1.2.3 直线与平面的夹角 课时同步练习卷-2026年暑假预习高二数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 围绕“直线与平面的夹角”，通过基础单选、中档多选填空、拔高解答题分层设计，覆盖从单一几何体线面角计算到综合探究的知识路径，适配暑假巩固与提升，培养空间观念、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一几何体线面角计算（如正方体）|直接应用定义公式，巩固概念理解| |中档|结合几何体性质的综合计算（如正四棱柱体积）|融合空间几何性质，提升运算能力| |拔高|含探究性的线面角应用（如存在性问题）|渗透逻辑推理，发展创新意识|

1.2.3 直线与平面的夹角课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值从而求得直线与平面夹角的正弦值. 【详解】连接，以为原点，分别以方向为轴建立空间直角坐标系，如下图所示 设正方体棱长为1，则， ，，， 设平面的法向量为，则， 代入可得，令，则， 所以， 设直线与平面的夹角为，与平面的法向量夹角为， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 2．（2026高三下·吉林·竞赛）在三棱锥中，平面，，、、分别是棱、、的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以A为原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，利用线面角的空间向量法求解. 【详解】以A为原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系， 由，， 得，，，，，，. ，，， 设平面的法向量为，则由，得 取，则， 设与平面所成角为，则. 3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立空间坐标系，设棱柱高，求出平面的法向量，令，求出的值. 【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，    设，则，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 故， 又直线与平面所成角的正弦值为， ，解得. 故选：D. 4．（2026·陕西咸阳·三模）在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在中，，，由三角形面积公式得， 由余弦定理得 ，故， 因为平面ABC，四面体体积，代入解得， 以B为原点，为轴，平面内垂直于的方向为轴，过B且垂直于平面的方向为轴， 得各点坐标：， ， ， ，， 设平面的法向量为， 则，解得，令得，即 ， 又向量 ，， 设AC与平面所成角为，根据线面角与向量夹角的关系，. 5．（2026·甘肃张掖·模拟预测）如图，在三棱锥中，为的中点，平面，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系， 求出平面的法向量， 利用向量夹角公式计算直线与平面所成角的正弦值. 【详解】在中，，且2，所以是等腰直角三角形. 因为为的中点，根据等腰三角形性质，. 在中，，所以. 因为平面，平面，所以. 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系. 所以 ， ，， ，. 设，在中，，. 所以，故. 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以平面的一个法向量为). ，设直线与平面所成的角为. 所以. 6．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法即可求出底面边长，即可求解. 【详解】    如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 7．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】证明平面，是正方形，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法求线面角从而得出满足的关系，再计算，结合函数知识得最小值． 【详解】，则，又， 所以是矩形 ，因为，，所以，即是正方形， 从而是中点，而，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点 ，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设，则，， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 因为直线与平面所成的角为， 所以，化简得， 由得， 在时是增函数， 所以时，． 故选：D． 8．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）如图，在四面体中，平面平面是边长为6的正三角形，是等腰直角三角形，是的中点，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，利用它们数量积为0求解即可. 【详解】连接，由为等边三角形，则， 又平面平面，是交线，平面， 所以平面，又平面，所以, 因为为等腰三角形，是的中点，所以， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． ， ， ． 设平面的一个法向量为，则 取，则． 因为平面，所以，解得． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．异面直线EF与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 【答案】BC 【分析】如图建立以D为原点的空间直角坐标系，然后以空间向量知识结合选项可得答案. 【详解】如图建立以D为原点的空间直角坐标系. 对于A，，，，，从而，， ，则不与垂直，故A错误； 对于B，，则，从而异面直线EF与所成角余弦值为，故B正确； 对于C，，其中表示到平面距离，由题可得为，从而，故C正确； 对于D，易得平面的法向量可取，则直线EF与平面ABCD所成角正弦值为，故D错误. 10．（25-26高二下·江苏苏州·期末）如图，在平行六面体中，已知，，，分别为，的中点，则（    ）    A． B． C． D．与平面所成角的正弦值为 【答案】AD 【分析】设，，，将问题转化为基向量求解. 【详解】设，，， 由题意知，，则，，， ， ，， 即，选项正确； ，选项错误； ， ，选项错误； 设平面的一个法向量为，则的坐标为，而， 则即即，令，解得，， 所以， ， ， ， ， 设与平面所成角为， ，选项正确. 11．（25-26高二下·浙江衢州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱 ，的中点，则（   ）    A．平面截正方体所得的截面图形为等腰梯形 B．平面 C．异面直线与 所成角的余弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】对于A，结合中位线定理、正方体性质及平面定理判断即可；对于B，建立空间直角坐标系，求出平面，根据线面平行的向量求法证明即可；对于C，根据异面直线所成角的向量求法求解即可；对于D，设出外接球球心，建立方程组求出球心，进而得到半径，代入球的表面积公式求解即可. 【详解】 对于A，   取 中点 ，连接，，因， 为中点，所以，， 正方体中，，，则，， 易得，故四边形为等腰梯形，且平面与平面为同一平面， 即平面截正方体所得的截面图形为等腰梯形，A正确. 对于B，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，，，， 所以，，，，， 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 因为，所以， 又平面，所以平面，B正确. 对于C，由上建系，，， 设异面直线与 所成角为， 则，C错误. 对于D，设三棱锥外接球的球心为， 则 ， 即， 解得，即球心， 所以外接球半径， 故三棱锥外接球的表面积为，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·贵州贵阳·模拟预测）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】 【分析】由题意可得平面的法向量，同理可得平面的法向量以及的法向量，进而求得直线的一个方向向量，再利用向量的夹角公式即可得解. 【详解】根据材料可知：平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 设直线的方向向量为，因为直线l是两平面的交线， 所以与都垂直， 则，令，则， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 13．（25-26高二上·陕西榆林·期末）如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则_________． 【答案】 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据直线与平面所成角的向量求法可得答案. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， ， 设为平面的一个法向量， 可得，即，令，则， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，或舍去， 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求解. 14．（25-26高二上·江西·阶段检测）如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为________.    【答案】 【分析】设，建立适当空间直角坐标系，设，依次求出和平面的一个法向量，接着由空间角的向量法公式计算，再结合一元二次函数性质即可求解. 【详解】设，以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 设，则. 设平面的一个法向量， 则，取，得，，故. 设直线与平面所成角为，则， 又，所以，故， 即直线与平面PEF所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·陕西西安·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)因为四边形是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）由四边形是正方形可得，由平面可得，进而根据线面垂直的判定定理求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略 （2）由题意，以点为坐标原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 显然平面的一个法向量可以是，而， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 16．（25-26高二下·山东淄博·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，， ，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)因为平面平面，，平面平面，平面， 可得平面，则， 又因为，，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，可证，结合可证线面垂直； （2）作辅助线，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连结，， 因为，所以， 且 平面，平面 平面，平面平面， 所以平面，且平面，所以， 又因为，所以， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令 ，则，可得， 则， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 17．（2026·北京朝阳·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． (1)当点是棱中点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明：连接，交于点，连接． 因底面是正方形，则点是中点，又因点是棱中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以平面. (2)或． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再证，进而建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得的坐标，即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为侧面底面，平面底面， 因，平面,则平面． 又因平面,则． 因为，，满足,则得． 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 设，则,且， 则,,, 设平面的法向量为． 由,故可取． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以． 整理得，解得或,经检验均符合题意. 故线段的长为或． 18．（25-26高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)点在侧面内，且到直线的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)取的中点F，连接， 因为E为的中点，故， 又为的中点，,得, 故四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. (2)以点B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故，即， 故平面； (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，利用向量法即可证明； （3）取的中点G，连接，确定P点在上，设，根据直线与平面所成角的正弦值为，求出m的值，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点G，连接，则,且， 结合题意可知四边形为矩形，此时， 即得上任一点到的距离均为，故P点在上， 设，， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 直线与平面所成角的正弦值为， 则，解得，（舍去）， 故. 19．（25-26高二下·云南昆明·期中）如图所示，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；点为的中点 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设出点的位置，直接利用线面角的计算公式计算即可. 【详解】（1）证明：是正三角形，为的中点，． 又因为，， 所以，，又因为 所以平面，又因为平面，， ，平面，平面， 平面． （2）存在，理由如下： 取的中点，由（1）及已知得，， 点，分别为，的中点， ，，． 又，，，两两垂直． 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， ．设，， ，， ，设平面的法向量为， 则，即，令，则，， ．由已知得，即， 解得或（舍去），故，此时，则是的中点， 存在满足条件的点，点为的中点 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.3 直线与平面的夹角课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（2026高三下·吉林·竞赛）在三棱锥中，平面，，、、分别是棱、、的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·陕西咸阳·三模）在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃张掖·模拟预测）如图，在三棱锥中，为的中点，平面，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ）    A． B． C． D． 7．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 8．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）如图，在四面体中，平面平面是边长为6的正三角形，是等腰直角三角形，是的中点，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．异面直线EF与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 10．（25-26高二下·江苏苏州·期末）如图，在平行六面体中，已知，，，分别为，的中点，则（    ）    A． B． C． D．与平面所成角的正弦值为 11．（25-26高二下·浙江衢州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱 ，的中点，则（   ）    A．平面截正方体所得的截面图形为等腰梯形 B．平面 C．异面直线与 所成角的余弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·贵州贵阳·模拟预测）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为__________. 13．（25-26高二上·陕西榆林·期末）如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则_________． 14．（25-26高二上·江西·阶段检测）如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为________.    四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·陕西西安·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 16．（25-26高二下·山东淄博·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，， ，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．（2026·北京朝阳·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． (1)当点是棱中点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18．（25-26高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)点在侧面内，且到直线的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 19．（25-26高二下·云南昆明·期中）如图所示，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $