1.2 集合间的基本关系-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

数学·必修第一册 1.2集合间的基本关系 课程标准 素养解读 理解集合之间包含与相等的含义，能 会用三种语言（自然语言、图形语言、符号语言）表示集合间的基本关 识别给定集合的子集 系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养 课前。预习学案 对应学生用书P5 [情境引入] [知识梳理] 这天，正巧公孙龙骑着白马来到函谷关 [知识点一]子集、集合相等、真子集 关吏说：“你人可入关，但马不能.” l.Venn图 公孙龙辩道：“白马非马，怎么不可以过关？”关吏 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 说：“白马是马.” Venn图 公孙龙说：“我公孙龙是龙吗？”关吏一愣，但仍坚 2.子集、集合相等、真子集 持说：“按照规定只要是赵国的马就不能入关，管你是 子集 集合相等 真子集 白马还是黑马.” 公孙龙微微一笑，道：“·马’是指名称而言， 般地，如果集 ‘白’是指颜色而说，名称和颜色不是一个概念。 一般地，对于两个 合A的任何一 如果集合A 集合A,B,如果个元素都是集合 ‘白马’这个概念，分开来就是‘白’和‘马’或‘马 二B,但存 集合A中任意一B的元素，同时 和‘白’，这是两个不同的概念。比如说你要马，给 个元素都是集合集合B的任何 在元素x∈ 黄马、黑马可以，但是如果要白马，给黑马、给黄马 概B中的元素，就称 一个元素都是集 B,且xEA, 就不可以，由此证明‘白马’和‘马’不是一回事！ 念集合A为集合B合A的元素，那 就称集合A 是集合B的 所以说白马非马.” 的子集，记作A三么集合A与集 真子集，记 B(或B2A),读合B相等，记作 作A手B(或 作“A包含于B”A=B也就是 B吴A) (或“B包含A”) 说，若A三B,且 B二A,则A=B 这一则寓言故事.对于一般人，说“白马是马”就 如同说“白人是人”一样，清楚明白，准确无误.怎么可 B(A) 能“白马非马”呢？如果赵国的白马组成集合A,赵国 示 B(A) 的所有马组成集合B. [问题](1)集合A中的元素与集合B中的元素的 (1)任何一个集合 关系是怎样的？ (1)若AB 是它本身的子集。 (2)集合A与集合B又存在什么关系？ 且BC,则 贫 即A二A 若A=B AC (3)故事中的“白马非马”是为何意？ (2)对于集合A, 且B=C, 论 (2)若A二B 提示(1)集合A中的元素都是集合B的元素. B,C,如果A三B, 则A=C 且A≠B,则 (2)A是B的子集. 且B二C,那么 A手B (3)故事中的“白马非马”意为白马组成的集合与所有 ACC 马组成的集合不相等 6 第一章集合与常用逻辑用语 ?思考1.任意两个集合之间是否有包含关系？ 2思考3.0与0，{0}，{0}有何区别？ 提示：不一定，如集合A={1,3},B={2,3},这两 提示： 个集合就没有包含关系. 0与0 ⑦与{0》 0与{0} 2.符号“∈”与“二”有什么区别？ 都表示无 相同点 都是集合 都是集合 提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如 的意思 1∈N,-1tN. 心是集合； 心不含任何 0不含任何元 ②“二”是表示集合与集合之间的关系，比如N三 不同点 元素；{0}含 素；{⑦}含一个元 0是实数 R,{1,2,3}{3,2,1}. 个元素0 素，该元素是心 ③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“三”的两边 关系 0庄必 财军{0} ⑦军{0} 均为集合 [知识点二]空集 预习自测] 1.下列关系式正确的是 定义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集 A.0三{0} B.0∈{0} 记法 0 C.0={0} D.0在{0} 答案：B 规定 空集是任何集合的子集，即心二A 2.集合{1,2}的子集有 A.4个 B.3个 C.2个个 D.1个 (1)空集只有一个子集，即它本身，0二心 答案：A 特性 (2)若A≠心，则心军A 3.集合{1}与集合{x.x2-1=0}的关系是 答案：{1}军{xx2-1=0}. 课堂。互动学案 对应学生用书P7 题型一 求集合的字集、真字集 2.求一个集合子集个数的规律及注意点 [例1]写出集合A=(1,2,3}的所有子集和真子集 (1)规律：含有n(n≥1且n∈N)个元素的集合有 汇思路点拨]按照顺序依次写出：由0个元素构 2”个子集，有2”一1个真子集，有2”一2个非 空真子集 成的子集；由1个元素构成的子集；由2个元素构 (2)注意点：解决此类问题时应注意两个比较特殊 成的子集：由3个元素构成的子集。 的集合，即和集合本身. [解]由0个元素构成的子集：心； ⊙[变式训练] 由1个元素构成的子集：(1}，{2}，{3}： 1.(1)满足1,2}≡M二{1,2,3,4,5}的集合M有 由2个元素构成的子集：1,2}，{1,3}，{2,3}； 几个？ 由3个元素构成的子集：{1,2,3}. (2)已知集合A手{x∈N|-1<x<3},且A中至少 由此得集合A的所有子集为0，{1}，{2}，{3}，{1， 有一个元素为奇数，则这样的集合A共有多少个？ 2},{1,3},{2,3},{1,2,3}. 并用恰当的方法表示这些集合. 在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下 解：(1)由{1,2}≡M三{1,2,3,4,5}可以确定集合 的都是A的真子集. M中必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的 规律方法 一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有 三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有四个元 1.写出一个集合的所有子集的常用方法 素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有五个元 (1)首先要注意两个特殊子集：必和它自身。 素：{1,2,3,4,5}.故满足题意的集合M共有7个. (2)其次要依次按含有1个元素的子集，含有2个 (2)这样的集合共有3个. 元素的子集，含有3个元素的子集，…，写出 ,{x∈N-1<x<3}={0,1,2},A年{0,1,2}且A 所有子集，在本例中，写出含有2个元素的子 中至少有一个元素为奇数，.当A中含有1个元素 集时，首先从1起，1与每个元素搭配，然后不 时，A可以为{1}；当A中含有2个元素时，A可以 看1，再看2可与哪些元素搭配. 为{0,1}，{1,2. 7 数学·必修第一册 题型】 集合简关系的判断 ◇[变式训练] [例2]指出下列各对集合之间的关系： 2.(1)设集合A={x-1<x<2},B={x-1<x<1}, (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1), 则 A.A二B B.B≤A (1,1)}. C.A=B D.A车B (2)A={x-1<x<4},B={xx-5<0} (2)下列命题中正确的有 (写出全部正确 (3)A={x|x是等边三角形}，B={x|x是等腰三 命题的序号) 角形}. ①{2,4,6}二{2,3,4,5,6}；②（菱形}三{矩形}； (4)M={.xx=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1, ③{xx2=0}三{0}；④{(0,1)}三{0,1}；⑤1}∈ n∈N*. {0,1,2};⑥{xx>1}三{xlx≥2}. 汇思路点拨]判断两集合间关系的关键是弄清所 解析：(1)选B.如图所示 给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集 B☐A6 合具体化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言 -1 12 (列举法和描述法)、图形语言(Venn图)来表示 A的范围包含B的范围，所以B二A, (2)根据子集的定义，①显然正确；②中只有正方形才 集合， 既是菱形，也是矩形，其他的菱形不是矩形；③中集合 [解](1)集合A的代表元素是数，集合B的代表 {xx=0}中的元素只有一个“0”，因此是集合{0}的子 元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. 集；④中{(0,1)}的元素是有序实数对，而{0,1}是数 (2)集合B={xx<5},用数轴表示集合A,B如图 集，元素不同：⑤中两个集合之间使用了“∈”符号，这 所示，由图可知A军B. 是用来表示元素与集合的关系时使用的符号，⑤错； B ⑥显然错误.应有{xx>1}早{xx≥2).故填①③. 答案：(1)B(2)①③ -2-1012345x (3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形 题型”由集合间的关系求参数问题 是两边相等的三角形，故A军B. [例3](1)若集合M={xx2+x-6=0},N={x|a.x (4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n 十2=0，a∈R},且N年M,则a的取值集合为 ∈N*,因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元 (2)已知集合A={.x|-3≤x≤4}，B={x|2m-1 素“1”，故N军M <x<m十1}，且B二A.求实数m的取值范围. 规律方法 汇思路点拨](1)求出集合M中的元素，对N作 判断集合间关系的常用方法 讨论 (1)列举观察法 (2)借助数轴，不要漏掉B=的情况： 当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部 [解析](1)化简M={xx2+x-6=0}={-3,2},因 元素，通过定义得出集合之间的关系. 为ax十2=0的系数a是字母，所以对a分类讨论 (2)集合元素特征法 如下： 先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素 当a=0时，ax十2=0无解，所以N=必满足题意； 的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合 之间的关系 当a0时，ax+2=0的解为=一名，图为N三 一般地，设A={xp(x)},B={x|q(x)},① 1,所以由一2=一3，得a=3,由-2=2.得a 若由(x)可推出q(x),则A三B;②若由g(x) 可推出(x),则B二A;③若(x),q(x)可互 -1,所以特合条件的a的取位条合为和，号一1 相推出，则A=B;④若由p(x)推不出q(x), [答案] 2 由q(x)也推不出p(x),则集合A,B无包含 (2)[解] 因为B二A,①当B=心时，m十1≤2m 关系 1,解得m≥2. (3)数形结合法 〔-32m-1, 利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合 ②当B≠时有m十1≤4， 间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适 2m-1<m+1, 合用数轴法 解得-1≤m<2,综上得m≥-1. ·8 第一章集合与常用逻辑用语 规律方法 (2)若A的子集有两个，求实数a的取值集合 由集合间的包含关系求参数的方法 解：(1)因为A三心，所以A=心. (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系 当a=0时，x= 的意义，建立方程求解.此时应注意分类讨论； 是则A={}与题言芬盾： 当a≠0时，则△=36-12a<0,解得a>3. (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等 综上，实数a的取值集合为{aa>3 关系求解，应注意端点处是实点还是虚点， (2)因为A的子集有两个，所以集合A中只有一个 提醒：(1)不能忽视集合为心的情形. (2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论： 元素 ◇[变式训练] 当a=0时，由(1知A={受}符合题意： 3.已知集合A={xa.x2+6.x十3=0}. 当a≠0时，△=36-12a=0,解得a=3. (1)若A二心，求实数a的取值集合； 综上所述，实数a的取值集合为{0,3}. 随堂。步步夯实 对应学生用书P9 1.集合M={x-2<x≤3，且x∈N}的真子集个 4.设A={xx2-5x十m=0},B={xx-3=0},且 数为 B二A,则m= A.7 B.8 C.15 D.16 答案：6 答案：C 5.已知集合A={xl1≤x≤2}，B={x1≤x≤a,a≥1. 2.下列五个关系式：①{a,b}={b,a};②{a,b}二{b,a}; (1)若AB,求a的取值范围； ③{0}=财；④心三{0}；⑤0∈{0}，其中正确的个 (2)若B二A,求a的取值范围. 数是 ( 解：(1)若A手B,由图可知a>2. A.1 B.3 C.4 D.5 A B 答案：C 3.对于两个非空集合A,B,定义集合A一B={x|x∈ (2)若B三A,由图可知，1≤a≤2. A且x在B},若M={1,2,3,4,5},N={0,2,3,6, B A 7},则集合N一M的真子集个数为 0 答案：7 课后。素养提升 对应学生课时P249 基础过关 4.已知集合A={x-1<x<4},B={xx<a},若A 》 1.下列结论正确的是 B,则实数a满足 ( ( A.任何集合都有子集 B.任何集合都有真子集 A.a<4 B.a≤4 C.a>4 D.a≥4 C.{0}=0 D.{0}=0 答案：D 答案：A 5.(多选)已知A三B,A二C,B={2,0,1,8},C={1, 2.集合M={0,1,2}的子集为 9,3,8},则集合A可以是 A.{0},(1},{2} A.{1,8}B.{2,3} C.1} D.{2} B.{0},{1},{2},1,2 解析：AC[A二B,A二C,B=(2,0,1,8},C= C.{0},{1},{2},⑦ {1,9,3,8},.集合A中一定含有集合B,C的公共 D.{0},{1},{2},1,2},{0,1},{0,2},{0,1,2},0 元素，结合选项可知A、C满足题意.] 答案：D 6.(多选)以下写法正确的是 3.设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A三 A.0∈{x|x2=0》 B,则a= () B.(1}∈N A.2 B.1 c号 D.-1 C.{2,1}={xx2-3.x+2=0} 答案：B D.{x|x<1}三{xlx<0} ·9· 数学·必修第一册 解析：AC[对于A,0∈{x|x2=0}={0},故A正 即A中含有8个元素， 确；对于B,因为{1}，N表示集合，所以{1}三N,故 .A的非空真子集数为28-2=254（个）. B错误；对于C,由{2,1}={x|x2-3x十2=0}= (2)①当m-1≥2m十1，即m≤-2时，B=0 {x|(x-1)·(x-2)=0}={1,2},故C正确；对于 二A; D,根据集合与集合的关系，{xx<0}三{xx<1}, ②当m>-2时， 故D错误.] B={xm-1<x<2m十1}， 7.已知{x|x2十x十a=0},则实数a的取值范围 因此，要B二A, 是 解析：因为心军{x|x2十x十a=0},所以方程x2十 则只要m-1≥-2， →-1≤m≤2. (2m+1≤5 x十a=0有实数根，即4=1-4a≥0，a< 综上所述，m的取值范围是{m|-1≤m≤2或m 答案：a< ≤-2}. 能力提升 》 8.设集合M={1,x,y},N={x,x2,xy},且M=N, 则.x2025十y2026= 12.设集合Sn={1,2,3,…n},X二Sn,把X的所有 元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元 解析：因为M=N,所以 (=y 由集合 ry=y (xy=1 素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容 中元素的互异性，可知x≠1，解得区=-1 量为O).若X的容量是奇（偶）数，则称X为Sn的 ,所以 y=0 奇（偶）子集.若n=3,则Sn的所有偶子集的容量 x2025+y202s=-1. 之和为 () 答案：-1 A.6 B.8 C.12 D.16 9.若集合A={a1,a2,aa4}的所有三元子集的三数之积 解析：D[由题意可知当n=3时，集合Sn={1, 构成集合B={24,30,40,60},则A= 2,3},Sn所有的偶子集为心，{2}，{1,2}，{2， 解析：因为所有三元子集中每个元素共出现3次， 3},{1,2,3},∴.当n=3时，集合Sm所有的偶子集 所以所有三元子集的元素之积(a1a2a3a4)3=24× 的容量之和为0十2十2+6+6=16] 30×40×60=1728000=1203,所以a1a2a3a4= 13.已知集合A={xx2十4x=0},B={x|x2+2(a+1)x 120,用120分别除以B中的元素即得A={2,3,4,5}. +a2-1=0}. 答案：{2,3,4,5》 (1)若A是B的子集，求实数a的值； 10.已知集合M满足(2,3}二M三(1,2,3,4,5}，求集 (2)若B是A的子集，求实数a的取值范围， 合M及其个数， 解：(1)由题意得A={-4,0}. 解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中 若A是B的子集，则B=A={-4,0}. 含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3， △=4(a十1)2-4(a2-1)>0, 5};当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2， 所以-4十0=-2(a十1)， 3,1,5},{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M 为{2,3,1,4,5；所以满足条件的集合M为{2， -4×0=a2-1, 解得a=1. 3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,1,4},{2,3, 1,5},{2,3,4,5},{2,3,1,4,5},集合M的个数 (2)①若B为空集，则△=4(a十1)2-4(a2-1)= 为8. 8a十8<0，解得a<-1; 11.设集合A={x|-1≤x+1≤6}，B={xm-1<x ②若B为单元素集合，则△=4(a十1)2-4(a2-1) <2m+1}. =8a十8=0，解得a=-1, (1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数； 将a=-1代入方程x2十2(a十+1)x十a2-1=0, (2)若A2B,求m的取值范围. 得x2=0,即x=0,B=(0},符合要求； 解：化简集合A,得A={x|一2≤x≤5}. ③若B为双元素集合，则B=A={一4,0}， (1)x∈Z, 则由(1)可知a=1. ∴.A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 综上所述，实数a的取值范围为{aa≤一1或a=1. ·10