的大 ab b 系式是 小关系为 (a,b∈R,a≠b). A.5.x+4y<200(x,y∈N) a B.5x+4y≥200(x,y∈N") =[a·a-(-b)·b] b C.5.x+4y=200(x,y∈N*) -[a·b-(-a)·b]=a2+b2-2ab=(a-b)2 D.5.x+4y≤200(x,y∈N*) .a≠b,.(a-b)2>0. 答案：A 5.（多选)若x>1>y,则下列不等式一定成立的有 A.x-1>1-y B.x-1>y-1 答案： C.x-y>1-y D.1-x>y-x 解析：BCD[x-1-(1-y)=x十y-2,无法判断 9若x∈R,则千与号的大小关系为 它与0的大小关系，任取特殊值x=2,y=一1得 x-1-(1一y)<0,故选项A中不等式不一定成 1十女与1的大小关系为 ·46· 第二章一元二次函数、方程和不等式 折中合号-兴 (,十2)户-4w.s= 21V2(v1+V2) w-5>0, 2v12(u1+v2) 所以甲用时多，所以乙先到达教室. 1+x2 能力提升 -》 -[x-+2 -<0, 12.数学来源于生活，又服务于生活，婷婷和莎莎两次 1+x 购买同一种物品时，婷婷不考虑物品价格的升降， 1<1. 每次购买这种物品的数量一定；莎莎不考虑物品 价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定. 答索1千号 1+x1. 假设所购物品的价格发生波动，则 10.某蛋糕师制作A,B两种蛋糕，原材料中面粉、黄 A.两位中省钱小能手是婷婷 油、牛奶的需求量如下：制作一个A种蛋糕需要 B.两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 面粉150g、黄油100g、牛奶50mL;制作一个B C.两位中省钱小能手是莎莎 种蛋糕需要面粉200g、黄油140g、牛奶70mL. D.两位中谁是省钱小能手与购买数量有关 现有面粉1000g、黄油600g、牛奶350mL.试列 解析：C[设第一次所购物品的价格为1，第二 出满足题意的不等式组， 次所购物品的价格为力2，婷婷单次购买物品的数 解：设A,B两种蛋糕分别制作x,y个，根据题意， 量为，则婷婷两次所购物品的平均价格为 应有如下的不等关系： pn十”=十.设莎莎单次购买物品所花的 2n 2 ①制作A,B两种蛋糕需要的面粉不超过1000g, 用不等式表示为150x+200y≤1000： 钱数为m,第一次购买物品的数量为”，第二次购 ②制作A,B两种蛋糕需要的黄油不超过600g, 买物品的数量为，则莎莎两次所购物品的平均 用不等式表示为100x+140y≤600； 力2 ③制作A,B两种蛋糕需要的牛奶不超过350mL,用 要+”十工因为么丝- 价格为2m 2 2 2 1+1 不等式表示为50x十70y≤350； PP2 p p2 ④A,B两种蛋糕的制作量都应不少于0，且为整 b+卫2一 2pp色=力十p)P-4p2 数个，故x∈N,y∈N; 2 p1+p2 2(p1+p2) 所以满足题意的不等式组为 十≥0，但子P:等号不能取到，所以婷 150x+200y1000, 婷两次所购物品的平均价格大于莎莎两次所购物 100.x+140y≤600， 品的平均价格，故莎莎是省钱小能手，] 50.x+70y≤350， x∈N,y∈N. 13.已知a1,a2∈R,记M=a1a2,N=a1十a2-1,试比 11.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程走步， 较M与N的大小. 解：作差，即M-N=(a1-1)(a2-1). 一半路程跑步，乙一半时间走步，一半时间跑步， ①当a1,a2∈(-∞，1)时，(a1-1)(a2-1)>0, 如果两人走步速度、跑步速度均相同，试探究谁先 即M>N; 到达教室？ ②当a1,a2∈(1，+o∞)时，(a1-1)(a2-1)>0, 解：设寝室到教室的路程为$，走步速度为1，跑步 即M>N; 1 ③当a1,a2中一个小于或等于1，另一个大于或等 速度为v2,则甲用时t1= 2U1V2 于1时，(a1-1)(a2-1)≤0，即M≤N. t2 24+之2，得乙用时2= 2s 综上，当a1,a2∈(-∞，1)或a1,a2∈(1，十o∞)时， 1十U2 M>N,当a1,a2中一个小于或等于l,另一个大 2s 1-t2= s(1十y2) -=s 1+v2 2 于或等于1时，M≤N. 2w1V2 v1十U2 21v U1+V2 ·47·