第2章 有理数的运算（单元复习）培优讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

该初中数学有理数运算单元复习讲义通过表格梳理与分层归纳构建知识体系，涵盖15个核心知识点，以对比表格呈现加法法则、倒数求法等内容，用分步说明展示运算律、混合运算顺序等逻辑关系，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于“情境化问题+分层题型”设计，如数轴动点问题结合行程情境培养应用意识，新定义运算题通过“a*b=a+b-ab”实例提升运算能力，配套基础题与探究题满足不同学生需求，助力教师实施精准教学与学生自主复习。

有理数的运算 知识点1 有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 知识点2 有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 知识点3 有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 知识点4 有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 知识点5 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点6 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点7 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点8 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 知识点9 多个有理数相乘的符号法则 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 知识点10 多个有理数相乘的符号法则 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 知识点11 多个有理数相乘的符号法则 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 知识点12 有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 知识点13 有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 知识点14 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 知识点15 近似数 1. 接近实际数值的数，叫作近似数． 2. 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示． 3. 一般地，一个近似数四舍五人到哪一位，就说这个数精确到哪一位．例如（精确到0.01，或叫作精确到百分位）． 题型1：有理数的加减 1.（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 2，（24-25七年级上·全国·期末）根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据运算程序图把代入得到，再二次代入进行运算得到1，即可得解，掌握运算程序图中运算顺序及运算法则是解题关键． 【详解】解：根据题意可知，， ， 把再次输入，得：， ∴输出的结果是1， 故选：． 3.有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，下列结论错误的是（   ） A．是小于1的正数 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号．先根据点在数轴上的位置，判断出数的大小关系，进而判断出式子的符号． 【详解】解：由图可知：，， ∴，，，， ∴； 故错误的是C． 故选C． 4.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点在数轴上的位置，判断出a、b、、的正负，然后再比较出a、b、、的大小，最后结合选项进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴选项B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴选项C符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查数轴，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，掌握数形结合的数学思想是解题的关键． 5.（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）如图，点和表示的数分别为和，下列式子中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴和绝对值，根据数轴，，然后逐项排除即可，正确理解数轴的特点则是解题的关键． 【详解】解：、根据数轴可知，，， 则，， 故，原选项不符合题意； 、根据数轴可知，，， 则， 故原选项不符合题意； 、根据数轴可知，，， 则，， 故，原选项不符合题意； 、根据数轴可知，，， 则， 故，原选项符合题意； 故选：． 6.（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，数轴上的点A，B，C分别表示数a，b，c给出下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据数轴可得，且，再根据有理数的加减乘除运算法则，可以逐项判断得出正确答案． 【详解】解：①∵， ∴， 故①说法错误； ②∵， ∴， ∴故②说法正确； ③∵， ∴， ∴故③说法正确； ④∵， ∴， ∴故④说法错误； ∴正确的有②③． 故选：C． 7.阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【考点】有理数的加法 【分析】仿照上述题干中的拆项法解题即可． 【解答】解： ＝1+（﹣2） ＝﹣1 【点评】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键． 题型2：有理数的乘除 1.已知|x|＝5，y＝3，且xy＜0，则x﹣y＝________． 【考点】有理数的乘法；绝对值；有理数的减法 【分析】先求出x的值，再计算x﹣y． 【解答】解：∵|x|＝5， ∴x﹣±5， ∵y＝3，且xy＜0， ∴x＝﹣5， ∴x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的减法，有理数的乘法，掌握绝对值是解题的关键． 2.已知|x|＝2，|y|＝3，且，则x﹣y的值为 ________． 【考点】有理数的除法；绝对值；有理数的减法 【分析】先根据|x|＝2，|y|＝3得到x＝±2，y＝±3，再根据，得到x、y同号，代入计算即可得到答案． 【解答】解：由条件可知x＝±2，y＝±3， 由条件可知x＝2，y＝3或x＝﹣2，y＝﹣3， ∴x﹣y＝﹣2﹣（﹣3）＝1或x﹣y＝﹣2﹣（﹣3）＝1， 故答案为：﹣1或1． 【点评】本题考查求一个数的绝对值及有理数除法法则，熟练掌握运算法则是关键． 3，有理数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＞0，则a、b、c中有________ 个正数． 【考点】有理数的乘法；有理数的加法 【分析】根据abc＞0，可以得到有偶数个负因数，再根据a+b+c＝0，得到其中正数的个数即可． 【解答】解：∵abc＞0， ∴a、b、c中有偶数个负因数， 又∵a+b+c＝0， ∴a、b、c中负数有两个，即正数有一个， 故答案为：1． 【点评】本题考查有理数的计算法则，关键是负数的个数的确定． 4.（24-25七年级上·重庆·期中）如图所示，周长为4的圆沿着数轴无滑动地顺时针滚动．开始时，圆上一点落在数轴上，滚动一圈后，点落到了数轴上点处，且对应数为1；滚动若干圈后，当圆上点恰好落在数轴上，且它对应的数为9时，该圆从起始位置滚动的圈数为（） A．2圈 B．3圈 C．4圈 D．5圈 【答案】B 【分析】本题主要结合圆的滚动考查数轴上点的运动，熟练掌握数轴上点的运动计算方法是解决本题的关键．根据数轴上点的运动计算方法即可解答． 【详解】解：由题意可得：滚动的距离即为圆的周长， ， 所表示的数为， 所表示的数为， 滚动若干圈后，当圆上点恰好落在数轴上，且它对应的数为9， 该圆从起始位置滚动的圈数为（圈）， 故选：B． 5.（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算、乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据有理数乘法运算、乘法运算律、有理数四则混合运算逐项化简即可． 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意． 故选：D． 6.如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第3个台阶上依次标着，且任意相邻三个台阶上数的积都相等．下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：从下到上前2022个台阶上的数的积是； 结论Ⅱ：数“”所在的台阶数用正整数k表示为 A．Ⅰ对Ⅱ错 B．Ⅰ错Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都错 【答案】B 【分析】由任意相邻三个台阶上数的积都相等，且，，可判断从下到上前2022个台阶上的数的积是个相乘，于是可判断结论Ⅰ；由数在第3个台阶、第6个台阶、第9个台阶找到规律即可判断结论Ⅱ. 【详解】因为任意相邻三个台阶上数的积都相等，且，， 所以从下到上前2022个台阶上的数的积是1； 故结论Ⅰ错误； 由题意，数在第3个台阶、第6个台阶、第9个台阶……， 所以数“”所在的台阶数用正整数k表示为； 故结论Ⅱ正确； 故选：B. 【点睛】本题考查了有理数的运算和探寻规律，仔细分析、找到规律是解题的关键. 7.如图是一个计算程序框图，若输入的值为，则输出的结果为（　　）    A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，有理数四则混合运算，有理数大小比较等知识点，理解题意，弄清程序流程图的计算步骤与判断逻辑是解题的关键． 先将输入的值按照程序框图的计算步骤计算一遍，然后根据判断结果确定是否再次进入循环或者跳出循环进行输出，最终即可得出答案． 【详解】解：由程序框图可知： ， ， 需要再循环一次， ， ， 输出的结果为， 故选：． 8.阅读下列材料： 计算：（）． 解法一：原式3412． 解法二：原式（）6． 解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法________是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）． 【考点】有理数的除法 【分析】（1）我认为解法一是错误的； （2）选择解法三求出值即可． 【解答】解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的； 故答案为：一； （2）原式的倒数为：（）÷（）＝（）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣35+21＝﹣14， 则原式． 【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键． 9.阅读下面解题过程： 计算： 解：原式 ① ＝（﹣15）÷（﹣5）② ＝﹣3． ③ （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第________步，错因是________，第二处是第________ 步，错因是________． （2）请你写出这道题正确的解答过程． 【考点】有理数的除法；有理数的乘法．版权所有 【分析】（1）根据同级运算应从左到右的顺序依次进行计算以及两数相除，同号为正，即可得出答案； （2）根据有理数的乘除法则进行计算即可． 【解答】解：（1）观察解题过程可知， 第一处是第②步，错因是乘除法优先级一样，没有遵循从左往右的运算顺序， 第二处是第③步，错因是两数相除，同号为正， 故答案为：②；乘除法优先级一样，没有遵循从左往右的运算顺序；③；两数相除，同号为正； （2）原式 ＝9×3 ＝27． 【点评】本题主要考查了有理数乘除法计算，正确进行计算是解题关键． 10. ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，先计算乘方和绝对值后，再计算加减法即可． 【详解】解： 故答案为： 11．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）先利用乘法分配律化简，再进行计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型3：倒数 1.（24-25七年级上·四川泸州·阶段练习）学完《有理数》之后，甲同学对乙同学说：“为最小的正整数，b是最大的负整数，c是倒数等于自身的有理数，你知道等于多少？”乙同学脱口答出正确答案是（   ） A．0 B． C．1或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数，绝对值，倒数的定义等知识．根据最小的正整数是1，最大的负整数是，倒数等于自身的有理数，求出即可． 【详解】解：为最小的正整数， ； 是最大的负整数， ； ∵是倒数等于自身的有理数， ∴． ∴当时，； 当时，． 故选：C． 2.若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则3的负倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键； 根据互为负倒数的定义可知，用，即可得到3的负倒数； 【详解】解：由题可知， ， 故答案为：． 3.（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）已知互为相反数且均不为，和互为倒数，，那么代数式 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据，互为相反数且均不为0，，互为倒数，，可以得到，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：，互为相反数且均不为0，，互为倒数，， ，， 当时， ， 综上所述，的值为 故答案为：． 4.（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知有理数a、b互为相反数且，c，d互为倒数，数轴上表示有理数m和的两个点相距3个单位长度，求的值． 【答案】1或5 【分析】本题考查数轴与有理数，有理数的运算：根据相反数得到，倒数得到，两点间的距离得到或，分或，进行计算即可，熟练掌握有理数的运算法则，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：，，或， ∴或． 5.（24-25七年级上·四川宜宾·期中）对于有理数a、b，定义运算：． (1)填空：________（填“”“”或“”）； (2)若m与互为倒数，n与互为相反数，求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据新定义运算法则列式计算再比较大小即可； （2）先求出m、n的值，再代入代数式按新运算计算即可； （3）根据新定义运算法则先求得，然后再算中括号外面的即可． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）由题意得， ； （3） ． 题型4：有理数的乘方 1.的意义是（　　） A．4个相乘 B．4个相加 C．乘以4 D．的相反数 【答案】D 【分析】本题考查了乘法与乘方的定义，以及相反数．掌握相关区别是解题关键．根据乘方和乘法以及相反数的定义逐项判断即可． 解：A、4个相乘对应，不符合题意； B、4个相加对应，不符合题意； C、乘以4对应，不符合题意； D、的相反数对应，符合题意； 故选：D． 2.下列各数，，，，中，负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据有理数乘方符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，以及相反数和绝对值去判断负数的个数． 解：，，，，，所以负数有3个． 故选：B 【点拨】本题主要考查了有理数的乘方，以及绝对值和相反数，牢记乘方的符号法则是解题的关键． 3.已知有理数满足：，且，则请求的值． 【答案】4或8或 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的乘方，根据绝对值的意义，和乘方法则，求出的值，再进行减法运算即可． 解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴， ∴，或，或 ∴或或． 4.等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，变形为，即可求解． 解：原式 ． 故选：A． 5.（24-25七年级上·山东济宁·期中）比较大小： （填或）． 【答案】< 【分析】本题考查了有理数的大小比较， 1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 先计算各数，再利用有理数大小的比较方法比较即可． 解：，， ∵， ， ． 故答案为：． 6.《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，弄懂题意并掌握乘方的运算法则是解答的关键． 【详解】解：根据题意，第一天后剩尺， 两天之后剩（尺）， 第三天后剩（尺）， … 第n天后剩（尺）， 第五天后这个“一尺之棰”还剩（尺）． 故选：D． 7.计算： ． 【答案】 【分析】把原式化为，再逆用积的乘方运算可得答案． 【详解】解： ． 故答案为： 【点睛】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键． 8.已知，若，则t的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性以及有理数的混合运算：由先算出，代入，化简计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴原式 ， 故选：A 9.已知，则的末尾数字是 ． 【答案】2 【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，然后代值计算得到，最后找到规律的末尾数字是2，4，8，6循环出现，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，末尾数字为2； ，末尾数字为4； ，末尾数字为8； ，末尾数字为6； ，末尾数字为2； ，末尾数字为4； … ∴的末尾数字是2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的末尾数字与相同，即为2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，非负数的性质，正确理解题意找到规律是解题的关键． 10.（1）填空：1.22＝　1.44　 ；122＝　144　 ；1202＝　14400　 ． （2）根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点怎样移动？ （3）利用上述规律，解答下列各题： 如果3.252＝10.5625，那么0.3252＝　0.105625　 ．如果x2＝105625，那么x＝　±325　 ． 【考点】有理数的乘方 【分析】（1）利用平方的概念填空； （2）由（1）中可以发现小数点的变化，从而找出规律． （3）利用这个规律计算这两题即可． 【解答】解：（1）1.44；144；14400； （2）根据上题的规律可知：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点向右移动两位． （3）0.105625；±325． 【点评】本题主要考查了有理数乘方的运算法则和规律． 小数点的变化规律：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点向右移动两位． 11.阅读计算： 阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4… 回答下列三个问题： （1）验证：（4×0.25）100＝　1　 ；4100×0.25100＝　1　 ． （2）通过上述验证，归纳得出：（ab）n＝　anbn　 ；（abc）n＝　anbncn　 ． （3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014． 【考点】有理数的乘方 【分析】①先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法． ②根据有理数乘方的定义求出即可； ③根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案． 【解答】解：①：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1， 故答案为：1，1． ②（a•b）n＝anbn，（abc）n＝anbncn， 故答案为：anbn，（abc）n＝anbncn． ③原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125） ＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125） ＝（﹣1）2014×（﹣0.125） ＝1×（﹣0.125） ＝﹣0.125． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，再根据积的乘方，有理数乘方的定义的应用，主要考查学生的计算能力． 12．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个．根据此规律，一个细胞经过6次分裂后可分裂成 个细胞． 【答案】32 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用．熟练掌握这种细胞分裂规律是解决问题的关键．根据这种细胞经过 1 次分裂便由 1 个分裂成 2 个，得5次分裂成个，计算即得． 【详解】解：经过1次分裂后：个， 经过2次分裂后：个， 经过3次分裂后：个， 经过4次分裂后：个， 经过5次分裂后：个， 故答案为：32． 13．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个． 根据此规律可得： (1)这样的一个细胞经过2次分裂后可分裂成　　个细胞； (2)这样的一个细胞经过5次分裂后可分裂成　　个细胞； (3)这样的一个细胞经过n（n为正整数）次分裂后可分裂成　　个细胞． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用； （1）根据题意，一次分裂成2个，则2次分裂成4个． （2）根据题意，5次分裂成个； （3）根据规律可得次后分裂为个 【详解】（1）解：依题意，一次分裂成2个，则2次分裂成4个； 故答案为：． （2）解：依题意，5次分裂成个； 故答案为：． （3）解：根据规律可得次后分裂为个 故答案为：． 题型5：科学记数法 1.（2025·四川广元·中考真题）2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到千米/秒，用科学记数法表示这个速度为 米/秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：千米/秒米/秒米/秒， 故答案为：． 2.（2025·天津南开·三模）2021年我国发布的《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，2020年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比2015年下降18.8%，比2005年下降48.4%，超额完成了我国向国际社会承诺的“到2020年下降40%~45%”的目标，累计少排放二氧化碳约58亿吨，基本扭转了二氧化碳排放快速增长的局面．其中数据58亿用科学计数法表示为，则数据所表示的原数应为（    ） A．58000000 B．580000000 C．5800000000 D．58000000000 【答案】C 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原；指数为正整数，只要把用科学记数法表示的数中的小数点向右移9位即可得到原数． 【详解】解：； 故选：C． 3.如表所示的是琳琳作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（    ） 已知：60，求的值 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法的定义，掌握表示一个的数的方法：“从右往左数到最后一个非“”数字，小数点移动的位数为就是．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， 破损处“0”的个数为， 故选：A． 4.根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： （1）1.4249≈ （精确到百分位）； （2）0.02951≈ （精确到0.001）． （3）近似数1.23×105精确到 位，有 个有效数字． 5.（24-25七年级上·河南驻马店·期末）近似数1.50是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了近似数近似数与精确数的接近程度，可根据近似数的精确度求解． 【详解】解：近似数1.50是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围， 6.（24-25八年级上·河北石家庄·期末）某种鲸的体重约为，这个近似数精确 位． 【答案】万 【分析】本题考查了近似数，根据最后一位所在的位置就是精确度，即可得出答案． 【详解】解：近似数，4在万位，故精确到万位， 故答案为：万． 题型6：有理数混合运算的应用 1.小明从家到学校，先以的速度走了分钟，又以的速度走了分钟，则他全程的平均速度为（   ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】解：， ∴他全程的平均速度为， 故选：． 2．一列火车长200米， 以每分钟1200米的速度通过一座大桥，从车头到车尾一共用了2分钟．那么桥的长度是多少米？正确的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本的数量关系，理解火车走的路程的组成部分是解题的关键． 根据火车走过的路程桥长车身长列式即可． 【详解】解： ， ∴正确的算式是． 故选：B ． 3．2024年9月8日至11日，第二十四届中国国际投资贸易洽谈会在厦门举行，本次主题为“投资链接世界”，共吸引了120个国家和地区、18个国际组织、1000多个境内外政府机构及工商企业团组、近8万名客商参展参会．通过展览展示、会议论坛、项目对接和信息发布等多种形式，助力投资合作精准匹配，让国际资本进入中国、中国企业走向国际．为了确保本次洽谈会的顺利进行，厦门国际会议展览中心沿线加强警力巡逻，某巡警早上从会展路路口出发，骑摩托车在东西走向的会展路上巡逻，晚上停留在会展路A处，规定向东为正，向西为负，当天行驶记录如下（单位：千米）： (1)通过计算说明A处在会展路路口的什么方向？距离会展路路口有多远？ (2)若巡警所骑摩托车行驶1千米耗油0.05升，则这一天摩托车共耗油多少升？ 【答案】(1)A处在会展路路口的东方向，距离会展路路口有5千米 (2)这一天摩托车共耗油4.05升 【分析】此题考查正数和负数以及有理数的混合运算，此题的关键是读懂题意，列式计算． （1）计算这几个数的和，根据和的符号、绝对值判断A处在会展路路口的方向和距离， （2）计算行驶的总路程，即各个数的绝对值的和，再求出用油量． 【详解】（1）解： （千米）， 答：A处在会展路的东方向，距离会展路有5千米． （2）解： 答：这一天摩托车共耗油4.05升． 题型7：有理数的新定义运算 1.定义一种新运算：，例如．则的结果是（   ） A．10 B． C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义运算，根据新运算的定义，先计算a的绝对值，再减去a与b的乘积．将，代入运算即可． 【详解】解：由定义， 代入，，得： ． 故选：B． 2．定义一种新运算：，其中，如：，下列说法正确的个数是（   ）． ①； ②当，； ③ ． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查新定义，正确理解题意是解题的关键，根据新定义注意分析即可得出答案 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 当，， 当，时，，故②错误； ，故③错误 故选：B 3．对于有理数x，y，定义一种新运算：，如：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新运算，正确理解新运算法则是解题的关键； 根据新运算的法则代入数值计算即可. 【详解】解：； 故答案为：． 4．定义运算，例如，，若，则m的值为 ． 【答案】1/ 【分析】本题考查了新定义下有理数的乘方运算，理解题意，分情况分析是解题关键． 根据题意分两种情况分别计算讨论即可． 【详解】解：当且时，即且， ∴， ∴，或 解得：或； 当时，即， ∴， ∴， 解得：；（不符合题意）， 综上可得：或， 故答案为：1或． 题型8：绝对值1与-1化简 1.如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数的除法，绝对值的意义，利用，得出有一个正数，二个负数是解题关键．根据，得出中有1个正数，2个负数，设，，，化简绝对值即可求解．． 【详解】解：∵， ∴中有1个正数，2个负数． 不妨设，，，则 ． 故选：C． 2．若，则的值是（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值，代数式的化简求值问题．解此题的关键是在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号．在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式， 故选：D． 3．若，则的值为 ． 【答案】、0 【分析】本题考查化简绝对值，分四种情况：；；；，化简绝对值，即可求解． 【详解】解：若，有四种情况：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上可知，若，则的值为、0． 故答案为：、0． 4.有理数a，b，c都不为零，且，则 ． 【答案】1或 【详解】根据题意分析可得：有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正，分情况讨论，利用绝对值的意义化简运算即可． 【分析】解：∵， ∴，，． ∵有理数a，b，c都不为零，且， ∴有理数a，b，c不同时为正，也不同时为负， ∴有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正， 当有理数a，b，c中一个为正，两个为负时，假定， ∴原式 ， 当有理数a，b，c中一个为负，两个为正时，假定， ∴原式 ． 综上，或． 故答案为：1或． 【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 5.若的最小值为3，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据代数式的最小值，得到关于的方程，求出的值即可． 【详解】 表示数轴上到与到 的距离之和， 且其最小值为3， 当介于与之间时， 与的距离为3，即 若，解得； 若，解得 故答案为：-2或． 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题． 题型9：数列求和 1.阅读探究：；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)你能用一个含有（为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)55 (2) (3)780 【分析】（1）仿照阅读材料中的方法计算即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）原式利用得出的规律计算即可求出值． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算及算式规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 【答案】（1）①1； ②1；③1；④1 （2）①1；②1；③64 【分析】（1）①简单计算即可得到结果； ②，代入计算即可； ③，代入计算即可； ④，代入计算即可． （2）①根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ②根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ③对比规律可发现，需要将式子变形为： 计算即可． 【详解】解：（1）计算：① ②； ③ ； ④； （2）①； ②； ③ = = = 【点睛】本题考查幂的运算，根据规律进行猜想，并对比分析将式子变形计算是解题关键． 3．阅读材料：求1+2+22+23+…+22020的值． 解：设 S=1+2+22+23+…22020①，①×2得：2S=2+22+23+24+…+22021②， ②﹣①得2S﹣S=22021﹣1，即S=1+2+22+23+…+22020=22021﹣1． 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+25； （2）求1+3+32+33+…+3n的值． (其中n为正整数) 【答案】（1）26﹣1．（2）（3n+1﹣1）， 【分析】（1）直接利用例题方法将原式变形进而得出答案； （2）直接利用例题方法将原式变形进而得出答案． 【详解】解：（1）设S＝1+2+22+23+24+25，① 将等式两边同时乘2得： 2S＝2+22+23+24+25+26 ，② ②﹣①得2S﹣S＝26﹣1， 即S＝26﹣1， ∴1+2+22+23+24+25 ＝26﹣1． （2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n ，① 将等式两边同时乘3得： 3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1，② ②﹣①得3S﹣S＝3n+1﹣1， 即S＝（3n+1﹣1）， ∴1+3+32+33+34+…+3n＝（3n+1﹣1）． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算以及一元一次方程的应用，正确利用例题方法将原式变形是解题关键． 4．观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的尾数，找到这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数2、4、8、6循环出现，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数3、9、7、1循环出现，据此规律求解即可． 【详解】解：∵，，，，，，，， ......， 以此类推，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数2、4、8、6循环出现， ∵， ∴的末尾数字与的尾数相同为， ∵，，，，，，，， ......， 以此类推，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数3、9、7、1循环出现， ∵ ∴的末尾数字与的尾数相同为， ∵， ∴的末位数字是5． 故选：B． 题型10：数轴动点求t 1.如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，或 (3)存在， 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴动点问题． （1）根据绝对值和平方的非负性，相反数，即可求出a，b，c的值； （2）先求出折点为，即可求出与点A重合的数，由三等分点的定义得出或，即可求出点D表示的数； （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，即可得出，，进而得出，即可解答． 【详解】（1）解：，，， ，， 的相反数为， ， 故答案为：，，； （2）解：与重合，即，重合， 折点为， 与点重合的点是， 由三等分点得或， ∴表示的数为或． 故答案为：；或； （3）解：存在， ∵点表示的数是，向左的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， 为定值， 的值与无关， ， ∴． 2.（24-25七年级上·全国·假期作业）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒． 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． 探索1：根据时间路程速度，即可求解； 探索2：由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解； 探索3：分两种情况：①当在上时，②当在上时，根据线段的和差以及时间路程速度，即可求解． 【详解】解：探索1：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； 探索2： 的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：； 探索3：设秒后， ①当在上时， ， ， ， ， ， ， （秒）； ②当在上时， ， ， ， ， （秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 3．如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c，点B为中点，且a，c满． (1) ______， ______， ______； (2)点P从点A出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，点P，Q停止运动．设运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)若动点M从点A出发．以每秒4个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动至点B，再以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时，动点N从点C出发以每秒2个单位长度沿着数轴的负方向匀速运动至点O，到达O点后点N按原速度立即返回点C，当点N运动到点C时，点M，N停止运动，设运动时间为k秒，当，求k的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程数轴上的点的运动问题，涉及绝对值方程、一元一次方程以及点的运动规律．需要通过解析方程和运动状态求解点的位置与时间关系． （1）本题主要考查了非负数的性质，根据有理数的特征、非负数的性质即可解答；掌握几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0 成为解题的关键； （2）由题意可知，，结合两点距离公式求解绝对值方程即可，注意检验点P在点C左侧； （3）根据C到达O点前，以及C到达O点后进行分类讨论，注意转折点对方程产生的影响． 【详解】（1）因为，所以，， 又因为点B为中点，所以． 故答案为：． （2）由题意可得 ，， 因为， 所以， 解得：或． 检验，当时，，满足条件， 当时，，也满足条件， 综上或． （3）由题意，可得： C到达O点前，有： ①当M在O左侧时，此时， 解得； ②当M在O右侧、B左侧时，此时， 解得无解； ③当M在B右侧时，此时， 解得无解； C到达O点后，有： ④当M在B右侧时，此时， 解得； 综上或． 4．“数轴”是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．下面就让我们利用学习过的“数轴”来进行探索活动吧． 已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B两点之间的距离记为或，且，，请回答下列问题： (1)求________． (2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则________． (3)若点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x． ①当点P在点M、N之间（含M、N两点），请化简； ②若点P表示的数是1，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，当t为________秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是7． 【答案】(1)5 (2)或8 (3)①5；② 【分析】本题主要考查了两点间的距离、化简绝对值、解绝对值方程等知识点，掌握化简绝对值的方法是解题的关键． （1）直接运用求解即可； （2）分或两种情况解答即可； （3）①由点P在点M、N之间（含M、N两点），即，然后化简绝对值、合并同类项即可解答；②设运动时间为t秒，则运动后P表示的数为，则，然后根据，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是7列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故答案为5． （2）解：当时，可化为，解得：； 当时，可化为，解得：． 综上，或． （3）解：①∵点P在点M、N之间（含M、N两点）， ∴， ∴； ②设运动时间为t秒，则运动后P表示的数为， ∴， ∵蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是7， ∴， 当时，，解得：； 当时，，此方程无解． 综上，． 故答案为4． 5．数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 (4)或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，（1）利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案； （2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案； （3）由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，再构建绝对值方程，再解方程即可； （4）分①当时，O是线段的中点，②当时，P为线段的中点，③当时，Q为线段的中点，④当时，O为线段的中点，再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为， 故答案为：16，； （2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ． 故答案为：，； （3）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距5个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过或时相距5个单位长度； （4）解：①当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得． ②当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间， 当P、Q两点重合时，，即， ∴此时， 由题意得， 解得； ③当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间，此时， 由题意得， 解得； ④当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得不合题意，舍去， 综上所述：或或． 温故知新 1.下列计算结果相等为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则和绝对值的意义，准确进行计算． 根据乘方运算法则和绝对值的意义逐项进行计算即可． 解：A： ，， ， 故该选项不符合题意； B：，， ， 故该选项不符合题意； C：，，， ， 故该选项符合题意； D：，，， ， 故该选项不符合题意； 故选：C． 2. （　　） A． B． C． D． 【考点】有理数的乘方 【分析】根据有理数乘方和有理数的乘法进行解答． 【解答】解：原式， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是根据乘方的运算来解答． 3.有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 4.生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型，在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即：，请你推算的个位数字是(   ) A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，通过观察可知2的乘方的尾数每4个循环一次，则22023与23的尾数相同，即可求解． 【详解】解：，， 的乘方的尾数每个循环一次， ， 与的尾数相同，为， 故选：A． 5.①；②；③；④；⑤；⑥，其结果为正数的有几个（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据相反数的意义，化简绝对值以及乘方的运算化简各数即可求解． 解：①是正数； ②，是负数； ③，是正数； ④，是负数； ⑤，是负数； ⑥，是正数， ①③⑥为正数．故选C． 【点拨】本题考查了相反数的意义，化简绝对值以及乘方的运算，正确的化简各数是解题的关键． 6.定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有x*x＝0，x*（y*z）＝（x*y）+z，这里“+”号表示数的加法，则2023*2022的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】有理数的混合运算 【分析】根据x*x＝0，x*（y*z）＝（x*y）+z，可以计算出所求式子的值 【解答】解：∵x*x＝0，x*（y*z）＝（x*y）+z， ∴2023*2022 ＝2023*2022+2022﹣2022 ＝2023*（2022*2022）﹣2022 ＝2023*0﹣2022 ＝2023*（2023*2023）﹣2022 ＝（2023*2023）+2023﹣2022 ＝0+2023﹣2022 ＝1， 故选：A． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 7.（2025·宁夏银川·一模）若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用数轴上点表示实数，实数运算，掌握根据数轴上点的位置判断式子的值是解题的关键． 根据数轴得到，结合实数运算法则判断即可得到答案． 解：由数轴得，， ∴A、，此选项不符合题意， B、，此选项不符合题意， C、，，此选项符合题意， D、，此选项不符合题意， 故选：C． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面两行数： 第一行：4，，16，，36，…； 第二行：6，，18，，38，…． 则第二行中的第6个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的数字变化规律．解题关键是由特殊到一般，找出数字规律，符号规律． 由第一行可知，每个数字为完全平方数，即第n个数字为，符号是奇正为负，即，第二行每一个数比第一行对应的数大2，由此得出规律． 解：根据观察的规律， 第一行第n个数是 第二行第n个数是 所以，第二行中的第6个数是； 故答案为：． 9.若，则a，的大小关系用“<”连接为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘方运算的含义，根据，可得，，，从而可得答案. 解：∵， ∴，，， ∴； 故答案为：. 10.观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 【答案】 82 45 88 【分析】本题考查了数的规律的探索，乘方运算的符号规律，找到规律是解题的关键；观察知，从左边数，每行最后一个数是行数的平方，且奇数行符号为负，偶数行符号为正，据此可完成解答． 解：根据规律知，第9行最后一个数为，则第10行左边数第一个数为； ∵， ∴数2024是第45行左边数的倒数第二个数， ∵第45行共有：个数， ∴第45行倒数第二个数是从左边数第88个数； 故答案为：82；45；88． 11.（1）已知（a+2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）2017的值． （2）若|x|＝3，|y|＝2，且x＞y，求x+y的值． 【考点】有理数的加法；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值 【分析】（1）利用相反数，非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可求出值； （2）利用绝对值的代数意义求出x与y的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：（1）∵（a+2）2与|b+1|互为相反数， ∴（a+2）2+|b+1|＝0， 可得a+2＝0，b+1＝0， 解得：a＝﹣2，b＝﹣1， 则原式＝﹣1； （2）∵|x|＝3，|y|＝2，且x＞y， ∴x＝3，y＝2或x＝3，y＝﹣2， 则x+y＝5或1． 【点评】此题考查了有理数的加法，非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12.已知三个有理数a，b，c，其积是负数，其和是正数，当时，求代数式x2017﹣2x+2的值． 【考点】有理数的混合运算 【分析】根据积是负数得出a，b，c均≠0，且a，b，c全为负数或一负两正，根据和为正数得出a，b，c一负两正，求出x值，即可求出答案． 【解答】解：∵三个有理数a、b、c，其积是负数， ∴a，b，c均≠0，且a，b，c全为负数或一负两正， ∵其和是正数， ∴a，b，c一负两正， ∴1+1﹣1＝1时， 代数式x2017﹣2x+2＝12017﹣2×1+2＝1． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的加法、乘法、除法的应用，关键是求出x的值． 13.（24-25七年级上·北京东城·期中）若，互为倒数，，互为相反数，，的值 【答案】或 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据，互为倒数，，互为相反数，，可以得到，，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：，互为倒数，，互为相反数，， ，，， 当时， ； 当时， ； 故答案为：或． 14.（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 15． “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． 16.（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)；1 (2)①；②1或9秒 【分析】（1）由已知得，则，因为点 B在原点左边，即可求出； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是，计算即可求出； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则，然后解方程得到，得到点P运动距离为，再根据和P点在负半轴，即可求出；②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则；超过Q，则；由此求得答案即可． 此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是 故答案为：，1； （2）①点P运动t秒时追上点Q，根据题意得， 解得， ∴当点P运动5秒时，点P追上点Q； ∴点P运动距离为 ∴ ∵此时P点在负半轴， ∴当点P追上点Q时，点P所表示的数是； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 当P不超过Q，则，解得； 当P超过Q，则，解得； 答：当点1秒或9秒点P与点Q间的距离为8个单位长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 有理数的运算 知识点1 有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 知识点2 有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 知识点3 有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 知识点4 有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 知识点5 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点6 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点7 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点8 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 知识点9 多个有理数相乘的符号法则 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 知识点10 多个有理数相乘的符号法则 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 知识点11 多个有理数相乘的符号法则 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 知识点12 有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 知识点13 有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 知识点14 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 知识点15 近似数 1. 接近实际数值的数，叫作近似数． 2. 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示． 3. 一般地，一个近似数四舍五人到哪一位，就说这个数精确到哪一位．例如（精确到0.01，或叫作精确到百分位）． 题型1：有理数的加减 1.（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2，（24-25七年级上·全国·期末）根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是（　　） A． B． C．1 D．4 3.有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，下列结论错误的是（   ） A．是小于1的正数 B． C． D． 4.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5.（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）如图，点和表示的数分别为和，下列式子中错误的是（    ） A． B． C． D． 6.（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，数轴上的点A，B，C分别表示数a，b，c给出下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②③④ 7.阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 题型2：有理数的乘除 1.已知|x|＝5，y＝3，且xy＜0，则x﹣y＝________． 2.已知|x|＝2，|y|＝3，且，则x﹣y的值为 ________． 3，有理数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＞0，则a、b、c中有________ 个正数． 4.（24-25七年级上·重庆·期中）如图所示，周长为4的圆沿着数轴无滑动地顺时针滚动．开始时，圆上一点落在数轴上，滚动一圈后，点落到了数轴上点处，且对应数为1；滚动若干圈后，当圆上点恰好落在数轴上，且它对应的数为9时，该圆从起始位置滚动的圈数为（ ） A．2圈 B．3圈 C．4圈 D．5圈 5.（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 6.如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第3个台阶上依次标着，且任意相邻三个台阶上数的积都相等．下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：从下到上前2022个台阶上的数的积是； 结论Ⅱ：数“”所在的台阶数用正整数k表示为 A．Ⅰ对Ⅱ错 B．Ⅰ错Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都错 7.如图是一个计算程序框图，若输入的值为，则输出的结果为（　　）    A． B． C． D．3 8.阅读下列材料： 计算：（）． 解法一：原式3412． 解法二：原式（）6． 解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法________是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）． 9.阅读下面解题过程： 计算： 解：原式 ① ＝（﹣15）÷（﹣5）② ＝﹣3． ③ （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第________步，错因是________，第二处是第________ 步，错因是________． （2）请你写出这道题正确的解答过程． 10. ． 11．计算： (1)； (2)； 题型3：倒数 1.（24-25七年级上·四川泸州·阶段练习）学完《有理数》之后，甲同学对乙同学说：“为最小的正整数，b是最大的负整数，c是倒数等于自身的有理数，你知道等于多少？”乙同学脱口答出正确答案是（   ） A．0 B． C．1或 D．1或2 2.若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则3的负倒数是 ． 3.（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）已知互为相反数且均不为，和互为倒数，，那么代数式 的值为 ． 4.（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知有理数a、b互为相反数且，c，d互为倒数，数轴上表示有理数m和的两个点相距3个单位长度，求的值． 5.（24-25七年级上·四川宜宾·期中）对于有理数a、b，定义运算：． (1)填空：________（填“”“”或“”）； (2)若m与互为倒数，n与互为相反数，求的值； (3)求的值． 题型4：有理数的乘方 1.的意义是（　　） A．4个相乘 B．4个相加 C．乘以4 D．的相反数 2.下列各数，，，，中，负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.已知有理数满足：，且，则请求的值． 4.等于（   ） A． B． C． D． 5.（24-25七年级上·山东济宁·期中）比较大小： （填或）． 6.《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 7.计算： ． 8.已知，若，则t的值为（   ） A． B． C． D． 9.已知，则的末尾数字是 ． 10.（1）填空：1.22＝ ；122＝ ；1202＝ ． （2）根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点怎样移动？ （3）利用上述规律，解答下列各题： 如果3.252＝10.5625，那么0.3252＝ ．如果x2＝105625，那么x＝ ． 11.阅读计算： 阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4… 回答下列三个问题： （1）验证：（4×0.25）100＝ ；4100×0.25100＝ ． （2）通过上述验证，归纳得出：（ab）n＝ ；（abc）n＝ ． （3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014． 12．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个．根据此规律，一个细胞经过6次分裂后可分裂成 个细胞． 13．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个． 根据此规律可得： (1)这样的一个细胞经过2次分裂后可分裂成　　个细胞； (2)这样的一个细胞经过5次分裂后可分裂成　　个细胞； (3)这样的一个细胞经过n（n为正整数）次分裂后可分裂成　　个细胞． 题型5：科学记数法 1.（2025·四川广元·中考真题）2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到千米/秒，用科学记数法表示这个速度为 米/秒． 2.（2025·天津南开·三模）2021年我国发布的《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，2020年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比2015年下降18.8%，比2005年下降48.4%，超额完成了我国向国际社会承诺的“到2020年下降40%~45%”的目标，累计少排放二氧化碳约58亿吨，基本扭转了二氧化碳排放快速增长的局面．其中数据58亿用科学计数法表示为，则数据所表示的原数应为（    ） A．58000000 B．580000000 C．5800000000 D．58000000000 3.如表所示的是琳琳作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（    ） 已知：60，求的值 A．4 B．5 C．6 D．7 4.根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值： （1）1.4249≈ （精确到百分位）； （2）0.02951≈ （精确到0.001）． （3）近似数1.23×105精确到 位，有 个有效数字． 5.（24-25七年级上·河南驻马店·期末）近似数1.50是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围是 ． 题型6：有理数混合运算的应用 1.小明从家到学校，先以的速度走了分钟，又以的速度走了分钟，则他全程的平均速度为（   ） A． B． C． D．无法计算 2．一列火车长200米， 以每分钟1200米的速度通过一座大桥，从车头到车尾一共用了2分钟．那么桥的长度是多少米？正确的算式是（    ） A． B． C． D． 3．2024年9月8日至11日，第二十四届中国国际投资贸易洽谈会在厦门举行，本次主题为“投资链接世界”，共吸引了120个国家和地区、18个国际组织、1000多个境内外政府机构及工商企业团组、近8万名客商参展参会．通过展览展示、会议论坛、项目对接和信息发布等多种形式，助力投资合作精准匹配，让国际资本进入中国、中国企业走向国际．为了确保本次洽谈会的顺利进行，厦门国际会议展览中心沿线加强警力巡逻，某巡警早上从会展路路口出发，骑摩托车在东西走向的会展路上巡逻，晚上停留在会展路A处，规定向东为正，向西为负，当天行驶记录如下（单位：千米）： (1)通过计算说明A处在会展路路口的什么方向？距离会展路路口有多远？ (2)若巡警所骑摩托车行驶1千米耗油0.05升，则这一天摩托车共耗油多少升？ 题型7：有理数的新定义运算 1.定义一种新运算：，例如．则的结果是（   ） A．10 B． C．15 D．20 2．定义一种新运算：，其中，如：，下列说法正确的个数是（   ）． ①； ②当，； ③ ． A．0 B．1 C．2 D．3 3．对于有理数x，y，定义一种新运算：，如：，则的值为 ． 4．定义运算，例如，，若，则m的值为 ． 题型8：绝对值1与-1化简 1.如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 2．若，则的值是（　　） A． B． C．2 D．1 3．若，则的值为 ． 4.有理数a，b，c都不为零，且，则 ． 5.若的最小值为3，则的值为 ． 题型9：数列求和 1.阅读探究：；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)你能用一个含有（为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 2．探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ． ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ． ③212－211－210－29－28－27－26＝ ． 3．阅读材料：求1+2+22+23+…+22020的值． 解：设 S=1+2+22+23+…22020①，①×2得：2S=2+22+23+24+…+22021②， ②﹣①得2S﹣S=22021﹣1，即S=1+2+22+23+…+22020=22021﹣1． 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+25； （2）求1+3+32+33+…+3n的值． (其中n为正整数) 4．观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 题型10：数轴动点求t 1.如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 2.（24-25七年级上·全国·假期作业）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 3．如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c，点B为中点，且a，c满． (1) ______， ______， ______； (2)点P从点A出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，点P，Q停止运动．设运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)若动点M从点A出发．以每秒4个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动至点B，再以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时，动点N从点C出发以每秒2个单位长度沿着数轴的负方向匀速运动至点O，到达O点后点N按原速度立即返回点C，当点N运动到点C时，点M，N停止运动，设运动时间为k秒，当，求k的值． 4．“数轴”是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．下面就让我们利用学习过的“数轴”来进行探索活动吧． 已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B两点之间的距离记为或，且，，请回答下列问题： (1)求________． (2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则________． (3)若点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x． ①当点P在点M、N之间（含M、N两点），请化简； ②若点P表示的数是1，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，当t为________秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是7． 5．数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 温故知新 1.下列计算结果相等为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2. （　　） A． B． C． D． 3.有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4.生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型，在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即：，请你推算的个位数字是(   ) A．6 B．4 C．2 D．8 5.①；②；③；④；⑤；⑥，其结果为正数的有几个（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6.定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有x*x＝0，x*（y*z）＝（x*y）+z，这里“+”号表示数的加法，则2023*2022的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7.（2025·宁夏银川·一模）若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面两行数： 第一行：4，，16，，36，…； 第二行：6，，18，，38，…． 则第二行中的第6个数是 ． 9.若，则a，的大小关系用“<”连接为 ． 10.观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 11.（1）已知（a+2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）2017的值． （2）若|x|＝3，|y|＝2，且x＞y，求x+y的值． 12.已知三个有理数a，b，c，其积是负数，其和是正数，当时，求代数式x2017﹣2x+2的值． 13.（24-25七年级上·北京东城·期中）若，互为倒数，，互为相反数，，的值 14.（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 15． “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 16.（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $