2.1 第2课时 不等式的性质-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

数学·必修第一册 第2课时 不等式的性质 课程标准 素养解读 1.掌握不等式的性质及各自成立的条件 通过用不等式（组）表示实际问题的不等关系、不等式的性质 2.能利用不等式的性质比较大小或证明不提升数学抽象素养.通过作差法、运用不等式的性质解决问 等式 题、提升数学运算素养和逻辑推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P37 [情境引入] [知识点二]不等式的性质 如图为某三盆路口交通 1.不等式的性质 环道的简化模型，在某高峰时 别名 性质内容 注意 段，单位时间进出路口A,B, C的机动车辆如图所示，图中 性质1 对称性 a>beb<a 可逆 x1,x2,x3分别表示该时段单 位时间通过路段AB,BC,C⑦A 性质2 传递性 u>b,b>c→a>c 不可逆 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同 a>ba+c>b+c 一路段上驶入与驶出车辆数相等). 性质3 可加性 可逆 [问题1]你能用x3,x1,x2分别表示出x1,x2, a+b>cAa=c-b x3吗？ 提示x1=50十x3-55=x3-5,x2=x1-20+30= a>b,c>0→ac>bc x1+10,x3=x2-35+30=x2-5. 性质4 可乘性 c的符号 [问题2]你能判断出x1,x2,x3的大小吗？ a>b,c0→acbc 提示由1知x1=x3-5,x2=x3十5，则x1<x3 x2: 同向可 性质5 a>b,c>d→a+c>b+d 同向 [知识梳理] 加性 [知识点一]等式的性质 1.等式的性质 同向同正 同向 性质6 a>b>0,c>d>0→ac>bd 可乘性 同正 性质1 如果a=b,那么b=a 性质2 如果a=b,b=c,那么a=c a>b>0→a">b"(n∈N, 性质7可乘方性 同正 性质3 如果a=b,那么a士c=b士c n≥1) 性质4 如果a=b,那么ac=bc 2.本质：不等式的性质是由等式性质类比而得到的， 性质5 如果a=b,c≠0，那么a=b 是解决不等式问题的基本依据. 3.应用：判断证明不等式是否成立，解不等式问题时 2.本质：性质1,2反映了相等关系自身的特性，性质 的依据。 3,4,5是从运算角度提出的，反映了等式在运算中 ?思考2.若a>b,c>d,那么a十c>b十d成立吗？ 保持的不变性. a-c>b-d呢？ 3.应用：处理等式运算过程中的依据. 提示：a十c>b十d成立，a-c>b-d不一定成立， 招思考1.想一想，以前我们用等式基本性质解决 但a-d>b-c成立. 过哪些问题？ 3.若a>b,c>d,那么ac>bd成立吗？ 提示：解方程过程中的去分母、移项、系数化为1 提示：不一定，但当a>b>0,c>d>0时，一定 的步骤都是利用了等式的性质 成立 ·48· 第二章一元二次函数、方程和不等式 [预习自测] C.若a<b<0,则a2<ab<b2 1.已知a十b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关 系是 D.若a<b<0,则1>1 a b A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b 答案：AC C.a>-b>6>-a D.a>6>-a>-b 答案：C 3.若a>b>0,n>0,则 .(填“”“” 2.(多选)下列不等式中不成立的是 或“=”) A.若a>b>0,则ac2>bc2 答案：< B.若a>b>0,则a2>b 课堂。互动学案 对应学生用书P38 题型利用不等式的性质判断命题的真假 (2)(多选)下列说法中，正确的是 [例1]下列命题中一定正确的是 ) A.若a2>b2,ab>0,则1<1 a b A.若a>b且1>1，则4>0，b<0 &若号>冬则a>6 B若a>b,b≠0，则号>1 C.若a>b,且a十c>b+d,则c>d C.若b>a>0,m>0,则g十m>4 b十mb D.若a>b且ac>bd,则c>d D.若a>b,c<d,则a-c>b-d 汇思路点拔]根据不等式的性质逐一判断. 解析：(1)当a=3,b=2,c=1时，a=b十c,且ac< [解析们对于A项，同为日>行所以 a 10 b2,故A,C错误；因为a>b>0,a>c>0,所以a2> bc,故B错误；ab+bc-(b2+ac)=(b-c)(a-b)> 即b二4>0.又a>b,所以b-a<0.所以ab<0,所 ab 0,故D正确. 以a>0,K0:对于B项，当a>0,b0时，有分<0 （2)对于A,取a=-3b=-2,则日>方战错误： <1,故B项错；对于C项，当a=10,b=3时，虽有 10十1>3+2，但1<2，故C项错；对于D项，当a= 对于B.