1.2.3 直线与平面的夹角【考点突破+强化训练】讲义-2026年新高二数学暑假预习人教B版选择性必修第一册

1.2.3 直线与平面的夹角 知识点1用定义求直线与平面的夹角 1.斜线与平面所成的角 注意到平面的一条斜线在平面内的射影是唯一确定的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角. 2.直线与平面所成的角 (1)定义：如图，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A'B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA'就是直线AB与平面α所成的角. (2)范围：直线与平面α所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°. 当θ＝0°，AB∥α或AB⊂α； 当θ＝90°，AB⊥α. 知识点2最小角定理 如图，AB⊥α，则图中θ，θ1，θ2之间的关系是cos θ＝cos θ1cos θ2.  平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 【注意】 (1)辅助记忆：这三个角中，θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积，其中θ，θ1，θ2分别称为斜角、立角、平角，它们之间的余弦关系式又称为斜立平公式. (2)从空间一点O引出的三条射线OA，OB，OM满足cos∠AOM＝cos∠AOB·cos∠BOM，则平面AOB⊥平面BOM. 知识点3用空间向量求直线与平面的夹角 如图所示，v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量. θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－， 特别地，cos θ＝sin〈v，n〉，sin θ＝|cos〈v，n〉|. 【注意】用向量法求线面角的解题步骤：(1)建系；(2)写相关点的坐标；(3)写出直线的方向向量a；(4)求出平面的法向量n；(5)代入公式sin θ＝|cos〈a，n〉|＝；(6)回归几何问题. 考点一　利用几何法求直线与平面的夹角 考点二　利用空间向量求直线与平面的夹角 考点三　已知线面角求其他量 考点一　利用几何法求直线与平面的夹角 1．（25-26高一下·广西百色·期中）如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，点为线段上的一个动点，设直线与平面所成角为，则的最大值为________. 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）（多选）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（     ） A． B． C．1 D． 4．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 5．（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在三棱锥中，，是等边三角形． (1)求证：； (2)若为直角三角形，求直线与平面所成角的大小. 6．（25-26高一下·山东威海·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点． (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若是上靠近的四等分点，求和平面夹角的正弦值； 考点二　利用空间向量求直线与平面的夹角 7．（25-26高三上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，， ，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 8．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·山西·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为棱上靠近点的三等分点，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 10．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，点均在圆柱的下底面圆周上，与交于点，点在线段上，平面，点在圆柱的上底面圆周上，，． (1)求的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 11．（2026·上海黄浦·三模）如图，三棱锥中，，，，为的中点． (1)证明：； (2)点满足，求直线与平面所成角的正弦值． 12．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，且平面，若E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，点H在直线AB上． (1)求证：直线EF与直线GH为异面直线； (2)过P点的直线l与直线EF，直线HG相交，求直线l与平面EFG夹角正弦值的最大值． 考点三　已知线面角求其他量 13．（2026·北京朝阳·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． (1)当点是棱中点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 14．（2026·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上．    (1)求证：平面； (2)已知与平面所成角的大小为，求． 15．（2026·北京·三模）如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，．    (1)求证：平面； (2)若，点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 16．（25-26高二下·福建厦门·期中）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上一点，边长为的正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. (1)证明：； (2)若平面，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长. 17．（2026·河南周口·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为等腰梯形，，，，为的中点. (1)若，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求的长度. 18．（2026·福建福州·三模）在四棱锥中，平面，. (1)证明：平面平面； (2)若为棱上一点（不含端点），直线与平面所成角的正弦值为，求. 19．（25-26高一下·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 20．（25-26高一下·山西太原·阶段检测）如图，三棱锥中，平面PAC，，，，点E满足，． (1)证明：平面ABC； (2)若在棱AB上存在一点D，使得． （ⅰ）求BD的长； （ⅱ）若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围． 1．（山东青岛市2025-2026学年高一下学期6月部分学生调研检测（强基班调考）数学试题）已知圆台的侧面积等于上下两个底面面积之和，且圆台的母线和下底面所成的角为 ，则圆台上下两个底面面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）在正方体中，棱长为2，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江西南昌·期中）如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·模拟预测）已知圆台，上底面直径为，下底面直径为，当时，直线与圆台底面所成夹角为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西咸阳·三模）在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，点为线段的中点.点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）（多选）已知长方体，，则（） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的余弦值为 10．（25-26高二下·广东·期中）（多选）如图，点P在正方体的面对角线上运动（P点异于点、点），则下列判断不正确的有（    ） A．三棱锥的体积不变 B．异面直线BD与所成角为 C．存在点P使得平面 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 11．（25-26高二上·山东临沂·期末）（多选）如图，该几何体是四分之一圆柱体（点，分别是上、下底面圆的圆心），四边形是正方形，点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则（   ） A．存在点，使得 B．存在点，使得直线∥平面 C．存在点，使得平面平面 D．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 12．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为______． 13．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，在正方体中，点是棱的中点，则与平面所成角的正弦值_____. 14．（25-26高二上·江西上饶·期末）已知正四面体，直线是底面三角形外接圆在点处的切线，则直线与侧面所成角的正弦值为______. 15．（25-26高二上·陕西榆林·期末）如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则_________． 16．（2026·河南·三模）如图，已知圆台的母线长为2，且与底面所成角为，，分别为圆台上、下底面的直径，，是底面圆周上异于，的一点，是的中点.    (1)若，求证：是的中点； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 17．（2026·北京·三模）如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为2的菱形．，，．    (1)若点，分别为棱和棱的中点，求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 18．（2026·天津武清·模拟预测）已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求与平面BCN夹角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 19．（2026·安徽滁州·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，为的中点． (1)证明:; (2)点在棱上（含端点），且直线与平面所成角的正弦值为，求出所有满足条件的点，指出其位置． 20．（2026·北京丰台·二模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，直线交平面于点. (1)求证：为的中点； (2)若是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.3 直线与平面的夹角 知识点1用定义求直线与平面的夹角 1.斜线与平面所成的角 注意到平面的一条斜线在平面内的射影是唯一确定的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角. 2.直线与平面所成的角 (1)定义：如图，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A'B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA'就是直线AB与平面α所成的角. (2)范围：直线与平面α所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°. 当θ＝0°，AB∥α或AB⊂α； 当θ＝90°，AB⊥α. 知识点2最小角定理 如图，AB⊥α，则图中θ，θ1，θ2之间的关系是cos θ＝cos θ1cos θ2.  平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 【注意】 (1)辅助记忆：这三个角中，θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积，其中θ，θ1，θ2分别称为斜角、立角、平角，它们之间的余弦关系式又称为斜立平公式. (2)从空间一点O引出的三条射线OA，OB，OM满足cos∠AOM＝cos∠AOB·cos∠BOM，则平面AOB⊥平面BOM. 知识点3用空间向量求直线与平面的夹角 如图所示，v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量. θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－， 特别地，cos θ＝sin〈v，n〉，sin θ＝|cos〈v，n〉|. 【注意】用向量法求线面角的解题步骤：(1)建系；(2)写相关点的坐标；(3)写出直线的方向向量a；(4)求出平面的法向量n；(5)代入公式sin θ＝|cos〈a，n〉|＝；(6)回归几何问题. 考点一　利用几何法求直线与平面的夹角 考点二　利用空间向量求直线与平面的夹角 考点三　已知线面角求其他量 考点一　利用几何法求直线与平面的夹角 1．（25-26高一下·广西百色·期中）如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，点为线段上的一个动点，设直线与平面所成角为，则的最大值为________. 【答案】 【分析】作出直线与平面所成角，化简求最小值即可. 【详解】取线段的中点，易知平面， 则直线与平面所成角， 则， 在等腰直角三角形中，当时，最短， 此时， 故的最大值为. 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）（多选）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，过作于，再过作于，利用线面垂直及勾股定理求的最小值. 【详解】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确；    因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质可知，， 取的中点，连接， 是中点，是中点， ， 底面，故底面， 是在底面的射影，是直线与底面所成角，    则，，， . 底面，底面， ，即是直角三角形， ． 4．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明：连接，交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2)证明：因为四边形是正方形，所以， 又平面，平面，所以，， 因为平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，因为为中点，则， 因为平面， 所以平面． (3) 【分析】（1）连接，交于点，连接，根据三角形中位线的性质及线面平行的判定即可证明； （2）根据线面垂直的性质和判定即可证明； （3）根据线面夹角的定义，求得线面夹角的平面角即可求解． 【详解】（1）略． （2）略． （3）因为平面，平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 连接， 则直线与平面所成角的平面角为， 又平面，所以， 在正方形中，， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 在中，，， 所以直线与平面所成角为． 5．（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在三棱锥中，，是等边三角形． (1)求证：； (2)若为直角三角形，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明：如图所示，取中点，连和， 因为是等边三角形，则，且，为公共边，所以， 所以，且中点，所以， 又因为是等边三角形，所以， 因为且平面，所以面， 又因为面，所以． (2)． 【分析】（1）取中点，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得面，进而证得； （2）设，利用勾股定理，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得面，得到即为直线与平面所成角，在直角中，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，设，因为为直角三角形，可得， 又因为是等边三角形，所以，且， 在中，由余弦定理得， 即，可得， 即，解得，所以，所以， 同理可得：，所以， 因为，且平面，所以面， 所以即为直线与平面所成角， 即直线与平面所成角的大小为． 6．（25-26高一下·山东威海·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点． (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若是上靠近的四等分点，求和平面夹角的正弦值； 【答案】(1)证明：因为底面，且底面，所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以． 由为线段的中点，可知， 因为，且平面，所以平面． (2) 【分析】（1）由线面垂直及正方形的性质得、，再由线面垂直的判定定理、性质定理证明结论； （2）取的中点，连接，根据线面角的定义确定和平面夹角的平面角，最后结合已知求其正弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接， 因为为中点，为中点，，且， 又底面，所以底面， 所以为直线与平面所成的角． 由题意，是的四等分点，，故 在中，, 在中， ，即和平面夹角的正弦值为. 考点二　利用空间向量求直线与平面的夹角 7．（25-26高三上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，， ，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)因为平面平面，，平面平面，平面， 可得平面，则， 又因为，，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，可证，结合可证线面垂直； （2）作辅助线，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连结，， 因为，所以， 且 平面，平面 平面，平面平面， 所以平面，且平面，所以， 又因为，所以， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令 ，则，可得， 则， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 8．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用线线平行转化线面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值，再求解出线面角的正切值. 【详解】 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因此，直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则 ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，解得，，所以法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， ， 因此，. 9．（2026·山西·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为棱上靠近点的三等分点，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合勾股定理，由面面垂直的性质定理可证. （2）先切换顶点，再通过线面垂直求出棱锥的高，最后体积公式可得结果. （3）建立空间直角坐标系，求出平面法向量，法向量与直线向量夹角的余弦值绝对值为所成角的正弦值. 【详解】（1）由条件得，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，因为，所以平面， ，垂足为，平面，所以， ，平面，所以平面， ， ， 所以. （3）由（1）（2）可知，两两垂直， 以为原点，分别以、、为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ， 设平面的法向量，则：， 令，则，所以， 设直线MN与平面的所成角为，直线MN与平面的法向量所成的角为， 则 . 10．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，点均在圆柱的下底面圆周上，与交于点，点在线段上，平面，点在圆柱的上底面圆周上，，． (1)求的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用线面垂直的性质，由平面得，结合轴截面是正方形的直角条件，推出，再通过相似三角形的比例关系直接求解； （2）建立空间直角坐标系，先根据已知条件确定点的坐标，再利用平面得到平面的法向量，最后用向量法计算直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值，即为线面角的正弦值． 【详解】（1） 连接， 因为平面，平面，所以， 在正方形中， ，， 所以，， 所以，即，解得； （2） 连接，过点作，垂足为， 在中， ，，， 所以，， 在中， ，， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 11．（2026·上海黄浦·三模）如图，三棱锥中，，，，为的中点． (1)证明：； (2)点满足，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明和均为等腰三角形，利用三线合一性质得到和，进而证明平面，最后利用线面垂直的性质得证； （2）根据（1）中的垂直关系及勾股定理逆定理证明，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角的正弦值。 【详解】（1）因为， 所以为等边三角形，则. 同理，因为， 所以为等边三角形，则，所以. 因为为的中点，所以. 又因为,为的中点，所以. 因为平面， 所以平面, 因为平面， 所以. （2）不妨设由（1）可知. 在中，，， 所以. 因为为的中点，所以，. 在中，， 所以 在中，， 所以. 由（1）知平面，且平面， 所以， 故两两垂直. 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系 则 所以,. 因为， 所以 所以. 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为 12．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，且平面，若E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，点H在直线AB上． (1)求证：直线EF与直线GH为异面直线； (2)过P点的直线l与直线EF，直线HG相交，求直线l与平面EFG夹角正弦值的最大值． 【答案】(1)方法一：因为，，分别为，，的中点，点在直线上， 取中点，连接， 故、，则，故四点共面， 因为平面，，平面， 故直线与直线为异面直线； 方法二：假设直线，不异面，则与相交或平行， 若，又因为，则由，显然不成立，矛盾； 若与相交，不妨设两直线交点为，则平面，且平面， 所以在平面与平面的交线上，因为，显然不成立，矛盾， 综上，假设不成立，直线，为异面直线 (2) 【分析】（1）方法一：根据异面直线的概念，证明直线EF与直线GH不在一个平面内即可. 方法二：利用反证法，证明矛盾，进而得到直线EF与直线GH为异面直线. （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）略 （2）因为点与直线同在平面中，所以直线平面，又平面， 设直线与直线的交点为，为平面与平面的公共点， 所以交点必在直线上，延长与交于点，联结，则直线即为直线， 因为为中点，所以，又因为，， 所以，所以， 由是正三角形，且为中点，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、、、， 由，分别为，的中点，故、， 则，，，， 设，，则， 所以直线的一个方向向量为， 设平面的法向量为，则有， 取，则，即， 设直线与平面的夹角为，则， 当且仅当时，等号成立，故最大值为． 考点三　已知线面角求其他量 13．（2026·北京朝阳·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． (1)当点是棱中点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明：连接，交于点，连接． 因底面是正方形，则点是中点，又因点是棱中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以平面. (2)或． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再证，进而建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得的坐标，即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为侧面底面，平面底面， 因，平面,则平面． 又因平面,则． 因为，，满足,则得． 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 设，则,且， 则,,, 设平面的法向量为． 由,故可取． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以． 整理得，解得或,经检验均符合题意. 故线段的长为或． 14．（2026·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上．    (1)求证：平面； (2)已知与平面所成角的大小为，求． 【答案】(1)因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. (2) 【分析】(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直； (2)建系设参，借助平面法向量与线面角公式列式，求解线段长度. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知， 所以，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为在线段上，所以设，则， 有， 因为与平面所成角的大小为，所以， 所以，则，即.    15．（2026·北京·三模）如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，．    (1)求证：平面； (2)若，点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)作线段中点，因为线段中点，则 且， 又且， 与平行且相等，四边形为平行四边形． ． 平面，平面， 平面． (2) 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明； （2）利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）作线段中点，记为． 由题意，垂直平分，且． 又，∴四边形为矩形，． 平面，且． 则可分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系．    则，可得， 设，可得，， 设平面的法向量为， 因，， 则由，令，则， 设直线与平面所成角为， 可得． 解得或（舍） 所以． 16．（25-26高二下·福建厦门·期中）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上一点，边长为的正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. (1)证明：； (2)若平面，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长. 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）先证明面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）建立空间直角坐标系，设出的长度，写出点的坐标，然后计算和平面的法向量，然后利用直线与平面所成角的正弦值为，列出方程求解. 【详解】（1）是正方形，， 又平面，平面，平面. 又平面平面，平面，. （2）如图所示，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. 是直线上的一点，设，则，，，. ，，. 记平面的法向量为. ，令，则. ，. 记直线与平面所成的角为，由题意可得： . 整理得，解得或. 即或. 17．（2026·河南周口·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为等腰梯形，，，，为的中点. (1)若，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求的长度. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）作辅助线，可证，平面，建系并标点，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得，平面的法向量为，根据线面夹角列式求解即可. 【详解】（1）取，的中点分别为，， 因为为等边三角形，四边形为等腰梯形，则，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，且，则，， 则，，，，，， 若，即，则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为，则， 且平面，所以平面. （2）由（1）可知：，平面的法向量为， 若直线与平面所成的角为， 则， 整理可得，解得， 所以. 18．（2026·福建福州·三模）在四棱锥中，平面，. (1)证明：平面平面； (2)若为棱上一点（不含端点），直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)见小问1详解 (2) 【详解】（1）在底面梯形 中，，，，. 过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， 则 ，，如图所示： 在 中，，，由勾股定理得： 在 中，，， 由勾股定理得： 在 中，，，， 因为，所以 ，即 . 因为 平面 ，平面 ，所以 ， 又 ，，所以 平面 . 因为 平面 ，所以平面 平面 ，证毕. （2）以 为原点， 所在直线为 轴，过 且垂直于 的直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则 ，，， 点 在棱 上，设 （）， 则：， 因为 ， 向量： 设平面 的法向量 ， 则，令，则 所以：又因为 所以直线 与平面 所成角的正弦值为， 解得 ，所以 19．（25-26高一下·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)设点到平面的距离为， 因为，，所以，   因为，所以，   因为，所以平面，因为平面， 所以平面平面． (2)存在， 【分析】（1）利用三棱锥的体积为，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取的中点为，连接，，作交于，连接，先证明为与平面所成的角，设，则， ，由列方程，解得，即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接，，作交于，连接， 因为为中点，则，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以为与平面所成的角   因为为等腰三角形，，， 所以，，所以， 又，平面，所以为等腰直角三角形   设，则，，， ，   ，即，解得，（舍）   所以，当时，与平面所成的角的正弦值为   20．（25-26高一下·山西太原·阶段检测）如图，三棱锥中，平面PAC，，，，点E满足，． (1)证明：平面ABC； (2)若在棱AB上存在一点D，使得． （ⅰ）求BD的长； （ⅱ）若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)由平面PAC，PE，平面PAC， 所以，． 因为，，所以． 在中，， 在中，，所以，即． 又，AC，平面ABC， 所以平面ABC． (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及判定定理求解即可. （2）（ⅰ）D为AB上靠近B的三等分点，根据线面垂直的判定定理、性质以及线线平行的性质求解即可. （ⅱ）根据线面平行得到F到平面PDE的距离即C到平面PDE的距离，再根据正弦函数的定义求解即可. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）D为AB上靠近B的三等分点， 即，使得． 理由如下：连接DE， 因为，所以，所以． 因为平面PAC，平面PAC， 所以，所以． 由（1）可知平面ABC，平面ABC，所以． 又因为，平面PDE，平面PDE， 所以平面PDE． 因为平面PDE，所以．所以． （ⅱ）由（ⅰ）可知，且平面PDE，平面PDE， 所以平面PDE，则F到平面PDE的距离即C到平面PDE的距离，记为h． 由（ⅰ）知：平面PDE，所以． 在中，由 得， 设直线PF与平面PDE所成角为，则， 所以， 所以直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围为． 1．（山东青岛市2025-2026学年高一下学期6月部分学生调研检测（强基班调考）数学试题）已知圆台的侧面积等于上下两个底面面积之和，且圆台的母线和下底面所成的角为 ，则圆台上下两个底面面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据母线和底面夹角得到母线长与上下底半径的关系，再结合侧面积等于两底面积之和的条件建立方程，由圆面积与半径平方成正比，推导出上下底面面积比值. 【详解】设圆台上底半径为，下底半径为，母线长， 因为母线与下底面成角，母线在底面投影长度为， 由三角函数定义得，化简得， 圆台侧面积公式为，上下底面面积之和为， 所以，化简可得， 即，因此上、下底面面积之比. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）在正方体中，棱长为2，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的性质，找线面所成角，直接用公式求出正弦值. 【详解】取线段的中点，连接，， 在正方体中，，分别为，的中点， 所以 平面，所以与平面所成角为， 因为，，，所以， 所以，所以. 3．（25-26高二下·江西南昌·期中）如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接，则 ， 为的中点，， 且，且， 四边形是平行四边形， ，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角， 因为平面，所以为直线与平面所成角， 则为直线与平面所成角， 设正方体的棱长为，， 是的中点，所以 ，， ， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 故选项C正确. 4．（2026·重庆·模拟预测）已知圆台，上底面直径为，下底面直径为，当时，直线与圆台底面所成夹角为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件求出圆台的母线长，结合圆台侧面积公式可得结果. 【详解】设上底面和下底面的半径分别为，则,, 点在底面的射影点为，有面 ， 则，且，   则，即圆台的高为，则圆台的母线长， 则侧面积 . 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线与平面所成角为， 则. 6．（2026·陕西咸阳·三模）在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在中，，，由三角形面积公式得， 由余弦定理得 ，故， 因为平面ABC，四面体体积，代入解得， 以B为原点，为轴，平面内垂直于的方向为轴，过B且垂直于平面的方向为轴， 得各点坐标：， ， ， ，， 设平面的法向量为， 则，解得，令得，即 ， 又向量 ，， 设AC与平面所成角为，根据线面角与向量夹角的关系，. 7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】点是底面直径所对弧的中点，所以，建立空间直角坐标系如图所示:    则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线和平面所成角为， 可得. 8．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，点为线段的中点.点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求出直线与平面所成的角为的正弦值，再表示出并求出其最小值即可. 【详解】设正方体边长为2，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则,,,, 设,则,, 设平面的法向量为,则由得 取，则, 所以为平面的一个法向量， 所以直线与平面所成的角的正弦值 又由，所以, 所以， 又因,所以,所以最小值为 故选：A 9．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）（多选）已知长方体，，则（） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算判断线线垂直、计算异面直线所成角、线面角，逐一验证选项即可. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得各点坐标：，，，，，，，. 选项A：，，所以，故，A正确. 选项B：，，异面直线所成角的余弦值为，B正确. 选项C：向量，， 设平面的法向量为，则，取，则. 设线面角为，则， ，C错误. 选项D：平面的一个法向量为，设线面角为，则， 故，，D正确. 10．（25-26高二下·广东·期中）（多选）如图，点P在正方体的面对角线上运动（P点异于点、点），则下列判断不正确的有（    ） A．三棱锥的体积不变 B．异面直线BD与所成角为 C．存在点P使得平面 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】BCD 【分析】利用线面平行，结合体积计算判断A；求出异面直线夹角判断B；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断C；利用线面角的向量法求解判断D. 【详解】对于A，在正方体中，，平面， 平面，则平面，而点P在上运动， 则点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 因此三棱锥的体积不变，A正确； 对于B，在正方体中，，为正三角形， 直线BD与所成角等于与夹角，B错误； 对于C，在正方体中，建立如图所示直角坐标系，令正方体的棱长为1， 设，， ，，， ，即与不垂直，而平面，因此与平面不垂直，C错误； 对于D，由正方体的性质知：平面， 即平面的法向量为， 直线与平面所成角正弦值， 由，得，因此，D错误． 11．（25-26高二上·山东临沂·期末）（多选）如图，该几何体是四分之一圆柱体（点，分别是上、下底面圆的圆心），四边形是正方形，点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则（   ） A．存在点，使得 B．存在点，使得直线∥平面 C．存在点，使得平面平面 D．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】建系标点，对于A：利用空间向量说明线线垂直；对于B：利用空间向量说明线面平行；对于C：利用空间向量说明线面垂直；对于D：利用空间向量求线面夹角. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 设， 对于选项A：因为， 令， 可得，显然该方程无解， 所以不存在点，使得，故A错误； 对于选项B：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 若直线平面， 则，可得， 且，则，即， 所以存在点，使得直线∥平面，故B正确； 对于选项C：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 若平面平面， 则， 显然时，上式成立， 所以存在点，使得平面平面，故C正确； 对于选项D：设直线与平面的所成角为， 若，则， 可得：， 整理可得， 构建， 因为在内连续不断，且， 可知在内有零点，即在内有根， 所以存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：对于方程根的问题，应构建函数，结合零点存在性定理分析判断，不能强解. 12．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为______． 【答案】/ 【分析】利用向量法求解线面角即可. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 设直线与平面的夹角为， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为：. 13．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，在正方体中，点是棱的中点，则与平面所成角的正弦值_____. 【答案】/ 【分析】b依题意以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示： 设正方体边长为2，可得 所以， 设平面的一个法向量为， 可得， 令，可得，即， 所以与平面所成角的正弦值为， 故答案为： 14．（25-26高二上·江西上饶·期末）已知正四面体，直线是底面三角形外接圆在点处的切线，则直线与侧面所成角的正弦值为______. 【答案】 【分析】设外接圆圆心为，取中点为，连接，过点作的平行线交于点，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出直线的方向向量，利用向量法即可求解. 【详解】设外接圆圆心为，则，由正四面体性质可得平面， 取中点为，连接，由等边三角形性质可得， 过点作的平行线交于点，则， 又平面，平面，则，， 则以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设等边的边长为， 则，，，， 在中，， 则，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 则， 因为，平面，则直线的一个方向向量为， 设直线与侧面所成角为， 则， 所以直线与侧面所成角的正弦值为. 故答案为：. 15．（25-26高二上·陕西榆林·期末）如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则_________． 【答案】 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据直线与平面所成角的向量求法可得答案. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， ， 设为平面的一个法向量， 可得，即，令，则， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，或舍去， 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求解. 16．（2026·河南·三模）如图，已知圆台的母线长为2，且与底面所成角为，，分别为圆台上、下底面的直径，，是底面圆周上异于，的一点，是的中点.    (1)若，求证：是的中点； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆台的母线与底面所成角为，得到为等边三角形，即，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理得到，结合为直径，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，设（），求出平面的法向量，利用线面角的向量求法得到，联立求出点坐标，利用两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）连接，，，过点作，交于点，    圆台的母线与底面所成角为，即. 又，所以为等边三角形，因为是的中点，所以. 又平面，，所以平面. 因为平面，所以. 圆台中，为轴截面，所以平面平面， 又平面平面，，所以平面， 因为平面，所以. 又，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又为直径，所以是的中点. （2）结合（1）可得，，. 以为原点，以，为轴、轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，则. ，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 所以. 设直线与平面所成角为，则. 又， 所以，整理得，所以. 与联立，解得或（舍去，是底面圆周上异于，的点）， 此时，即. 所以. 17．（2026·北京·三模）如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为2的菱形．，，．    (1)若点，分别为棱和棱的中点，求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 【答案】(1)因为，且，所以四边形是等腰梯形. 取的中点，连接、.是中点，故，； 又是中点，菱形中，，故，. 因此且，四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面，故平面.    (2) 【分析】（1）取的中点，连接、.根据中位线以及菱形的性质得到四边形是平行四边形，再根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，应用线面角正弦公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由，菱形边长为，故为正方形，进而. 又平面平面，交线为，平面，故平面. 故可以为原点，分别以为轴，以过点的平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系. 由（1）易得，，，，，. 故，，. 设平面的法向量， 则，故可取. 设直线与平面所成角为， 则. 因为，故.    18．（2026·天津武清·模拟预测）已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求与平面BCN夹角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理求解； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，由求解； （3）先求点到平面BCN的距离为，再由三棱锥体积公式求解. 【详解】（1） 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，为的中点， 又N为的中点，， 又平面，且平面， 平面. （2） 由已知，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 因为平面即平面，，， ， 取，则，从而， 设所求线面角为，， ， 所以与平面夹角的正弦值为. （3） 设点到平面的距离为，， ， 已知，则， 所以 . 19．（2026·安徽滁州·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，为的中点． (1)证明:; (2)点在棱上（含端点），且直线与平面所成角的正弦值为，求出所有满足条件的点，指出其位置． 【答案】(1)如下图，连接，因为为等边三角形，为的中点， 所以．连接，， 因为四边形是菱形，所以，又， 所以为等边三角形，则．             因为，所以平面． 又因为平面，所以． (2)满足条件的点Q只有一个，即与点P重合 【分析】（1）要证明线线垂直，则需要通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明  平面 ; （2）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标和的坐标，根据线面角的正弦值计算结果即可. 【详解】（1）略 （2）因为，平面平面，平面平面，所以平面． 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 由已知可得，，，，，，．             设平面的法向量为， 由，得，取．     ，，设，， 则．        （10分） 设直线与平面所成的角为， 则， 由题意得，整理得 ，因为，所以， 即满足条件的点Q只有一个，即与点P重合. 20．（2026·北京丰台·二模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，直线交平面于点. (1)求证：为的中点； (2)若是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据面面平行的性质可得，进而可得，即可得结果； （2）建系并标点的坐标，设，，求平面的法向量，根据线面夹角列式求解即可. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面，平面平面， 则，且，可得， 又因为为的中点，所以为的中点. （2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则，整理可得，解得， 所以. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $