第2章 有理数的运算 讲义 -2026-2027学年浙教版七年级数学上册考点解惑

该初中数学有理数运算单元复习讲义以思维导图统领知识体系，系统梳理了加法、减法、乘法、除法、乘方及混合运算的法则、运算律和技巧，通过对比表格呈现符号规律、运算转化方法（如减法转加法、除法转乘法），清晰展现知识内在逻辑与重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题覆盖概念辨析（如倒数、科学记数法），中等题结合实际情境（如客流量变化、促销结算）培养应用意识，优质题创新融入新定义运算、程序流程图等题型提升运算能力与推理意识，配套拆项法、倒数法等技巧指导，助力不同层次学生自主复习，为教师精准教学提供支持。

第2章 有理数的运算 思维导图 2.1 有理数的加法 有理数加法法则 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。例如：(+3)+(+5)=+8，(-3)+(-5)=-8。 2. 异号两数相加： · 绝对值相等时，和为0，即互为相反数的两个数相加得0。例如：(+4)+(-4)=0。 · 绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如：(+7)+(-2)=+5，(-7)+(+2)=-5。 3. 一个数与0相加：仍得这个数。例如：，。 有理数加法的运算律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，公式表示为：a+b=b+a。 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，公式表示为：(a+b)+c=a+(b+c)。 利用运算律简化计算常用技巧：互为相反数的数先相加、同分母的数先相加、能凑成整数的数先相加、符号相同的数先相加，可大幅提升计算效率。 2.2 有理数的减法 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，公式表示为：a-b=a+(-b)。 该法则将有理数的减法运算转化为加法运算，体现了转化的数学思想。计算时需要同时改变两个符号：将减号变为加号，同时将减数变为它的相反数。例如：，(-5)-3=(-5)+(-3)=-8。 有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算可以统一为加法运算，即先把所有减法转化为加法，再按照有理数加法法则计算。例如：(-8)-(-3)+(+5)-(+7)=(-8)+(+3)+(+5)+(-7)，再分组计算得到结果。 省略加号的和的形式：在和式中，可以省略所有加号，只保留各项的性质符号，例如(-3)+(+5)+(-2)可以写成，读作“负3、正5、负2的和”，或读作“负3加5减2”。 加减混合运算常用技巧：先将同号的数相加，再计算异号两数的和，减少计算步骤降低出错率。 2.3 有理数的乘法 有理数乘法法则 1. 两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如：(-3)×(-4)=+12，(-3)×(+4)=-12。 2. 任何数与0相乘：都得0。例如：(-5)×0=0。 多个有理数相乘的符号法则 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正，再把所有因数的绝对值相乘得到积的绝对值。如果几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。例如：(-1)×(-2)×(-3)=-6，(-1)×(-2)×(+3)=+6，(-2)×3×0=0。 有理数乘法的运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，公式表示为：ab=ba。 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，公式表示为：(ab)c=a(bc)。 3. 分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，公式表示为：a(b+c)=ab+ac，反过来同样成立，可用于提取公因式简化计算。 倒数的概念 乘积为1的两个数互为倒数，若a和b互为倒数，则，反之也成立。注意： · 0没有倒数； · 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数； · 求分数的倒数，只需把分子分母颠倒位置，带分数要先化为假分数； · 倒数等于本身的数是1和-1。 2.4 有理数的除法 有理数除法法则 1. 法则一：转化为乘法：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数， 2. 法则二：直接确定符号与绝对值：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。例如：(-12)÷(-3)=4，(-12)÷(+3)=-4，。 两个法则的选择：当被除数或除数是分数，尤其是带分数时，用法则一（转化乘法约分）更简便；当被除数和除数都是整数，能整除时，用法则二更简便。 有理数的乘除混合运算 乘除是同级运算，按照从左到右的顺序计算，通常先把除法转化为乘法，再确定积的符号，最后计算结果。如果有括号，先算括号里面的。例如：(-12)÷(-3)×(-2)= (+4)×(-2)= -8。 2.5 有理数的乘方 乘方的基本概念 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次方”（或“a的n次幂”）。例如：在(-3)4中，底数是，指数是4，表示4个相乘，即(-3)×(-3)×(-3)×(-3)。 注意：当底数是负数或分数时，必须给底数加括号，否则意义会发生改变，例如：(-2)2表示2个相乘，结果为4，而表示的相反数，结果为，二者意义完全不同。 乘方的符号规律 1. 正数的任何次幂都是正数； 2. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 3. 0的任何正整数次幂都是0； 4. 特殊结论：1的任何次幂都是1，的奇次幂是，的偶次幂是1。 有理数的混合运算顺序 对于乘除和乘方的混合运算，先算乘方，再算乘除；同级运算，按照从左到右的顺序进行。 科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤a<10}，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。对于小于的数也可以类似表示，例如。 在科学记数法中，n等于原数的整数位数减1，例如原数1230000是7位整数，所以，表示为。 2.6 有理数的混合运算 有理数混合运算的运算顺序： 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。 运算技巧：计算过程中要灵活运用加法、乘法的运算律简化运算，适当改变运算顺序，减少计算量，提高准确率。例如：利用分配律可以避免先算括号内通分的繁琐步骤。 示例计算：计算，按照顺序：先算乘方，再算除法(-2)÷=(-2)×(-3)=6，再算绝对值，最后算加减：。 2.7 近似数 准确数与近似数 · 准确数：与实际完全符合的数叫做准确数，例如一个班级的学生人数是45人，这里的45就是准确数。 · 近似数：与实际接近但存在一定偏差的数叫做近似数，例如测量得到的身高、长度、重量等数据大多是近似数，我国的国土面积约为960万平方千米，这里的960万就是近似数。 精确度 近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。常见的精确度表述形式： 1. 精确到个位：例如3.1415≈3（精确到个位）； 2. 精确到十分位（或0.1）：例如3.1415≈3.1（精确到0.1）； 3. 精确到百分位（或0.01）：例如3.1415≈3.14（精确到0.01）； 4. 精确到十位、百位、千位等：对于较大的数，通常结合科学记数法表示精确度，例如近似数精确到百位，近似数精确到十位。 注意：带单位的近似数，确定精确度要结合单位判断，例如近似数1.2万，1.2万=12000，2在千位，所以1.2万精确到千位。 有效数字（浙教版要求） 从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。例如： · 近似数0.02030：左边第一个非0数字是2，末尾数字是0，有效数字是2、0、3、0，共4个； · 近似数1.20：有效数字是1、2、0，共3个； · 近似数：有效数字是1、6，共2个。 【类型一】倒数的定义 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，的倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间，该两点为（     ） A．点E和点F B．点F和点G C．点F和点G D．点G和点H 3．若，则“”表示的数为________． 【类型二】科学记数法 1．被誉为“中国天眼”的口径球面射电望远镜（）的馈源舱由6根馈源驱动钢丝绳通过索驱动系统，在巨大的反射面上进行超高精度的定位和跟踪．新华社记者2026年5月7日从运行和发展中心获悉，“中国天眼”这6根国外进口的馈源驱动钢丝绳将更换为6根国产巨型钢丝绳，其单根重达．由此估计，这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．截至年，河头老街已成为唐山市最具代表性的文旅新地标之一，融合了历史文脉与现代沉浸式体验，年接待超万人次．将数据万用科学记数法表示为，则（     ） A． B． C． D． 3．天宫空间站，是由中国自主建造的国家级太空实验室，也是世界上第3座多舱段在轨组装建造空间站，其所处轨道高度约为450000米，将数据450000用科学记数法表示成（）的形式，则n的值是______． 【类型三】近似数 1．已知圆周率，将π精确到百分位的结果是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 2．自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 3．用四舍五入法将近似数精确到个位的结果是_____． 【类型四】幂的概念 1．表示（   ） A． B． C． D． 2．计算（   ） A． B． C． D． 3．的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【类型五】有理数的加法 1．计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 2．如图，在水平放置的数轴上从左到右依次有A、B两点，若点A表示的数为，，则点B表示的数为______． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【类型六】有理数的减法 1．计算的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 2．已知数轴上点表示的数是，点B到点A距离为3，则点B表示的数是______． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【类型七】有理数的乘法 1．计算：（   ） A．12 B． C．8 D． 2．计算_______． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【类型八】有理数的除法 1．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 2．_______ 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【类型九】有理数的乘方 1．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2026 2．下列各数中：，，，，，负数有_______个． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【类型十】有理数的混合运算 1．计算：. 2．计算：． 3．计算：． 【类型一】有理数的加法运算律 1．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 2．计算：_______． 3．计算： (1)； (2)． 【类型二】有理数的乘法运算律 1．算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 2．计算：________． 3．请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【类型三】有理数加减混合应用 1．做数学游戏，其乐无穷，游戏规则：①每人每次抽取张卡片，如果抽到方块卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到阴影卡片，那么减去卡片的数字；②比较两人所抽张卡片上的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到图中的张卡片，小丽抽到图中张卡片，你知道本次游戏的获胜者是谁吗？请说明理由． 2．某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 (1)10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； (2)通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 3．学校科技节上，小华制作的“慧湖机器人”在一条东西方向的跑道上进行取卡片比赛，从O点出发依次取得A，B，C，D，E五张卡片，取得全部卡片后再返回出发点算完成一次全程比赛．约定向东为正方向，取得五张卡片的移动记录（单位：米）如下： ． (1)请准确描述出卡片B的具体位置； (2)该机器人完成一次全程比赛共移动的路程为多少米？ 【类型四】有理数乘除混合应用 1．促销问题某商场店庆促销，全部商品打八折，直播设备在八折基础上又推出以下三种优惠结算方式． 现金支付：八五折 A平台支付：每实付500元返100元 B平台支付：随机减免金额（元） 小涵购买了一台原价1000元的直播设备，选择用B平台支付，随机减免了104元．小涵选用的结算方式是最划算的吗？请通过计算进行说明． 2．为了杜绝酒后驾驶，渝北一名交警骑着警车在桃源大道上巡逻，约定向南为正方向，从出发点A开始依次所走的路程为（单位：千米）：，，，，，，，． (1)请你帮忙确定交警最后所在地相对于地的方位，距离地多远？ (2)该交警在以上8次巡逻过程中，第_____次离出发点A最远，最远离点A_____千米． (3)若警车每100千米耗油20升，每升汽油元，如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻（含返回）消耗的汽油需要多少钱？ 3．琪琪记录了周一到周五储蓄罐中零花钱的变化（罐中原有60元）： 星期 一 二 三 四 五 变化量（元） 0 求： (1)这五天琪琪一共花了多少零花钱？ (2)哪天储蓄罐中零花钱最多，最多是多少？ (3)琪琪想从记录的五个变化量的数字中选4个，每个数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，请你帮她写出两个算式． 【类型五】有理数乘方应用 1．一种细胞，每经过分裂一次，每次每个细胞分裂成2个．那么，1个细胞经过能分裂成多少个？ 2．如图是一卷绕紧的纸，纸卷直径为14厘米，中间有一个直径为4厘米的卷轴，已知纸厚厘米，这卷纸全部完全展开后长度大约是多少米？（数值精确到小数点后一位，取） 3．如图，从卫生纸的包装纸上得到以下信息：300格，每格，如图①；用尺子量出整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，如图②．求卫生纸的厚度．（取3） 【类型六】倒数法 1．我们知道对于非零有理数与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数．现有一个计算题：． (1)若将看成，将看成，请写出的倒数，并利用上述方法将该题解答完整； (2)运用上述方法，计算：． 2．由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数后，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果，下面是小明的计算过程： 解：原式的倒数为 故原式 请你根据对小明方法的理解，计算 3．阅读以下题目解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得到原式的值． 解：先求原式的倒数． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算： 【类型七】拆项法 1．先阅读解答过程，再回答问题： 计算：． 解： ． 上面的方法叫作拆项法．依照拆项法计算：． 2．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式， ， ， ，以上解题方法叫做拆项法． 拆项法常用在带分数中，将带分数转化为整数与真分数的和，再将所有的真整数和所有的真分数分别相加，从而达到简便运算的目的．仿照上面的方法，计算： (1) ； (2)． 3．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【类型八】规律问题 1．探究“（其中）”（表示一个两位数，十位数字是，个位数字是，）的计算规律：①；②；③．．．通过上述计算发现： 将十位数字与相乘，所得结果作为积的前两位数字； 将个位数字与相乘，所得结果作为积的后两位数字，若结果为一位数，则在其前面加0． 【规律探究】 （1）按此规律计算：___________，___________； （2）用含的等式归纳上述规律，请完成填空： （   ）+（　　）（其中）． 【问题解决】 （3）请运用上述规律计算：． 2．观察右边算式的规律：，，，，… (1)用含有字母的式子表示规律：（　　） (2)用规律进行计算：（　　） 3．规律探究： ；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)请用一个含有n（n为正整数）的等式表示题目中的规律________________； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 【类型一】格子乘法 1．明代《算法统宗》一书将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数46写在方格上面，乘数75写在方格右面，然后用乘数46的每位数字乘以乘数75的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来（满十进一），即得3450，如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘的结果为2176，则a和m的值可能为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，即得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的值是（   ） A．6 B．9 C．3 D．0 3．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则____． 【类型二】二进制 1．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干个数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制45是二进制下的（   ） A．5位数 B．6位数 C．7位数 D．8位数 2．二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用下标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 根据以上材料，把234转换为五进制数是（    ） A． B． C． D． 3．在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么二进制中的11101表示十进制中的________． 【类型三】程序流程图 1．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，求最后输出的结果是（   ） A． B． C． D． 2．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出值为（   ） A． B． C． D． 3．如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题，当输入的数为时，最后输出的结果是 ______． 【类型四】新定义运算 1．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知a、b皆为正有理数，定义运算符号“”表示一种新的运算，它是这样定义的：．则的值等于（   ） A． B．5 C． D．10 3．定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算__________ 【类型五】幻方、幻圆问题 1．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，除了教材介绍的常规幻方，还有变形幻方，下面介绍一个．现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有类似的“幻方”如图2所示，其中有两个数和2，则的值是（）    A． B． C．8 D．16 2．《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏．如图所示，将数字1，2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方：一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（   ） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 A．505 B．500 C．510 D．515 3．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等，我们称为“积幻方”．下左图是“和幻方”，右图为“积幻方”，则________． 4 3 8 m 1.5 9 5 1 n 2 7 6 6 1 4.5 【类型六】算24点 1．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出一个运算结果为24的算式：___________； (2)如果表示正，表示负，请你用（1）中的4张牌表示的数写出一个运算结果为24算式：___________． 2．“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 3．玩个“24点”游戏！从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌有且仅用一次，可以加括号），使得运算结果为24或．其中红色扑克牌表示负数，黑色扑克牌表示正数，一副去掉大小王的扑克牌一半是红色（红桃和方块），一半是黑色（黑桃，草花），J，Q，K分别表示11，12，13． (1)小飞抽到了黑桃3，黑桃7，红挑7，方块7，你能按游戏规则凑成“24点”吗？ (2)如果抽到了黑桃3，黑桃7，草花3，草花7，你能按游戏规则凑成“24点”吗？ 【类型七】有理数的圈次方 1．定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“的圈次方”．特别地，规定：． (1)【初步探究】直接写出计算结果：__________，__________； (2)若为任意正整数，下列关于除方的说法中，不正确的有__________；（填写序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1；②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈次方等于它本身的数是1或-1；④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)【深入思考】我们知道，有理数的乘方运算可以转化成乘法运算，从而得出结果．有理数的除方运算和我们熟悉的有理数运算一起进行混合运算，该如何进行？有理数的除方与有理数的乘方有何联系？请完成以下问题： ①计算 ②请直接写出2025圈次方与之间的联系__________． 2．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果是______； （2）关于除方，下列说法错误的是______；（填序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②对于任何正整数，1的圈次方都等于1； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算 （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； （4）计算： 3．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果：_____，_____． (2)关于除方，下列说法错误的是_____．（填序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1；②对于任何正整数的圈次方都等于1；③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)算一算：． 【类型八】绝对值“1”与“-1”化简 1．我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： (1)若a，b都是有理数，，，且，求a＋b的值； (2)若a，b都是非零的有理数，且满足a，b同号，求的值． 2．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)已知a，b是有理数，当时，试求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 3．阅读下列材料：，即当时，；当时， 请用以上结论解决下列问题： (1)有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______；______；______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【类型九】数列求和 1．阅读下列例题： 计算：． 解：设，① 那么．② ②①，得． 所以原式． 仿照上面的例题计算： ． 2．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是________． (2)受（1）的启发，试求出的值． (3)进而计算：________． 3．如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【类型十】裂项求和 1．观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得： ，计算： (1)； (2)； (3)； 2．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：其中是正整数．现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式：①；②；③； (1)把①、②、③三个等式相加，则_______ (2)__________ (3)根据以上观察，聪明的你发现__________ (4)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： 3．我们知道：，，，，． 试根据以上规律，解答下列问题： (1)计算：． (2)将2025减去它的，再减去余下的，再减去余下的，．以此类推，直到减去余下的，最后的结果是多少？ (3)（选做题）计算： ． 1．（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）2025年12月4日，“春节-中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．2026年是第一个“非遗版”春节，某电商平台年货节期间，河南特产销售总额突破了12600000000元．将数据“12600000000”用科学记数法表示为（     ） A．1 B． C． D． 2．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）下列说法：①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④0是最小的有理数；⑤数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑥近似数与的精确度相同；⑦近似数精确到千位；其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）下列有理数的运算中正确的有___________（填序号） ①   ②   ③    ④ 6．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为______． 7．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算或化简： (1)； (2)． 9．（25-26七年级上·河南洛阳·阶段检测）河南是全国小麦主产区，某粮库收购了一批来自新乡延津的优质强筋小麦，袋小麦的称重记录（单位：）如下： (1)袋小麦一共多少？ (2)如果每袋小麦以为质量标准，袋小麦总计超过多少或不足多少？ 10．（25-26九年级下·湖北孝感·阶段检测）综合与实践 素材1 进位制是为了计数和运算方便约定的计数系统，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．其中十进制数“1024”记作1024，二进制数“1011”记作，五进制数“1024”记作等． 素材2 例：八进制数“1024”转换成十进制数为：．其他进位制也有类似的算法… 素材3 将十进制数转换为与其相等的进制数，用十进制的数除以，然后将商继续除以，直到商为0，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：把十进制数66转换为七进制． 任务：请同学们认真阅读上面素材，解决下面的题目： (1)把转换为十进制数为 ；把十进制数21转换为三进制数为 ． (2)请尝试将转换为五进制数． 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨某天的最低气温为，最高气温为，则这一天的温差（最高温度和最低温度的差）是（  ）℃ A． B．15 C． D．0 2．（25-26九年级下·吉林长春·期中）下列式子计算的结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·广东东莞·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 5．（25-26七年级上·广东东莞·期中）的倒数是__________． 6．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）定义一种运算：．例如：．那么______． 7．（25-26七年级下·云南昭通·期中）“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 8．（25-26七年级上·江西宜春·期中）计算： (1) (2)． 9．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 10．（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 1．（25-26九年级下·天津·期末）将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广西河池·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）．以2026年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为（   ） A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上的三个点A，B，C所表示的数分别为a，1，c，其中且，则A，B，C三点在数轴上的位置从左到右的顺序依次为（    ） A．C，A，B B．B，A，C C．C，B，A D．A，B，C 5．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）_____． 6．（25-26六年级上·山东东营·期末）如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是____________． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期末）大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三．这些彩灯最少有_____盏． 8．（25-26七年级上·广东惠州·期末）方方和圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② ③ 圆圆： ① ② ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）； (2)写出你的计算过程． 9．（25-26七年级上·河北保定·期末）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（     ） A．乘法交换律        B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律    D．加法结合律 (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 10．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数的运算 思维导图 2.1 有理数的加法 有理数加法法则 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。例如：(+3)+(+5)=+8，(-3)+(-5)=-8。 2. 异号两数相加： · 绝对值相等时，和为0，即互为相反数的两个数相加得0。例如：(+4)+(-4)=0。 · 绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如：(+7)+(-2)=+5，(-7)+(+2)=-5。 3. 一个数与0相加：仍得这个数。例如：，。 有理数加法的运算律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，公式表示为：a+b=b+a。 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，公式表示为：(a+b)+c=a+(b+c)。 利用运算律简化计算常用技巧：互为相反数的数先相加、同分母的数先相加、能凑成整数的数先相加、符号相同的数先相加，可大幅提升计算效率。 2.2 有理数的减法 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，公式表示为：a-b=a+(-b)。 该法则将有理数的减法运算转化为加法运算，体现了转化的数学思想。计算时需要同时改变两个符号：将减号变为加号，同时将减数变为它的相反数。例如：，(-5)-3=(-5)+(-3)=-8。 有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算可以统一为加法运算，即先把所有减法转化为加法，再按照有理数加法法则计算。例如：(-8)-(-3)+(+5)-(+7)=(-8)+(+3)+(+5)+(-7)，再分组计算得到结果。 省略加号的和的形式：在和式中，可以省略所有加号，只保留各项的性质符号，例如(-3)+(+5)+(-2)可以写成，读作“负3、正5、负2的和”，或读作“负3加5减2”。 加减混合运算常用技巧：先将同号的数相加，再计算异号两数的和，减少计算步骤降低出错率。 2.3 有理数的乘法 有理数乘法法则 1. 两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如：(-3)×(-4)=+12，(-3)×(+4)=-12。 2. 任何数与0相乘：都得0。例如：(-5)×0=0。 多个有理数相乘的符号法则 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正，再把所有因数的绝对值相乘得到积的绝对值。如果几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。例如：(-1)×(-2)×(-3)=-6，(-1)×(-2)×(+3)=+6，(-2)×3×0=0。 有理数乘法的运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，公式表示为：ab=ba。 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，公式表示为：(ab)c=a(bc)。 3. 分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，公式表示为：a(b+c)=ab+ac，反过来同样成立，可用于提取公因式简化计算。 倒数的概念 乘积为1的两个数互为倒数，若a和b互为倒数，则，反之也成立。注意： · 0没有倒数； · 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数； · 求分数的倒数，只需把分子分母颠倒位置，带分数要先化为假分数； · 倒数等于本身的数是1和-1。 2.4 有理数的除法 有理数除法法则 1. 法则一：转化为乘法：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数， 2. 法则二：直接确定符号与绝对值：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。例如：(-12)÷(-3)=4，(-12)÷(+3)=-4，。 两个法则的选择：当被除数或除数是分数，尤其是带分数时，用法则一（转化乘法约分）更简便；当被除数和除数都是整数，能整除时，用法则二更简便。 有理数的乘除混合运算 乘除是同级运算，按照从左到右的顺序计算，通常先把除法转化为乘法，再确定积的符号，最后计算结果。如果有括号，先算括号里面的。例如：(-12)÷(-3)×(-2)= (+4)×(-2)= -8。 2.5 有理数的乘方 乘方的基本概念 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次方”（或“a的n次幂”）。例如：在(-3)4中，底数是，指数是4，表示4个相乘，即(-3)×(-3)×(-3)×(-3)。 注意：当底数是负数或分数时，必须给底数加括号，否则意义会发生改变，例如：(-2)2表示2个相乘，结果为4，而表示的相反数，结果为，二者意义完全不同。 乘方的符号规律 1. 正数的任何次幂都是正数； 2. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 3. 0的任何正整数次幂都是0； 4. 特殊结论：1的任何次幂都是1，的奇次幂是，的偶次幂是1。 有理数的混合运算顺序 对于乘除和乘方的混合运算，先算乘方，再算乘除；同级运算，按照从左到右的顺序进行。 科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤a<10}，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。对于小于的数也可以类似表示，例如。 在科学记数法中，n等于原数的整数位数减1，例如原数1230000是7位整数，所以，表示为。 2.6 有理数的混合运算 有理数混合运算的运算顺序： 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。 运算技巧：计算过程中要灵活运用加法、乘法的运算律简化运算，适当改变运算顺序，减少计算量，提高准确率。例如：利用分配律可以避免先算括号内通分的繁琐步骤。 示例计算：计算，按照顺序：先算乘方，再算除法(-2)÷=(-2)×(-3)=6，再算绝对值，最后算加减：。 2.7 近似数 准确数与近似数 · 准确数：与实际完全符合的数叫做准确数，例如一个班级的学生人数是45人，这里的45就是准确数。 · 近似数：与实际接近但存在一定偏差的数叫做近似数，例如测量得到的身高、长度、重量等数据大多是近似数，我国的国土面积约为960万平方千米，这里的960万就是近似数。 精确度 近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。常见的精确度表述形式： 1. 精确到个位：例如3.1415≈3（精确到个位）； 2. 精确到十分位（或0.1）：例如3.1415≈3.1（精确到0.1）； 3. 精确到百分位（或0.01）：例如3.1415≈3.14（精确到0.01）； 4. 精确到十位、百位、千位等：对于较大的数，通常结合科学记数法表示精确度，例如近似数精确到百位，近似数精确到十位。 注意：带单位的近似数，确定精确度要结合单位判断，例如近似数1.2万，1.2万=12000，2在千位，所以1.2万精确到千位。 有效数字（浙教版要求） 从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。例如： · 近似数0.02030：左边第一个非0数字是2，末尾数字是0，有效数字是2、0、3、0，共4个； · 近似数1.20：有效数字是1、2、0，共3个； · 近似数：有效数字是1、6，共2个。 【类型一】倒数的定义 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 乘积为的两个数互为倒数，又 ， ∴ 的倒数是． 2．如图，的倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间，该两点为（     ） A．点E和点F B．点F和点G C．点F和点G D．点G和点H 【答案】D 【分析】先求出的倒数是，再结合数轴解答即可； 【详解】解：的倒数是， 从数轴可知，点对应数字，点对应数字，满足， ∴的倒数位于点和点之间． 3．若，则“”表示的数为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴与互为倒数， ∴． 【类型二】科学记数法 1．被誉为“中国天眼”的口径球面射电望远镜（）的馈源舱由6根馈源驱动钢丝绳通过索驱动系统，在巨大的反射面上进行超高精度的定位和跟踪．新华社记者2026年5月7日从运行和发展中心获悉，“中国天眼”这6根国外进口的馈源驱动钢丝绳将更换为6根国产巨型钢丝绳，其单根重达．由此估计，这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出6根国产巨型钢丝绳的总质量，再将单位由转化为，然后用科学记数法表示出来即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：6根国产巨型钢丝绳的总质量为， ， 即这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为． 2．截至年，河头老街已成为唐山市最具代表性的文旅新地标之一，融合了历史文脉与现代沉浸式体验，年接待超万人次．将数据万用科学记数法表示为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成的形式，其中，n是比原整数位数少1的数．本题考查科学记数法的表示方法．先将800万改写为普通整数，再根据科学记数法的定义确定指数n的值即可． 【详解】∵ 万， 将用科学记数法表示为 ，对比的形式， ∴ ， 故选C． 3．天宫空间站，是由中国自主建造的国家级太空实验室，也是世界上第3座多舱段在轨组装建造空间站，其所处轨道高度约为450000米，将数据450000用科学记数法表示成（）的形式，则n的值是______． 【答案】5 【详解】解：， 因此． 【类型三】近似数 1．已知圆周率，将π精确到百分位的结果是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 【答案】B 【分析】精确到百分位即保留小数点后两位，只需观察千分位数字进行四舍五入即可得到结果． 【详解】将π精确到百分位的结果是3.14． 2．自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，李中水上森林景区累计接待游客超万人次．该近似数万精确到（   ）位． A．十 B．百 C．千 D．万 【答案】C 【分析】判断带单位的近似数的精确位数，需先将数还原为原数，再确定末位有效数字所在的数位． 【详解】解：∵万 ∴原数中末位数字9位于千位 ∴万精确到千位． 3．用四舍五入法将近似数精确到个位的结果是_____． 【答案】 【详解】解：根据四舍五入法则，的十分位数字为，需向个位进，因此（精确到个位）． 【类型四】幂的概念 1．表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数幂的概念，进行判断即可. 【详解】解：由题意，表示3个2相乘，即. 2．计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 3．的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【分析】本题考查幂的底数和指数的概念，需注意负号的位置，区分整体底数与运算符号． 根据乘方的相关概念作答即可． 【详解】对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 【类型五】有理数的加法 1．计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可． 【详解】解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得． ∴． 2．如图，在水平放置的数轴上从左到右依次有A、B两点，若点A表示的数为，，则点B表示的数为______． 【答案】3 【分析】结合B点在A点的右侧，且点A表示的数为，，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点B表示的数为． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3 (2)0 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （3）根据有理数加法的结合律计算即可； （4）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （5）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （6）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【类型六】有理数的减法 1．计算的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．已知数轴上点表示的数是，点B到点A距离为3，则点B表示的数是______． 【答案】或 【分析】分点在点右侧和点在点左侧两种情况，分别列式计算即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，点到点的距离为， 当点在点右侧时，点表示的数为， 当点在点左侧时，点表示的数为， 综上：点B表示的数是或． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的减法，有理数的减法法则是减去一个数等于加上这个数的相反数，解决本题的关键是先根据有理数的减法法则把减法运算转化为加法运算，再根据有理数的加法法则进行计算． (1)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； (2)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； (3)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； (4)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； (5)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； (6)根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【类型七】有理数的乘法 1．计算：（   ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘法运算，掌握有理数乘法法则即可直接计算出结果． 【详解】解：． 2．计算_______． 【答案】 21 【分析】本题主要考查有理数的乘法，解答的关键是掌握运算法则． 根据有理数乘法法则，同号得正，异号得负，并将绝对值相乘，先计算前两个数的积，再与第三个数相乘． 【详解】解：． 故答案为：21． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 【类型八】有理数的除法 1．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除，即可计算出结果． 【详解】解：． 2．_______ 【答案】 【分析】根据有理数除法法则将除法运算转化为乘法运算，再约分计算即可． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘除运算，熟练掌握有理数的乘除运算是解题的关键； （1）根据有理数的乘法及除法运算可进行求解； （2）根据有理数的除法运算可进行求解； （3）根据有理数的乘法及除法运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【类型九】有理数的乘方 1．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2026 【答案】B 【分析】负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负． 【详解】∵是偶数，根据乘方运算规则，的偶次幂结果为， ∴． 故选：B． 2．下列各数中：，，，，，负数有_______个． 【答案】2 【分析】根据有理数乘方、相反数、绝对值的运算法则化简各数，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 【详解】解：依次化简各数：，结果为负数； ，结果为正数； ，结果为正数； ，结果为正数； ，结果为负数； 综上，负数共有个． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键． （1）根据有理数乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【类型十】有理数的混合运算 1．计算：. 【答案】 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 【类型一】有理数的加法运算律 1．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 2．计算：_______． 【答案】1008 【分析】本题考查有理数加法的简便运算，从左边第一个数开始，相邻的两个数为一组，每组的值为，共有组还剩余2015，由此可解，正确分组是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：1008． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，能利用有理数加法的交换律和结合律简化运算是解题的关键． （1）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可； （2）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【类型二】有理数的乘法运算律 1．算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 2．计算：________． 【答案】236898 【详解】解：原式． 3．请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)11988 (2)99900 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再结合乘法运算律计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【类型三】有理数加减混合应用 1．做数学游戏，其乐无穷，游戏规则：①每人每次抽取张卡片，如果抽到方块卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到阴影卡片，那么减去卡片的数字；②比较两人所抽张卡片上的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到图中的张卡片，小丽抽到图中张卡片，你知道本次游戏的获胜者是谁吗？请说明理由． 【答案】小明获胜，理由如下： 小明的得分：， 小丽的得分：， ， 小明获胜． 【分析】根据规则分别计算出小明和小丽的计算结果，通过比较得到获胜者． 【详解】略． 2．某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 (1)10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； (2)通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 【答案】(1)，， (2)少万人 【分析】分别计算出各天的人数即可求解． 【详解】（1）解：∵日：； 日：； 日：； ∴； ∴月日的客流量比月日的客流量少万人； 日：； 日：； 日：； 日：； 日：； ∵， ∴日的客流量最多，日的客流量最少； 故答案为：， （2）解：∵， ∴月日的客流量比月日的客流量少万人． 3．学校科技节上，小华制作的“慧湖机器人”在一条东西方向的跑道上进行取卡片比赛，从O点出发依次取得A，B，C，D，E五张卡片，取得全部卡片后再返回出发点算完成一次全程比赛．约定向东为正方向，取得五张卡片的移动记录（单位：米）如下： ． (1)请准确描述出卡片B的具体位置； (2)该机器人完成一次全程比赛共移动的路程为多少米？ 【答案】(1)卡片B在出发点O点西侧1米处 (2)36米 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减混合运算的实际应用． （1）计算的和，根据结果的符号计算即可； （2）先求出从E点返回O点的路程，再将求得的返回路程与各次移动记录数据的绝对值相加即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴卡片B在出发点O点西侧1米处； （2）解：机器人最终位置的坐标为：（米）处，从该点返回 点的路程为 （米）， 机器人完成一次全程比赛共移动的路程为： （米）． 【类型四】有理数乘除混合应用 1．促销问题某商场店庆促销，全部商品打八折，直播设备在八折基础上又推出以下三种优惠结算方式． 现金支付：八五折 A平台支付：每实付500元返100元 B平台支付：随机减免金额（元） 小涵购买了一台原价1000元的直播设备，选择用B平台支付，随机减免了104元．小涵选用的结算方式是最划算的吗？请通过计算进行说明． 【答案】小涵选用的不是最划算的，应选择现金支付 【分析】分别计算出现金支付、A平台支付、B平台支付的实际金额，比较即可． 【详解】解：（元）， 现金支付：（元）； A平台支付：余300，（元）； B平台支付：（元）， ， 答：小涵选用的不是最划算的，应选择现金支付． 2．为了杜绝酒后驾驶，渝北一名交警骑着警车在桃源大道上巡逻，约定向南为正方向，从出发点A开始依次所走的路程为（单位：千米）：，，，，，，，． (1)请你帮忙确定交警最后所在地相对于地的方位，距离地多远？ (2)该交警在以上8次巡逻过程中，第_____次离出发点A最远，最远离点A_____千米． (3)若警车每100千米耗油20升，每升汽油元，如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻（含返回）消耗的汽油需要多少钱？ 【答案】(1)交警最后所在地在地南边，距离地20千米 (2)， (3)元 【分析】本题考查了正负数的应用、绝对值、有理数四则混合运算的应用，正确列出运算式子是解题关键． （1）将从出发点开始依次所走的路程求和即可得； （2）求出第次分别离出发点地的距离，再比较大小即可得； （3）先求出这次巡逻（含返回）所走的总路程，再求出总耗油量，然后乘以每升汽油的价格即可得． 【详解】（1）解： （千米）， 因为， 所以交警最后所在地在地南边，距离地20千米． （2）解：第1次离出发点地的距离为（千米）， 第2次离出发点地的距离为（千米）， 第3次离出发点地的距离为（千米）， 第4次离出发点地的距离为（千米）， 第5次离出发点地的距离为（千米）， 第6次离出发点地的距离为（千米）， 第7次离出发点地的距离为（千米）， 第8次离出发点地的距离为（千米）， 由此可知，第7次离出发点最远，最远离地27千米， 故答案为：，． （3）解：该交警在8次巡逻（不含返回）过程中，所走的总路程为 （千米）， ∵队长命令他马上返回出发点，且交警最后所在地距离地20千米， ∴这次巡逻（含返回）所走的总路程为（千米）， 又∵警车每100千米耗油20升，每升汽油元， ∴ （元）， 答：这次巡逻（含返回）消耗的汽油需要元． 3．琪琪记录了周一到周五储蓄罐中零花钱的变化（罐中原有60元）： 星期 一 二 三 四 五 变化量（元） 0 求： (1)这五天琪琪一共花了多少零花钱？ (2)哪天储蓄罐中零花钱最多，最多是多少？ (3)琪琪想从记录的五个变化量的数字中选4个，每个数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，请你帮她写出两个算式． 【答案】(1)8元 (2)周四最多，最多是64元 (3)见解析 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）将这五天支出的钱进行加起来计算即可； （2）将这五天每天的储蓄罐中的零花钱计算出来即可； （3）利用有理数的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解：， 答：一共花了8元； （2）解：周一：（元）， 周二：（元） 周三：（元）， 周四：（元） 周五：（元） ∵， ∴周四最多，最多是64元； （3）解：由题意可得，①， ②， ③， ④， 【类型五】有理数乘方应用 1．一种细胞，每经过分裂一次，每次每个细胞分裂成2个．那么，1个细胞经过能分裂成多少个？ 【答案】个 【分析】本题考查了有理数的乘方应用，先理解题意，得里面有6个，根据每经过分裂一次，每次每个细胞分裂成2个，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，里面有6个， ∵每经过分裂一次，每次每个细胞分裂成2个． ∴， 即1个细胞经过能分裂成个． 2．如图是一卷绕紧的纸，纸卷直径为14厘米，中间有一个直径为4厘米的卷轴，已知纸厚厘米，这卷纸全部完全展开后长度大约是多少米？（数值精确到小数点后一位，取） 【答案】这卷纸展开后大约是35.3米 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据等面积法列算式进行求解即可． 【详解】解：利用体积不变可得：（厘米）， 厘米米米， 答：这卷纸展开后大约是35.3米． 3．如图，从卫生纸的包装纸上得到以下信息：300格，每格，如图①；用尺子量出整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，如图②．求卫生纸的厚度．（取3） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，有理数的乘除的混合应用，圆柱的体积，正确掌握相关性质是解题的关键． 先结合整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，且运用圆柱的体积公式进行列式计算可得整卷卫生纸的体积，再根据图中的数据信息进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和， ∴整卷卫生纸的体积， 则卫生纸的厚度． 【类型六】倒数法 1．我们知道对于非零有理数与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数．现有一个计算题：． (1)若将看成，将看成，请写出的倒数，并利用上述方法将该题解答完整； (2)运用上述方法，计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查除法运算及倒数关系的应用，有理数的乘法运算．对于非零有理数 和 ，有 ． （1）先求出原式的倒数，再计算，取倒数即得到原式的值； （2）先求出原式的倒数，再计算，取倒数即得到原式的值，计算过程中需注意分数的通分和运算顺序． 【详解】（1）解：的倒数是：， ． ∴； （2）解：的倒数是：， ， 所以 ． 2．由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数后，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果，下面是小明的计算过程： 解：原式的倒数为 故原式 请你根据对小明方法的理解，计算 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的灵活运用是解题的关键． 先计算的倒数，利用法分配律计算，最后把计算的结果求倒数即可求解． 【详解】解：原式的倒数为 ， 故原式． 3．阅读以下题目解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得到原式的值． 解：先求原式的倒数． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，理解材料所给的方法是解题的关键． 仿照材料中的方法，利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得到原式的值． 【详解】解：先求原式的倒数， ， 所以原式． 【类型七】拆项法 1．先阅读解答过程，再回答问题： 计算：． 解： ． 上面的方法叫作拆项法．依照拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，读懂题意，理解拆项法是解决问题的关键．按照拆项法先将带分数拆成整数部分与分数部分，然后分别把整数部分、分数部分相加，最后由异分母分数加法运算求解即可得到答案， 【详解】解： ． 2．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式， ， ， ，以上解题方法叫做拆项法． 拆项法常用在带分数中，将带分数转化为整数与真分数的和，再将所有的真整数和所有的真分数分别相加，从而达到简便运算的目的．仿照上面的方法，计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）根据“拆项法”以及加法交换律和结合律计算即可． （2）根据“拆项法”以及加法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：； （2）解：原式 ． 3．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【答案】 【分析】利用题目提供的方法计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解答本题的关键． 【类型八】规律问题 1．探究“（其中）”（表示一个两位数，十位数字是，个位数字是，）的计算规律：①；②；③．．．通过上述计算发现： 将十位数字与相乘，所得结果作为积的前两位数字； 将个位数字与相乘，所得结果作为积的后两位数字，若结果为一位数，则在其前面加0． 【规律探究】 （1）按此规律计算：___________，___________； （2）用含的等式归纳上述规律，请完成填空： （   ）+（　　）（其中）． 【问题解决】 （3）请运用上述规律计算：． 【答案】（1）2025，7221；（2）；（3）10000 【分析】本题主要考查数式规律探究，有理数混合运算，解答的关键是理解清楚题意及对相应的运算法则的掌握． 〖规律探究〗（1）根据题示规律用100乘十位数字，再乘比十位数字大1的数，所得的结果加上两个个位数字的积，就得到这两个两位数的积，计算即可； （2）根据题示规律用100乘十位数字，再乘比十位数字大1的数，所得的结果加上两个个位数字的积，就得到这两个两位数的积，列式表示即可； 〖问题解决〗（3）根据（2）的规律，计算即可． 【详解】解：〖规律探究〗 （1）， ， 故答案为：2025；7221； （2）， 故答案为：；； 〖问题解决〗 （3） ． 2．观察右边算式的规律：，，，，… (1)用含有字母的式子表示规律：（　　） (2)用规律进行计算：（　　） 【答案】(1) (2)210 【分析】本题考查找规律，有理数的混合运算，观察算式，找到算式的规律，应用发现的规律解决问题是解题的关键． （1）观察算式，发现规律，相邻两个自然数（0除外）的平方差等于这两个数的和，据此规律写出用字母n表示的式子； （2）直接用算式的规律计算出算式的结果即可． 【详解】（1）解： ， 所以用含有字母n的式子表示规律：， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：． 3．规律探究： ；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)请用一个含有n（n为正整数）的等式表示题目中的规律________________； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)55 (2) (3)1630 【分析】本题考查了数字类规律探究，找出规律是解答本题的关键． （1）根据已知算式特点写出答案即可； （2）观察已知算式的特点写出等式即可； （3）根据（2）中总结的规律求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 【类型一】格子乘法 1．明代《算法统宗》一书将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数46写在方格上面，乘数75写在方格右面，然后用乘数46的每位数字乘以乘数75的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来（满十进一），即得3450，如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘的结果为2176，则a和m的值可能为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了“铺地锦”乘法计算方法的理解与应用，解题的关键是根据斜行相加的进位规则，结合乘积2176的各位数字，通过代入选项验证确定和的可能值． 根据“铺地锦”规则，结果2176的十位数字为，结合图中格子数字和的位置关系，可得的个位数字为，即（舍去，选项无此答案）或结合进位分析，十位斜行相加为；同时千位和百位的数字组合需满足21的结果，结合选项中的取值，代入验证的合理性． 【详解】解：由“铺地锦”计算规则，结果2176的十位数字为，对应图中十位斜行相加的结果个位为，即的个位为（或含进位情况）． 逐一分析选项： A、，，，此选项不符合题意； B、，，，此选项不符合题意； C、，，结合进位规则，（十位斜行），符合2176的数字特征，此选项符合题意； D、，，，此选项不符合题意． 故选：C． 2．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，即得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的值是（   ） A．6 B．9 C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，理解题中“铺地锦”的计算方法是关键；按照“铺地锦”的计算方法计算即可求解． 【详解】解：根据“铺地锦”的计算方法可得如图表格， 因此． 故选：B． 3．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则____． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；根据题中所给运算方法进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 因为这两个两位数相乘的结果为2176，所以， ∵m、n为正整数， ∴或， 当时，，因为b、c是10以内的正整数，所以不存在两个正整数的乘积是22，故不符合题意； ∴， ∴； 故答案为． 【类型二】二进制 1．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干个数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制45是二进制下的（   ） A．5位数 B．6位数 C．7位数 D．8位数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，将十进制数45转换为二进制数，需找到最大2的幂次不超过45，再根据系数确定位数，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，共6位数， 故选：B． 2．二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用下标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 根据以上材料，把234转换为五进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算． 根据十进制数转化为五进制数的方法可以将234转换为五进制数． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3．在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么二进制中的11101表示十进制中的________． 【答案】29 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据二进制转十进制的方法，将二进制数每一位乘以2的相应幂次方再求和． 【详解】解：二进制数11101可表示为： ， ， ， ， 故答案为：29． 【类型三】程序流程图 1．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，求最后输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与程序流程图有关的有理数计算，根据流程图计算即可求解，看懂流程图是解题的关键． 【详解】解：当输入的为时，， 当时，， ∴最后输出的结果是， 故选：． 2．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据流程图进行计算即可求解． 【详解】解： ， ∴输出值为 故选：B． 3．如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题，当输入的数为时，最后输出的结果是 ______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题中的程序流程图，将代入计算得到结果为3＞1，再将x＝3代入计算得到结果为，即可得到最后输出的结果．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：当时， ， 当时， ， ∴最后输出的结果是． 故答案为：． 【类型四】新定义运算 1．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 2．已知a、b皆为正有理数，定义运算符号“”表示一种新的运算，它是这样定义的：．则的值等于（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键．根据题干中提供的信息，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 3．定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算__________ 【答案】14 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，绝对值的求解，根据题目中给出的定义代入数字进行计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：14． 【类型五】幻方、幻圆问题 1．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，除了教材介绍的常规幻方，还有变形幻方，下面介绍一个．现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有类似的“幻方”如图2所示，其中有两个数和2，则的值是（）    A． B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握． 根据：每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可得：，据此分别求出的值各是多少，即可求出的值是多少． 【详解】解：根据题意，可得： ， 故选：B． 2．《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏．如图所示，将数字1，2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方：一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（   ） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 A．505 B．500 C．510 D．515 【答案】A 【分析】本题考查有理数混合运算的应用．根据题意，计算10阶幻方中，所有数字的和，再分析10阶幻方的特点、性质，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，时，需要将100个正整数1，2，3，，100，填入的方格内， 全部数字的和为， 而幻方中，每一行的数字的和相等，则每一行数字之和为， 又由幻方中，每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，故． 故选：A． 3．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等，我们称为“积幻方”．下左图是“和幻方”，右图为“积幻方”，则________． 4 3 8 m 1.5 9 5 1 n 2 7 6 6 1 4.5 【答案】8 【分析】本题主要考查有理数的乘方，代数式求值 ；根据积幻方的定义，每一横行、每一竖列上的三个数字之积均相等，利用已知条件求出公共积后，再结合行列积或对角线上相等的关系求出m和n的值，最终计算结果即可． 【详解】解：右图为积幻方， ∴其积为， ∴解得， ∴解得， ∴； 故答案为：8． 【类型六】算24点 1．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出一个运算结果为24的算式：___________； (2)如果表示正，表示负，请你用（1）中的4张牌表示的数写出一个运算结果为24算式：___________． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的四则运算： （1）观察所给数字及运算结果，根据有理数的运算法则列式计算即可； （2）观察所给数字及运算结果，根据有理数的运算法则列式计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：由题意知，（1）中4张牌表示，4，，12， ， 故答案为：（答案不唯一）． 2．“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)① 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用点游戏规律列出算式即可； （2）将这四个数字的组成的算式列出来即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故这张牌还能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数， 故答案为：①． 3．玩个“24点”游戏！从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌有且仅用一次，可以加括号），使得运算结果为24或．其中红色扑克牌表示负数，黑色扑克牌表示正数，一副去掉大小王的扑克牌一半是红色（红桃和方块），一半是黑色（黑桃，草花），J，Q，K分别表示11，12，13． (1)小飞抽到了黑桃3，黑桃7，红挑7，方块7，你能按游戏规则凑成“24点”吗？ (2)如果抽到了黑桃3，黑桃7，草花3，草花7，你能按游戏规则凑成“24点”吗？ 【答案】(1)能； (2)能；． 【分析】（1）根据规则，小飞抽到的牌，表示的数为：，根据“24点”游戏规则，进行拼凑即可； （2）抽到的牌，表示的数为：，根据“24点”游戏规则，进行拼凑即可． 【详解】（1）解：能； 由题意得：小飞抽到的牌，表示的数为：， 则：； （2）解：能； 抽到的牌，表示的数为：， 则：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．弄清“24点”游戏规则，是解题的关键． 【类型七】有理数的圈次方 1．定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“的圈次方”．特别地，规定：． (1)【初步探究】直接写出计算结果：__________，__________； (2)若为任意正整数，下列关于除方的说法中，不正确的有__________；（填写序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1；②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈次方等于它本身的数是1或-1；④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)【深入思考】我们知道，有理数的乘方运算可以转化成乘法运算，从而得出结果．有理数的除方运算和我们熟悉的有理数运算一起进行混合运算，该如何进行？有理数的除方与有理数的乘方有何联系？请完成以下问题： ①计算 ②请直接写出2025圈次方与之间的联系__________． 【答案】(1)1，； (2)③ (3)①；②2025圈次方 【分析】本题考查了新运算，有理数的混合运算等知识，理解新运算的算法，正确计算是解题的关键． （1）根据除方的概念计算即可； （2）根据除方的概念逐项判断即可； （3）先计算各除方幂，再计算乘法与除法，最后计算减法． 【详解】（1）解：， ； （2）解：若n为任意正整数， ①，故任何非零数的圈2次方都等于1，正确； ②，故任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； ③，即的圈2次方不等于它本身，故圈n次方等于它本身的数是1或，错误； ④，，即根据有理数乘除法运算中的“奇负偶正”的都负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； 综上所述，不正确的③； （3）①解： ； ②2025圈次方结果为：，个2005相除， ． 故2025圈次方与之间的联系为：2025圈次方 2．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果是______； （2）关于除方，下列说法错误的是______；（填序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②对于任何正整数，1的圈次方都等于1； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算 （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； （4）计算： 【答案】（1）；（2）③；（3），；（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算、正负数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用除方的意义解答即可； （2）利用除方的意义对每个选项进行逐一判断即可； （3）利用除方的意义解答即可； （4）利用除方的意义和有理数的混合运算的法则解答即可． 【详解】解：（1）； （2）①当时，，该说法正确，不合题意； ②，，，， ∴对于任何正整数，1的圈次方都等于1，该说法正确，不合题意； ③，，，该说法错误，符合题意； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，该说法正确，不合题意； 故选：③； （3）； ； 故答案为：，； （4）由（3）知，， ∴原式 ． 3．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果：_____，_____． (2)关于除方，下列说法错误的是_____．（填序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1；②对于任何正整数的圈次方都等于1；③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)算一算：． 【答案】(1)； (2)③ (3) 【分析】本题主要考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算，掌握新定义和有理数的混合运算是解决本题的关键． （1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据圈次方的意义得出结果即可； （3）根据运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：； （2）解：①任何非零数的圈2次方都等于1，说法正确； ②对于任何正整数的圈次方都等于1，说法正确； ③，故，原说法错误； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，说法正确． 综上，正确的说法是①②④，错误的说法是③． 故答案为：③． （3）解： 则 ． 【类型八】绝对值“1”与“-1”化简 1．我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： (1)若a，b都是有理数，，，且，求a＋b的值； (2)若a，b都是非零的有理数，且满足a，b同号，求的值． 【答案】(1)10或4 (2)2或 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加法与除法、有理数的大小比较、代数式求值，熟练掌握分类讨论思想是解题关键． （1）先根据绝对值的性质可得，，再根据可得或，代入计算即可得； （2）分两种情况：①当都是正有理数时，②当都是负有理数时，化简绝对值，计算除法，再计算加法即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， 综上，的值为10或4． （2）解：∵都是非零的有理数，且满足同号， ∴都是正有理数，或都是负有理数． ①当都是正有理数时， ∴； ②当都是负有理数时， ∴； 综上，的值为2或． 2．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)已知a，b是有理数，当时，试求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或0 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的加减乘除运算，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． （1）将代入，先化简绝对值，再计算有理数的除法即可得； （2）先得出，再化简绝对值，然后计算除法与减法即可得； （3）分两种情况：①当都是负数时，②当中有两个正数，一个负数时，不妨设，再化简绝对值，然后计算除法与减法即可得． 【详解】（1）解：当时，则． （2）解：∵是有理数，且， ∴， ∴． （3）解：∵是有理数，且， ∴有以下两种情况： ①当都是负数时， 则； ②当中有两个正数，一个负数时，不妨设， 则； 综上，的值为或0． 3．阅读下列材料：，即当时，；当时， 请用以上结论解决下列问题： (1)有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______；______；______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)；；； (2)1或 【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的乘法等知识，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． （1）先根据数轴的性质可得，则，，再根据绝对值的性质化简即可得； （2）根据有理数的乘法法则分两种情况：①有理数中有一个负数，两个正数；②有理数三个都是负数，再化简绝对值，计算有理数的加减法即可得． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，，， ∴，， 故答案为：；；；． （2）解：∵， ∴有以下两种情况： ①有理数中有一个负数，两个正数，不妨设， 则； ②有理数三个都是负数，即， 则； 综上，的值为1或． 【类型九】数列求和 1．阅读下列例题： 计算：． 解：设，① 那么．② ②①，得． 所以原式． 仿照上面的例题计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类及有理数的混合运算，设①，那么②，再利用②①可求出原式的值． 【详解】解：设，① 那么．② ②①，得． 所以原式． 2．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是________． (2)受（1）的启发，试求出的值． (3)进而计算：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了乘方的应用，根据所给图形发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）根据题意，阴影部分的面积占正方形总面积的，于是得解； （2）的和，可以看成是部分的面积总和，它等于总面积减去阴影部分面积，于是得解； （3）阴影部分面积占总面积的，总面积减去阴影部分面积，就等于，于是得解． 【详解】（1）解：根据题意可得，阴影部分面积占总面积的比例为： ， 阴影部分的面积是：， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ； （3）解：根据题意可得： ， 故答案为：． 3．如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解乘方的意义是解题关键． （1）仿照小明的做法画出图形求解即可； （2）仿照小亮的做法验证即可； （3）仿照小亮的做法求解即可； 【详解】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 【类型十】裂项求和 1．观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得： ，计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了裂项相消法． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算即可； （3）仿照题干计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 2．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：其中是正整数．现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式：①；②；③； (1)把①、②、③三个等式相加，则_______ (2)__________ (3)根据以上观察，聪明的你发现__________ (4)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． （1）根据有理数的加减进行计算，即可求解； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）仿照题中的例子进行求解即可； （4）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．我们知道：，，，，． 试根据以上规律，解答下列问题： (1)计算：． (2)将2025减去它的，再减去余下的，再减去余下的，．以此类推，直到减去余下的，最后的结果是多少？ (3)（选做题）计算： ． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）原式括号中变形计算后，约分即可得到结果； （2）根据题意列出算式，计算即可得到结果； （3）首先提取公因子，再利用题中的规律进行化简即可． 【详解】（1）原式 ． （2）最后的结果是 ． （3）原式 ． 【点睛】本题考查了有理数运算的规律，分数的四则运算，解题的关键是理解题意，发现规律并运用规律进行计算． 1．（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）2025年12月4日，“春节-中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．2026年是第一个“非遗版”春节，某电商平台年货节期间，河南特产销售总额突破了12600000000元．将数据“12600000000”用科学记数法表示为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数． 【详解】将 的小数点向左移动10位得到，满足 ， 因此，， ∴． 2．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）下列说法：①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④0是最小的有理数；⑤数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑥近似数与的精确度相同；⑦近似数精确到千位；其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题根据有理数的定义，绝对值性质，有理数加法法则，相反数定义，近似数精确度等初中相关概念，逐一判断各说法即可． 【详解】解：①根据有理数定义，整数和分数统称为有理数，故①正确； ②绝对值是它本身的数是所有正数和0，不只有0，故②错误； ③当两个数相加时，若存在负加数，和会小于正加数，如，故③错误； ④负数小于0，因此0不是最小的有理数，故④错误； ⑤0的相反数是0，对应点在原点，不在原点两侧，故⑤错误； ⑥精确到百分位，精确到千分位，精确度不同，故⑥错误； ⑦ ，其中3在千位，因此近似数精确到千位，故⑦正确； 综上，正确的说法共2个，故A正确． 4．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先根据平方根和绝对值的性质，得到和的所有可能取值，再结合确定和异号，分情况计算的值即可． 【详解】解：∵，∴或， ∵，∴或， 又∵， ∴与异号， 分两种情况计算： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ∴的值为或． 5．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）下列有理数的运算中正确的有___________（填序号） ①   ②   ③    ④ 【答案】② 【详解】解：对四个式子逐一计算判断：①，，故①错误； ②，结果正确，故②正确； ③，，故③错误； ④，，故④错误； 综上正确的有②． 6．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为______． 【答案】 【详解】解：第1次输出结果为：； 第2次输出结果为：． 7．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 【答案】 【分析】先根据错误的计算过程列出关于的等式，求出的值，再代入正确的算式，根据有理数除法法则计算即可得到结果． 【详解】根据题意，可得错误的计算算式为：， 解得 ， 将代入正确算式， 得． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算或化简： (1)； (2)． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握好有理数混合运算的法则是解题关键． （1）按照有理数加减运算的法则进行计算； （2）按照含有乘方的有理数混合运算的法则进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：． 9．（25-26七年级上·河南洛阳·阶段检测）河南是全国小麦主产区，某粮库收购了一批来自新乡延津的优质强筋小麦，袋小麦的称重记录（单位：）如下： (1)袋小麦一共多少？ (2)如果每袋小麦以为质量标准，袋小麦总计超过多少或不足多少？ 【答案】(1)袋小麦一共； (2)袋小麦总计超过． 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则并准确计算是解题的关键． （1）先计算袋小麦的实际重量之和，得到总重量； （2）用袋小麦的总重量减去袋标准重量（袋）的总和，得到总计超过或不足的重量． 【详解】（1）解： ， 答：袋小麦一共； （2）解：， 答：袋小麦总计超过． 10．（25-26九年级下·湖北孝感·阶段检测）综合与实践 素材1 进位制是为了计数和运算方便约定的计数系统，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．其中十进制数“1024”记作1024，二进制数“1011”记作，五进制数“1024”记作等． 素材2 例：八进制数“1024”转换成十进制数为：．其他进位制也有类似的算法… 素材3 将十进制数转换为与其相等的进制数，用十进制的数除以，然后将商继续除以，直到商为0，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：把十进制数66转换为七进制． 任务：请同学们认真阅读上面素材，解决下面的题目： (1)把转换为十进制数为 ；把十进制数21转换为三进制数为 ． (2)请尝试将转换为五进制数． 【答案】(1)11； (2) 【分析】（1）由题意，依据二进制转十进制的算法算出对应的十进制数，再用十进制转三进制的方法得出21对应的三进制数即可． （2）先将转为十进制，再按十进制转五进制的规则将其转换为五进制数即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； 十进制数21转换为三进制数，可得 （2）解：转换为十进制数，可得， 再将转换为五进制数，可得 ， 将转换为五进制数为． 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨某天的最低气温为，最高气温为，则这一天的温差（最高温度和最低温度的差）是（  ）℃ A． B．15 C． D．0 【答案】B 【分析】根据温差定义，用最高气温减去最低气温，结合有理数减法法则计算即可； 【详解】解：∵温差等于最高温度减去最低温度，已知最高气温为，最低气温为， ∴温差为． 2．（25-26九年级下·吉林长春·期中）下列式子计算的结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：，，结果为正数，不符合要求． B选项：，，结果为正数，不符合要求． C选项：，，结果为负数，符合要求． D选项：，，结果为正数，不符合要求． 3．（25-26七年级上·广东东莞·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置确定、的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． 4．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分类计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； ∴的值为或，故A正确． 5．（25-26七年级上·广东东莞·期中）的倒数是__________． 【答案】 【详解】解：的倒数是． 6．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）定义一种运算：．例如：．那么______． 【答案】79 【分析】根据新定义，按照先算括号内，再算括号外的顺序，套用给定运算规则计算即可． 【详解】解：根据规则， 再计算 ． 7．（25-26七年级下·云南昭通·期中）“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 【答案】 【分析】直接根据图（2）作答即可． 【详解】解：由图（2）可知． 8．（25-26七年级上·江西宜春·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1)17 (2) 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则求解即可； （2）根据含有乘方的有理数混合运算法则解答即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式=． 9．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 10．（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料中的计算示例，总结同指数幂相乘的运算规律； （2）先将带分数转化为假分数，再运用（1）中的规律进行简便计算； （3） 先把小数化为分数，拆分指数使各幂的指数统一，再利用（1）的规律简化式子，最后完成有理数的乘法运算． 【详解】（1）解：由材料中的计算过程可得 （2）解： （3）解： 1．（25-26九年级下·天津·期末）将式子省略括号和加号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据去括号规则，负负得正，正负得负， 则，选项符合题意． 2．（25-26七年级上·广西河池·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）．以2026年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为（   ） A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年 【答案】D 【分析】根据给出的计算方法，分别列式计算即可. 【详解】解：天干为：， 地支为：， 故2035年为农历乙卯年. 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先数出每根绳子上的结数，然后将从左向右的每一位数字分别乘，，，，再将计算结果相加． 【详解】解：据图可知，从左向右，四根绳子的结数分别是、、、， 则孩子出生的天数为． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上的三个点A，B，C所表示的数分别为a，1，c，其中且，则A，B，C三点在数轴上的位置从左到右的顺序依次为（    ） A．C，A，B B．B，A，C C．C，B，A D．A，B，C 【答案】C 【分析】本题借助绝对值的几何意义与性质，先由推导出与的数量关系，再结合判断、与1的大小关系，从而确定三点在数轴上的排列顺序．熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， 若，则，此时，与题干矛盾，故舍去， ∴必有，即， ∴， ∵， ∴， 若，则， 此时，，无论还是，均满足， ∴，即三点从左到右为，，， 若，则，此时化简后矛盾，舍去． 综上，三点在数轴上从左到右的顺序为，，． 故选：C. 5．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）_____． 【答案】 【分析】本题考查绝对值和有理数的减法运算，掌握绝对值和有理数的减法运算的法则是解题的关键． 先计算绝对值，再进行有理数减法运算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（25-26六年级上·山东东营·期末）如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了程序图与有理数的运算，根据程序要求先计算，若结果输出，若结果，再次代入，循环计算即可． 【详解】解：当输入x为时，，，将再次输入； 当输入的数为时，，，所以输出的结果为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期末）大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三．这些彩灯最少有_____盏． 【答案】21 【分析】彩灯数量需同时满足：是3的倍数、除以5余1、是7的倍数、除以8余5．通过寻找3和7的公倍数，并结合其他条件求解．本题主要考查了整除的应用，灵活运用整除是解题的关键． 【详解】解：由题知彩灯数量需同时满足：是3的倍数、除以5余1、是7的倍数、除以8余5． ∵彩灯数量是3和7的公倍数，即21的倍数． ∴设数量为，k为正整数．   当时，， 余1，满足题意， 余5，即缺3，满足题意， ∴这些彩灯最少有21盏． 故答案为21． 8．（25-26七年级上·广东惠州·期末）方方和圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② ③ 圆圆： ① ② ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）； (2)写出你的计算过程． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）方方第一步在计算时出错了，结果应为；圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算； （2）先计算乘方，再从左到右进行乘除运算的顺序计算，最后算加减即可求解． 【详解】（1）解：∵方方第一步在计算时出错了，结果应为， ∴方方开始出错的是第①步， ∵圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算， ∴圆圆开始出错的是第②步． （2）解： 9．（25-26七年级上·河北保定·期末）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（     ） A．乘法交换律        B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律    D．加法结合律 (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法运算律，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据乘法对加法的分配律进行求解即可； （2）利用拆项法和乘法对加法的分配律，进行计算即可． 【详解】（1）解：她们运用的运算律是乘法对加法的分配律， 故选：C； （2）解： ． 10．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【答案】(1)19 (2)①；②说明见解析 【分析】本题考查了三进制数与十进制数的转换及对整除性质的理解． （1）根据三进制数转换为十进制数的规则，将三进制数的每一位数字乘以3的相应次幂，然后将结果相加； （2）同样根据转换规则将四位三进制数转换为十进制数，再分析其数字之和与该数能否被2整除的关系． 【详解】（1）解：由题意知， ， 故答案为：19． （2）解：①， 故答案为：； ②∵ ， 又∵能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除，即四位的三进制数能被2整除， ∴该结论正确． 学科网（北京）股份有限公司 $