1.5.1 全称量词与存在量词-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语 1.5全称量祠与存在量祠 1.5.1 全称量词与存在量词 课程标准 素养解读 1.了解命题的概念，能判断真假 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数 2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义 学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P23 [情境引入] [知识点三]全称量词命题与存在量词命题 在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样 1.定义和表示方法 写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城.我将为 全称量词命题 存在量词命题 本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮 定义 含有全称量词的命题，含有存在量词的命题， 脸.我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不 叫做全称量词命题 叫做存在量词命题 绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天， 全称量词命题“对M存在量词命题“存在M 这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地 表示 中任意一个x,(x)成 中的元素x.p(x)成 抓起了剃刀，他们说他能不能给他自己刮脸呢？如果 立”可用符号简记为： 立”可用符号简记为： 他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他 Vx∈M,p(x) ]x∈M,p(x) 就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于 2.本质：全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含 “给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。 义是“存在性” 3.应用：全称量词、存在量词是数学和日常生活中使 这就是著名的“罗素理发师悖论”问题！ 用频率很高的一种逻辑用语，数学中存在大量的全 [问题](1)文中理发师说：“我将给所有的不给自己 称量词命题和存在量词命题， 刮脸的人刮脸”.对“所有的”这一词语，你还能用其他 ?思考2.全称量词命题中的“x,M与p(x)”表达 词语代替吗？ (2)上述词语都有什么含义？ 的含义分别是什么？ 提示：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式， 提示：(1)任意一个，全部，每个. 也可以表示几何图形、相应的集合M是这些元素 (2)表示某个范围的整体或全部， 的某一特定的范围，(x）表示集合M的所有元 [知识梳理] 素满足的性质，也可以用q(x),r(x)等符号表示. 知识点一]命题的概念 [预习自测] 1.将“x2+y≥2xy对任意实数x恒成立”改写成符 可供真假判断的陈述语句 号形式为 定义 真命题 A.Hx,y∈R,x2+y≥2xy 命题分类 判断为真的语句 B.3x,y∈R,x2+y≥2xy 假命题 判断为假的语句 C.Yx>0,y>0,x+y=2xy D.3x<0,y<0,x2+y2≥2xy [知识点二] 全称量词与存在量词 答案：A 全称量词 存在量词 2.下列命题中，不是全称量词命题的是 A.任何一个实数乘以0都等于0 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 B.任意一个负数都比零小 C.每一个正方形都是矩形 符号 V D.一定存在没有最大值的二次函数 答案：D 2思考1.常见的全称量词、存在量词还有哪些？ 3.给出下列命题： 提示：常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任 (1)Vx∈R,x2>0; (2)3x∈R,x2+x+1≤0； 给”“凡是”等 (3)3a∈CRQ,b∈CRQ,使得a十b∈Q. 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些” 其中真命题的个数为 “有的”等 答案：1 31· 数学·必修第一册 课堂。互动学案 对应学生用书P24 题型一全称量词命题与存在量词命题的识别] (2)真命题，如梯形 [例1]判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词 (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的，点的对应 命题： 关系知，它是真命题 (1)凸多边形的外角和等于360°： 规律方法 (2)有的平行四边形是菱形； 全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧 (3)有一个数是素数也是合数； (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限 (4)菱形的对角线相互垂直： 定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但 思路点拨]依据全称量词命题与存在量词的概 要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集 念判断. 