由>0兰>兰得a>b,故正晚：时于C -1,b=-2时， atm a_abtom-ab-amm(b-a) 有(-1)×(-1)>(-2)×7，但-1<7，故D项错. b+m b b(b+m) b(6+n3,由b>a [答案]A 规律方法 >0m>0,符>0，所以号>分，故正 b(b-m) 运用不等式的性质判断命题真假的技巧 确；对于D,由c<d,得-c>-d,又a>b,所以a一 (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤 c>b一d,故正确. 其是不能随意捏造性质 答案：(1)D(2)BCD (2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进 行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是 题型利用不等式的性质证明不等式】 满足题设条件；二是取值要简单，便于验证 [例]若6c-ad0.bd>0,求证：< d 计算 ◇[变式训练] 思路点按了利用不等式的任质等价变形. 1.(1)已知a>b>c>0,则下列说法一定正确的是 [证明]因为bc-ad>≥0，所以bc≥ad, ( 所以bc+bd≥ad+bd,即b(c+d)≥d(a+b). A.a>b+c B.a2<bc C.ac-b2 D.ab+bc-b2+ac 又bM>0,两边同以d得，≤生 d ·49· 数学·必修第一册 规律方法 [解]3<b<4,.-4<-b<-3. (1)利用不等式性质对不等式的证明其实质就是 .1-4<a-b<6-3,即-3<a-b<3. 利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同 时要注意性质适用的前提条件· (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的 即子<公<，综上，a-b的取值范两为ab1-3 方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分 利用题目中的条件. <a一b<3,号的取植范国为{份<号<2} ⊙[变式训练] 规律方法 2.若a>b>0c<d<0,e<0,求证：a 求代数式的取值范围的注意点 求含字母的数（或式子）的取值范围时，一要注意 > (b-d)2 题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其 证明：c<d<0,.-c>-d>0. 是两个同方向的不等式可加不可减，可乘（同正） 又a>b>0,∴.a-c>b-d>0, 不可除. 则(a-c)2>(b-d)2>0, ◇[变式训练] 即、1 1 '(a-c)2(b-d)2 3.已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b与a-b取值 又e<0心a->b-d 范围. 解：.1<a<4,2<b<8,.2<2a<8,6<3b<24. 题型用不等式性质求代数式的取值范围 ∴.8<2b+3b<32. [例3]已知1<a<6,3<b<4,求a-b,分的取值 .2<b<8,.-8<-b<-2. 范围 又.1<a<4,.1+(-8)<a+(-b)<4+(-2), 即-7<a-b<2. [思路点拨] a-b=a+(-b),号 =aX- ,正确 故2a十3b的取值范围是8<2a+3b<32,a-b的 使用不等式的性质， 取值范围是-7<a-b<2. 随堂。步步夯实 对应学生用书P40 1.若-1<a<<1,则下列各式中恒成立的是( ④若a>b,c>d,则ac>bd. A.-2<a-B<0 B.-2<a-B<-1 其中正确的结论的序号是 C.-1<a-B<0 D.-1<a-B<1 答案：② 答案：A 4.若-1<x<2,0<y<3,则2x-y的取值范围为 2.已知a>6,不等式：0a>,@> 答案：{2x-y|-5<2x-y<4} @亡分成立的个数是 5如果a>6>0<d<0,fK0,证明a>a A.0 B.1 C.2 D.3 证明：因为c<d<0,所以一c>-d>0, 答案：A 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0. 3.给出下列结论： ①若a<b,则ac2<bc2; 不等式的两边同乘(a一c)(b一d' 1 1>1>≥0， ②若。<分<0.则a>b: 得b-aa-c ③若a>b,c>d,则a-c>b-d; 义因为K0所以6即，5> ·50· 第二章一元二次函数、方程和不等式 课后。素养提升 对应学生课时P265 基础过关 ad>0,则b4>0,化简得台-号>0，故C正 ab 1.设x<a<0,则下列不等式一定成立的是 ( 确；D选项，取a=-1,b=-2,c=2,d=1,满足a A.IKar<a B.x2<a2<ax >bc>1>0,则9==-1，故D错误.] C.x2>ax-a2 D.x2>a>ax d 答案：C 6.(多选)设a>b>1,c<0,则下列结论正确的是 2.