专题2.1 等式性质与不等式性质（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦等式性质与不等式性质核心知识点，从不等关系的概念及符号表示切入，通过作差法、作商法构建比较大小的方法体系，再结合等式性质延伸至不等式的对称性、传递性等性质应用，形成从概念到方法再到应用的完整学习支架。 该资料以“题型+例题+变式”设计为特色，融入购物、行程等实际情境，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过作差推理、性质证明等环节培养数学思维，以不等式表示不等关系强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，巩固知识应用能力。

专题2.1 等式性质与不等式性质（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 用不等式表示不等关系】 1 【题型2 利用作差法比较大小】 3 【题型3 利用作商法比较大小】 3 【题型4 作差法比较代数式的大小的应用】 4 【题型5 由已知条件判断所给不等式是否正确】 6 【题型6 由不等式的性质比较数（式）大小】 6 【题型7 由不等式的性质证明不等式】 7 【题型8 利用不等式的性质求取值范围】 8 考点1 不等关系 知识点1 不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 用不等式表示不等关系】 【例1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·河南·阶段检测）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 考点2 比较大小 知识点2 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型2 利用作差法比较大小】 【例2】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·北京·开学考试）已知实数，则以下不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·新疆喀什·期中）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【变式2-3】（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（1）若，，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与. 【题型3 利用作商法比较大小】 【例3】（2026高三·上海·专题练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 【变式3-3】（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【题型4 作差法比较代数式的大小的应用】 【例4】（25-26高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【变式4-1】（25-26高一上·重庆璧山·期中）在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（    ）更合算. A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【变式4-2】（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?并说明理由. 【变式4-3】（25-26高一上·四川广元·阶段检测）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 考点3 等式性质与不等式性质 知识点3 等式的基本性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 知识点4 不等式的性质 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【题型5 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例5】（25-26高一上·内蒙古包头·期末）下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5-1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知是非零实数，且是任意实数，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【变式5-3】（25-26高一上·上海虹口·期末）已知实数，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型6 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例6】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）如果，那么下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·广东·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式6-2】（25-26高一上·广东汕头·期中）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·四川南充·阶段检测）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型7 由不等式的性质证明不等式】 【例7】（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【变式7-1】（2026高三·全国·专题练习）已知均为正实数，且，求证：． 【变式7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【变式7-3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则； (3)求证：，且． 【题型8 利用不等式的性质求取值范围】 【例8】（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）已知实数，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 【变式8-3】（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 等式性质与不等式性质（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 用不等式表示不等关系】 1 【题型2 利用作差法比较大小】 3 【题型3 利用作商法比较大小】 5 【题型4 作差法比较代数式的大小的应用】 7 【题型5 由已知条件判断所给不等式是否正确】 10 【题型6 由不等式的性质比较数（式）大小】 12 【题型7 由不等式的性质证明不等式】 14 【题型8 利用不等式的性质求取值范围】 17 考点1 不等关系 知识点1 不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 用不等式表示不等关系】 【例1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【解答过程】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 【变式1-1】（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可. 【解答过程】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·河南·阶段检测）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意列出不等关系即可. 【解答过程】由题意得. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合矩形面积公式与不等式定义即可得. 【解答过程】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 考点2 比较大小 知识点2 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型2 利用作差法比较大小】 【例2】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【解答过程】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高一上·北京·开学考试）已知实数，则以下不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用作差法比大小. 【解答过程】由于实数，则， ，所以， ，所以， 所以. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·新疆喀什·期中）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【解题思路】利用作差法求解即可. 【解答过程】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 【变式2-3】（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（1）若，，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与. 【答案】（1）； （2）. 【解题思路】（1）用作差法比较，作差后通分，并因式分解，然后判断正负后可得； （2）作差后再配方即可判断大小关系. 【解答过程】（1） ， ，， ，，，， ，. ， ，又， ，即. （2）， 则. 【题型3 利用作商法比较大小】 【例3】（2026高三·上海·专题练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【解答过程】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D. 【变式3-1】（2026·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【解答过程】因为实数，，满足，，， 所以， ∴， 又， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3-2】（25-26高二上·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 【答案】 【解题思路】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【解答过程】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）. （2）. 【解题思路】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【解答过程】（1） ， 因为，所以， 即. （2）由，得，，， 因此， 所以. 【题型4 作差法比较代数式的大小的应用】 【例4】（25-26高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【答案】C 【解题思路】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【解答过程】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高一上·重庆璧山·期中）在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（    ）更合算. A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【答案】A 【解题思路】由题意，先计算爸爸和妈妈两次买米的平均单价，再用作差法比较大小，即得解. 【解答过程】设第一次买的大米是元/斤，第二次买的大米是元/斤，依题意，， 则爸爸两次买的大米共斤，妈妈两次买的大米共用了元， 设爸爸两次买米的平均单价为元/斤，妈妈两次买米的平均单价为元/斤. 则，， 由，即， 所以爸爸买米的方式更合算. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?并说明理由. 【答案】(1) (2)变好了，理由见解析 【解题思路】（1）根据题意列不等式即可求解， （2）利用作差法即可求解. 【解答过程】（1）设窗户面积为，则地板面积为. 由题意知且，解得. 所以窗户面积至少为. （2）设窗户面积为,地板面积为，增加面积为， ∵，且，∴， 即， 所以公寓采光效果变好了. 【变式4-3】（25-26高一上·四川广元·阶段检测）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【解答过程】（1）解：由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）解：由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以， 综上可得：. 考点3 等式性质与不等式性质 知识点3 等式的基本性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 知识点4 不等式的性质 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【题型5 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例5】（25-26高一上·内蒙古包头·期末）下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】对A和C，根据条件，通过取特殊值检验，即可判断出正误；对B和D，根据条件，通过作差法，即可判断正误. 【解答过程】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，因为，又，则，所以， 得到，所以B错误， 对于C，取，显然满足，此时， 不满足，所以C错误， 对于D，因为，又，则， 所以，得到，所以D正确， 故选：D. 【变式5-1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知是非零实数，且是任意实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】ACD选项举反例说明，B选项根据作差法说明. 【解答过程】对于A，不妨取，此时，即A错误； 对于B，由题意可知，所以，因此，即B正确； 对于C，当时，，可得C错误； 对于D，当时，可得，即D错误． 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【解题思路】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【解答过程】选项A，取，，，，满足条件，但，A错误； 选项B，当，时，满足，但，B错误； 选项C，当时，有，， ， 则，所以，C正确； 选项D，且，则，， 则，得，D错误. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高一上·上海虹口·期末）已知实数，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】根据不等式的性质可判断AB的正误，利用作差法可判断C的正误，根据反例可判断D的正误. 【解答过程】对于A，因此，故，故，故，故A正确； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C，， 而，故，故， 故，故C正确； 对于D，取，则， 此时不成立，故D错误. 故选：D. 【题型6 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例6】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）如果，那么下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据不等式的性质，逐项判断即可. 【解答过程】对A：因为，所以，故A正确； 对B：因为，所以，故B正确； 对C：因为，所以，故C正确； 对D：因为，所以，又，所以，故D错误. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高一上·广东·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】对于ABC：根据不等式的性质分析判断即可；对于D：利用作差法比较大小. 【解答过程】对于选项A：若，，则，所以，故A错误； 对于选项B：因为，则， 即，所以，故B错误； 对于选项C：若，则，且， 所以，故C正确； 对于选项D：因为， 且，则，， 可得，即，故D错误． 故选：C． 【变式6-2】（25-26高一上·广东汕头·期中）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不等式的基本性质逐一判断即可. 【解答过程】对A，由，所以，错误； 对B，由，，所以，正确； 对C，由，所以，错误； 对D，由，所以，错误. 故选：B. 【变式6-3】（25-26高一上·四川南充·阶段检测）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】利用不等式的性质，及不等式同向可加性和同向同正可乘性，以及作差法比较大小，即可求解. 【解答过程】当时，若，则，这是真命题，但是当时，显然，故A错误； 由可得，，利用同向不等式可加性得：，故B错误； 由， 因为，所以，即，故C正确； 若，则，这里，不妨取， 则，与相矛盾，故D错误； 故选：C. 【题型7 由不等式的性质证明不等式】 【例7】（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【解答过程】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【变式7-1】（2026高三·全国·专题练习）已知均为正实数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论． 【解答过程】 ，， ， 又 ， ，故， ，，， ，即． 【变式7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解题思路】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【解答过程】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 【变式7-3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则； (3)求证：，且． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得； （2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. （3）先由结论得到，再利用乘法法则证明结论. 【解答过程】（1）提炼出的不等式为. 证明如下：. 因为都是正数，且， 所以，可得，所以. （2）由（1）及是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. （3）由（1）可知. 取，则 ，故有， 则有， 因为， 所以 ， 故，且. 【题型8 利用不等式的性质求取值范围】 【例8】（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质求解计算即可. 【解答过程】，， ，， . 故选：C. 【变式8-1】（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）已知实数，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，求出和，再根据不等式的性质求解即可. 【解答过程】设， 则，解得，所以， 因为，所以， 又，所以，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式8-2】（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1），，； （2） 【解题思路】（1）根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可； （2）利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【解答过程】（1）因为，， 所以，，，， 所以，， 所以. 故，，． （2）设， 则，解得， 故， 由得， 由得， 所以. 【变式8-3】（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【解答过程】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以，① 因为，所以，② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以，③ 因为，所以，④ ③＋④得，，所以． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $