1.3 第2课时 补集-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语 第2课时 补集 课程标准 素养解读 1.理解全集、补集的含义，会求给定集合的补集 能够在现实情境或数学情境中概括出全集、 2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题 补集等数学对象的一般特征，并学会用三种 3.能借助Venn图，利用集合运算解决有关的 语言（自然语言、图形语言、符号语言）表达和 实际应用问题 转换，提升数学抽象和数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]补集 某学习小组学生的 1.补集的概念 集合为U={王明，曹勇， 对于一个集合A,由全集U中不属于 王亮，李冰，张军，赵云， 文字 集合A的 组成的集合称 冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧》，其中在学校应 语言 为集合A相对于全集U的补集，简称 用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学 为 ,记作 生集合为P={王明，曹勇，王亮，李冰，张军} 符号 [问题]没有获得金奖的学生有哪些？ 语言 CA= 图形 语言 2.本质：补集既是集合之间的一种关系，又是 集合的基本运算之一.补集是一个相对的概 念，只相对于相应的全集而言. [知识梳理] 3.作用： [知识点一]全集 ①依据定义求集合的补集；②求参数的值或 1.概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的 范围； ,那么就称这个集合为全集， ③补集思想的应用， 2.记法：通常记作 4.补集的性质 (1)AU(CA)= 2思考1.在集合运算问题中，全集一定是实 (2)A∩(A)= 数集吗？ (3)CU= Cu8=U, Co(CA)= (4)(CA)(CB)=C(AUB). (5)(CUA)U(CUB)=Cu(AnB). ·13 数学·必修第一册 2思考2.CA,A,U三者之间有什么关系？ A.{2,5,8}》 B.{3,6} C.{2,5,6》 D.{2,3,5,6,8》 2.设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6}, N={0,1,6},则(MUCN)= ( ) A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8 [预习自测] C.{1,2,4,6,8} D.U 1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A 3.已知集合A={3,4,m},集合B={3,4},若 ={1,3,4,6,7},则集合vA= ( CAB={5},则实数m= 课堂。互动学案 题型一 补集的运算 题型二集合交、并、补的综合运算 [例1]已知全集U,集合A={1,3,5,7,9}, [例2](1)已知全集U={x|x≤4}，集合 CA={2,4,6,8},CB={1,4,6,8,9},求 A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2}， 集合B. 求A∩B,(CA)UB,A∩(CB). [思路点拔了先求出全集U,再由CB求 (2)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3, 4,5},B={4,7,8},求：A∩B,AUB,(CA) 出B, ∩(CB),A∩(CB),(CuA)UB. [思路点拨](1)利用数轴，分别表示出全 集U及集合A,B,求出CuA及CB,然后 求解 (2)可以依据交集、并集、补集的定义依次 求解；在求(CuA)∩(CvB)时可以利用性质 (CuA)∩(CuB)=Cu(AUB)简化运算；利 规律方法 用Venn图更直观简洁. (1)根据补集定义，借助Venn图，可直观 地求出全集，此类问题，当集合中元素 个数较少时，可借助Venn图；当集合 中元素无限时，可借助数轴，利用数轴 分析法求解. (2)补集的几个性质：CU=⑦，Cu⑦=U, AUCA=U,解题时要注意使用. ®[变式训练] 1.(2025·全国一卷)已知全集U={x|x是小 于9的正整数}，集合A={1,3,5},则CA 中元素的个数为 ( A.0 B.3 C.5 D.8 ·14 第一章集合与常用逻辑用语 规律方法 题型 补集的综合应用 解决集合交、并、补运算的技巧 [例3]已知集合A={x2a-2<x<a,B={x| 1.如果所给集合是有限集，则先把集合中 1<x<2},且ACRB,求实数a的取值范围. 的元素一一列举出来，然后结合交集、并 汇思路点拨了“解答本题可先求出CRB,然后 集、补集的定义来求解.在解答过程中常 利用ACRB求出a的取值范围， 常借助于Venn图来求解， 2.如果所给集合是无限集，则常借助数轴， 把已知集合及全集分别表示在数轴上， 然后进行交、并、补集的运算，解答过程 中要注意边界问题， ◇[变式训练] 2.(1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A= {2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩ (CB)= () A.{2,5} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8)》 规律方法 (2)已知全集U=R,A={x|-4≤x<2},B 解答本题的关键是利用ACRB,对A =x-1<x≤3，P={红≤0.或≥} =心与A≠☑进行分类讨论，转化为等 价不等式（组）求解，同时要注意区域端 求A∩B,(CB)UP,(A∩B)∩(CP) 点的问题， ⊙[变式训练] 3.已知U为全集，集合M、N是U的子集，若 M∩N=N,则 A.CM2 CN B.MC CuN C.CM CuN D.M2CN ● 随堂。步步夯实 1.设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4}, 5.设全集U={3,6,m2-m-1},A={13-2m,6}, N={2,5},则NUCM= ( CuA={5},求实数m. A.{2,3,5} B.{1,3,4} C.{1,2,4,5》 D.{2,3,4,5} 2.已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={xx< 1),则A∩(CRB)= ( A.{xx>1} B.{x|x≥1} C.{x1<x≤2y} D.{x|1≤x≤2) 3.(2025·上海卷)已知全集U={x2≤x≤5， x∈R},集合A={x|2≤x<4,x∈R},则 CvA= 4.设U=R,A={xa≤x≤b},若CuA={x|x C温馨提 <3,或x>4},则a十b= 学习至此，请完成配套训练 ·155.解：AUB=A,.BCA. A={-2}≠0，∴B=必或B≠必. 当B=⑦时，方程a.x十1=0无解，此时a=0. 当B≠0时，此时a≠0，则B=一日 :-1∈A,即-=-2，得a=2 1 综上a=0或a=号 第2课时补集 课前预习学案 情境引入 提示没有获得金奖的学生的集合为Q={赵云，冯佳， 薛香芹，钱忠良，何晓慧}. 知识梳理 知识点一、1.所有元素2.U 知识点二、l.所有元素集合A的补集CA{x|x∈ U,且xtA}4.(1)U(2)0(3)0A [思考] 1.提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉 及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异.所以全 集不一定是实数集。 2.提示：ACU,CACU,AU(CA)=U,A∩(CA)=0. 预习自测 1.A2.A3.5 课堂互动学案 [例1][解]借助Venn图，如图 02 所示， 41356 479 得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, CuB=(1,4,6,8,9}, .B={2,3,5,7}. [例2][解](1)如图所示 -3-2-101234元 .'A={x一2x<3},B={x-3x2}, CuA={xx≤-2，或3≤x≤4}， CuB={xx<-3,或2<x≤4. ∴.A∩B={x-2<x≤2}， (CA)UB={xx≤2，或3≤x≤4}， A∩(C,B)={x|2<x<3}. (2)解法一：A∩B={4},AUB={3,4,5,7,8. CA={1,2,6,7,8},CB={1,2,3,5,6}, .(CA)∩(CB)={1,2,6},A∩(CB)={3,5}, (CA)UB=(1,2,4,6,7,8}. 解法二：A∩B,AUB,A∩(CB)求法同解法一. (CA)∩(CB)=C(AUB)={1,2,6}, (CA)UB=Cu(A∩(CB)={1,2,4,6,7,8. ·3 参考答案 解法三：画出Venn图，如图所示，观察此图可得，A∩B ={4},AUB={3,4,5,7,8}, 3,5 7,8 1,2,6 A∩(CuB)={3,5},(CA)UB={1,2,4,6,7,8. [例3][解]CRB={xx≤1，或x≥2}≠0， A年CRB, .分A=⑦和A≠⑦两种情况讨论. ①若A=⑦，此时有2a一2≥a, .a≥2. @若A≠，则有2a2a,或 2a-2<a a1 12a-2≥2 .a≤1. 综上所述，a≤l,或a≥2. 变式训练 1.C[因为U=(1,2,3,4,5,6,7,8},共有8个元素，集合 A中有3个元素，所以CA中元素的个数为8一3=5，选 .] 2.解析：(1)因为U={1,2,3,4,5,6,7,8}, B={1,3,4,6,7), 所以CB={2,5,8}. 又A={2,3,5,6},所以A∩(CB)={2,5. (2)将集合A,B,P分别表示在数轴上，如图所示， B P 因为A={x-4≤x<2},B={x-1<x≤3}， 所以A∩B={x-1<x<2}. CuB={xx≤-1，或x>3. 又P=x0,或≥号 所以(B)UP=rr≤0，或≥号 又tp=0<r<, 所以(A∩B)∩(CP) =a-1K<2n{红0Kr<} ={x0<x<2}. 答案：(1)A(2)见解析 3.C[.M∩N=N, .V二M,如图所示， :CuME CuN.] 随堂步步夯实 1.A2.D 3.{x4x5,x∈R}4.7 5.解析：因为CA={5},所以5∈U但5A, 所以m2-m-1=5, 解得m=3或m=一2. 当m=3时，3一2m=3≠5， 69 数学·必修第一册 此时U={3,5,6》,A={3,6},满足CA={5}; 当m=一2时，3-2m=7≠5， 此时U={3,5,6},A={6,7},不符合题意含去. 综上，可知m=3. 1.4充分条件与必要条件 1.4.1充分条件与必要条件 课前预习学案 情境引入 提示(1)一定亮. (2)不一定，还可能是C开关闭合. 知识梳理 知识点一、1.→羚充分必要充分必要 知识点二、(1)判定(2)性质 [思考] 1.提示：相同，都是→g. 2.提示：这五种表述形式是等价的. 预习自测 1.A2.B 3.(1)为(2)→ 课堂互动学案 [例1门[解](1)由于QR,所以p→q,所以p是q的充 分条件. (2)由于a<b,当60时，分>1：当>0时，分<1，因 为p中g,所以p不是q的充分条件. (3)由x>1可以推出x>1.因此p→g,所以p是g的充 分条件. (4)设A={a(a-2)(a-3)=0},B=(3},则B手A.因 此p中g,所以力不是q的充分条件， (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B,则BC> AC.因此，p→q,所以p是q的充分条件. [例2][解析](1)等腰梯形的两条对角线相等.因此，p →q,所以q是p的必要条件. (2)直角三角形不一定是等腰三角形. 因此p户g,所以g不是p的必要条件， （9)若-号则=y是真分题 因此p→q,所以q是p的必要条件. (4)命题“若关于x的方程ax十b=0(a,b∈R)有唯一解， 则a>0”为假命题，因此p中q,所以q不是p的必要 条件 [例3][解]由-a<x-1<a,得1-a<x<1十a, 依题意，得{x|一1x<3}二{x1一a<x<1十a}, 所以-a≤1·解得≥2. 1+a≥3， 故使a>b恒成立的实数b的取值范围是{bb<2}. 变式训练 1.(1)A (2)解析：由题意得，MUV=N,所以“a∈M"→“a∈N”, 所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件. 答案：充分 ·31 2.解：(1)该命题是真命题，p→q,所以q是p的必要条件. (2)因为∠a=60°32'，所以∠a的余角为90°-6032= 29°28'. p→q,所以q是p的必要条件. (3)因为3+4<9，所以长分别为3cm、4cm和9cm的 三条线段不能组成三角形，所以p中q,所以q不是p的 必要条件. (4)两个偶数相乘仍是偶数. 所以p→q,所以q是p的必要条件. 3.解：(1)若2x十m<0是x一1或x>3的充分条件 则只受{<-罗}e{x<-1,或x>3,即只需 -≤-1，所以m≥2。 2 故存在实数m≥2，使2x十m<0是x<一1或x>3的充 分条件， (2)若2x十<0是x<一1或x>3的必要条件，则只要 {z<-1,或x>3){红<-受}这是不可能的. 故不存在实数m,使2x十m<0是x<-1或x>3的必 要条件. 随堂步步夯实 1.B 2.BD 3.(1)必要条件(2)充分条件4.充分 5.解：因为p是g的充分条件，但不是必要条件，所以p→g 但q本p,即{x-2≤x≤10}是{x1-m≤x≤1十m}的 真子集， 1-m-2, 所以 ,或-m≤2解得m≥9. ）1+m≥101+m>10, 所以实数m的取值范围为{mm≥9. 1.4.2充要条件 课前预习学案 情境引入 提示 一般地，如果既有p→q,又有q→p,就记作： p台q. 知识梳理 知识点一、1.充分必要充要互为充要 [思考] 1.提示：正确.若p是q的充要条件，则p台q,即p等价 于q. 2.提示：①p是q的充要条件说明p是条件，9是结论。 ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论 预习自测 1.D2.A3.充分不必要 课堂互动学案 [例1][解](1)由三角形中大角对大边可知，若A>B, 则a>b,即p→q,反之，若a>b,则A>B即q→p. 因此，p是q的充要条件 (2)由x>1可以推出x2>1即p→q: 由x>1,得x<-1或x>1,不一定有x>1即q中p. 因此，p是g的充分不必要条件