1.2集合的基本关系_教学设计--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等及空集性质等核心知识点。通过类比实数大小关系，结合具体集合实例（如A={1,2,3}与B={1,2,3,4,5}）导入，衔接集合概念与表示方法，搭建学习支架。 此资料以核心素养为导向，通过类比探究培养数学眼光，用Venn图和符号语言（⊆,⊂,=）发展数学表达，强调“双向包含”培养逻辑推理。采用启发式与探究式教学，即时练习巩固概念，助力学生深化理解，为教师提供清晰重难点指导，提升教学效果。

《1.2 集合间的基本关系》教学设计 一、教材分析 本节课选自人教A版高中数学必修第一册第一章"集合与常用逻辑用语"第二节"集合间的基本关系"。在上一节学习了集合的概念和表示方法的基础上，本节进一步研究集合与集合之间的关系，包括子集、真子集、集合相等等概念，以及空集的特殊地位。本节内容是后续学习集合运算（交集、并集、补集）的重要基础，也是培养学生数学抽象能力和逻辑推理能力的关键内容。 二、学情分析 （一）知识基础 学生已掌握集合的概念、元素的三个特性（确定性、互异性、无序性） 学生已熟悉集合的两种表示方法（列举法和描述法） 学生已了解常用数集的记法（N, Z, Q, R等） 学生在初中阶段接触过"包含""相等"等关系的初步认识 （二）认知特点 高一学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键阶段 对符号语言的理解和运用能力正在逐步形成，但还不够熟练 对类比推理和归纳推理有一定的基础，但严谨性有待加强 对"任意""存在"等逻辑用语的理解需要逐步培养 （三）可能存在的困难 对"子集"与"真子集"的区别容易混淆，特别是空集是任何集合的子集这一性质 对"A包含于B"（A ⊆ B）与"A包含B"（A ⊇ B）的符号方向容易记混 证明两个集合相等时，对"双向包含"的逻辑理解不够深入 在涉及空集的子集个数问题时，容易遗漏空集本身 用Venn图表示集合关系时，对边界情况的处理不够准确 三、教学目标 （一）知识与技能 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 掌握子集、真子集、集合相等的概念及符号表示（⊆, ⊇, ⊂, ⊃, =） 了解空集的含义，理解空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 能正确使用Venn图表达集合之间的关系 能求出给定集合的所有子集，并能计算子集的个数 （二）过程与方法 1.通过类比实数间的大小关系，经历从具体到抽象的概念形成过程 2.通过Venn图和数轴等直观工具，培养数形结合的思想方法 3.通过证明集合相等的过程，体会"双向包含"的数学思想 4.通过列举子集的活动，培养分类讨论和归纳推理的能力 （三）情感态度与价值观 1.感受类比思想在数学学习中的重要作用，培养知识迁移能力 2.体会数学符号语言的简洁性和准确性，培养符号意识 3.在探究活动中培养严谨的数学思维习惯和科学的学习态度 4.通过小组合作学习，培养交流表达和团队协作能力 四、教学重难点 （一）教学重点 1.子集、真子集、集合相等的概念及符号表示（⊆, ⊂, =） 2.集合相等与双向包含的等价关系（A = B ⇔ A ⊆ B 且 B ⊆ A） 3.空集的性质：∅ ⊆ A，∅ ⊂ B（B ≠ ∅） 4.含有n个元素的集合的子集个数为，真子集个数为 （二）教学难点 1.真子集概念的理解——"A是B的真子集"要求A ⊆ B且A ≠ B（即B中至少有一个元素不属于A） 2.证明两个集合相等时，"双向包含"的逻辑严密性 3.空集在子集关系中的特殊地位——空集是任何集合的子集，但空集没有真子集 4.区分"属于"（∈）与"包含于"（⊆）两种不同关系符号的使用场景 5.子集个数公式的推导与理解（从具体例子归纳到一般结论） 五、教学方法 启发式教学法、类比教学法、探究式教学法、讲练结合法 六、教学过程 第一课时：子集、真子集、集合相等 （一）情境导入 【教师活动】引导学生回顾实数之间的大小关系，提出问题： 实数之间有大小关系，如3 < 5，-2 < 0等。那么，集合与集合之间是否也存在某种关系呢？ 展示以下实例，引导学生观察： A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4, 5} C = {x | x是等边三角形}，D = {x | x是等腰三角形} E = {x | x² - 3x + 2 = 0}，F = {1, 2} 【学生活动】观察以上实例，思考集合A与B、C与D、E与F之间的关系。 【师生归纳】 集合A中的每一个元素都属于集合B 集合C中的每一个元素都属于集合D 集合E中的每一个元素都属于集合F，反之亦然 引出课题：集合间的基本关系。 （二）概念探究——子集 【探究活动1】观察以下集合对，找出它们的共同特征： A = {1, 2}，B = {1, 2, 3} A = {x | x > 2}，B = {x | x > 1} A = {我们班全体女生}，B = {我们班全体学生} 【学生发现】集合A中的每一个元素都是集合B中的元素。 【定义】 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作 A ⊆ B（或 B ⊇ A），读作"A包含于B"（或"B包含A"）。 【符号语言】 A ⊆ B ⇔ ∀x ∈ A，都有 x ∈ B 【Venn图表示】 【强调要点】 "任意一个"是关键——必须对A中所有元素都成立，不能只验证部分元素 A ⊆ B 允许 A = B（即任何集合都是自身的子集） 符号方向：⊆ 的开口朝向"大"的集合，类似于 ≤ 的开口朝向大的数 【即时练习】 判断下列关系是否正确： {1, 2} ⊆ {1, 2, 3} （正确） {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3} （正确，任何集合都是自身的子集） {1, 2} ⊆ {2, 3} （错误，1 ∉ {2, 3}） （三）概念探究——集合相等 【探究活动2】观察以下集合对： A = {x | x² - 1 = 0}，B = {-1, 1} C = {x | x是两条边相等的三角形}，D = {x | x是等腰三角形} 【学生发现】这两个集合中的元素完全相同，即A中的每个元素都在B中，B中的每个元素也都在A中。 【定义】 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 A = B。 【核心结论】 A = B ⇔ A ⊆ B 且 B ⊆ A 这是证明两个集合相等的基本方法 （四）概念探究——真子集 【问题引入】观察以下两组关系： {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}，且 {1, 2} ≠ {1, 2, 3} {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}，且 {1, 2, 3} = {1, 2, 3} 【学生发现】第一组中两个集合不相等，第二组中两个集合相等。 【定义】 如果集合A ⊆ B，但存在元素x ∈ B，且x ∉ A，就称集合A是集合B的真子集，记作 A B（或B A）。 【符号语言】 A B ⇔ A ⊆ B 且 A ≠ B 【Venn图表示】 【重要区分】 关系 符号 含义 子集 A ⊆ B A中所有元素都在B中（允许A = B） 真子集 A B A中所有元素都在B中，且B中至少有一个元素不在A中（A ≠ B） （五）课堂小结 【知识梳理】 子集：A ⊆ B ⇔ ∀x ∈ A，x ∈ B（任何集合都是自身的子集） 真子集：A B ⇔ A ⊆ B 且 A ≠ B 集合相等：A = B ⇔ A ⊆ B 且 B ⊆ A 【易错提醒】 ⊆ 与 的区别：⊆ 允许相等， 不允许相等 符号方向：⊆ 的开口朝向"大"集合 ∈ 与 ⊆ 的区别：∈ 表示元素与集合的关系，⊆ 表示集合与集合的关系 【课后作业】 教材第9页练习第1、2、3题 教材第10页习题1.2 A组第1、2题 学科网（北京）股份有限公司 $