合M中的一个x,使得(x)不成立即可. (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限 [解析](2)(3)的存在量词“有的”“有一个”为存在量 定集合M中，能找到一个x使力(x)成立即 词命题，(1)(4)是省略了全称量词的全称量词命题. 可；否则，这个存在量词命题就是假命题. 规律方法 ⊙[变式训练] 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题 2.用符号“H”与“了”表示下面含有量词的命题并判 的思路 断其真假： 判命题 判断该语句是否为命题 (1)自然数的平方大于零； (2)存在一对整数xy0,使2.x。十4y,=3; 看命题中是否含有量词或隐含量词， (3)存在一个无理数，它的立方有理数 看量词 判断量词或隐含量词是全称量词还 解：(1)Hx∈N,x2>0,因为0也是自然数，0的平 是存在量词 方是0.所以，全称量词命题“自然数的平方大于 、下结论 含有全称量词的命题称为全称量词命题， 零”是假命题。 含有存在量词的命题称为存在量词命题 (2)了xoy∈Z,2x。+4y=3.由2x+4y=3,得 [提醒]全称量词命题可能省略全称量词，存在 ,十2=号若%∈乙，则，十2y也是整数， 量词命题的存在量词一般不能省略 ⊙[变式训练] 不可能等于，所以，存在量词命题“存在一对整数 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. x0,y,使2x0十4y0=3”是假命题. (1)矩形有一个外接圆； (3)]x。∈{无理数}，x8∈Q,5是无理数，(3)3=3 (2)非负实数有两个平方根： 是有理数。 (3)有一对实数(x,y),使2x-y十1<0成立 所以，存在量词命题“存在一个无理数，它的立方是 解：(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”， 有理数”是真命题 是全称量词命题. 题型全称量词命题、存在量词命题的应用] (2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方 根”，是全称量词命题 [例3](1)已知集合A={x1≤x≤2}，若命题“Hx (3)可以改写为“3x∈R,y∈R,使2x-y十1<0成 ∈A,一次函数y=x十m的图象在x轴上方”是真 立”，是存在量词命题， 命题，则实数m的取值范围是 (2)若命题“x∈R,使得方程ax2十2x-1=0成 题型二全称量词命题、存在量词命题的真假判断 立”是真命题，求实数a的取值范围 [例]判断下列命题的真假： [思路点拔](1)HxEA={x1≤x≤2}在-次 (1)3x∈Z,x3<1; 函数y=x十m的图象，在x轴的上方，则1十m>0. (2)存在一个四边形不是平行四边形； (2)由题意，分a=0和a≠0两种情况讨论. (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,y)都 (1)[解析]当1≤x≤2时，1十m≤x+m≤2十m, 对应一点P. 因为一次函数y=x十m的图象在x轴上方，所以 汇思路点拨了依命题真假的判断方法作出结论. 1十m>0,即m>一1，所以实数m的取值范围是 [解](1)因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1，所以 {mm>-1}. “彐x∈Z,x3<1”是真命题. [答案]{mm>-1} ·32· 第一章集合与常用逻辑用语 (2)[解]由题意得，关于x的方程a.x2+2x-1=0 ◇[变式训练] 有实数根，当a=0时，方程为2x一1=0，显然有实数 3.(1)已知对任意的x∈{x1≤x≤3}，都有m≥x,求 根，满足题意；当a≠0时，△=4十4a≥0，解得a≥-1， 且a≠0.综上知，实数a的取值范围是{aa≥-l}. 实数m的取值范围； 规律方法 (2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x,求实 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 数m的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒 成立有关，可根据有关代数恒等式（如x2≥ 解：(1)由于对任意的x∈{x1≤x≤3}都有m≥x, 0),确定参数的取值范围. 故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3. (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程 (2)由于存在实数x∈{x1≤x≤3}，使m≥x,故只 或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式 等知识解决。 需m大于或等于x的最小值，即m≥1. 随堂。步步夯实 对应学生用书P26 1.下列命题中，是真命题的是 ( ④有一个实数的倒数是它本身. A.3x∈R,x2+x+3=0 答案：①③④ B.Hx∈R,x2+x+2>0 4.已知命题“3x∈R,2x2+(a-1)x十号≤0”是假命 C.Hx∈R,x2>|x 2 D.已知集合A={aa=2n},B={b|b=3m},则对 题，则实数a的取值范围是 于任意的n,m∈N*,都有A∩B=心 答案：{a-1<a<3) 答案：B 5.是否存在整数m,使得命题“Vx≥一1 4 -5<3 2.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 4m<x十1”是真命题？若存在，求出m的值；若不 存在，请说明理由. A.3x>1,x2-2.x-3=0 B.若2x为偶数，则x∈N 解析：假设存在整数m,使得命题“Vx≥一 5 1 C.所有菱形的四条边都相等 <3-4m<x十1”是真命题. D.π是无理数 答案：C 因为当≥-十时x十1≥子， 3.下列存在量词命题是真命题的序号是 ①有些不相似的三角形面积相等； 所以-5<3-4m<是，解得品<m<2。 ②存在实数x,使x2十2<0： 又m为整数，所以m=1, ③存在实数a,使函数y=ax十b的值随x的增大 而增大； 故存在签数m=1,使得命题V≥-子-5<3 4m<x十1”是真命题. 课后。素养提升 对应学生课时P259 基础过关 》 2.下列是存在量词命题且是真命题的是 1.给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整 A.Vx∈R,x2>0 除；②有的菱形是正方形；③存在实数x,x>0; B.x∈Z,x2>2 ④对于任意实数x,2x十1是奇数.下列说法正确 C.Vx∈N,x∈N 的是 D.3x,y∈R,x2+y2<0 A.四个命题都是真命题 答案：B B.①②是全称量词命题 3.下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是 C.②③是存在量词命题 D.四个命题中有两个假命题 A.Hx∈R,x2-3.x+5>0 答案：C B.任意两个无理数之和仍是无理数 ·33· 数学·必修第一册 C.3x∈R,x2-3.x+√2>0 解析：当a≤0时命题为真；当a>0时命题为真，必 D.至少存在两个质数的平方是偶数 使△=4-4a2>0,即-1<a<1,.a<1. 答案：C 答案：a<1 4.“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”等价于 10.用量词符号“V”“了”表述下列命题： (1)凸n边形的外角和等于2元. A.3x。∈R,使得f(xo)>0成立 (2)有一个有理数x。满足x=3. B.了x。∈R,使得f(xo)≤0成立 (3)对任意角a,都有sina十cos2a=1. C.Hx∈R,f(.x)>0成立 解：(1)Hx∈{xx是凸n边形}，x的外角和 D.Vx∈R,f(.x)≤0成立 是2π， 答案：A (2)3xo∈Q,x6=3, 5.(多选)下列命题是“x∈R,x2>3”的表述方法 (3)VaER,sin a+cos a=1. 的有 11.判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命 A.有一个x∈R,使得x>3成立 题，若是，用符号表示，并判断其真假 B.对有些x∈R,使得x2>3成立 (1)存在x,y为正实数，使x2+y2=0; C.任选一个x∈R,都有x>3成立 (2)对所有的实数a,b,方程ax十b=0都有唯一解； D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立 解析：ABD[C选项是全称量词命题，A,B,D选 《3)容在实数x,使得，-+1 =2. 项符合题意.] 解：(1)存在量词命题，用符号表示为“3x,y为正 6.(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是( 实数，使x2十y2=0”,是假命题. A.3x∈Z,x2-2.x-3=0 (2)全称量词命题，用符号表示为“Ha,b∈R,方程 B.至少有一个x∈Z,使x能同时被2和3整除 ax十b=0都有唯一解”，是假命题. C.3x∈R,|x<0 (3)存在量词命题，用符号表示为“x∈R, D.有些自然数是偶数 x2-x+1 =2”,是假命题. 解析：ABD[A中，x=-1时，满足x2-2x-3= 0,所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除， 能力提升 》》 所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所 12.对任意实数x,不等式2x>m(x2十1)恒成立，求 以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负， 实数m的取值范围. 所以C是假命题.故选ABD.] 解：不等式2x>m(x2+1)恒成立，即：不等式m.x 7.下列命题中，是全称量词命题的是 ;是存 -2x十m<0恒成立. 在量词命题的是 (1)当m=0时，不等式可化为一2.x<0,显然不恒 ①正方形的四条边相等； 成立，不合题意 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形； (2)当m≠0时，要使不等式mx2-2x十m<0恒 ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数 成立，则m<0, 14-4m2<0, 解得m<-1. 解析：①可表述为“每一个正方形的四条边都相 综上可知，所求实数m的取值范围是{mm<-1). 等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是 13.若Hm∈R,函数f(x)=mx2+x-m-a的图象 有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表 和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围. 述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词 解：(1)当m=0时，f(x)=x一a与x轴恒相交， 命题；④是存在量词命题」 所以a∈R; 答案：①②③④ (2)当m≠0时，二次函数f(x)=mx2十x-m-a的 8.已知命题p:“Hx≥3，使得2x一1≥m”是真命题， 图象和x轴恒有公共，点的充要条件是△'=1十4m(m 则实数m的取值范围是 十a)≥0恒成立，即4m2+4am+1≥0恒成立. 解析：x≥3，.2.x-1≥5，.m≤5. 又4m2十4am+1≥0是一个关于m的二次不等 答案：{mm≤5} 式，恒成立的充要条件是△=(4a)2一16≤0，解得 9.若“3x∈R,ax十2xo十a<0”为真命题，则实数a 一1≤a≤1.由(1)(2)同时成立，故实数a的取值 的取值范围是 范围为{a一1≤a≤1}. ·34·