已知a<0,b<一1，则下列不等式成立的是( A>8> B是>分>a A>6 B.ac<bc c8>a>号 D8>是>a C.a(b-c)>b(a-c) D.a CC 答案：D 解析：ABC[对于A,:a>b>1,c<0,￡-S a b 3.已知a>b>c,且a十b十c=0,则下列不等式恒成立 的是 =cba)>0, ab A.abbc B.ac>bc C.ab-ac D.albl>blc “日>分，故A正确；对于B,-c>0,a· 答案：C (-c)>b·(-c),∴.-ac>-bc.ac<bc,故B正 4.若-5<a<-3,1<b<4,则号的取值范围为 确；对于C,a>b>1,∴.a(b-c)-b(a-c)=ab ac-ab+bc=-c(a-b)>0..a(b-c)>b(a-c), 故C正确；对于D,:1<0,a>b>0,.g<6,故 A-<-} D错误.] 7.若a>b,c>d,则下列不等式关系中一定成立的是 c{8>} ①a-b>d-c②a+d>b+c D{8会>-号且号0} ③a-c>b-c④a-c<a-d 解析：a>b,c>d,.a-b>0,d-c<0,∴.a-b> 答案：A d-c,故①成立；取a=0,b=-2,c=0,d=-3代 5.(多选)已知a,b,c,d均为实数，则下列命题正确 入②，可知②不成立；由不等式的可加性知③成 的是 立；由c>d知，一c<一d,由不等式的可加性知④ A.若a>b,c>d,则a-d>b-c 成立 B.若a>b,c>d,则ac>bd 答案：①③④ C.若ab>0,be-ad>0,则S>4 b 8.设b=m-m十2，gFm十m十2：则力与g的大 D若a>6.≥d0.则号>名 小为 解析：AC[结合不等式的性质逐项分析.A选项」 解析：因为p=m2-m+2=(m-号)+子>0,9= 由c>d,得一c<一d,根据不等式同向相加的原则 可得a-d>b-c,故A正确；B选项，若a>0>b,0 m2+m+2 1）2 >0,则卫=(m2-m十 >c>d,则ac<bd,故B错误；C选项，ab>0,bc m+2 ·51 数学·必修第一册 2)(m2+m+2)=(m2+2)2-m2=m+3m2+4≥ 所以-是<号(a+-a-6<即-号 4,故≥4q,当且仅当m=0时取等号. 答案：p≥4q 2a+3h< .所以2a十3b的取值范围 9.某公司有20名技术人员，计划开发A,B两类共50 13 件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 为a+3-昌<2a+3< 2 电子器 每件需要 每件产值 能力提升 -》 件种类 人员数 (万元/件) 12.网上发布了“明天气温是今天气温的2倍”的信 A类 7.5 息，各地有不同的反应： (1)一位南方的网友做出的第一反应是“明天升温 B类 13 6 了”； 今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应 (2)一位北方的网友做出的第一反应是“明天降温 开发 件，最高产值为 万元 了”； 解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电 (3)另一位北方的网友做出的第一反应是“明天的 子器件(50一)件.根据题意，得号+50，工≤20， 气温没有变化”. 3 请从数学上解释为什么不同地方的网友会有不同 解得x≤20. 的反应 由题意，得总产值y=7.5x十6×(50-x)=300十 解：设今天的气温为x℃，则明天的气温为2x℃， 1.5.x≤330，当且仅当x=20时，y取最大值330.所 将两天的气温进行比较，有2x一x=x,则 以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最 x>0,升温， 高产值为330万元. x=0,不变，所以不同地方的网友会有不同的 答案：20330 x<0,降温， 10已知a>6>0e<da末正，沿<2 反应 13.已知函数f(x)=a.x2-c,-4≤f(1)≤-1，-1≤ 证明：，c<d<0,∴.-c>-d>0. f(2)≤5，求f(3)的取值范围 0-<-日又a≥6>0 c 解：：f(x)=a.x2-c, f1)=a-c, ->-b>0 f(2)=4a-c, d …子是卿浮酒 32)-f]. c= f2)-f. 药边同乘以-1，将，沿< f3)=9a-c=号f2)-号f1… 11.若-1<a十b<3,2<a-b<4,求2a十3b的取值 范围 又-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5， 解：设2a+3b=x(a+b)+y(a-b), ① 则/+y=2 x= ② ,解得 (x-y=3 1 y=-2 把①@的两边分别相加，得-1≤r2)-号F1)≤ 为-号<a+6<受-2< (a-b)< 1 20,即-1≤f(3)≤20.∴.f(3)的取值范围是 1 [-1,20]. ·52·